小學(xué)數(shù)學(xué)精講教案5_4_5 完全平方數(shù)及應(yīng)用（二） 教師版

1、5-4-5.完全平方數(shù)及應(yīng)用（二）教學(xué)目標(biāo)1. 學(xué)習(xí)完全平方數(shù)的性質(zhì)；2. 整理完全平方數(shù)的一些推論及推論過程3. 掌握完全平方數(shù)的綜合運用。知識點撥一、完全平方數(shù)常用性質(zhì)1.主要性質(zhì)1.完全平方數(shù)的尾數(shù)只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。2.在兩個連續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)之間不存在完全平方數(shù)。3.完全平方數(shù)的約數(shù)個數(shù)是奇數(shù)，約數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)是完全平方數(shù)。4.若質(zhì)數(shù)p整除完全平方數(shù)，則p能被整除。2.性質(zhì)性質(zhì)1：完全平方數(shù)的末位數(shù)字只可能是0，1，4，5，6，9性質(zhì)2：完全平方數(shù)被3，4，5，8，16除的余數(shù)一定是完全平方數(shù)性質(zhì)3：自然數(shù)N為完全平方數(shù)自然數(shù)N約數(shù)的個數(shù)為奇

2、數(shù)因為完全平方數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解中每個質(zhì)因數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)都是偶數(shù)次，所以，如果p是質(zhì)數(shù)，n是自然數(shù)，N是完全平方數(shù)，且，則性質(zhì)4：完全平方數(shù)的個位是6它的十位是奇數(shù)性質(zhì)5：如果一個完全平方數(shù)的個位是0，則它后面連續(xù)的0的個數(shù)一定是偶數(shù)如果一個完全平方數(shù)的個位是5，則其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一個性質(zhì)6：如果一個自然數(shù)介于兩個連續(xù)的完全平方數(shù)之間，則它不是完全平方數(shù)3.一些重要的推論1.任何偶數(shù)的平方一定能被4整除；任何奇數(shù)的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。2.一個完全平方數(shù)被3除的余數(shù)是0或1.即被3除余2的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。3.自然數(shù)的平方末兩

3、位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。4.完全平方數(shù)個位數(shù)字是奇數(shù)（1，5，9）時，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。5.完全平方數(shù)個位數(shù)字是偶數(shù)（0，4）時，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。6.完全平方數(shù)的個位數(shù)字為6時，其十位數(shù)字必為奇數(shù)。7.凡個位數(shù)字是5但末兩位數(shù)字不是25的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；末尾只有奇數(shù)個“0”的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；個位數(shù)字為1，4，9而十位數(shù)字為奇數(shù)的自然數(shù)不是完全平方數(shù)。3.重點公式回顧：平方差公式：例題精講模塊一、平方差公式運用【例 1】 將兩個自然數(shù)的差乘上它們的積，能否

4、得到數(shù)45045？【考點】平方差公式運用 【難度】2星 【題型】解答【解析】 設(shè)這兩個數(shù)分別是a和b，那么有ab(a-b)=45045,分析奇偶性可知這是不可能的。因此不可能得到45045?！敬鸢浮坎荒艿玫竭@樣的數(shù)【例 2】 一個數(shù)減去100是一個平方數(shù)，減去63也是一個平方數(shù)，問這個數(shù)是多少？ 【考點】平方差公式運用 【難度】2星 【題型】解答【解析】 設(shè)這個數(shù)減去為，減去為，則，可知，且，所以，這樣這個數(shù)為【答案】424【鞏固】 能否找到這么一個數(shù)，它加上24，和減去30所得的兩個數(shù)都是完全平方數(shù)？ 【考點】平方差公式運用 【難度】3星 【題型】解答【解析】 假設(shè)能找到，設(shè)這兩個完全平方數(shù)

5、分別為、，那么這兩個完全平方數(shù)的差為，由于和的奇偶性質(zhì)相同，所以不是4的倍數(shù)，就是奇數(shù)，不可能是像54這樣是偶數(shù)但不是4的倍數(shù)所以不可能等于兩個平方數(shù)的差，那么題中所說的數(shù)是找不到的【答案】不存在這樣的數(shù)【鞏固】 能否找到這么一個數(shù)，它加上24，和減去30所得的兩個數(shù)都是完全平方數(shù)？【考點】平方差公式運用 【難度】3星 【題型】解答【解析】 假設(shè)能找到，設(shè)這兩個完全平方數(shù)分別為、，那么這兩個完全平方數(shù)的差為，由于和的奇偶性質(zhì)相同，所以不是的倍數(shù)，就是奇數(shù)，所以不可能等于兩個平方數(shù)的差，所以這樣的數(shù)找不到【答案】不存在這樣的數(shù)【鞏固】 一個正整數(shù)加上132和231后都等于完全平方數(shù)，求這個正整數(shù)

6、是多少？【考點】平方差公式運用 【難度】3星 【題型】解答【解析】 設(shè)該正整數(shù)為a，根據(jù)題意得，兩式相減得,注意到和的奇偶性相同，都是奇數(shù)因為，所以，或，或，解得，或，或，但是，不符合是正整數(shù)的條件因此，或者所以這個正整數(shù)是2269或97【答案】2269或97【例 3】 兩個完全平方數(shù)的差為77，則這兩個完全平方數(shù)的和最大是多少？最小是多少？ 【考點】平方差公式運用 【難度】3星 【題型】解答【解析】 設(shè)這兩個完全平方數(shù)分別是和，且，則兩個完全平方數(shù)的和可以表示為，所以越大，平方和越大，越小，平方和越小，而，當(dāng)，時，取得最大值，此時兩個完全平方數(shù)的和最大，為；當(dāng)，時，取得最小值2，此時兩個完全

7、平方數(shù)的和最小，為85【答案】最小85，最大2965【例 4】 三個自然數(shù)，它們都是完全平方數(shù)，最大的數(shù)減去第二大的數(shù)的差為80，第二大的數(shù)減去最小的數(shù)的差為60，求這三個數(shù) 【考點】平方差公式運用 【難度】3星 【題型】解答【解析】 設(shè)這三個數(shù)從大到小分別為、，那么有，因為，、同奇同偶，所以有，或，分別解得，和，對于后者沒有滿足條件的B，所以A只能等于12，繼而求得，所以這三個數(shù)分別為、【答案】三個數(shù)分別為、 【例 5】 有兩個兩位數(shù)，它們的差是14，將它們分別平方，得到的兩個平方數(shù)的末兩位數(shù)(個位數(shù)和十位數(shù))相同，那么這兩個兩位數(shù)是 (請寫出所有可能的答案) 【考點】平方差公式運用 【難度

8、】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2008年，清華附中【解析】 設(shè)這兩個兩位數(shù)中較小的那個為，則另外一個為，由題知， (為正整數(shù))，即，由于，所以，由于與均為兩位數(shù)，所以，故可能為25、50或者75，可能為18、43或者68經(jīng)檢驗，、43、68均符合題意，所以這兩個兩位數(shù)為18、32，或者43、57，或者68、82【答案】這兩個兩位數(shù)為18、32，或者43、57，或者68、82【例 6】 A是一個兩位數(shù)，它的6倍是一個三位數(shù)B，如果把B放在A的左邊或者右邊得到兩個不同的五位數(shù)，并且這兩個五位數(shù)的差是一個完全平方數(shù)(整數(shù)的平方)，那么A的所有可能取值之和為 【考點】平方差公式運用 【難度】4星 【題

9、型】填空【解析】 如果把B放在A的左邊，得到的五位數(shù)為；如果把放在的右邊，得到的五位數(shù)為；這兩個數(shù)的差為，是一個完全平方數(shù)，而，所以是5與一個完全平方數(shù)的乘積A又是一個兩位數(shù)，所以可以為、，A的所有可能取值之和為【答案】145【例 7】 一個自然數(shù)與自身相乘的結(jié)果稱為完全平方數(shù)已知一個完全平方數(shù)是四位數(shù)，且各位數(shù)字均小于7如果把組成它的數(shù)字都加上3，便得到另外一個完全平方數(shù)，求原來的四位數(shù) 【考點】平方差公式運用 【難度】2星 【題型】解答【解析】 設(shè)這個四位數(shù)為，由于其各位數(shù)字都小于7，所以每位數(shù)字都加3，沒有發(fā)生進位，故由得：將分解質(zhì)因數(shù)，有，其有個約數(shù)，但是有，所以只有4種可能，即由于，

10、故，所以；又，所以，故；一一檢驗，只有滿足且，所以，得，原來的四位數(shù)為【答案】1156模塊二、完全平方數(shù)與其他知識點的綜合運用【例 8】 如果+=，-=b，=c，=d，a+b+c+d=100，那么，=_.【考點】完全平方數(shù)與其他知識點的綜合運用 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，三年級，初賽，第5題【解析】 根據(jù)題意，()，則，.【答案】【例 9】 已知是一個四位數(shù)，若兩位數(shù)是一個質(zhì)數(shù)，是一個完全平方數(shù)，是一個質(zhì)數(shù)與一個不為1的完全平方數(shù)之積，則滿足條件的所有四位數(shù)是_【考點】完全平方數(shù)與其他知識點的綜合運用 【難度】3星 【題型】填空【解析】 本題綜合利用數(shù)論知識，因為是一個質(zhì)數(shù)，

11、所以B不能為偶數(shù)，且同時是一個完全平方數(shù)，則符合條件的數(shù)僅有16和36，所以可以確定B為1或3，由于是一個質(zhì)數(shù)與一個不為1的完全平方數(shù)之積，在6169中只有63和68符合條件，那么A為3或8那么可能為31，33，81，83，其中是質(zhì)數(shù)的有31和83，所以滿足條件的四位數(shù)有3163和8368【答案】3163和8368【例 10】 稱能表示成的形式的自然數(shù)為三角數(shù)有一個四位數(shù)，它既是三角數(shù)，又是完全平方數(shù)則 【考點】完全平方數(shù)與其他知識點的綜合運用 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2007年，走美【解析】 依題有，即因為與是兩個連續(xù)自然數(shù)，其中必有一個奇數(shù)，有奇數(shù)又由相鄰自然數(shù)互質(zhì)知，“奇數(shù)”

12、與“”也互質(zhì)，于是奇數(shù)， ()，而為四位數(shù)，有，即，又與相鄰，有當(dāng)時，相鄰偶數(shù)為50時，滿足條件，這時，即；當(dāng)時，相鄰偶數(shù)為80和82都不滿足條件；當(dāng)時，相鄰偶數(shù)為120和122都不滿足條件所以，【答案】1225【例 11】 自然數(shù)的平方按大小排成1，4，9，16，25，36，49，問：第612個位置的數(shù)字是幾？【考點】完全平方數(shù)與其他知識點的綜合運用 【難度】4星 【題型】解答【解析】 1到3的平方是一位數(shù)，占去3個位置；4到9的平方是二位數(shù)，占去12個位置；10到31的平方是三位數(shù)，占去66個位置；32到99的平方是四位數(shù)，占去272個位置；將1到99的平方排成一行，就占去353個位置，從

13、612減去353，還有259個位置從100到300的平方都是五位數(shù)，因此，第612個位置一定是其中某個數(shù)的平方中的一個數(shù)字因為，即從100起到150，共51個數(shù)，它們的平方都是五位數(shù)，要占去255個位置，而，它的第4個數(shù)字是0，所以第612個位置的數(shù)字是0【答案】0【鞏固】 不是零的自然數(shù)的平方按照從小到大的順序接連排列，是：149162536，則從左向右的第l6個數(shù)字是_【考點】完全平方數(shù)與其他知識點的綜合運用 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級，初賽，11題【解析】 通過列舉可得1?！敬鸢浮俊纠?12】 由，可以斷定最多能表示為個互不相等的非零自然數(shù)的平方和，請你判定最多能

14、表示為_個互不相等的非零自然數(shù)的平方之和【考點】完全平方數(shù)與其他知識點的綜合運用 【難度】4星 【題型】填空【解析】 ，所以不能表示成個互不相等的非零自然數(shù)的平方之和，而，所以可以表示成個互不相等的非零自然數(shù)的平方之和，所以最多能表示為個互不相等的非零自然數(shù)的平方之和【答案】7【例 13】 有4個不同的數(shù)字共可組成18個不同的4位數(shù)將這18個不同的4位數(shù)由小到大排成一排，其中第一個是一個完全平方數(shù)，倒數(shù)第二個也是完全平方數(shù)那么這18個數(shù)的平均數(shù)是： 【考點】完全平方數(shù)與其他知識點的綜合運用 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，五年級,初賽，第12題【解析】 一般而言，4個不同的數(shù)字共可組成（個）不同的4位數(shù)如果只能組成18個不同的4位數(shù)，說明其中必有0，即按算出來的在這四個不同的數(shù)中，則設(shè)最小的數(shù)，倒數(shù)第二個則是，兩數(shù)正好是一對反序數(shù)根據(jù)完全平方數(shù)特點，“小”、“大”兩數(shù)必是1，4，6，9之中的兩個且中數(shù)在小大之間可以為以下3類：當(dāng)“大”，在1024、1034中，1034不是完全平方數(shù)，但4201不成立當(dāng)“大”，1026、1036、1046、1056、4056都不是完全平方數(shù)當(dāng)“大”9，在的數(shù)中，取，而在的數(shù)中，取632，672不