第二章 優(yōu)化設(shè)計基礎(chǔ)_第1頁
第二章 優(yōu)化設(shè)計基礎(chǔ)_第2頁
第二章 優(yōu)化設(shè)計基礎(chǔ)_第3頁
第二章 優(yōu)化設(shè)計基礎(chǔ)_第4頁
第二章 優(yōu)化設(shè)計基礎(chǔ)_第5頁
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文檔簡介

1、,工程優(yōu)化設(shè)計Mechanical optimization design,主講:李熹平,教材:工程優(yōu)化設(shè)計與MATLAB實現(xiàn) 清華大學(xué)出版社 聯(lián)系方式:632097,第二章 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),第一節(jié) 多元函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度,一個多元函數(shù)可用偏導(dǎo)數(shù)的概念來研究函數(shù)沿各坐標方向的變化率。 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù):,第二章 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),第一節(jié) 多元函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度,方向?qū)?shù):,2,1,o,偏導(dǎo)數(shù)與方向?qū)?shù)之間的數(shù)量關(guān)系:,第二章 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),第一節(jié) 多元函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度,多元函數(shù)的方向?qū)?shù):,第二章 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),第一節(jié) 多元函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度,例:,第二章 優(yōu)化設(shè)計

2、的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),第一節(jié) 多元函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度,梯度:,第二章 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),第一節(jié) 多元函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度,梯度:,梯度的性質(zhì): 1)梯度是一個向量; 2)梯度方向是方向?qū)?shù)最大的方向,即函數(shù)值變化最快(函數(shù)值變化率最大)的方向 ; 3)梯度方向是等值面(線)的法線方向 。,第二章 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),第一節(jié) 多元函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度,多元函數(shù)的梯度:,第二章 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),第一節(jié) 多元函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度,例題:,解: 函數(shù)變化率最大的方向就是 梯度方向,用單位向量 表 示,函數(shù)變化率最大的數(shù)值就 是梯度的模 。,第二章 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),第二節(jié) 多元函數(shù)的泰勒展開,一元函數(shù)

3、,第二章 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),第二節(jié) 多元函數(shù)的泰勒展開,二元函數(shù):,二元函數(shù)泰勒展開式的矩陣形式:,對稱矩陣,第二章 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),第二節(jié) 多元函數(shù)的泰勒展開,多元函數(shù)泰勒展開式的矩陣形式:,是函數(shù)在該點的梯度,第二章 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),第二節(jié) 多元函數(shù)的泰勒展開,多元函數(shù)的海賽矩陣:,第二章 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),第二節(jié) 多元函數(shù)的泰勒展開,正定矩陣:,第二章 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),矩陣正定與負定的判定:,正定:矩陣A正定的條件是A的各階主子式大于零; 負定:矩陣A負定的條件是各階主子式負、正相間。,第二節(jié) 多元函數(shù)的泰勒展開,第二章 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),第三節(jié) 無約束優(yōu)化問題的極值條

4、件,必要條件,充分條件,第二章 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),第三節(jié) 無約束優(yōu)化問題的極值條件,第二章 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),第三節(jié) 無約束優(yōu)化問題的極值條件,例:,第二章 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),第四節(jié) 凸集、凸函數(shù)和凸規(guī)劃,當(dāng)極值點x*能使f(x*)在整個可行域中為最小值(最大值)時,即在整個可行域中對任一 x都有f(x)f(x*)(或者f(x)f(x*) )時,則x* 就是全局極小點(全局極大點)。,全局極值點(最優(yōu)點):,第二章 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),第四節(jié) 凸集、凸函數(shù)和凸規(guī)劃,若f(x*)為局部可行域中的極小值(極大值)而不是整個可行域中的最小值(或最大值)時,則稱x*為局部極小點(局部極大點)。,

5、局部極值點(相對極值點):,第二章 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),第四節(jié) 凸集、凸函數(shù)和凸規(guī)劃,一個下凸的函數(shù),它的極值點只有一個,并且該點既是局部極值點也是全局極值點,我們就稱這個函數(shù)具有凸性。,函數(shù)的凸性(單峰性):,第二章 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),第四節(jié) 凸集、凸函數(shù)和凸規(guī)劃,設(shè)R是一個點集(或區(qū)域),若連接其中任意兩點x1和x2的直線都屬于R,則稱這種集合R是一個凸集。,凸集:,第二章 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),第四節(jié) 凸集、凸函數(shù)和凸規(guī)劃,凸集的性質(zhì):,第二章 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),第四節(jié) 凸集、凸函數(shù)和凸規(guī)劃,具有凸性(表現(xiàn)為單峰性)或只有唯一的局部最優(yōu)值,即全局最優(yōu)值的函數(shù),稱為凸函數(shù)或單峰函數(shù)。,凸

6、函數(shù):,第二章 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),第四節(jié) 凸集、凸函數(shù)和凸規(guī)劃,1若f (x)為定義在凸集R上的一個凸函數(shù),且是一個正數(shù)(0),則f (x)也必是定義在凸集R上的凸函數(shù)。 2定義在凸集R上的兩個凸函數(shù)f 1 (x)和f 2 (x) ,其和 f (x) = f 1 (x) + f 2 (x) 也一定是該凸集上的一個凸函數(shù)。 3若f 1 (x) 、f 2 (x)是定義在凸集R上的兩個凸函數(shù),和為兩個任意正數(shù),則函數(shù)f 1 (x) +f 2 (x) 仍是R上的凸函數(shù)。 4若定義在凸集R上的一個凸函數(shù)f (x)有兩個最小點x1和x2則這兩點處的函數(shù)值f (x1) 和f (x2) 必相等,否則,其中較

7、大的點就不是f (x)的最小點了。 5若x1和x2是定義在凸集R上的一個凸函數(shù)f (x)的兩個最小點,則其連接線段上的一切點必為f (x)的最小點。,凸函數(shù)的性質(zhì):,第二章 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),第四節(jié) 凸集、凸函數(shù)和凸規(guī)劃,凹函數(shù):,凸函數(shù),下凸有極小值,上凸有極大值,凹函數(shù),第二章 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),第四節(jié) 凸集、凸函數(shù)和凸規(guī)劃,凸規(guī)劃:,目標函數(shù)與約束條件均為凸函數(shù)的優(yōu)化問題稱為凸規(guī)劃。,凸規(guī)劃的性質(zhì),第二章 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),第五節(jié) 等式約束優(yōu)化問題的極值條件,等式約束優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型:,消元法降維法 拉格朗日乘子法升維法,解 法,第二章 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),第五節(jié) 等式約束優(yōu)化問題的極值條件,消元法:,(二維),(一維),二元函數(shù)(一個等式約束):,第二章 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),第五節(jié) 等式約束優(yōu)化問題的極值條件,n元函數(shù)(l個等式約束條件):,( n-l 維無約束優(yōu)化問題 ),消元法,第二章 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),第五節(jié) 等式約束優(yōu)化問題的極值條件,n元函數(shù)(l個等式約束條件):,拉格朗日乘子法,極值必要條件,第二章 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),第五節(jié) 等式約束優(yōu)化問題的極值條件,例:,第二章 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),第六節(jié) 不等式約束優(yōu)化問題的極值條件,求解不等式約束優(yōu)化問題的基本思想: 將不等式約束條件變成等式約束條件。 具體做法: 引入松弛變量。,第二章 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)

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