常微分方程 基本概念.ppt

1、2020/7/6,1,一、微分方程,第六章微 分 方 程,第一節(jié)微分方程的基本概念,二、微分方程的解,2020/7/6,2,300多年前，由牛頓(Newton,1642-1727)和萊布尼茲(Leibniz,1646-1716)所創(chuàng)立的微積分學(xué)，是人類科學(xué)史上劃時代的重大發(fā)現(xiàn)，而微積分的產(chǎn)生和發(fā)展，又與求解微分方程問題密切相關(guān).這是因為，微積分產(chǎn)生的一個重要動因來自于人們探求物質(zhì)世界運動規(guī)律的需求.一般地，運動規(guī)律很難全靠實驗觀測認(rèn)識清楚，因為人們不太可能觀察到運動的全過程.然而，運動物體(變量)與它的瞬時變化率(導(dǎo)數(shù))之間，通常在運動過程中按照某種己知定律存在著聯(lián)系，我們?nèi)菀撞蹲降竭@種聯(lián)系，

2、而這種聯(lián)系，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來，其結(jié)果往往形成一個微分方程.一旦求出這個方程的解，其運動規(guī)律將一目了然.下面的例子，將會使你看到微分方程是表達(dá)自然規(guī)律的一種最為自然的數(shù)學(xué)語言.,2020/7/6,3,定義 1凡含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù) (或微分) 的方程，,一、微分方程,稱為微分方程，,有時簡稱為方程，未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱做常微分方程，,未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程稱做偏微分方程.,本教材僅討論常微分方程，并簡稱為微分方程.,(1) y= kx, k 為常數(shù)；,例如，下列方程都是微分方程 (其中 y, v, q 均為未知函數(shù)).,(2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0；,

3、(3) mv(t) = mg - kv(t)；,2020/7/6,4,微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，,稱為微分方程的階.,例如，方程 (1) - (3) 為一階微分方程，,通常，n 階微分方程的一般形式為,F(x, y, y, , y(n) = 0，,其中 x 是自變量， y 是未知函數(shù)，F(xiàn)(x, y, y, , y(n) 是已知函數(shù)，,而且一定含有 y(n).,(4),(5),方程 (4) - (5) 為二階微分方程.,2020/7/6,5,定義 2 任何代入微分方程后使其成為恒等式的函數(shù)，都叫做該方程的解.,二、微分方程的解,若微分方程的解中含有任意常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相同，

4、,且任意常數(shù)之間不能合并，則稱此解為該方程的通解(或一般解).,當(dāng)通解中的各任意常數(shù)都取特定值時所得到的解，稱為方程的特解.,例如方程 y = 2x 的解 y = x2 + C 中含有一個任意常數(shù)且與該方程的階數(shù)相同，,因此，這個解是方程的通解；,如果求滿足條件 y(0) = 0 的解，代入通解 y = x2 + C 中，,得 C = 0，那么 y = x2 就是方程 y = 2x 的特解.,2020/7/6,6,二階微分方程的初始條件是,即 y(x0) = y0 與 y(x0) = y0，,一個微分方程與其初始條件構(gòu)成的問題，稱為初值問題.,求解某初值問題，就是求方程的特解.,用來確定通解中

5、的任意常數(shù)的附加條件一般稱為初始條件.,通常一階微分方程的初始條件是,2020/7/6,7,例 1 驗證函數(shù) y = 3e x xe x 是方程,y + 2y + y = 0,的解.,解 求 y = 3e x xe x 的導(dǎo)數(shù)，,y = - 4e x + xe - x,y = 5e x - xe - x,將 y，y 及 y 代入原方程的左邊，,(5e x - xe - x) + 2(- 4e x + xe - x) + 3e x xe x = 0，,即函數(shù) y = 3e x xe x 滿足原方程，,得,有,所以該函數(shù)是所給二階微分方程的解.,2020/7/6,8,得 C = 2，故所求特解為

6、y = 2x2 .,例 2 驗證方程 的通解,為 y = Cx2 (C 為任意常數(shù))，并求滿足初始條件 y|x = 1 = 2 的特解.,解 由 y = Cx2 得,y = 2Cx,將 y 及 y 代入原方程的左、右兩邊，,左邊有 y= 2Cx，,所以函數(shù) y = Cx2 滿足原方程.,又因為該函數(shù)含有一個任意常數(shù)，,所以 y = Cx2 是一階微分方程,將初始條件 y|x = 1 = 2 代入通解，,2020/7/6,9,例 3設(shè)一個物體從 A 點出發(fā)作直線運動，在任一時刻的速度大小為運動時間的兩倍. 求物體運動規(guī)律 (或稱運動方程),解首先建立坐標(biāo)系：取 A 點為坐標(biāo)原點，,物體運動方向為

7、坐標(biāo)軸的正方向(如圖)，,并設(shè)物體在時刻 t 到達(dá) M 點，其坐標(biāo)為 s(t).,顯然，s(t) 是時間 t 的函數(shù)，它表示物體的運動規(guī)律，是本題中待求的未知函數(shù)，,s(t) 的導(dǎo)數(shù) s(t) 就是物體運動的速度 v(t).,由題意，知,v(t) = 2t ，,以及,s(0) = 0.,2020/7/6,10,因為 v(t) = s(t)，因此，求物體的運動方程已化成了求解初值問題,積分后，得通解 s(t) = t2 + C .,故初值問題的解為 s(t) = t2，,也是本題所求的物體的運動方程.,再將初始條件 代入通解中，得 C = 0，,2020/7/6,11,例 4已知直角坐標(biāo)系中的一

8、條曲線通過點 (1, 2)，且在該曲線上任一點 P(x, y) 處的切線斜率等于該點的縱坐標(biāo)的平方，求此曲線的方程.,解 設(shè)所求曲線的方程為 y = y(x)，,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及本題所給出的條件，,y = y2，,即,積分得,又由于已知曲線過點 (1, 2)，代入上式，得,所以，求此曲線的方程為,得,2020/7/6,12,一般地，微分方程的每一個解都是一個一元函數(shù) y = y(x) ，,其圖形是一條平面曲線，我們稱它為微分方程的積分曲線.,通解的圖形是平面上的一族曲線，稱為積分曲線族，,特解的圖形是積分曲線族中的一條確定的曲線.,這就是微分方程的通解與特解的幾何意義.,2020/7/6,

9、13,一、可分離變量方程,第六章微 分 方 程,第二節(jié)一階微分方程,三、一階線性微分方程,二、齊次方程,2020/7/6,14,一階微分方程的一般形式為,F(x, y, y) = 0.,2020/7/6,15,一、可分離變量方程,例如：形如,y = f (x) g (y),的微分方程，稱為可分離變量方程.,(1) 分離變量,將方程整理為,使方程各邊都只含有一個變量.,的形式，,2020/7/6,16,(2) 兩邊積分,兩邊同時積分，得,故方程通解為,我們約定在微分方程這一章中不定積分式表示被積函數(shù)的一個原函數(shù)，,而把積分所帶來的任意常數(shù)明確地寫上.,2020/7/6,17,例 1 求方程,解分

10、離變量，得,兩邊積分，得,這就是所求方程的通解,2020/7/6,18,例 2 求方程,解分離變量，得,兩邊積分，得,化簡得,2020/7/6,19,另外，y = 0 也是方程的解，,因此 C2 為任意常數(shù),求解過程可簡化為：,兩邊積分得,即通解為,其中 C 為任意常數(shù).,中的 C2 可以為 0，,這樣，方程的通解是,分離變量得,2020/7/6,20,例 3 求方程 dx + xydy = y2dx + ydy 滿足初始條件 y(0) = 2 的特解.,解將方程整理為,分離變量，得,兩邊積分，有,2020/7/6,21,化簡，得,即,將初始條件 y(0) = 2 代入，,為所求之通解.,得

11、C = 3.,故所求特解為,2020/7/6,22,例 4,解分離變量得,即,2020/7/6,23,兩邊積分，得,經(jīng)整理，得方程的通解為,也可寫為,形如,方程稱為齊次方程,求解方法:,二、可化為變量分離方程類型,解:,方程變形為,這是齊次方程,即,將變量分離后得,兩邊積分得:,即,代入原來變量,得原方程的通解為,解:,方程變形為,這是齊次方程,將變量分離后得,兩邊積分得:,整理后得,變量還原得,故初值問題的解為,2020/7/6,29,三、一階線性微分方程,一階微分方程的下列形式,稱為一階線性微分方程，簡稱一階線性方程.,其中P(x)、Q (x) 都是自變量的已知連續(xù)函數(shù).,左邊的每項中僅含

12、 y 或 y，且均為 y 或 y 的一次項.,它的特點是：右邊是已知函數(shù)，,2020/7/6,30,稱為一階線性齊次微分方程，簡稱線性齊次方程，,0，則稱方程 為一階線性非齊次微分方程，簡稱線性非齊次方程.,通常方程 稱為方程 所對應(yīng)的線性齊次方程.,若 Q (x),2020/7/6,31,1.一階線性齊次方程的解法,一階線性齊次方程,是可分離變量方程.,兩邊積分，得,所以，方程的通解公式為,分離變量，得,2020/7/6,32,例 6 求方程 y + (sin x)y = 0 的通解.,解所給方程是一階線性齊次方程，且 P(x) = sin x，,由通解公式即可得到方程的通解為,則,2020

13、/7/6,33,例 7求方程 (y - 2xy) dx + x2dy = 0 滿足初始條件 y|x=1 = e 的特解.,解將所給方程化為如下形式：,這是一個線性齊次方程，,則,由通解公式得該方程的通解,將初始條件 y(1) = e 代入通解，,得 C = 1.,故所求特解為,2020/7/6,34,2.一階線性非齊次方程的解法,設(shè) y = C(x)y1 是非齊次方程的解，,將 y = C(x)y1 (其中 y1 是齊次方程 y + P (x) y = 0 的解)及其導(dǎo)數(shù) y = C (x) y1 + C(x) y1 代入方程,則有,即,2020/7/6,35,因 y1 是對應(yīng)的線性齊次方程的

14、解，,因此有,其中 y1 與 Q(x) 均為已知函數(shù)，,代入 y = C (x)y1 中，得,容易驗證，上式給出的函數(shù)滿足線性非齊次方程,所以可以通過積分求得,2020/7/6,36,且含有一個任意常數(shù)，所以它是一階線性非齊次方程,的通解,在運算過程中，我們?nèi)【€性齊次方程的一個解為,于是，一階線性非齊次方程的通解公式，就可寫成：,上述討論中所用的方法，是將常數(shù) C 變?yōu)榇ê瘮?shù) C(x)，,再通過確定 C(x) 而求得方程解的方法，稱為常數(shù)變易法.,2020/7/6,37,例 8 求方程 2y - y = ex 的通解.,解法一 使用常數(shù)變易法求解,將所給的方程改寫成下列形式：,這是一個線性非

15、齊次方程，它所對應(yīng)的線性齊次方程的通解為,將 y 及 y 代入該方程，得,設(shè)所給線性非齊次方程的解為,2020/7/6,38,于是，有,因此，原方程的通解為,解法二 運用通解公式求解,將所給的方程改寫成下列形式：,2020/7/6,39,則,代入通解公式，得原方程的通解為,2020/7/6,40,例 9 求解初值問題,解使用常數(shù)變易法求解,將所給的方程改寫成下列形式：,則與其對應(yīng)的線性齊次方程,的通解為,2020/7/6,41,設(shè)所給線性非齊次方程的通解為,于是，有,將 y 及 y代入該方程，得,2020/7/6,42,因此，原方程的通解為,將初始條件 y(p) = 1 代入，得 C = p，

16、,所以，所求的特解，即初值問題的解為,2020/7/6,43,例 10求方程 y2dx + (x - 2xy - y2)dy = 0 的通解.,解將原方程改寫為,這是一個關(guān)于未知函數(shù) x = x(y) 的一階線性非齊次方程，,它的自由項 Q(y) = 1.,2020/7/6,44,代入一階線性非齊次方程的通解公式，有,即所求通解為,2020/7/6,45,第七章微 分 方 程,第三節(jié)一階微分方程應(yīng)用舉例,例 1 設(shè)曲線過點 (1, 1)，且其上任意點 P 的切線在 y 軸上截距是切點縱坐標(biāo)的三倍，求此曲線方程.,解設(shè)所求的曲線方程為 y = y(x)，P(x, y) 為其上任意點，,則過點 P

17、 的切線方程為,其中 (X, Y) 是切線上動點,(x, y) 是曲線上任意固定的點.,2020/7/6,46,令 X = 0 ，得切線在 y 軸上的截距為 Y = y - xy，,y - xy = 3y，,這是一階線性齊次方程，其通解為,因曲線過點 (1, 1). 代入方程，得 C = 1.,所以曲線方程為,由題意得,2020/7/6,47,例 2 設(shè)跳傘員開始跳傘后所受的空氣阻力與他下落的速度成正比 (比例系數(shù)為常數(shù) k 0)，,起跳時的速度為 0. 求下落的速度與時間之間的函數(shù)關(guān)系.,解設(shè)下落速度為 v(t)，,則加速度 a = v (t)運動，物體所受的外力為：,F = mg kv，,

18、于是，由牛頓第二定律可得,mg - kv = mv ，,2020/7/6,48,又由題意得初始條件,v |t = 0 = 0，,可見，初值問題,是一個一階線性非齊次微分方程，其通解為,由 v(0) = 0 得 C = mg.,即為所求的函數(shù)關(guān)系.,所以，特解,2020/7/6,49,例 4 假設(shè)一高溫物體在冷卻劑中均勻地冷卻，,物體的初始溫度為 200C ，且由 200C 冷卻到 100C 需要 40 s.,已知(冷卻定律)：冷卻速率與物體和介質(zhì)的溫度差成正比.,其介質(zhì)(冷卻劑)溫度始終保持為 10C，,并求物體溫度降到 20C 所需的時間.,解設(shè)物體溫度為 q = q (t)，,則物體的冷卻

19、速率為 q (t) .,由冷卻定律可得 q (t) 應(yīng)滿足的微分方程為,q (t) = - kq (t) -10 (k 0) ，,試求物體溫度 q 與時間 t 的函數(shù)關(guān)系,2020/7/6,50,另由題意知 q(t) 所滿足的初始條件為,q |t = 0 = 200.,于是，初值問題是,解此初值問題，得特解,q(t) = 10 + 190e-kt .,因此，得,由于 (40) = 100，,即 100 = 10 + 190e-40k ，,2020/7/6,51,最后，將 q = 20 代入上式，,即物體溫度降到 20C 大約需要 2 min38 s .,從而得物體溫度 q 與時間 t 的函數(shù)關(guān)

20、系為,并解出,2020/7/6,52,一、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu),第七章微 分 方 程,第四節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程,二、二階常系數(shù)線性微分方程的解法,三、應(yīng)用舉例,2020/7/6,53,一、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu),二階微分方程的如下形式,y + p(x)y + q(x)y = f (x),稱為二階線性微分方程，簡稱二階線性方程.,f (x) 稱為自由項，當(dāng) f (x) 0 時，稱為二階線性非齊次微分方程，,簡稱二階線性非齊次方程.,當(dāng) f (x) 恒為 0 時，稱為二階線性齊次微分方程，,簡稱二階線性齊次方程.,方程中 p(x)、 q(x) 和 f (x) 都是自變量的已知連續(xù)函數(shù).,

21、這類方程的特點是：右邊是已知函數(shù)或零，左邊每一項含 y 或 y 或 y，,且每項均為 y 或 y 或 y 的一次項，,例如 y + xy + y = x2 就是二階線性非齊次方程.,而 y + x(y)2 + y = x2 就不是二階線性方程.,2020/7/6,54,定理 1如果函數(shù) y1 與 y2 是線性齊次方程的兩個解，,y = C1 y1 + C2 y2,仍為該方程的解，,證因為 y1 與 y2 是方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的兩個解，,與,所以有,其中 C1， C2 是任意常數(shù).,則函數(shù),2020/7/6,55,于是有,y + p(x)y + q(x)y,= 0

22、,所以 y = C1y1 + C2y2 是 y + p(x)y + q(x)y = 0 的解.,2020/7/6,56,定義設(shè)函數(shù) y1(x) 和 y2(x) 是定義在某區(qū)間 I 上的兩個函數(shù)，,k1 y1(x) + k2 y2(x) = 0,不失一般性，,考察兩個函數(shù)是否線性相關(guān)，,我們往往采用另一種簡單易行的方法，即看它們的比是否為常數(shù)，,事實上，當(dāng) y1(x) 與 y2(x) 線性相關(guān)時，有 k1 y1 + k2 y2 = 0，,其中 k1, k2 不全為 0，,如果存在兩個不全為 0 的常數(shù) k1和 k2，,使,在區(qū)間 I 上恒成立.,則稱函數(shù) y1(x) 與 y2(x) 在區(qū)間 上是

23、線性相關(guān)的，否則稱為線性無關(guān).,2020/7/6,57,即 y1 與 y2 之比為常數(shù).,反之，若y1 與 y2 之比為常數(shù)，,則 y1 = l y2，即 y1 - l y2 = 0.,所以 y1 與 y2 線性相關(guān).,因此，如果兩個函數(shù)的比是常數(shù)，則它們線性相關(guān)；,例如函數(shù) y1 = ex，y2 = e -x，,所以，它們是線性無關(guān)的.,如果不是常數(shù)，則它們線性無關(guān).,2020/7/6,58,定理 2如果函數(shù) y1 與 y2 是二階線性齊次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的兩個線性無關(guān)的特解，,y = C1 y1 + C2 y2,是該方程的通解，,證因為 y1 與 y2 是

24、方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的解，,所以，由定理 1 知 y = C1 y1 + C2 y2 也是該方程的解.,又因為 y1 與 y2 線性無關(guān)，即 y1 與 y2 之比不為常數(shù)，,故C1 與C2不能合并為一個任意常數(shù)，,因此 y = C1 y1 + C2 y2 是二階線性齊次方程的通解.,則,其中 C1, C2為任意常數(shù).,所以它們中任一個都不能用另一個 ( 形如 y1 = ky2 或 y2 = k1 y) 來表示.,2020/7/6,59,定理 3如果函數(shù) y* 是線性非齊次方程的一個特解，,y = Y + y*，,是線性非齊次方程的通解.,證因為 y*與 Y 分別是

25、線性非齊次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x),和線性齊次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的解，,所以有,y* + p(x)y* + q(x)y* = f (x)，,Y + p(x)Y + q(x)Y = 0 .,Y 是該方程所對應(yīng)的線性齊次方程的通解，,則,2020/7/6,60,又因為 y = Y + y*，,y = Y + y*，,所以,y + p(x)y + q(x)y,= (Y + y* ) + p(x)(Y + y* ) + q(x)(Y + y*),= (Y + p(x) Y + q(x)Y) + ( y* + p(x) y*+ q(x)y*

26、),= f (x).,2020/7/6,61,求二階線性非齊次方程通解的一般步驟為：,(1) 求線性齊次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的線性無關(guān)的兩個特解 y1 與 y2，,得該方程的通解 Y=C1 y1 + C2 y2.,(2) 求線性非齊次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 的一個特解 y*.,那么，線性非齊次方程的通解為 y = Y + y*.,又 Y 是二階線性齊次方程的通解，它含有兩個任意常數(shù)，,故 y = Y + y* 中含有兩個任意常數(shù).,即 y = Y + y* 是線性非齊次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 的通

27、解.,這說明函數(shù) y = Y + y* 是線性非齊次方程的解，,2020/7/6,62,y + p(x)y + q(x)y = f1 (x) + f2 (x)，,y + p(x)y + q(x)y = f1 (x)，,和,y + p(x)y + q(x)y = f2 (x),定理 4設(shè)二階線性非齊次方程為,的特解，,2020/7/6,63,證因為 y1* 與 y2* 分別是 與 的特解，,y1* + p(x)y1* + q(x)y1* = f 1(x)，,與,y2* + p(x)y2* + q(x)y2* = f 2(x) .,于是有,= f 1(x) + f 2(x) ，,所以有,= y1*

28、 + p(x)y1* + q(x)y1*,+ y2* + p(x)y2* + q(x)y2*,即 y1* + y2* 滿足方程 ，,2020/7/6,64,二、二階常系數(shù)線性微分方程的解法,如果二階線性微分方程為,y + py + qy = f(x) ，,其中 p、 q 均為常數(shù)，,則稱該方程為二階常系數(shù)線性微分方程.,2020/7/6,65,設(shè)二階常系數(shù)線性齊次方程為,y + py + qy = 0 .,考慮到左邊 p，q 均為常數(shù)，,我們可以猜想該方程具有 y = erx 形式的解，其中 r 為待定常數(shù).,將 y = rerx, y = r2erx 及 y = erx 代入上式，,erx

29、(r2 + pr + q) = 0 .,1.二階常系數(shù)線性齊次方程的解法,由于erx 0，因此，只要 r 滿足方程,r2 + pr + q = 0，,即 r 是上述一元二次方程的根時，,y = erx 就是式的解.,方程稱為方程的特征方程.,特征方程根稱為特征根.,得,2020/7/6,66,1 特征方程具有兩個不相等的實根 r1 與 r2，,2 特征方程具有兩個相等的實根，,這時，由特征根可得到常系數(shù)線性齊次方程的一個特解 y1 = erx.,還需再找一個與 y1 線性無關(guān)的特解 y2，,為此，設(shè) y2 = u(x)y1，,其中 u(x)為待定函數(shù).,將 y2 及其一階、二階導(dǎo)數(shù) y2 =

30、(uerx) = erx(u(x) + ru(x)，,y2 = erx (u(x) + 2ru(x) + r2u(x)， 代入方程 y+ py + qy = 0 中，得,因而它的通解為,所以 y1 與 y2 線性無關(guān)，,都是 的解，,即 r1 r2.,那么，這時函數(shù),即,2020/7/6,67,注意到 是特征方程的重根，,所以有 r2 + pr + q = 0,及 2r + p = 0.,且 erx 0，,因此只要 u(x) 滿足,則 y2 = uerx就是 式的解，,為簡便起見，取方程 u(x) = 0 的一個解 u = x，,于是得到方程 且與 y1 = erx 線性無關(guān)的解 y2 = x

31、erx.,因此，式的通解為,2020/7/6,68,3 特征方程具有一對共軛復(fù)根 r1 = a + ib 與 r2 = a ib .,這時有兩個線性無關(guān)的特解 y1 = e(a + ib )x 與 y2 = e(a - ib )x.,這是兩個復(fù)數(shù)解，,為了便于在實數(shù)范圍內(nèi)討論問題，,我們再找兩個線性無關(guān)的實數(shù)解.,由歐拉公式,(這公式我們將在無窮級數(shù)章中補(bǔ)證)，可得,2020/7/6,69,于是有,由定理 1 知，以上兩個函數(shù) eax cosbx 與 eax sinbx均為 式的解，,且它們線性無關(guān).,因此，這時方程的通解為,2020/7/6,70,上述求二階常系數(shù)線性齊次方程通解的方法稱為特

32、征根法，其步驟是：,(1) 寫出所給方程的特征方程；,(2) 求出特征根；,(3) 根據(jù)特征根的三種不同情況，寫出對應(yīng)的特解，并寫出其通解.,特征根,方程的通解,一對共軛復(fù)根r1,2= i,兩個不等的實根r1, r2,兩個相等的實根r1=r2=r,( 0),2020/7/6,72,例 1求方程 y - 2y - 3y = 0 的通解.,解該方程的特征方程為 r2 - 2r 3 = 0, 它有兩個不等的實根 r1 = - 1， r2 = 3,其對應(yīng)的兩個線性無關(guān)的特解為 y1 = e- x 與 y2 = e3x,所以方程的通解為,2020/7/6,73,例 2求方程 y - 4y + 4y =

33、0 的滿足初始條件 y(0) = 1， y(0) = 4 的特解.,解該方程的特征方程為 r2 - 4r + 4 = 0，,求得,將 y(0) = 1，y(0) = 4 代入上兩式，得 C1 = 1，C2 = 2，,y = (1 + 2x)e2x.,其對應(yīng)的兩個線性無關(guān)的特解為 y1 = e2x 與 y2 = xe2x，,所以通解為,因此，所求特解為,它有重根 r = 2.,2020/7/6,74,例 3求方程 2y + 2y + 3y = 0 的通解.,解該方程的特征方程為 2r2 + 2r + 3 = 0，它有共軛復(fù)根,對應(yīng)的兩個線性無關(guān)的解為,所以方程的通解為,2020/7/6,75,例

34、 4求方程 y + 4y = 0 的通解.,解該方程的特征方程為 r2 + 4 = 0，它有共軛復(fù)根 r1,2 = 2i. 即a = 0，b = 2.,對應(yīng)的兩個線性無關(guān)的解 y1 = cos 2x.,y2 = sin 2x.,所以方程的通解為,2020/7/6,76,2.二階常系數(shù)線性非齊次方程的解法,1 自由項 f (x) 為多項式 Pn(x).,設(shè)二階常系數(shù)線性非齊次方程為,y + py + qy = Pn(x),其中 Pn(x) 為 x 的 n 次多項式.,當(dāng)原方程 中 y 項的系數(shù) q 0 時， k 取 0；,當(dāng) q = 0，但 p 0 時，,k 取 1；,當(dāng) p = 0， q =

35、0 時，k 取 2.,因為方程中 p、q 均為常數(shù)且多項式的導(dǎo)數(shù)仍為多項式，,所以可設(shè) 式的特解為,其中 Qn(x) 與 Pn(x) 是同次多項式，,2020/7/6,77,例 5求方程 y - 2y + y = x2 的一個特解.,解因為自由項 f (x) = x2 是 x 的二次多項式，,則,代入原方程后，有,且 y 的系數(shù) q = 1 0，取 k = 0 .,所以設(shè)特解為,2020/7/6,78,比較兩端 x 同次冪的系數(shù)，有,解得,A = 1，B = 4，C = 6.,故所求特解為,2020/7/6,79,例 6求方程 y + y = x3 x + 1 的一個特解.,解因為自由項 f

36、(x) = x3 x + 1 是一個 x 的三次多項式，,則,代入原方程后，有,且 y 的系數(shù) q = 0， p = 1 0，取 k = 1.,所以設(shè)方程的特解為,2020/7/6,80,比較兩端 x 同次冪的系數(shù)：,解得,故所求特解為,2020/7/6,81,2 自由項 f (x) 為 Aeax 型,設(shè)二階常系數(shù)線性非齊次方程為,y + py + qy = Aeax，,其中 a，A 均為常數(shù).,由于 p，q 為常數(shù)，且指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為指數(shù)函數(shù)，,其中 B 為待定常數(shù)，,當(dāng) a 不是 式所對應(yīng)的線性齊次方程的特征方程 r2 + pr + q = 0 的根時，取 k = 0；,當(dāng) a 是其特征

37、方程單根時，取 k = 1；,當(dāng) 是其特征方程重根時，取 k = 2.,因此，我們可以設(shè) 的特解,2020/7/6,82,例 7求方程 y + y + y = 2e2x 的通解.,解a = 2 它不是特征方程 r2 + r + 1 = 0 的根，取 k = 0，,則,代入方程，得,故原方程的特解為,所以，設(shè)特解為,2020/7/6,83,例 8求方程 y + 2y - 3y = ex 的特解.,解a = 1 是特征方程 r2 + 2r - 3 = 0 的單根，取 k = 1，,則,代入方程，得,故原方程的特解為,所以，設(shè)特解為,2020/7/6,84,3 自由項 f (x) 為 eax (Ac

38、os wx + Bsin wx)型,設(shè)二階常系數(shù)線性非齊次方程為,y + py + qy = eax (Acos wx + Bsin wx)，,其中 a，A ，B 均為常數(shù).,由于 p，q 為常數(shù)，且指數(shù)函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)仍為指數(shù)函數(shù)，,正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也總是余弦函數(shù)與正弦函數(shù)，,因此, 我們可以設(shè) 有特解,其中 C，D 為待定常數(shù).,取 k = 0，,是根時，,取 k = 1，,代入 式，求得 C 及 D.,當(dāng) a + wi 不是 式所對應(yīng)的齊次方程的特征方程的根時，,2020/7/6,85,例 9求方程 y + 3y - y = ex cos 2x 的一個特解.,解自由項 f (x)

39、= ex cos 2x 為 eax(Acoswx + Bsinwx) 型的函數(shù)，,則,且 a + wi = 1 + 2i，它不是對應(yīng)的常系數(shù)線性齊次方程的特征方程 r2 + 3r 1 = 0 的根，,取 k = 0，所以設(shè)特解為,2020/7/6,86,代入原方程，得,比較兩端 cos 2x 與 sin 2x 的系數(shù)，得,解此方程組，得,故所求特解為,2020/7/6,87,例 10求方程 y + y = sin x 的一個特解.,解自由項 f (x) = sin x 為 eax(Acoswx + Bsinwx) 型的函數(shù)，且 a = 0，w = 1，,則,代入原方程，得,且 a + wi = i 是特征方程 r2 + 1 = 0 的根，,取 k = 1，所以，設(shè)特解