隨機波動率課件

1、隨機波動率與股票價格,主要內(nèi)容,波動性的理論概述 涉及波動模型的基本概念 常見波動模型 隨機波動模型 隨機波動模型的估計,2,學習交流PPT,波動性的概念,波動性：指價格非預期變化趨勢，或者收益的不確定性或不可預測性 最早是以收益率的方差或標準差來粗略的度量波動性和金融資產(chǎn)總體風險，但是波動性一些復雜的、與時間序列相關(guān)的特征無法簡單地使用方差或標準差來測度。,3,學習交流PPT,波動性的特征,（1）尖峰厚尾：即資產(chǎn)收益有著比正態(tài)分布更高的峰和更厚的尾。 對于這種現(xiàn)象，有不同的解釋：厚尾最通常的解釋是信息的不頻繁到來。信息是偶爾成堆的方式出現(xiàn)，而不是以平滑連續(xù)的方式出現(xiàn)的，只要信息來到，它是會被

2、消化并馬上反應在價格里，市場對于成堆信息的反應導致了厚的尾部。,4,學習交流PPT,波動性的特征,另一種解釋是如果投資者在趨勢十分明顯前忽略了信息，然后以累積的方式對所有以前被忽略的信息作出反應，就會得到厚尾。 因此，許多文獻提出把資產(chǎn)收益作為厚尾分布抽取的獨立同分布序列建模。假定誤差項服從t分布或廣義誤差分布等非正態(tài)的厚尾分布，以較好刻畫尖峰厚尾的特征。,5,學習交流PPT,波動性的特征,（2）波動聚集性：指高波動與低波動時期的聚集性。與厚尾性緊密相關(guān)，后者是一種靜態(tài)解釋。 波動聚集性的原因：一種解釋是自相關(guān)的信息過程產(chǎn)生的，即信息傳導觀。 另一種解釋是Stock（1988）提出的時間扭曲觀

3、，這種觀點認為是因為經(jīng)濟事件的發(fā)生時間與日歷時間不一致。,6,學習交流PPT,波動性的特征,（3）波動非對稱性：不同種類的信息對股價波動的影響不對稱，下跌引起的波動比上升引起的波動大 一種解釋是杠桿效應：指股價運動與波動呈現(xiàn)出負相關(guān)的關(guān)系。即下降的股價將提高資產(chǎn)負債比（財務杠桿），因此提高了公司的風險，從而導致未來波動的上升。 另一種解釋是反饋效應：當前波動與未來收益正相關(guān)。,7,學習交流PPT,波動性的特征,（4）信息到達：收益率波動的分布是由影響價格變化的信息流決定的。 影響波動性的信息流主要有：交易量；報價的到達；一些可預測的事件，（如紅利分派公告、宏觀經(jīng)濟數(shù)據(jù)的披露等；）閉市，以及其他

4、的與信息到達相聯(lián)系的許多現(xiàn)象。,8,學習交流PPT,波動性的特征,（5）長記憶性與持續(xù)性： 這是指收益率序列的絕對值或冪的自相關(guān)呈現(xiàn)十分緩慢的衰減，相距較遠的時間間隔仍然具有顯著的自相關(guān)性，表現(xiàn)為歷史事件會長期影響著未來。 也就是說，當前的信息和波動會對未來的波動產(chǎn)生長期和持續(xù)的影響。,9,學習交流PPT,波動性的特征,（6）波動傳導性（波動溢出現(xiàn)象）：不同金融市場的波動之間可能存在相互影響，波動會從一個市場傳遞到另一個市場，一種金融產(chǎn)品到另外一種金融產(chǎn)品。例如，期貨市場的交易將會加劇現(xiàn)貨市場的波動，同樣現(xiàn)貨市場對期貨市場存在波動傳導。,10,學習交流PPT,波動性的特征,（7）隱含波動率的相

5、關(guān)性 在衍生品的隱含波動率測定中，常常是根據(jù)同一標的資產(chǎn)、不同的執(zhí)行價格、不同的到期日得到不同的隱含波動率，再加權(quán)獲得一個復合隱含波動率，權(quán)數(shù)是依據(jù)期權(quán)價值的交易量形成的。,11,學習交流PPT,波動性的特征,（8）微笑現(xiàn)象：隱含波動率在不同執(zhí)行價時產(chǎn)生的U型模式。 即平價期權(quán)的隱含波動率最低，實值和虛值期權(quán)的隱含波動率較高。 主要原因：期權(quán)市場溢價和交易成本,12,學習交流PPT,波動性的特征,13,學習交流PPT,波動性的類型,歷史波動率：是使用歷史的股價數(shù)據(jù)計算得到的波動率數(shù)值。 隱含波動率：是基于模型的，通常從一個特定模型的定價公式計算得到，（如B-S模型） 現(xiàn)實波動率：又稱高頻數(shù)據(jù)波

6、動率，是指由于信息技術(shù)手段的提高，可獲得金融市場一天內(nèi)的交易數(shù)據(jù)，如5 min、10 min而呈現(xiàn)出的波動。,14,學習交流PPT,布朗運動,布朗運動也稱維納過程，是一個隨機過程。定義： 若一個隨機過程X(t),t=0滿足： (1)X(t)是獨立增量過程； (2)任意s,t0,X(s+t)-X(s)N(0,c2*t)，即X(s+t)-X(s)是期望為0，方差為c2*t的正態(tài)分布； (3) X(t)關(guān)于t是連續(xù)函數(shù),15,學習交流PPT,布朗運動,特點： （1）它是一個Markov過程。因此該過程的當前值就是做出其未來預測中所需的全部信息。 （2）布朗運動具有獨立增量。該過程在任一時間區(qū)間上變化

7、的概率分布獨立于其在任一的其他時間區(qū)間上變化的概率。 （3）它在任何有限時間上的變化服從正態(tài)分布，其方差隨時間區(qū)間的長度呈線性增加。,16,學習交流PPT,標準布朗運動,設(shè) 代表一個小的時間間隔長度， 代表變量z在時間 內(nèi)的變化，遵循標準布朗運動的 具有兩種特征： 特征1： 和 的關(guān)系滿足（1）： 其中， 代表從標準正態(tài)分布（即均值為0、標準差為1的正態(tài)分布）中取的一個隨機值。,17,學習交流PPT,特征2：對于任何兩個不同時間間隔 ， 的值相互獨立。 考察變量z在一段較長時間T中的變化情形，我們可得： 當 時，我們就可以得到極限的標準布朗運動：,18,學習交流PPT,普通布朗運動,我們先引入

8、兩個概念：漂移率和方差率。 標準布朗運動的漂移率為0，方差率為1。 我們令漂移率的期望值為a,方差率的期望值為b2，就可得到變量x的普通布朗運動 其中，a和b均為常數(shù)，dz遵循標準布朗運動。,19,學習交流PPT,Markov過程,Markov過程是一種重要的隨機過程，它有如下性質(zhì)： 當隨機過程在時刻ti所處的狀態(tài)已知時，過程在時刻t(tti)所處的狀態(tài)僅與過程在ti時刻的狀態(tài)有關(guān)，而與過程在ti時刻以前所處的狀態(tài)無關(guān)。此特性稱為隨機過程的無后效性或馬爾可夫性。 P將來|現(xiàn)在、過去=P將來|現(xiàn)在,20,學習交流PPT,伊藤過程,普通布朗運動假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當

9、作變量x和時間t的函數(shù)，我們可以從前面公式得到伊藤過程（Ito Process）： 其中，dz是一個標準布朗運動，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。,21,學習交流PPT,資產(chǎn)價格動態(tài)過程,證券價格的變化過程可以用漂移率為S、方差率為 的伊藤過程來表示： 兩邊同除以S得： 為證券在單位時間內(nèi)以連續(xù)復利表示的期望收益率， 證券收益率單位時間的方差。上式又被稱為幾何布朗運動。,22,學習交流PPT,瞬時波動率,23,學習交流PPT,Black-Scholes期權(quán)定價模型,假設(shè)： 沒有交易成本、稅收和賣空限制，不存在無風險套利機會； 標的資產(chǎn)在期權(quán)到期時間之前不支付股息和紅

10、利； 市場交易是連續(xù)的，價格波動也是連續(xù)的； 無風險利率 r 為常數(shù)，且對所有的到期日都相等。,24,學習交流PPT,Black-Scholes期權(quán)定價模型,25,學習交流PPT,Black-Scholes期權(quán)定價模型,26,學習交流PPT,隨機波動期權(quán)定價模型,由于B-S模型的一些假設(shè)在實際中并不成立，特別是假設(shè)波動為常數(shù)，因此Hull和White提出了隨機波動下的期權(quán)定價公式，該模型假設(shè)：,27,學習交流PPT,隨機波動期權(quán)定價模型,Hull和White期權(quán)定價公式,28,學習交流PPT,隱含瞬時波動率,如果假定期權(quán)價格服從Hull-White公式，就會產(chǎn)生兩類隱含波動：瞬時隱含波動和平均

11、隱含波動。 假設(shè)風險中性概率分布屬于一個參數(shù)族，產(chǎn)生一個函數(shù)表達式：,29,學習交流PPT,期權(quán)隱含波動模型,期權(quán)隱含波動模型首先由Latane和Rendlema在1976年提出。其基本原理是根據(jù)B-S期權(quán)定價公式從期權(quán)價格倒推出市場波動性。 由于期權(quán)價格反映的是市場未來的波動性， 因此應用該模型可以預測波動。,30,學習交流PPT,Black-Scholes隱含波動率,31,學習交流PPT,平均隱含波動率,32,學習交流PPT,隨機自回歸波動率,33,學習交流PPT,隨機自回歸波動率,34,學習交流PPT,隨機波動模型,離散時間SV模型 連續(xù)時間SV模型 有間斷跳躍的連續(xù)SV模型 厚尾和杠桿

12、SV模型 含有外生因素的SV模型 含有前期觀測影響的SV模型 考慮預期收益的SV模型 長記憶SV模型 非線性SV模型 變截距SV模型,35,學習交流PPT,離散SV模型,36,學習交流PPT,離散SV模型,37,學習交流PPT,連續(xù)時間SV模型,38,學習交流PPT,有間斷跳躍的連續(xù)SV模型,39,學習交流PPT,有間斷跳躍的連續(xù)SV模型,40,學習交流PPT,厚尾SV模型,41,學習交流PPT,厚尾SV模型,42,學習交流PPT,杠桿SV模型,在基本SV模型中，收益方程的擾動項 和波動方差擾動項 是不相關(guān)的，但Black(1976)發(fā)現(xiàn)了“杠桿效應”， 對此，提出了非對稱SV模型，簡稱A-S

13、V模型。,43,學習交流PPT,杠桿SV模型,44,學習交流PPT,含有外生因素的SV模型,45,學習交流PPT,含有前期觀測影響的SV模型,46,學習交流PPT,考慮預期收益的SV模型,47,學習交流PPT,長記憶SV模型,48,學習交流PPT,Box-Cox-SV模型,49,學習交流PPT,Box-Cox-SV模型,50,學習交流PPT,變截距SV模型,51,學習交流PPT,SV模型與GARCH模型比較,52,學習交流PPT,SV模型與GARCH模型比較,53,學習交流PPT,SV模型的參數(shù)估計方法,偽極大似然方法 馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法 （MCMC方法、Gibbs、M-H） 非線性濾波極大似然方法 廣義矩方法 模擬極大似然方法 經(jīng)驗特征函數(shù)方法,54,學習交流PPT,偽極大似然方法,55,學習交流PPT,偽極大似然方法,56,學習交流PPT,馬爾可夫鏈,57,學習交流PPT,馬爾可夫鏈,58,學習交流PPT,靜態(tài)蒙特卡羅方法,59,學習交流PPT,靜態(tài)蒙特卡羅方法,60,學習交流PPT,馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法,MCMC方法基本原理,61,學習交流PPT,馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法,