向量組的線性組合

1、1、定義：由幾個(gè)同次元的列向量(行向量)組成的集合稱(chēng)為、包含有限個(gè)向量的規(guī)則向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng)，有限向量組、第三節(jié)向量組的線性組合、(1)、向量組的線性組合、1。 在向量組：r(a) n時(shí)，由一次線性方程組ax=0的整體解構(gòu)成的向量組包括無(wú)限多個(gè)向量、(1)、向量組的線性組合、1。 矢量組：2。 向量組的線性組合和線性表示，對(duì)于定義1向量組a1，a2，am，有組數(shù)k1，k2，km，設(shè)bk1a1k2a2 kmam，則向量b是向量組a1，a2， am的線性組合，定義：由幾個(gè)同維的列向量(行向量)組成的集合稱(chēng)為向量組，示例1設(shè)a1=(1，0，0 )、a2=(0，1，0 )、a3=(0，0，)，并且

2、b=2a1-a2 a3，=2(1，0，0 )-(0，1，0 ) 的雙曲馀弦值。 下一頁(yè)，注意： (1)向量組a1、a2、a3的線性組合無(wú)限有多個(gè)，(2)一個(gè)向量b能夠進(jìn)行向量組a1、a2、a3的線性表示。 也有可能無(wú)法進(jìn)行矢量組a1、a2、a3的線性表示。 例2所有的n維向量a=(a1，a2，an) t都是n維向量群e1=(1，0，0 ) t，e2=(0，1，0 ) t因?yàn)檫@是a=a1e1 a2e2 an en。矢量組e1，e2，en稱(chēng)為n維單位矢量組或n維基本矢量組，下一頁(yè)，定義1是對(duì)于矢量組a1，a2，am，如果有組數(shù)k1，k2，km，則為bk1a1k2a2 kmam，結(jié)論：任何n an

3、)也可以是n維單位矢量組或n維基本向量組的線性表示，5，例如，如果設(shè)定，則可以是線性組合的系數(shù)，e1，對(duì)于下一頁(yè)，定義1向量組a1，a2，am，可以是組數(shù)k1，k2， 設(shè)有km，設(shè)為bk1a1k2a2 kmam，則向量b是向量組a1，a2， am的線性組合，或者稱(chēng)為b的比例4向量組a1，a2， am中的任何一個(gè)都是該向量組的線性組合。 注意： k1、k2、 km沒(méi)有限制。 特別地，k1、k2、km不是全部為零。 這是因?yàn)閛=0a1 0a2 0 am，這是因?yàn)閍i=0a1 1ai 0 am。 另外，能夠用n維列向量組a1，a2，am線性表示定理n維列向量b的一盞茶要件是：在把x1，x2，xm設(shè)為

4、未知量的線性方程組x1a1 x2a2 xm am b中存在解。 討論：上述線性方程在什么情況下有所了解？ 示意：線性方程組x1a1 x2a2 xm am b具有解所需的條件是系數(shù)矩陣和擴(kuò)展矩陣具有相同秩，即矩陣(a1 a2 am )和矩陣(a1 a2 am b )具有相同秩。 下一頁(yè)，第三頁(yè)。 b是能夠由a1，a2， am線性表示的判定方法：x1a1 x2a2 xm am b，定理n維列向量b是能夠由n維列向量組a1，a2，am線性表示的一盞茶要求是設(shè)x1，x2，xm為未知量的線性方程x1a。 b可以由a1，a2， am的線性表示的判定方法： (1) n維列向量b可以由n維列向量組a1，a2，

5、 am的線性表示，(a1 a2 am)=秩(a1 a2 am b )，(1) n維列向量b可以由n維列向量組a1，a2， am的(2) n維行向量b可以由n維行向量組a1，a2，am線性表示，秩=秩，示例5確定向量b是否為向量組a1，如果適用，則導(dǎo)出表達(dá)式。 解：可以通過(guò)使之為x1a1x2a2 xab獲得線性方程，能夠解此線性方程，能夠擴(kuò)展矩陣(a1a2ab )，由于對(duì)線性方程有解，所以b能夠用a1、a2、a線性表示，解是x-1，x-2的11) t分別是向量機(jī)如果適用，導(dǎo)出公式。 解： (1)考慮線性方程組x1a1x2a2 b1。 因?yàn)?a1 a2 b1)=、等級(jí)(a1 a2 b1)=等級(jí)(a

6、1 a2)，所以b1可以用a1、a2線性表示。 因?yàn)榫€性方程組的解是x12、x21，所以設(shè)為2a1a2 b。 下一頁(yè)，例6是向量b1=(4，3，- 1，11 ) t和a2=(2，3，0，11 ) t分別以向量組a2=(2，2，-1)來(lái)判斷有木有。 如果適用，導(dǎo)出公式。 解： (2)考慮線性方程組x1a1x2a2 b2。 因?yàn)?a1 a2 b2)=、等級(jí)(a1 a2 b2)等級(jí)(a1 a2)，所以b2不能用a1、a2線性表示。 設(shè)下一頁(yè)，例如向量a1=(1，2，3 )、a2=(0，1，4 )、a3=(2，3，6 ) b=(-1，1 )，解：考慮線性方程組x1a1tx2a2t x3a3t bt。

7、因?yàn)?a1t a2ta3t bt )、秩(a1t a2ta3t bt)=秩(a1t a2ta3t )，所以b可以用a1、a2、a3線性表示。 由于線性方程群的解是x11、x22、x3-1，所以ba12 a2- a3、15，例如證明向量b能夠用向量群a1、a2、a 3進(jìn)行線性表示定，求出式，解：向量b是a1， 由于這種方式，因?yàn)閷?duì)應(yīng)于最簡(jiǎn)單的行矩陣16的方程組是透明的，所以包括有限數(shù)量的規(guī)則向量組是與矩陣一一對(duì)應(yīng)的b=(3c2) a1(2c1) a2ca 3，17 定義：設(shè)置了向量組a:a1，a2，am以及b:b1，b2， bl，如果能夠用向量組a線性表示向量組b中的各向量，則向量組b對(duì)于向量組

8、的等效性，示例1向量組a1=(1，2 ) t，a2=(1，1 ) t，a3=(2，3 ) t是基本向量組e1=(1，0 ) t，e1關(guān)云同步字，并且向量組e1=(1，0 ) t=-a1t2a2t，e2=(0，1 ) t=a 1 由于可以用a2、線性表示，所以向量組a1、a2與向量組e1、e2等價(jià)，20、向量組a:a1，a2， am和b:b1，b2， 設(shè)置有bl，如果向量組b能夠在向量組a中線性表示，則向量組b能夠進(jìn)行向量組a的線性表示，即，相對(duì)于b1，實(shí)數(shù)k11、k21、km1的組以成為b1=k11a1 k21 a2 km1 am的方式相對(duì)于b2，存在一組實(shí)數(shù)k12、k22、km2，b2=k1

9、2a1 k22 a2 km2 am。 相對(duì)于bl，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)k1l、k2l、 kml的關(guān)定徑套字，所以bl=k1l a1 k2l a2 kml am， 如果22、cmn=aml bln，則cmn=aml bln，即、結(jié)論：矩陣c的行向量群可以用矩陣b的行向量群線性地表示，a是用此線性表示的系數(shù)矩陣，24、口訣：左行右列，定理： a是1mm的結(jié)論： c=ab， 矩陣c的行向量群可以用矩陣b的行向量群線性表示，a是該線性表示的系數(shù)矩陣(a是左)的矩陣c的列向量群可以用矩陣a的列向量群線性表示，b是該線性表示的系數(shù)矩陣(b是右)，25，a經(jīng)過(guò)有限次初等列變換后在b中有有限個(gè)初等矩陣p1，p2， 存在pl，ap=b矩陣b的列向量群與矩陣a的列向量群變得等價(jià)于ap1 p2， 在pl=b中存在m階可逆矩陣p的矩陣b的行向量群與矩陣a的行向量群等價(jià)，可以同樣地得到：口訣：左行右列、p為線性表示的系數(shù)矩陣、26、向量群b:b1、b2、bl為向量群a:a1、a2、am b) (p.84定理2 ) r (b )。 b )向量組a和b的等價(jià)向量組b能夠在向量組a中線性表示，向量組a能夠在向量組b中線性表示，將證明有r(a)=r(a，b )、r(b) r(a，b )的n次單位矩陣的列向量作為n維單位坐標(biāo)向量設(shè)am )，n維單位坐標(biāo)向量群在矩陣a的列向量群中能夠線性表示的一盞茶要件為r(a)=