數(shù)字低通濾波器設(shè)計(jì)

1、學(xué) 士 學(xué) 位 論 文題 目 II數(shù)字低通濾波器的設(shè)計(jì)學(xué) 生 王慶吉指導(dǎo)教師 韓賢東 副教授年 級(jí) 2006級(jí)專(zhuān) 業(yè) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系 別 信息工程系學(xué) 院 計(jì)算機(jī)科學(xué)與信息工程哈爾濱師范大學(xué)2010年5月摘 要摘 要：本論文首先介紹了濾波器的濾波原理以及模擬濾波器、數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法。重點(diǎn)介紹了IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法。即脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。在此基礎(chǔ)上，用DSP虛擬實(shí)現(xiàn)任意階IIR數(shù)字濾波器。此設(shè)計(jì)擴(kuò)展性好，便于調(diào)節(jié)濾波器的性能，可以根據(jù)不同的要求在DSP上加以實(shí)現(xiàn)。關(guān)鍵字： DSP 濾波、IIR數(shù)字低通濾波器目 錄摘 要2目 錄2第1章 濾波器簡(jiǎn)介31.1 濾波器的工作原理

2、41.1.1 模擬濾波器的工作原理41.1.2 數(shù)字濾波器的工作原理61.2 濾波器的基本特性71.2.1 模擬濾波器與數(shù)字濾波器的基本特性71.2.2 無(wú)限沖擊響應(yīng)IIR和有限沖擊響應(yīng)FIR濾波器91.3 濾波器的主要技術(shù)指標(biāo)10第2章 模擬濾波器的設(shè)計(jì)112.1 模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法122.2 模擬原型濾波器及最小階數(shù)的選擇142.2.1 巴特沃斯濾波器及最小階數(shù)的選擇142.2.2低通原型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)202.2.3 橢圓濾波器及最小階數(shù)的選擇212.2.4貝塞爾濾波器22第3章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)233.1 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法233.2 IIR濾波器經(jīng)典設(shè)計(jì)243.3 I

3、IR濾波器直接設(shè)計(jì)33第4章 DSP仿真系統(tǒng)344.1 對(duì)低通模擬和數(shù)字濾波器的仿真344.1.1 模擬低通濾波器的仿真344.2.2 數(shù)字低通濾波器的仿真364.4.1 模擬帶通濾波器的仿真394.4.2 數(shù)字帶通濾波器的設(shè)計(jì)404.5 對(duì)帶阻模擬和數(shù)字濾波器的仿真424.5.1 模擬帶阻濾波器的設(shè)計(jì)424.5.2 數(shù)字帶阻濾波器的仿真43第5章 總結(jié)與展望475.1 總 結(jié)475.2 展 望47參考文獻(xiàn)49第1章 濾波器簡(jiǎn)介從廣義上講，任何對(duì)某些頻率（相對(duì)于其他頻率來(lái)說(shuō)）進(jìn)行修正的系統(tǒng)稱(chēng)為濾波器。嚴(yán)格地講，對(duì)輸入信號(hào)通過(guò)一定的處理得到輸出信號(hào)，這個(gè)處理通常是提取信號(hào)中某頻率范圍內(nèi)的信號(hào)成分

4、，把這種處理的過(guò)程稱(chēng)為濾波。實(shí)現(xiàn)濾波處理的運(yùn)算電路或設(shè)備稱(chēng)為濾波器。在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，廣泛應(yīng)用線性濾波和頻譜分析對(duì)信號(hào)進(jìn)行加工處理，模擬濾波是處理連續(xù)信號(hào)，數(shù)字濾波則是處理離散信號(hào)，而后者是在前者的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。我們知道，無(wú)源或有源模擬濾波器是分立元件構(gòu)成的線性網(wǎng)絡(luò)，他們的性能可以用線性微分方程來(lái)描述，而數(shù)字濾波器是個(gè)離散線性系統(tǒng)，要用差分方程來(lái)描述，并以離散變換方法來(lái)分析。這些方程組可以用專(zhuān)用的或通用的數(shù)字計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)字運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)。因此，數(shù)字濾波器的濾波過(guò)程是一個(gè)計(jì)算過(guò)程，它將輸入信號(hào)的序列數(shù)字按照預(yù)定的要求轉(zhuǎn)換成輸出數(shù)列。1.1 濾波器的工作原理1.1.1 模擬濾波器的工作原理我們

5、知道，模擬濾波器是對(duì)模擬信號(hào)實(shí)行線性濾波的一種線性時(shí)不變系統(tǒng)，如圖1.1所示。在時(shí)域內(nèi)，它的動(dòng)態(tài)特性可以用系統(tǒng)的單位沖激函數(shù)的響應(yīng)來(lái)描述，也就是該濾波系統(tǒng)在任何時(shí)刻對(duì)輸入單位沖激信號(hào)=（t）的輸出響應(yīng)。這個(gè)函數(shù)從時(shí)域上反映了該濾波系統(tǒng)的傳輸特性。對(duì)于任意輸入信號(hào)，系統(tǒng)的輸出可以卷積表示： = (1.1)上式表明在對(duì)線性濾波器系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)域分析時(shí)，采用了疊加原理，先將任意輸入信號(hào)波形分成不同時(shí)間的窄脈沖之和，再分別求出各個(gè)脈沖通過(guò)濾波器之后的響應(yīng)，并進(jìn)行線性疊加從而得到總的輸出信號(hào)。模擬濾波器,H(s)圖1.1模擬濾波器原理在頻域分析時(shí)，線性濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)等于系統(tǒng)的單位沖激函數(shù)的響應(yīng)的拉普拉斯變

6、換： （1.2）很明顯，當(dāng)s=j，上式就是傅立葉變換的表達(dá)式，它反映了濾波器的傳輸特性對(duì)各種頻率的響應(yīng)，也就是濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)，它決定著濾波特性。當(dāng)濾波器輸入信號(hào)與輸出信號(hào)的拉普拉斯變換，得 （1.3）這表明兩信號(hào)卷積的變換等于各自變換的乘積。在頻譜關(guān)系上，一個(gè)輸入信號(hào)的頻譜，經(jīng)過(guò)濾波器的作用后，被變換成的頻譜。因此，根據(jù)不同的濾波要求來(lái)選定，就可以得到不同類(lèi)型的模擬濾波器。還可以看出，濾波器的濾波過(guò)程就是完成信號(hào)與它的單位沖激函數(shù)響應(yīng)之間的數(shù)學(xué)卷積運(yùn)算過(guò)程。1.1.2 數(shù)字濾波器的工作原理在數(shù)字濾波中，我們主要討論離散時(shí)間序列。如圖1.2所示。設(shè)輸入序列為，離散或數(shù)字濾波器對(duì)單位抽樣序列

7、的響應(yīng)為。因在時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)中所起的作用相當(dāng)于單位沖激函數(shù)在時(shí)域連續(xù)信號(hào)和系統(tǒng)中所起的作用。數(shù)字濾波器,H(z)圖1.2 數(shù)字濾波器原理數(shù)字濾波器的序列將是這兩個(gè)序列的離散卷積，即 （1.4） 同樣，兩個(gè)序列卷積的z變換等于個(gè)自z變換的乘積，即 （1.5）用代入上式，其中T為抽樣周期，則得到 （1.6）式中和 分別為數(shù)字濾波器輸入序列和輸出序列的頻譜，而為單位抽樣序列響應(yīng)的頻譜。由此可見(jiàn)，輸入序列的頻譜經(jīng)過(guò)濾波后，變?yōu)?，按照的特點(diǎn)和我們處理信號(hào)的目的，選取適當(dāng)?shù)氖沟臑V波后的符合我們的要求。1.2 濾波器的基本特性1.2.1 模擬濾波器與數(shù)字濾波器的基本特性如利用模擬電路直接對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行

8、處理則構(gòu)成模擬濾波器，它是一個(gè)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。如果利用離散時(shí)間系統(tǒng)對(duì)數(shù)字信號(hào)（時(shí)間離散、幅度量化的信號(hào)）進(jìn)行濾波則構(gòu)成數(shù)字濾波器。數(shù)字濾波器的差分方程表示為： 系統(tǒng)函數(shù)表示:數(shù)字濾波器的特性通常用其頻率響應(yīng)函數(shù)來(lái)描述，包括幅度特性和相位特性。按信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)時(shí)的特性（主要是幅頻特性）來(lái)分類(lèi)：可以有低通、高通、帶通和帶阻四種基本類(lèi)型。（1） 低通數(shù)字濾波器：圖1.3所示|H(ej)|c-c-22-fs/2-fsfs/2fs-fcfcf圖1.3 低通數(shù)字濾波器的頻譜（2） 高通數(shù)字濾波器：圖1.4所示|H(ej)|c-c-22圖1.4 高通數(shù)字濾波器的頻譜（3） 帶通數(shù)字濾波器：圖1.5所示|H(ej

9、)|2-2-221-1圖1.5 帶通數(shù)字濾波器的頻譜（4）帶阻數(shù)字濾波器：圖1.6所示1|H(ej)|2-2-22-1 圖1.6 帶阻數(shù)字濾波器的頻譜 其他較復(fù)雜的特性可以由基本濾波器組合。1.2.2 無(wú)限沖擊響應(yīng)IIR和有限沖擊響應(yīng)FIR濾波器按系統(tǒng)沖擊響應(yīng)（或差分方程）可以分成無(wú)限沖擊響應(yīng) IIR和有限沖擊響應(yīng)FIR濾波器兩類(lèi)。這兩種濾波器都可以現(xiàn)實(shí)各種頻率特性要求，但它們?cè)谟?jì)算流程、具體特性逼近等方面是有差別的。(1) FIR濾波器(非遞歸型):(2) IIR濾波器（遞歸型） 還有一些其他的分類(lèi)方法，例如在特定場(chǎng)合使用的濾波器。1.3 濾波器的主要技術(shù)指標(biāo)濾波器的主要技術(shù)指標(biāo)取決于具體的

10、應(yīng)用或相互間的相互關(guān)系。具體的有最大通帶增益（即通帶允許起伏）；最大阻帶增益；通帶截止頻率；阻帶截止頻率。如圖1.7所示dB0dBdB圖1.7 濾波器的主要技術(shù)指標(biāo)第2章 模擬濾波器的設(shè)計(jì)模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已經(jīng)發(fā)展的相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯（Butterworth濾波器.切比雪夫（Chebyshev）濾波器等。這些工作的理論分析和設(shè)計(jì)方法在20世紀(jì)30年代就完成，然而煩瑣.冗長(zhǎng)的數(shù)字計(jì)算使它難以付諸實(shí)用。直到50年代，由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的逐步成熟，求出大量設(shè)計(jì)參數(shù)和圖表，這種方法才得到廣泛應(yīng)用。這些典型的濾波器各有特點(diǎn)：巴特沃斯濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性；

11、切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性在通帶或者阻帶有波動(dòng)發(fā)，可以提高選擇性。這樣根據(jù)具體要求可以選擇不同類(lèi)型的濾波器。模擬濾波器按幅度特征可以分成低通、高通、帶通和帶阻濾波器。它們的理想幅度特性如圖2.1所示，但我們?cè)O(shè)計(jì)濾波器時(shí)，總是先設(shè)計(jì)低通濾波器，再通過(guò)頻率變換將低通濾波器轉(zhuǎn)換成希望類(lèi)型的濾波器帶通帶阻圖2.1 模擬濾波器理想幅度特性低通高通2.1 模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法利用頻率變換設(shè)計(jì)模擬濾波器的步驟為：（1）給定模擬濾波器的性能指標(biāo)，如截止頻率或上、下邊界頻率等。（2）確定濾波器階數(shù)（3）設(shè)計(jì)模擬低通原型濾波器。（4）按頻率變換設(shè)計(jì)模擬濾波器（低通、高通、帶通、帶阻）。模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)有，和

12、，其中和分別稱(chēng)為通帶截止頻率和阻帶截止頻率。 是通帶（=0）中的最大衰減系數(shù)，是阻帶的最小衰減系數(shù)，和一般用dB表示。對(duì)于單調(diào)下降的幅度特性，可表示成： （2.1） （2.2）如果=0處幅度已歸一化為一，即，和表示為 （2.3） （2.4）以上技術(shù)指標(biāo)用圖2.2表示，圖中稱(chēng)為3dB 截止頻率，因,-20 10.7070圖2.2 低通濾波器的幅度特性濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定以后，需要設(shè)計(jì)一個(gè)傳輸函數(shù)，希望其幅度平方函數(shù)滿(mǎn)足給定的指標(biāo)和，一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實(shí)數(shù)，因此 = (2.5)如果能由，求出，那么就可以求出所需的，對(duì)于上面介紹的典型濾波器，其幅度平方函數(shù)有自己的表達(dá)式，可以直接引用。這里要

13、說(shuō)明的是必須是穩(wěn)定的。因此極點(diǎn)必須落在s平面的左半平面，相應(yīng)的的極點(diǎn)落在右半平面。2.2 模擬原型濾波器及最小階數(shù)的選擇2.2.1 巴特沃斯濾波器及最小階數(shù)的選擇巴特沃斯濾波器是最基本的逼近方法形式之一。它的幅頻特性模平方為 (2.6)式中N是濾波器的階數(shù)。當(dāng)=0時(shí)，；當(dāng)=時(shí)，是3dB截止頻率。不同階數(shù)N的巴特沃斯濾波器特性如圖2.3所示，這一幅頻特性具有下列特點(diǎn)：（1）最大平坦性：可以證明：在=0點(diǎn)，它的前（2N-1）階導(dǎo)數(shù)都等于0，這表明巴特沃斯濾波器在=0附近一段范圍內(nèi)是非常平直的，它以原點(diǎn)的最大平坦性來(lái)逼近理想低通濾波器?！白钇巾憫?yīng)”即由此而來(lái)。（2）通帶，阻帶下降的單調(diào)性。這種濾波器

14、具有良好的相頻特性。（3）3dB的不變性：隨著N的增加，頻帶邊緣下降越陡峭，越接近理想特性，但不管N是多少，幅頻特性都通過(guò)-3dB點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，特性以20NdB/dec速度下降。圖2.3 不同階數(shù)N的巴特沃斯濾波器特性現(xiàn)根據(jù)式（2.6）求巴特沃斯濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha（s）。令=s/j，帶入式（2.6）對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)： (2.7)即為的極點(diǎn)，此極點(diǎn)分布有下列特點(diǎn)：(1)的2N個(gè)極點(diǎn)以/N為間隔均勻分布在半徑為的圓周上，這個(gè)圓稱(chēng)為巴特沃斯圓。(2)所有極點(diǎn)以j軸為對(duì)稱(chēng)軸成對(duì)稱(chēng)分布，j軸上沒(méi)有極點(diǎn)。j(3)當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，有兩個(gè)極點(diǎn)分布在的實(shí)軸上；N為偶函數(shù)時(shí)，實(shí)軸上沒(méi)有極點(diǎn)。所有復(fù)數(shù)極點(diǎn)兩兩呈共軛對(duì)稱(chēng)分布。

15、圖2.4畫(huà)出了N=3時(shí)的極點(diǎn)分布。全部零點(diǎn)位于s=處。圖2.4 N=3時(shí)Ha（s）Ha（-s）極點(diǎn)分布為得到穩(wěn)定的，取全部左半平面的極點(diǎn)。 （2.8）當(dāng)N為偶數(shù)時(shí) （2.9）當(dāng)N為奇數(shù)時(shí) （2.10）為使用方便把式（2.9）和式（2.10）對(duì)進(jìn)行歸一化處理，為此，分子分母各除以，并令，稱(chēng)為歸一化復(fù)頻率：（N為偶數(shù)） （2.11） （N為奇數(shù)）（2.12）用歸一化頻率表示的頻率特性稱(chēng)為原型濾波特性（即歸一化復(fù)頻率s 的虛部）。對(duì)式（2.6）所示的低通巴特沃斯特性用表示得到： （2.13）稱(chēng)為巴特沃斯低通原型濾波器幅頻特性。在低通原型濾波頻率特性上，截止頻率=1。若給出模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)性能指標(biāo)

16、要求：通帶邊界頻率，阻帶邊界頻率，通帶波紋，阻帶衰減，要確定butterworth ,，低通濾波器最小階數(shù)N及截止頻率。，的意義如圖所示。當(dāng)=時(shí)， 即，以截至頻率（幅值下降3dB）為1，化為相對(duì)為相對(duì)的相對(duì)頻率由上式可寫(xiě)為。同理，當(dāng)=時(shí)， 。由此可見(jiàn) N應(yīng)向上取整，再用MATLAB 編程計(jì)算濾波器最小階數(shù)N和截止頻率。就是切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)，給定N，即可求的2N個(gè)極點(diǎn)分布。由式（2.22）實(shí)部與虛部的正弦和余弦函數(shù)平方約束關(guān)系可以看出，此極點(diǎn)分布滿(mǎn)足橢圓方程，其短軸和長(zhǎng)軸分別為 （2.23）圖2.7畫(huà)出了N=3時(shí)切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)分布。abj 圖2.7極點(diǎn)所在的橢圓可以和半徑為a的圓和半徑

17、為b的圓聯(lián)系起來(lái)，這兩個(gè)圓分別稱(chēng)為巴特沃斯小圓和巴特沃斯大圓。N階切比雪夫?yàn)V波器極點(diǎn)的縱坐標(biāo)，而橫坐標(biāo)等于N階巴特沃斯小圓極點(diǎn)的橫坐標(biāo)取左半平面的極點(diǎn)： k=1,2，N （2.24）則切比雪夫?yàn)V波器的系統(tǒng)函數(shù)： （2.25）其中，常數(shù)A=。因而切比雪夫?yàn)V波器的系統(tǒng)函數(shù)表示為： （2.27）切比雪夫?yàn)V波器的截止角頻率不是像巴特沃斯濾波器中所規(guī)定的（-3dB）處角頻率，而是通帶邊緣的頻率。若波紋參數(shù)滿(mǎn)足，可以求的-3dB處的角頻率為 （2.28）將式（2.27）表示的對(duì)歸一化，得到切比雪夫I型2.2.2低通原型濾波器的系統(tǒng)函數(shù) （2.29）對(duì)不同的N，式（2.29）的分母多項(xiàng)式已制成表格，供設(shè)計(jì)參

18、考。和butterworth低通模擬濾波器設(shè)計(jì)一樣，若給定性能指標(biāo)要求：，確定Chebyshev低通模擬濾波器最小階數(shù)N和截止頻率（-3dB頻率）。2.2.2.1 Chbbyshev I型由式可得 故階數(shù)N可由下式求得 式中，截至頻率由上面兩式用Matlab 編程計(jì)算濾波器最小階數(shù)N和截止頻率 2.2.2.2 Chbbyshev II型Chbbyshev II型通帶內(nèi)是平滑的，而阻帶具有等波紋起伏特性。因此，在階數(shù)N的計(jì)算公式上是相同的，而-3dB截止頻率則不同。2.2.3 橢圓濾波器及最小階數(shù)的選擇橢圓的模擬低通濾波器圓形的平方幅值響應(yīng)函數(shù)為 式中，為小于1的正書(shū)，表示波紋情況；為截止頻率；

19、）為橢圓函數(shù)，定義為當(dāng)N為偶數(shù)（N=2m）時(shí),當(dāng)N為奇數(shù)（N=2m+1）時(shí), 其中橢圓模擬濾波器特點(diǎn)是：在通帶和阻帶內(nèi)均具有等波紋起伏特性。何以上濾波器相比，相同的性能指標(biāo)所需要的階數(shù)最小。但頻率響應(yīng)應(yīng)具有明顯的非線性。由式濾波器的階數(shù)可由下式確定， ， 式中 由上式計(jì)算濾波器的最小階數(shù)N和截止頻率。2.2.4貝塞爾濾波器貝塞爾模擬低通濾波器原型的特點(diǎn)是在零頻時(shí)具有最平坦的群延遲，并在整個(gè)通帶內(nèi)延遲幾乎不變。在零頻時(shí)的群延遲為。由于這一特點(diǎn)，貝塞爾模擬濾波器通帶內(nèi)保持信號(hào)形狀不變。濾波器傳遞漢書(shū)具有下面形式第3章 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)3.1 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 IIR濾波器是一種數(shù)字

20、濾波器，濾波器的系統(tǒng)函數(shù)如式 （3.1）由于它的脈沖響應(yīng)序列是無(wú)限長(zhǎng)的，故稱(chēng)無(wú)限沖激響應(yīng)濾波器。IIR濾波器的設(shè)計(jì)就是根據(jù)濾波器某些性能指標(biāo)要求，設(shè)計(jì)濾波器的分子和分母多項(xiàng)式。它和FIR濾波器相比優(yōu)點(diǎn)是在滿(mǎn)足相同性能指標(biāo)要求條件下，IIR濾波器的階數(shù)要明顯低于FIR濾波器。但I(xiàn)IR濾波器的相位是非線性的。IIR濾波器設(shè)計(jì)方法可分為三種：模擬濾波器變換（經(jīng)典設(shè)計(jì)法）、直接設(shè)計(jì)法、參數(shù)模型設(shè)計(jì)法、最大平滑濾波器設(shè)計(jì)。3.2 IIR濾波器經(jīng)典設(shè)計(jì) 基于模擬濾波器變換原理，首先是根據(jù)濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)出相應(yīng)的模擬濾波器，然后再將設(shè)計(jì)好的模擬濾波器變換成滿(mǎn)足給定技術(shù)指標(biāo)的數(shù)字濾波器。這就是IIR濾波器

21、設(shè)計(jì)的經(jīng)典法。經(jīng)典法可設(shè)計(jì)出低通、高通、帶通、帶阻等各種IIR濾波器。在MATLAB中，經(jīng)典法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器采用下面的主要步驟：模擬低通濾波原型頻率變換模擬離散化IIR濾波器由上可見(jiàn)，經(jīng)典設(shè)計(jì)法是利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)成果。第二步完成后，一個(gè)達(dá)到期望性能指標(biāo)的模擬濾波器（低通、高通、帶通和帶阻）已經(jīng)設(shè)計(jì)出來(lái)。第三步離散化主要任務(wù)就是把模擬濾波器變換成數(shù)字濾波器，即把模擬濾波器的系數(shù)映射成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)工作就全部完成。實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)傳遞函數(shù)s域至z域映射有脈沖響應(yīng)不變法和雙線性映射兩種方法。脈沖響應(yīng)不變法利用模擬濾波器成熟的理論和設(shè)計(jì)方法來(lái)設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器是經(jīng)常用的

22、方法。設(shè)計(jì)過(guò)程是：按照技術(shù)要求設(shè)計(jì)一個(gè)模擬低通濾波器，得到模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。這樣設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問(wèn)題就是找這種轉(zhuǎn)換關(guān)系，將s平面上的轉(zhuǎn)換成z平面上的H(z)。為了保證轉(zhuǎn)換后的H(z)穩(wěn)定且滿(mǎn)足技術(shù)要求，對(duì)轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點(diǎn)要求：（1）因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。我們知道，模擬濾波器因果穩(wěn)定要求其傳輸函數(shù)的極點(diǎn)全部位于s平面的左半平面；數(shù)字濾波器因果則要求H(z)的極點(diǎn)全部在單位圓內(nèi)。因此，轉(zhuǎn)換關(guān)系應(yīng)是s平面的左半平面映射z平面的單位圓內(nèi)部。 （2）數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸映射z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率

23、至間成線性關(guān)系。 將傳輸函數(shù)從s平面?zhèn)鲹Q到z平面的方法有多種，但工程上常用的是脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。我們先研究脈沖響應(yīng)不變法。設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為，相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是，=LTLT.代表拉氏變換，對(duì)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T(mén)，得到，將h(n)= 作為數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)，那么數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)便是h(n)的Z變換。因此脈沖響應(yīng)不變法是一種時(shí)域上的轉(zhuǎn)換方法，它是h(n)在采樣點(diǎn)上等于。 設(shè)模擬濾波器只有單階極點(diǎn)，且分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的階次，將用部分分式表示： （3.2）式中為的單階極點(diǎn)。將逆拉氏變換得到： （3.3）式中u(t)是單位階躍函數(shù)。對(duì)進(jìn)行等間隔

24、采樣，采樣間隔為T(mén),得到： （3.4） 對(duì)上式進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)： (3.5) 對(duì)比3.2、3.5式，的極點(diǎn)映射到z平面，其極點(diǎn)變成，系數(shù)不變化。下面我們分析從模擬濾波器轉(zhuǎn)換到數(shù)字濾波器，s平面和z平面之間的映射關(guān)系，從而找到這種轉(zhuǎn)換方法的優(yōu)缺點(diǎn)。這里我們以采樣信號(hào)作為橋梁，推導(dǎo)其映射關(guān)系。設(shè)的采樣信號(hào)用表示， （3.6）對(duì)進(jìn)行拉氏變換，得到： （3.7）式中是在采樣點(diǎn)t=n T時(shí)的幅度值，它與序列h(n)的幅度值相等，它與序列h(n)的幅度值相等，即h(n)= ，因此得到：上式表示采樣信號(hào)的拉氏變換與相應(yīng)的序列的Z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示： （3.8） 我們知

25、道模擬信號(hào)的傅立葉變換和其采樣信號(hào)的傅立葉變換和其采樣信號(hào)的傅立葉變換之間的關(guān)系滿(mǎn)足式： （3.9）將代入上式，得 （3.10）由 （3.8）、（3.10）式得到： （3.11）上式表明將模擬信號(hào)的拉氏變換在s平面上沿虛軸按照周期延遲后，再按照（3.8）式映射關(guān)系，映射到z平面上，就得到H（z）。（3.8）式可稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)映射關(guān)系。下面進(jìn)一步分析這種映射關(guān)系。設(shè) 按照（3.8）式，得到：因此得到： （3.12）那么 上式關(guān)系式說(shuō)明，s平面的虛軸（）映射z平面的單位圓（），s平面左平面（）映射z平面單位內(nèi)（），s平面右半平面映射平面單位圓外（）。這說(shuō)明如果因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換后得到（）仍是因果穩(wěn)定的。另外

26、，注意到z=是一個(gè)周期函數(shù)，可寫(xiě)成M為任意整數(shù)當(dāng)不變，模擬頻率變化2/T的整數(shù)倍時(shí)，映射值不變。或者說(shuō)，將s平面沿著j軸分割成一條條寬為2/T的水平帶，每條水平面都按照前面分析的映射關(guān)系對(duì)應(yīng)著整個(gè)z平面。此時(shí)所在的s平面與所在的z平面的映射關(guān)系如圖所示。當(dāng)模擬頻率從變化到時(shí)，數(shù)字頻率則從變化到，且按照（3.12）式，即與之間成線性關(guān)系。但是，從模擬信號(hào)到采樣信號(hào)，其拉氏變換要按照式。其為周期，沿虛軸方向進(jìn)行周期化。如果原模擬信號(hào)得頻帶不是限于之間，則會(huì)在得奇數(shù)倍附近產(chǎn)生頻率混疊，從而映射到平面上，在附近產(chǎn)生頻率混疊。脈沖相應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象如圖所示。這種會(huì)使設(shè)計(jì)出的濾波器在附近的頻率特性，

27、程度不同地偏離模擬濾波在附近的頻率特性，嚴(yán)重時(shí)使濾波器不滿(mǎn)足給定的技術(shù)指標(biāo)。因此，希望設(shè)計(jì)的濾波器使帶限濾波器，如果不是帶限的，例如高通濾波器，帶阻濾波器，需要在高通帶阻濾波器之前加保護(hù)濾波器，濾除高于折疊頻率以上的頻帶，以避免產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象。但這樣會(huì)增加系統(tǒng)的成本和復(fù)雜性，因此，高通與帶阻濾波器不適合用這種方法設(shè)計(jì)。假設(shè)沒(méi)有頻率混疊現(xiàn)象，即滿(mǎn)足將關(guān)系式代入，得到：說(shuō)明用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器可以很好地重現(xiàn)原模擬濾波器的頻響。上式中，的幅度特性與采樣間隔成反比，這樣當(dāng)T較小時(shí)，就會(huì)有太高的增益。為避免這一現(xiàn)象，令那么,此時(shí)一般的極點(diǎn)是一個(gè)復(fù)數(shù)，且以共軛成對(duì)的形式出現(xiàn)，在式中講一對(duì)復(fù)數(shù)

28、共軛極點(diǎn)放在一起，形成一個(gè)二階基本節(jié)。如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為，極點(diǎn)為可以推導(dǎo)出相應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)（只有實(shí)數(shù)乘法）的形式為如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為，極點(diǎn)為，則對(duì)應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)的具體形式為利用以上這些變換關(guān)系，可以簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)。雙線性變換法這種變換方法，采用非線性頻率壓縮方法，將整個(gè)頻率軸上的頻率范圍壓縮到/T之間，再用轉(zhuǎn)換到z平面上。設(shè)Ha（s），s=j，經(jīng)過(guò)非線性頻率壓縮后用Ha（s1），=j1表示，這里用正切變換實(shí)現(xiàn)頻率壓縮： （3.13）式中T仍是采樣間隔，當(dāng)1從-/T經(jīng)過(guò)0變化到/T時(shí)，則由-經(jīng)過(guò)0變化到+，實(shí)現(xiàn)了s平面上整個(gè)虛軸完全壓縮到平面上虛軸的/

29、T之間的轉(zhuǎn)換。這樣便有 （3.14）再通過(guò) 轉(zhuǎn)換到z平面上，得到： （3.15） （3.16）式（3.15）或式（3.16）稱(chēng)為雙線性變換。從s平面映射到平面，再?gòu)钠矫嬗成涞絲平面，其映射情況如圖3.1所示。由于從s平面到平面具有非線性頻率壓縮的功能，因此不可能產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象。另外，從平面轉(zhuǎn)換到z平面仍然采用標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)換關(guān)系 ，平面的 /T之間水平帶的左半部分映射z平面單位圓內(nèi)部，虛軸映射單位圓。這樣，Ha（s）因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換成的H（z）也是因果穩(wěn)定的。下面分析模擬頻率和數(shù)字頻率之間的關(guān)系。令 ，并代入（3.15）式中，有 （3.17）ImRez平面js平面j11s1平面/T-/T3.5.2.1

30、 雙線性變換法的映射關(guān)系上式說(shuō)明，s平面上與平面上的成非線性正切關(guān)系，如圖3.2所示。在=0附近接近線性關(guān)系；當(dāng)增加是，增加得愈來(lái)愈快；當(dāng)趨近時(shí)，趨近于。正是因?yàn)檫@種非線性關(guān)系，消除了頻率混疊現(xiàn)象。-0圖3.2 雙線性變換法的頻率變換與之間的非線性關(guān)系是雙線性變換法的缺點(diǎn)，直接影響數(shù)字濾波器頻響逼真的模仿模擬濾波器的頻響，幅度特性和相位特性失真的情況如圖3.3所示。這種非線性影響的實(shí)質(zhì)問(wèn)題是：如果的刻度是均勻的，則影射到z平面的刻度不是均勻的，而是隨增加愈來(lái)愈密。000000圖3.3 雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射雙線性變換法可由簡(jiǎn)單的代數(shù)公式（3.15）將Ha（s）直接轉(zhuǎn)換成H（z）

31、，這是該變換法的優(yōu)點(diǎn)。但當(dāng)階數(shù)稍高時(shí)，將H（z）整理成需要的形式，也不是一件簡(jiǎn)單的工作。3.3 IIR濾波器直接設(shè)計(jì) IIR數(shù)字濾波器的經(jīng)典設(shè)計(jì)法只限于幾種標(biāo)準(zhǔn)的低通、高通、帶通、帶阻濾波器，而對(duì)于具有形狀或多頻帶濾波器的設(shè)計(jì)是無(wú)能為力的。 如果所設(shè)計(jì)IIR濾波器幅頻特性比較復(fù)雜，可采用最小二乘法擬合給定的幅頻響應(yīng)，使設(shè)計(jì)的濾波器幅頻特性逼近期望的頻率特性，這種方法稱(chēng)為IIR濾波器的直接設(shè)計(jì)法。 MATLAB信號(hào)處理工具箱函數(shù)YULEWALK采用直接設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器。函數(shù)YULEWALK采取下面步驟計(jì)算分子多項(xiàng)式：（1） 計(jì)算與分子多項(xiàng)式相應(yīng)的幅值平方響應(yīng)的輔助式；（2） 由輔助分子式和分

32、母多項(xiàng)式計(jì)算完全的頻率響應(yīng)；（3） 計(jì)算濾波器的脈沖響應(yīng)；（4） 采用最小二乘法擬合脈沖響應(yīng)最終求得濾波器的分子多項(xiàng)式系數(shù)。 函數(shù)YULEWALK允許我們自由定義濾波器的頻率向量f和幅值向量m，因此該函數(shù)可設(shè)計(jì)具有任意形狀的幅頻響應(yīng)的濾波器，包括多頻帶濾器。第4章 DSP仿真系統(tǒng)4.1 對(duì)低通模擬和數(shù)字濾波器的仿真4.1.1 模擬低通濾波器的仿真第三章所討論的設(shè)計(jì)思想，在DSP對(duì)模擬濾波器進(jìn)行仿真的過(guò)程中依然適用，其具體步驟總結(jié)如下：（1） 確定模擬濾波器的性能指標(biāo)，如截止頻率（對(duì)于低通和高通）或上、下邊界頻率,；波紋特性；帶阻衰減等。（2） 確定濾波器階數(shù)。（3） 計(jì)模擬低通濾波原型濾波器。

33、MATLAB信號(hào)處理工具箱的濾波器原型函數(shù)buttap,cheb1ap。（4） 按頻率變換設(shè)計(jì)模擬濾波器（低通、高通、帶通、帶阻）。DSP信號(hào)處理工具箱的頻率變換函數(shù)lp2lp,lp2hp,lp2bp,lp2bs。但是，按照這種設(shè)計(jì)思想的編程較為麻煩。MATLAB信號(hào)處理工具箱還提供模擬濾波器的完全設(shè)計(jì)函數(shù)：butter,cheby1等。用戶(hù)只需調(diào)用一次設(shè)計(jì)函數(shù)就可自動(dòng)完成全部設(shè)計(jì)過(guò)程，編程十分簡(jiǎn)單。下面將以模擬低通Butterworth濾波器的設(shè)計(jì)為例，解釋這種設(shè)計(jì)方法。設(shè)計(jì)指標(biāo)：通帶截止頻率=200，阻帶截止頻率=300，通帶衰減=1dB，阻帶衰減=16dB。仿真結(jié)果見(jiàn)圖4.1%Matla

34、b program2.1%Design a buttworth analog lowpass filterws=300*pi;wp=200*pi;Rp=1;Rs=16;%compute oder and cuttoff frequency N,Wn=buttord(wp,ws,Rp,Rs,s) Fc=Wn/(2*pi) b,a=butter(N,Wn,s); %outputw=linspace(1,3000,1000)*2*pi; H=freqs(b,a,w); magH=abs(H); phaH=unwrap(angle(H); plot(w/(2*pi),20*log10(magH); x

35、label(Frequency(Hz); ylabel(Magnidute(dB); grid onN = 7Wn =725.7292Fc =115.5034圖4.1 模擬低通濾波器4.2.2 數(shù)字低通濾波器的仿真IIR數(shù)字濾波器經(jīng)典設(shè)計(jì)法的一般步驟是：（1）根據(jù)給定的性能指標(biāo)和方法不同，首先對(duì)設(shè)計(jì)性能指標(biāo)中的頻率指標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換后的頻率指標(biāo)作為模擬濾波器原型設(shè)計(jì)性能指標(biāo)。（2）估計(jì)模擬低通濾波器最小階數(shù)和邊界頻率，利用MATLAB工具函數(shù)buttord、cheb1ord等。（3）設(shè)計(jì)模擬低通濾波器原型，利用MATLAB工具函數(shù)buttap、cheb1ap等。（4）由模擬低通原型經(jīng)頻率變換獲

36、得模擬濾波器（低通、高通、帶通、帶阻），利用MATLAB工具函數(shù)lp2lp、lp2hp、lp2bp、lp2bs。（5）將模擬濾波器離散化獲得IIR數(shù)字濾波器，利用MATLAB工具函數(shù)bilinear。設(shè)計(jì)IIR濾波器時(shí)，給出的性能指標(biāo)通常分為數(shù)字指標(biāo)和模擬指標(biāo)兩種。數(shù)字性能指標(biāo)給出通帶截止頻率，阻帶截止頻率，通帶衰減，阻帶衰減等。數(shù)字頻率和的取值范圍為0，單位：弧度，而MATLAB工具函數(shù)常采用標(biāo)準(zhǔn)化頻率，和的取值范圍為01。模擬性能指標(biāo)給出通帶截止頻率，阻帶起始頻率，通帶衰減，阻帶衰減等。模擬頻率和的單位均為弧度/秒。下面是一個(gè)利用雙線性變換設(shè)計(jì)一個(gè)Butterworth低通濾波器的示例：技

37、術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率=2，阻帶截止頻率，通帶衰減小于3dB，阻帶衰減大于15dB,采樣頻率。仿真結(jié)果見(jiàn)圖4.2Wp= 2000*2*pi; Ws=3000*2*pi; Rp=3; Rs=15; Fs=10000; Ts=1/Fs; Nn=128;N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s) b,a=butter(N,Wn,s); z,p,k=buttap(N); Bap,Aap=zp2tf(z,p,k); b,a=lp2lp(Bap,Aap,Wn); bz,az=bilinear(b,a,Fs) freqz(bz,az,Nn,Fs) N =5Wn =1.3387e+004bz =0.

38、0171 0.0854 0.1708 0.1708 0.0854 0.0171az =1.0000 -1.2271 1.1622 -0.5176 0.1450 -0.0159圖4.2 數(shù)字低通濾波器仿真4.4.1 模擬帶通濾波器的仿真函數(shù)BUTTER用于Butterworth濾波器設(shè)計(jì)，調(diào)用格式： b,a=butter(n,s) b,a=butter(n, ,ftype,s) 其中，n為濾波器階數(shù)；為濾波器截止頻率，s為模擬濾波器，確省時(shí)為數(shù)字濾波器。 ftype濾波器類(lèi)型： high為高通濾波器，截止頻率； stop為帶阻濾波器，=（）； ftype缺省時(shí)為低通或帶通濾波器。以下設(shè)計(jì)一個(gè)Bu

39、tterworth模擬帶通濾波器，設(shè)計(jì)指標(biāo)為：逼近頻率10002000Hz,兩側(cè)過(guò)渡帶寬500Hz，通帶衰減1dB，阻帶衰減大于100dB。結(jié)果見(jiàn)圖4.5。%Matlab program4.1%Design a butterworth analog bandpass filterWp=1000 2000*2*pi; Ws=500 2500*2*pi; Rp=1; Rs=100; N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s) b,a=butter(N,Wn,s); N =23Wn =1.0e+004 *0.6220 1.2695圖4.5 模擬帶通濾波器仿真4.4.2 數(shù)字帶通濾波器的設(shè)

40、計(jì)設(shè)計(jì)一個(gè)帶通chebyshev I 型數(shù)字濾波器，通帶為100Hz200Hz，過(guò)渡帶寬均為50Hz，通帶衰減小于1dB，阻帶衰減30Hz，采樣頻率1000Hz。仿真結(jié)果見(jiàn)圖4.6%Matlab program4.2%Design a chebyshev I digital bandpass filterFs=1000; ws=100 200*2/Fs; wp=50 250*2/Fs; Rp=1; Rs=30; Nn=128; %compute oder and cuttoff frequencyN,Wn=cheb1ord(wp,ws,Rp,Rs,s)b,a=cheby1(N,Rp,Wn);

41、%outputfreqz(b,a,Nn,Fs); N =5圖4.6 數(shù)字帶通濾波器仿真Wn =0.1600 0.50004.5 對(duì)帶阻模擬和數(shù)字濾波器的仿真4.5.1 模擬帶阻濾波器的設(shè)計(jì)這里設(shè)計(jì)一個(gè)chebyshev I 型模擬帶阻濾波器，設(shè)計(jì)指標(biāo)為：阻帶頻率1000Hz2000Hz，兩側(cè)過(guò)渡帶寬500Hz，通帶衰減1dB，阻帶衰減大于50dB。仿真結(jié)果見(jiàn)圖4.7。%Matlab program5.1%Design a chebyshev I analog bandstop filterws=1000 2000*2*pi; wp=500 2500*2*pi; Rp=1; Rs=50; %co

42、mpute oder and cuttoff frequencyN,Wn=cheb1ord(wp,ws,Rp,Rs,s) b,a=cheby1(N,Rp,Wn,stop,s); %outputw=linspace(1,3000,1000)*2*pi; H=freqs(b,a,w); magH=abs(H); phaH=unwrap(angle(H); plot(w/(2*pi),20*log10(magH); xlabel(Frequency(Hz); ylabel(Magnidute(dB); grid on圖4.7 模擬帶阻濾波器仿真4.5.2 數(shù)字帶阻濾波器的仿真設(shè)計(jì)一個(gè)Butterwo

43、rth數(shù)字帶阻濾波器，設(shè)計(jì)指標(biāo)為：阻帶頻率為100Hz200Hz,兩側(cè)過(guò)渡帶寬500Hz，通帶衰減1dB,阻帶衰減大于30dB。仿真結(jié)果見(jiàn)圖4.8Fs=1000; ws=100 200*2/Fs; wp=50 250*2/Fs; Rp=1; Rs=30; Nn=128; N,Wn=buttord(wp,ws,Rp,Rs) b,a=butter(N,Wn,stop); freqz(b,a,Nn,Fs); N =7Wn =0.1606 0.4720圖4.8 Butterworth數(shù)字帶阻濾波器仿真同樣的技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計(jì)一個(gè)chebyshev I 型帶阻濾波器，仿真結(jié)果見(jiàn)圖4.9圖4.9 Chebsh

44、ev I數(shù)字帶阻濾波器仿真%Matlab program5.2.1%Design a chebyshev I digital bandstop filterFs=1000;ws=100 200*2/Fs;wp=50 250*2/Fs;Rp=1;Rs=30;Nn=128;%compute oder and cuttoff frequencyN,Wn=cheb1ord(wp,ws,Rp,Rs)b,a=cheby1(N,Rp,Wn,stop);%outputfreqz(b,a,Nn,Fs);N = 4Wn =0.1476 0.5000前面已經(jīng)介紹，巴特沃斯濾波器在=0附近一段范圍內(nèi)是非常平直的，它以

45、原點(diǎn)的最大平坦性來(lái)逼近理想低通濾波器。而切比雪夫等波紋濾波器是在通帶內(nèi)以最大誤差最小化對(duì)理想低通濾波器的最佳一致逼近，通帶內(nèi)誤差分布是均勻的。對(duì)比Butterworth濾波器和Chebshev I 型濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果，可以看出，巴特沃斯濾波器通帶，阻帶單調(diào)下降，這種濾波器具有良好的相頻特性。切比雪夫?yàn)V波器通帶內(nèi)的相頻特性有相應(yīng)的起伏波動(dòng)，即相位是非線性的，這給信號(hào)傳輸時(shí)帶來(lái)線性畸變，所以在要求群時(shí)延為常數(shù)時(shí)不宜采用這種濾波器。但是，在同樣的技術(shù)指標(biāo)情況下，Chebshev I 濾波器的最小階數(shù)N比Butterworth濾波器的要小，而且濾波幅度特性更明顯，更有利與濾除低通頻率。第5章 總結(jié)與展望5.1 總 結(jié)幾乎在所有的工程技術(shù)領(lǐng)域中都會(huì)涉及到信號(hào)處理問(wèn)題 ，濾波器作為信號(hào)處理的重要組成部分，已發(fā)展的相當(dāng)成熟。本論文主要是針對(duì)無(wú)限脈沖響應(yīng)（IIR）數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與仿真。在以上五章的論述中，系統(tǒng)分析了無(wú)限沖擊響應(yīng)數(shù)字濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，研究了模擬濾波器（包括巴特沃斯濾波器和切比雪