2018高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)簡單的線性規(guī)劃問題解析

1、第三節(jié) 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題,1.二元一次不等式(組)的解集 滿足二元一次不等式(組)的x和y的取值構(gòu)成的_ _，叫做二元一次不等式(組)的解，所有這樣的_ _構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式(組)的解集.,有序數(shù)對,(x，y),有序數(shù),對(x，y),2.二元一次不等式所表示的平面區(qū)域 (1)一般地，二元一次不等式_在平面直角坐標(biāo)系中 表示_某一側(cè)所有點組成的_，把直線畫成 _，以表示區(qū)域不包括邊界.當(dāng)在坐標(biāo)系中畫不等式 Ax+By+C0所表示的平面區(qū)域時，此區(qū)域應(yīng)包括邊界，把邊界 畫成_.,Ax+By+C0,Ax+By+C=0,平面區(qū)域,虛線,實線,(2)二元一次不等式所表示

2、的平面區(qū)域可用_進(jìn)行驗證，任選一個不在直線上的點，檢驗它的坐標(biāo)是否滿足所給的不等式.若適合，則該點所在的一側(cè)即為不等式所表示的平面區(qū)域；否則，直線的另一側(cè)為所求的平面區(qū)域.通常情況下，只要原點不在直線上，就可以選擇原點作為特殊點進(jìn)行檢驗.,特殊點法,3.線性規(guī)劃的有關(guān)概念,不等式(組),不等式(組),解析式,一次,(x,y),可行解,最大值或最小值,最大值,最小值,4.解線性規(guī)劃問題的一般步驟 (1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出_. (2)分析_的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形. (3)確定_. (4)求出_. 5.常見的三種目標(biāo)函數(shù) (1)z=ax+by. (2)z=(x-a)2+(y-b)2. (

3、3),可行域,目標(biāo)函數(shù),最優(yōu)解,最值或范圍,1.若點(m,1)在不等式2x+3y-50所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則m的取值范圍是( ) (A)m1 (B)m1 (C)m1 【解析】選D.依題意有2m+3-50，解得m1.,2.若x,y滿足約束條件 則z=3x-y的最小值是( ) (A)-2 (B)-3 (C)-4 (D)-5,【解析】選C.z=3x-yy=3x-z,作出可行域，由圖可知過A點時z取最小值，把點A(0,4)代入，可得z=-4.,3.已知點P(x,y)的坐標(biāo)滿足條件 則x2+y2的最大值為 ( ) (A) (B) (C)8 (D)10 【解析】選D.畫出不等式組對應(yīng)的可 行域如圖所示：易

4、得A(1，1)， B(2，2)， C(1，3)， 故|OP|的最大值為 即x2+y2的最大 值等于10，故選D.,4.某廠要將100臺洗衣機(jī)運往鄰近的鄉(xiāng)鎮(zhèn)，現(xiàn)有4輛甲型貨車和8輛乙型貨車可供使用，每輛甲型貨車運輸費用400元，可裝洗衣機(jī)20臺；每輛乙型貨車運輸費用300元，可裝洗衣機(jī)10臺，若每輛至多只運一次，則該廠所花的最少運輸費用為( ) (A)2 000元 (B)2 200元 (C)2 400元 (D)2 800元,【解析】選B.設(shè)甲型貨車使用x輛， 乙型貨車使用y輛.則 所花運費為 z=400 x+300y.畫出可行域(如圖)， 由圖可知當(dāng)直線z=400 x+300y經(jīng)過 點A(4,2

5、)時，z取最小值，最小值 為zmin=2 200，故選B.,5.不等式組 表示的平面區(qū)域的面積為_. 【解析】該不等式組表示的平面區(qū)域是一個直角三角形，其面積等于 答案：9,考向 1 平面區(qū)域的相關(guān)問題 【典例1】(1)(2013寧波模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，不等式 組 表示的平面區(qū)域的面積是( ) (A) (B)4 (C) (D)2,(2)(2012福建高考)若函數(shù)y=2x圖象上存在點(x,y)滿足約束 條件 則實數(shù)m的最大值為( ) (A) (B)1 (C) (D)2 【思路點撥】(1)先畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，判斷其形狀并求其面積. (2)畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，然后結(jié)合指數(shù)

6、函數(shù)y=2x的單調(diào)性及圖象特征確定區(qū)域邊界點的位置，從而求出m的值.,【規(guī)范解答】(1)選B.畫出 平面可行區(qū)域，可知該區(qū)域 是一個等腰直角三角形，且,(2)選B如圖， 當(dāng)y=2x經(jīng)過且只經(jīng)過x+y-3=0和x=m的交點時，即三條曲線有唯一公共點時，m取到最大值，此時，即(m,2m)在直線x+y-3=0上，由選項知，m的最大值為1,考向 2 線性規(guī)劃的相關(guān)問題 【典例2】(1)(2013天津高考)設(shè)變量x, y滿足約束條件 則目標(biāo)函數(shù)z=y-2x的最小值為( ) (A)-7 (B)-4 (C)1 (D)2,(2)(2013廈門模擬)設(shè)變量x,y滿足約束條件： 則 的最大值為( ) (A) (B

7、) (C)1 (D)不存在 (3)(2013大綱版全國卷)記不等式組 所表示 的平面區(qū)域為D.若直線y=a(x+1)與D有公共點，則a的取值 范圍是 .,【思路點撥】(1)典型的線性規(guī)劃問題，作出可行域，畫出直線y-2x=0，通過截距，觀察確定最優(yōu)解. (2)非線性目標(biāo)函數(shù)，借助斜率模型進(jìn)行求解. (3)可行域已經(jīng)確定，由目標(biāo)函數(shù)表示的直線過定點(-1,0)，可以借助于斜率來解決.,【規(guī)范解答】(1)選A.由z=y-2x，得y=2x+z.作出不等式組 對應(yīng)的平面區(qū)域ABC.作直線y=2x，平移直線y=2x+z，由圖 象知當(dāng)直線經(jīng)過點B時，y=2x+z的截距最小，此時z最小.由 代入z=y-2x

8、得z=3-25=-7.所以最小 值為-7.,(2)選B.畫出可行域(如圖)，又 表示(x,y)與定點 P(-2,0)連線的斜率，所以當(dāng)(x,y)在點A(0,1)時 取到 最大值,(3)畫出可行域如圖所示, 當(dāng)直線y=a(x+1)過點A(0,4)時,a取 得最大值為4,當(dāng)直線y=a(x+1)過點 B(1,1)時,a取得最小值為 .所以 a的取值范圍為 ,4. 答案: ,4,【加固訓(xùn)練】(2013浙江高考)設(shè)z=kx+y，其中實數(shù)x,y滿足 若z的最大值為12，則實數(shù)k= .,【解析】不等式組表示的可行域如圖所示， 由z=kx+y可得y=-kx+z，知其在y軸上的 截距最大時，z最大，由圖知當(dāng)-k

9、 且直線過點A(4,4)時，z取最大值12， 即4k+4=12，所以k=2. 答案：2,考向 3 線性規(guī)劃的實際應(yīng)用 【典例3】某營養(yǎng)師要為某個兒童預(yù)訂午餐和晚餐.已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物,6個單位的蛋白質(zhì)和6個單位的維生素C；一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物,6個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的維生素C.另外,該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個單位的碳水化合物,42個單位的蛋白質(zhì)和54個單位的維生素C. 如果一個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元,那么要滿足上述的營養(yǎng)要求,并且花費最少,應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)訂多少個單位的午餐和晚餐？,【思路點撥】設(shè)出午餐和晚餐的單位個

10、數(shù)，列出不等式組和費用關(guān)系式，利用線性規(guī)劃求解. 【規(guī)范解答】設(shè)需要預(yù)訂滿足要求的午餐和晚餐分別為x個單位和y個單位,所花的費用為z元, 則依題意得z=2.5x+4y,且x,y滿足 即,作出線性約束條件所表示的可行域,如圖中陰影部分的整數(shù)點,讓目標(biāo)函數(shù)表示的直線2.5x+4y=z在可行域上平移,由此可知z=2.5x+4y在B(4,3)處取得最小值. 因此,應(yīng)當(dāng)為該兒童預(yù)訂4個單位的午餐和3個單位的晚餐,就可滿足要求.,【規(guī)律方法】求解線性規(guī)劃應(yīng)用題的注意點 (1)明確問題中的所有約束條件，并根據(jù)題意判斷約束條件中是否能夠取到等號. (2)注意結(jié)合實際問題的實際意義，判斷所設(shè)未知數(shù)x,y的取值范

11、圍，特別注意分析x,y是否是整數(shù)、是否是非負(fù)數(shù)等. (3)正確地寫出目標(biāo)函數(shù)，一般地，目標(biāo)函數(shù)是等式的形式.,【變式訓(xùn)練】(2012南昌模擬)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸，B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸，B原料3噸甲產(chǎn)品每噸利潤為5萬元，乙產(chǎn)品每噸利潤為3萬元，該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸，B原料不超過18噸，那么該企業(yè)的最大利潤為_,【解析】設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸，乙產(chǎn)品y噸，利潤為z萬元，由題 意可得 目標(biāo)函數(shù)為z5x3y，,作出如圖所示的可行域(陰影部分)當(dāng)直線5x3yz經(jīng)過A(3,4)時，z取得最大值， zmax533427(萬元). 答案：27萬元,2.(2013杭州模擬)如果不等式組 表示的平面區(qū) 域是一個直角三角形，則該三角形的面積為( ) (A) 或 (B) 或 (C) 或 (D)