第二節(jié) 行列式的性質(zhì)與計算1.ppt

1、1. n階行列式的定義,注: 當n = 1時, 一階行列式|a11| = a11,這與絕對值符號的意義是不一樣的.,定義 (定理) 設(shè)有 n2個數(shù)，排成n行n 列的一個數(shù)表，定義n階行列式為,行列式完全展開式,行列式也可以如下定義,37,例如, 四階行列式,中,負,a12a23a34a41,a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44,a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44,a14a23a32a41前面帶_號,正,a11 a1

2、2 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44,a31a22a13a44前面帶_號.,負,沒有 ,a11a22a31a44,前面帶_號,a13a22a31a44,（1）對角行列式,28,2. 幾個特殊的行列式,= a11 a22ann .,(2)上（下）三角行列式,35,引理：對n階行列式的完全展開式中的任一項 ，任意調(diào)換其中因子的次序，即,則它們之間的逆序數(shù)滿足,即就是說：無論做多少次對換，行指標與列指標的逆序數(shù)之和的奇偶性總保持不變。,36,證明:,行標,列標,行列式也可以如下定義,定義 (定理) n階行列式也可定義為,3

3、8,39,例 判斷在六階行列式中，下列兩項的符號.,解,列指標431265的逆序數(shù)為,所以 前邊應(yīng)帶正號.,(1),40,行標排列341562的逆序數(shù)為,列標排列234165的逆序數(shù)為,所以 前邊應(yīng)帶正號.,(2),由于行標與列標排列的逆序數(shù)之和為偶數(shù),2 行列式的性質(zhì)與計算,本節(jié)中，我們將介紹行列式的性質(zhì)以及利用行列式的性質(zhì)來求解行列式。,1,性質(zhì)1. DT = D.,記D =,行列式DT稱為D的轉(zhuǎn)置. 記bij = aji, 則 DT, DT =,行列式的轉(zhuǎn)置,= D.,一、行列式的性質(zhì),性質(zhì)2 互換行列式的兩行（列）,行列式變號.,證明,設(shè)行列式,說明 行列式中行與列具有同等的地位,因此

4、行列 式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.,是由行列式 變換 兩行得到的,于是,則有,即當 時,當 時,故,證畢,推論. 若行列式 D 中有兩列（行）完全相同, 則 D = 0.,例如,= a11a22 a12a21,= a12a21 a11a22.,= D, D = 0.,性質(zhì)3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù) ，等于用數(shù) 乘此行列式.,kn,推論行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面,性質(zhì)行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零,證明,a11+b11 a12 a1n a21+b21 a22 a2n an1+bn1 an2 ann,b11 a

5、12 a1n b21 a22 a2n bn1 an2 ann,+,.,a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann,D=,性質(zhì)5若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.,例如，D =,則D等于下列兩個行列式之和：,a11+b11 a12 a1n a21+b21 a22 a2n an1+bn1 an2 ann,a11+b11 a12 a1n a21+b21 a22 a2n an1+bn1 an2 ann,例1.,例2.,性質(zhì)把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式不變,即,11,例3. (1),1 2 3 4 5 6 7 8

6、9,= 0.,= 2.,以上三種行（列）變換稱為行列式的初等行（列）變換，初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為行列式的初等變換。,注：與矩陣的初等變換類似，同樣也可以定義行列式的初等行（列）變換,12,例4,二、應(yīng)用舉例,計算行列式常用方法：利用運算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值,13,解,14,15,16,17,18,D,例5 利用行列式的性質(zhì)計算行列式,19,例6 計算n階行列式,解,將 列都加到第一列得,20,21,例7 計算n階行列式,解,22,23,例8 計算n階行列式,解,24,25,將以后各列加到第一列,26,注1：這些題利用行列式的性質(zhì)，采用“化零” 的方法，逐步將所給

7、行列式化為三角形行列式 化零時一般盡量選含有的行（列）及含零較多 的行（列）；若沒有，則可適當選取便于化零 的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行（列）中的某數(shù) 化為1；若所給行列式中元素間具有某些特點，則 應(yīng)充分利用這些特點，應(yīng)用行列式性質(zhì)，以達到 化為三角形行列式之目的,27,注2：用歸納法不難證明，任何n階行列式總能利用運算ri+krj（ ci+crj ）化為上三角行列式或下三角行列式。,例9. 設(shè)D =,證明: D = D1D2.,證明: 對D1施行ci+kcj 這類運算, 把D1化為下三 角形行列式:,= p11 pmm ,a11 a1m 0 0,am1 amm 0 0,c11 c1m b11

8、 b1n,cn1 cnm bn1 bnn,對D2施行ci+kcj 這類運算, 把D2化為下三角形行列式:,于是對D的前m列施行上述ci+kcj 運算, 再對D的后n列 施行上述施行ci+kcj 運算, 可得:,= p11 pmm q11 qnn =D1D2.,證,用數(shù)學歸納法,31,現(xiàn)設(shè)等式對于(n1)階范德蒙行列式成立, 則,= (x2x1)(x3x1)(xnx1),n-1階范德蒙德行列式,利用范德蒙行列式計算行列式,例11計算,利用范德蒙行列式計算行列式，應(yīng)根據(jù)范德 蒙行列式的特點，將所給行列式化為范德蒙行列 式，然后根據(jù)范德蒙行列式計算出結(jié)果。,34,解,35,上面等式右端行列式為n階范

9、德蒙行列式，由 范德蒙行列式知,36,注：本題所給行列式各行（列）都是某元 素的不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙 行列式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)（如 提取公因子、調(diào)換各行（列）的次序等）將此行 列式化成范德蒙行列式,37,1、余子式與代數(shù)余子式,我們先觀察三階行列式與二階行列式的關(guān)系,2,三、行列式按行（列）展開法則,3,例如,4,行列式的每個元素分別對應(yīng)著一個余子式和一個代數(shù)余子式.,5,這表明，三階行列式等于它的第一行的每一個元素與對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積的和。,再回到我們最初的問題上,6,再次計算三階行列式,7,這表明，三階行列式等于它的任意一行的每一個元素與對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積的和。,或,問題：是否任意階的行列式都有這個性質(zhì)？,8,定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即,9,2、行列式按行（列）展開法則,一個 階行列式，如果其中第 行所有元素除 外都為零，那么這行列式等于 與它的代數(shù)余子式的乘積，即 ,例如,10,一個常用結(jié)論,解,例1 計算行列式,11,此