第五章 線性系統(tǒng)的頻域分析2.ppt

1、第五章,線性系統(tǒng)的頻域分析,第三章已介紹了控制系統(tǒng)的時域分析法，系統(tǒng)的動態(tài)性能用時間響應來描述市較為直觀與逼真的。但是，對于比較復雜的系統(tǒng)來說，這種方法較為繁瑣，因此希望使用一種不必實際求解微分方程就有可能預示系統(tǒng)性能的方法，而這種方法又能方便地指出應如何調整系統(tǒng)來滿足系統(tǒng)性能的技術條件。這種方法就是現(xiàn)在已變得越來越成熟的頻域分析方法,特點,它可借助做圖法就可以指出系統(tǒng)究竟應該如何改進 可以用實驗方法確定響應，其效果和解析法一樣。這在難于用微分方程來描述系統(tǒng)的地方尤為重要。,基本要求,1. 正確理解頻率特性的概念。 2. 熟練掌握典型環(huán)節(jié)的頻率特性，熟記其幅相特性曲線及對數(shù)頻率特性曲線。 3.

2、 熟練掌握由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)繪制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻漸近特性曲線及開環(huán)對數(shù)相頻曲線的方法。 4. 熟練掌握由具有最小相位性質的系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線求開環(huán)傳遞函數(shù)的方法。,5. 熟練掌握乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)及其它們的應用。 6. 熟練掌握穩(wěn)定裕度的概念及計算穩(wěn)定裕度的方法。 7. 理解開環(huán)對數(shù)頻率特性與系統(tǒng)性能的關系及三頻段的概念，會用三頻段的分析方法對兩個系統(tǒng)進行分析與比較。,5-1 頻率特性的一般概念,一、研究線性定常系統(tǒng)對正弦輸入的響應 二、頻率特性的求法 三、頻率特性的物理意義,一、研究線性定常系統(tǒng)對正弦輸入的響應,說到頻率特性，大家會問什么是頻率特性？,定義,對于一個穩(wěn)

3、定的線性定常系統(tǒng)，當系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)，給系統(tǒng)輸入以正弦信號，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出也為一同頻率的正弦信號，但輸出的振幅和相位與輸入信號不同。即：,穩(wěn)定系統(tǒng),實驗證明：,當系統(tǒng)輸入幅值（X）保持不變時，僅改變輸入信號的頻率（w），則穩(wěn)態(tài)輸出的的幅值（y）和相位角（ ），將隨頻率（w）變化而變化。,穩(wěn)定系統(tǒng),由上可知：,控制系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應稱為頻率響應，系統(tǒng)頻率響應的幅值、相位與輸入正弦信號幅值、相位的關系稱為頻率特性,問題：,系統(tǒng)在接受正弦輸入后，其穩(wěn)態(tài)輸出一定是同頻率的正弦函數(shù)嗎？輸出信號的幅值、相位有何變化？其變化于什么有關？,用頻率特性分析系統(tǒng)，能否反應系統(tǒng)的結構參數(shù)與系

4、統(tǒng)性能之間的關系？,下面我們就逐一解答上面的問題：,首先我們看頻率特性分析，能否反應系統(tǒng)的結構參數(shù)與系統(tǒng)性能的關系。 通過前面的學習我們知道系統(tǒng)的傳遞函數(shù)反映系統(tǒng)結構參數(shù)與系統(tǒng)性能間的關系，通過本節(jié)的討論將會看到頻率特性是特定的傳遞函數(shù)，即頻率特性是傳遞函數(shù)的一種特例。,設系統(tǒng)是穩(wěn)定的，初始條件為零，則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,傳遞函數(shù) G(s) 在一般情況下可寫成如下形式，即,系統(tǒng)輸出的象函數(shù)y(s),系統(tǒng)的輸入為正弦函數(shù)：,則：,將上式寫成部分分式形式為：,上式進行拉氏反變換，得到系統(tǒng)對正弦輸入信號的響應為 ：,對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，其閉環(huán)極點都具有負實部。 當 時，輸出的瞬態(tài)分量衰減為零。因此，不管系

5、統(tǒng)屬于哪種形式，其對正弦信號的穩(wěn)態(tài)響應為,式中： 和 為待定系數(shù)，,確定b，等式的兩邊同乘（s+jw)，并令s=-jw，得：,同理確定 ， 等式的兩邊同乘(s-jw)，并令s=jw，得：,由于,與,為一對共軛復數(shù)，其模相等幅角相反,故：,歐拉公式,得：,故：,從以上的推導證明： 穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，其正弦函數(shù)的輸入的響應，是與輸入同頻率的正弦函數(shù),-稱為頻率特性,從而，得：,頻率特性,這樣我們在已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)的情況下，求 是非常方便的 。即在G(s)中用s=jw代入即可求得G(jw) -一復數(shù)，我們求得起相應的幅值、幅角。,由此可見G(jw)也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學模型,例 如下圖所

6、示的RC電路，求該環(huán)節(jié)的頻率特性以及系統(tǒng)輸入為r(t)=xsinwt時的穩(wěn)態(tài)輸出,R,C,Ur,Uo,解：列寫系統(tǒng)的微分方程,故得環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),環(huán)節(jié)的頻率特性,此時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出：,5-2 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性圖,頻率特性分析法，使用的是圖解的方法，即通過圖形判斷系統(tǒng)的性能。,常用的圖形有三種,頻率特性分析法和時間響應分析法在具體做法上有著較大的差別。,本章主要任務有兩個,作出Nyquist、Bode圖 利用Nyquist圖和Bode圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性和系統(tǒng)動、靜態(tài)特性。,下面分別介紹Nyquist圖和bode圖的做法：,5-2、Nyquist圖（極坐標圖）,-在頻率特性G(jw)中的w從0變

7、化到 時，表示在極坐標圖上的復變函數(shù) 的矢量端點軌跡曲線，稱為Nyquuist圖。,例：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)，則將s=jw代入，即：,1、概述,2、典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖,比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)）,比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)：G(s)=k 比例環(huán)節(jié)的頻率特性：G(jw)=k,k,j,Re,積分環(huán)節(jié),頻率特性,0,1,1,0,j,G,慣性環(huán)節(jié),傳遞函數(shù),頻率特性,幅相特性,振蕩環(huán)節(jié),傳遞函數(shù),頻率特性,分子、分母同除wn2,令,幅相特性,從圖中可見：,無論 大小，曲線總是起于(1，j0)點，終止于原點(0，j0); 當 時， 可見： 曲線越往外延伸 當 小于某一個數(shù)值時，,當 時， 出現(xiàn)峰值，故 出

8、現(xiàn)峰值時，對應的頻率成為諧振頻率,諧振頻率特性（諧振幅值）,二階系統(tǒng)頻率響應與單位階躍響應間的關系,通常在設計二階系統(tǒng)時，當系統(tǒng)參數(shù) 未知時，可用x-y記錄儀，記錄下Mr 找出 ，在通過,三種頻率物理意義不同,微分環(huán)節(jié),傳遞函數(shù) G(s)=s,頻率特性 G(jw)=jw,幅相特性,一階微分環(huán)節(jié),傳遞函數(shù),頻率特性,幅相特性,二階微分環(huán)節(jié),傳遞函數(shù),頻率特性,幅相特性,滯后環(huán)節(jié),傳遞函數(shù),頻率特性,幅相特性,舉例，作系統(tǒng)的Nyquist圖,例1：設某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,試繪制該系統(tǒng)地Nyquist圖,解：由G(s)求G(jw),可見系統(tǒng)時有兩個典型環(huán)節(jié)組成,k,例2：設某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,

9、試繪制該系統(tǒng)地Nyquist圖,解：由G(s)求G(jw),可見系統(tǒng)時有三個典型環(huán)節(jié)串聯(lián)而成,可見其大概的趨勢為,要繪制精確的曲線則要找出漸近線,尋找漸近線,漸近線,例3：設某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,試繪制該系統(tǒng)地Nyquist圖,解：由G(s)求G(jw),可見系統(tǒng)時有四個典型環(huán)節(jié)串聯(lián)而成,小結,討論開環(huán)系統(tǒng)Nyquist圖形的起點、終點的問題,若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,頻率特性,當v=0時，故開環(huán)系統(tǒng)中不含積分環(huán)節(jié)，稱為0型系統(tǒng),討論：,說明,0型系統(tǒng) 起點為: (k，j0) 終點為原點，但趨進的角度取決于(n-m)的數(shù)值。,當v=1時，故開環(huán)系統(tǒng)中含一個積分環(huán)節(jié)，稱為1型系統(tǒng),討論：,n-m

10、=2,n-m=3,Re,Im,V=1,V=2,V=3,W= 時，趨近于原點，方向取決于(n-m)的數(shù)值,例：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)分子有一階微分環(huán)節(jié)，取m=1，n=3時，系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性。其開環(huán)幅相特性曲線出現(xiàn)凹凸,5-3、Bode圖（對數(shù)頻率特性）,對數(shù)幅頻特性圖,1、概述,Bode 圖的優(yōu)點,可將串聯(lián)環(huán)節(jié)的幅值的乘、除運算轉化為加、減運算，這樣大大的簡化了運算過程； 在有限的長度坐標上，表示出較寬的頻率范圍 例如: w從1-1000，共需999個單位長度 對數(shù)lg1-lg1000，只用4個單位長度 低頻段，w變化很小但讀數(shù)很清楚。,2、典型環(huán)節(jié)Bode圖,比例環(huán)節(jié),傳遞函數(shù),頻率特性,幅相特性

11、,對數(shù)幅、相特性,問題：k1,k1,積分環(huán)節(jié),傳遞函數(shù),頻率特性,幅相特性,對數(shù)幅、相特性,可見： 頻率每增加10倍頻程，幅值衰減-20db，L(w)曲線是一條過(1,0)點、斜率為-20的直線,如果傳遞函數(shù)中含有n個積分環(huán)節(jié)，即：,傳遞函數(shù),頻率特性,對數(shù)頻率特性,可見：L(w)是一條過(1，0)點斜率為-20*n/dec的直 線,微分環(huán)節(jié),傳遞函數(shù),頻率特性,幅相特性,對數(shù)幅、相特性,可見：L(w)為一條過(1,0)點，w每增加10倍，幅值增加20dB的直線。 類推，如果n個微分環(huán)節(jié)串聯(lián)時的情況。,慣性環(huán)節(jié),傳遞函數(shù),頻率特性,幅相特性,這里為研究問題方便,對數(shù)幅頻特性,討論：對數(shù)頻率特性

12、(L(w)， ）隨w的變化情況,可見慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性，在高頻段w每增加10倍，L(w)下降20dB，w=wT為高低頻段的交界處，稱wT為轉折頻率（或交接頻率）,-相頻特性,慣性環(huán)節(jié)的Bode圖,由上圖可見： 慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性，在低頻段為0dB的一條直線（漸近線）。在高頻段時w每增加10倍，對數(shù)幅頻特性衰減20dB(漸近線），最大誤差發(fā)生在W=1/T處，必要時可根據(jù)以下方法修正。,L(w)曲線的修正,利用上式制出教材P153表5-2，從表中發(fā)現(xiàn)誤差在Tw=0.110區(qū)間，其中最大誤差發(fā)生在w=1/T處，在此區(qū)間以外基本上誤差為0，因此在有必要修正漸近線時只在這個區(qū)間內進行。,一階微分

13、化解,傳遞函數(shù),頻率特性,幅相特性,討論：對數(shù)頻率特性(L(w)， ）隨w的變化情況,這里為研究問題方便,對數(shù)幅頻特性,可見微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性，在高頻段w每增加10倍，L(w)增加20dB，w=wT為高低頻段的交界處，稱wT為轉折頻率（或交接頻率）,-相頻特性,微分環(huán)節(jié)漸進性及精確曲線的之間的修正方法與慣性環(huán)節(jié)一樣，只是向反對稱于實軸，L(w)的最大誤差也出現(xiàn)在w=1/T處，最大誤差為+3dB，修正區(qū)間也在Tw=0.110,振蕩環(huán)節(jié),傳遞函數(shù),頻率特性,分子、分母同除wn2,令,幅相特性,對數(shù)幅頻特性,討論：對數(shù)頻率特性(L(w)， ）隨w的變化情況,可見振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性，在低頻時為

14、0，高頻段W每增加10倍，L(w)衰減40dB.,-相頻特性,相頻特性曲線特點 這三點無論 為何值都不變，之外曲線隨 值的不同而不同。,振蕩環(huán)節(jié)的Bode圖,振蕩環(huán)節(jié)的Bode圖的特點 修正的區(qū)間也在轉折頻率的前后10倍頻率范圍內進行,二階微分環(huán)節(jié),振蕩環(huán)節(jié),二階微分環(huán)節(jié),振蕩環(huán)節(jié),與慣性環(huán)節(jié)還有一階微分環(huán)節(jié)作比較,系統(tǒng)bode圖繪制,Bode圖通常繪制系統(tǒng)的開環(huán)bode圖的漸近線，若需精確特性時，在對漸近bode圖進行適當修正。 繪制bode圖見基本步驟通過例題給大家加以說明,例5-2（教材例題）：已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性,解：將組成系統(tǒng)的各環(huán)節(jié)化為標準形式,方法1分別各個環(huán)節(jié)的bode圖，然后疊加而成為系統(tǒng)的bode圖,方法2,將組成系統(tǒng)的各環(huán)節(jié)化為標準形式,建立bode圖的坐標,求20lgk，并將其標注在圖中,過w=1作橫軸的垂線，找垂線與20lgk的交點A 求相應環(huán)節(jié)的轉折頻率，并標注在圖中,過A點作斜率為v(-20)的線段，經(jīng)過一個轉折頻率，改變一次斜率,利用Matlab繪制bode圖,num=5 10; den=0.5 1.5 1 0; figure(1) bode(num,den) numb,denb=cloop(num,den