對數(shù)函數(shù)考點分析及經(jīng)典例題講解

1、 對數(shù)函數(shù)考點分析及經(jīng)典例題講解1 對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù) 叫做對數(shù)函數(shù),定義域是 a的取值0a1a1定義域 圖 象圖像特征在y軸的右側(cè)，過定點（1，0）即x=1時，y=0當(dāng)x0且x0時,圖象趨近于 y軸正半軸.當(dāng)x0且x0時，圖象趨近于 y軸負(fù)半軸.值域R性 質(zhì)（1）過定點（1，0），（2）在（0，+）上是減函數(shù)（2）在（0，+）上是增函數(shù)函數(shù)值的變化規(guī)律當(dāng)0x1 時, y0.當(dāng) 0x1 時，y1時， y0 .3.對數(shù)函數(shù)y=logax(a0,且a1)與指數(shù)函數(shù)y=ax(a0,且a1)互為反函數(shù) .它們的圖象關(guān)于對稱.案例分析：考點一、比較大小例1、比較下列各組數(shù)中兩個值的大?。海?） log

2、23.4，log23.8； （2）log0.51.8，log0.52.1； （3）loga5.1，loga5.9； （4）log75，log67. (5)； (6)變式訓(xùn)練：1、已知函數(shù)，則當(dāng)時， ；當(dāng)時， .解析：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖像可得當(dāng)時，；當(dāng)時，答案：；考點二、求定義域例2、求下列函數(shù)的定義域（1） ； （2） ； （3） （4）例3、選擇題：若則m、n滿足的條件是（ ） A、mn1 B、nm1 C、0mn1 D、0nm1例4 、函數(shù)在什么區(qū)間上是增函數(shù)？在什么區(qū)間上是減函數(shù)？1、函數(shù)f(x)loga(a1)x1在定義域上()A是增函數(shù) B是減函數(shù) C先增后減 D先減后增解析：選A.當(dāng)a

3、1時，ylogat為增函數(shù)，t(a1)x1為增函數(shù)，f(x)loga(a1)x1為增函數(shù)； 當(dāng)0a1時，ylogat為減函數(shù)，t(a1)x1為減函數(shù)， f(x)loga(a1)x1為增函數(shù)2、方程的解集是 3、已知函數(shù)f(x)，則使函數(shù)f(x)的圖象位于直線y1上方的x的取值范圍是 _解析：當(dāng)x0時，3x11x10，1x0；當(dāng)x0時，log2x1x2，x2，綜上所述：1x0或x2.答案：1x0或x24、若00, 01). 令u=a-ax,u0,a1,axa,x1,y=loga(a-ax)的定義域為x|x1, ax0,u=a-axa,y=loga(a-ax)logaa=1,函數(shù)的值域為y|y0得

4、x5或x5或x0，y(，)因此ylog2(x26x5)的值域為R.3、已知滿足條件，求函數(shù)的最大值解：令，則；解得，即；，；當(dāng)時，4、已知，求的值。解析：由得，所以有，即，則或，當(dāng)時，所以應(yīng)舍去，所以。所以。5、設(shè)函數(shù)，且， （1）求的值； （2）當(dāng)時，求的最大值解析：由已知，得， 解得（2）在上是增函數(shù)， 的最大值為考點四、 對數(shù)函數(shù)的圖像例1、已知a0且a1，函數(shù)y=ax與y=loga(-x)的圖像只能是（ ）【分析】應(yīng)先由函數(shù)定義域判斷圖像的位置，再對底數(shù)a進(jìn)行討論，最后選出正確選項.【解析】解法一:首先,曲線y=ax只可能在上半平面,y=loga(-x)只可能在左半平面上,從而排除A,

5、C. 其次,從單調(diào)性著眼,y=ax與y=loga(-x)的增減性正好相反,又可排除D. 故應(yīng)選B. 解法二:若0a1,則曲線y=ax上升且過(0,1),而曲線y=loga(-x)下降且過(-1,0),只有B滿足條件. 解法三:如果注意到y(tǒng)=loga(-x)的圖象關(guān)于y軸的對稱圖象為y=logax,又y=logax與y=ax互為反函數(shù) (圖象關(guān)于直線y=x對稱),則可直接選定B.例2、已知圖中曲線C1，C2，C3，C4分別是函數(shù)yloga1x，yloga2x，yloga3x，yloga4x的圖象， 則a1，a2，a3，a4的大小關(guān)系是()Aa4a3a2a1Ba3a4a1a2Ca2a1a3a4Da

6、3a4a2a1解析：選B.由已知圖中的四條曲線底數(shù)不同及圖象的位置關(guān)系，再利用logaa1結(jié)合圖象求解例3、函數(shù)ylog2|x|的大致圖象是()解析：選D.當(dāng)x0時，ylog2xlog2x；當(dāng)x1，By|y()x，x1，則AB()Ay|0y0 C DR答案B解析Ay|ylog2x，x1y|y0，By|y()x，x1y|0y0，故選B.2、已知函數(shù)f(x)|lgx|，若ab，且f(a)f(b)，則ab()A1 B2 C. D.解析：選A.如圖由f(a)f(b)，得|lga|lgb|.設(shè)0ab，則lgalgb0. ab1.3、函數(shù)yloga(x2)3(a0且a1)的圖象過定點_解析：當(dāng)x1時，lo

7、ga(x2)0，yloga(x2)33，過定點(1,3)答案：(1,3)4、已知函數(shù)f(x)，g(x)log2x，則f(x)與g(x)兩函數(shù)的圖象的交點個數(shù)為()A1 B2C3 D4答案：B5、函數(shù)y=loga(4-x) 的定義域是_ (其中a0,a1) 6、比較下列各組數(shù)中兩個值的大?。?1) log 23.4 , log 28.5 （2）log 0.31.8 , log 0.32.7（3） log a5.1 , log a5.9 ( a0 , 且a1 )7. 比較下列各題中兩個值的大小: log106 log108 log0.56 log0.54 log0.10.5 log0.10.6 l

8、og1.50.6 log1.50.48已知下列不等式，比較正數(shù)m，n 的大?。?(1) log 3 m log 0.3 n (3) log a m loga n (0a log a n (a1)考點五、求最值例1、已知x1,9,求的最大值及當(dāng)y取最大值時x的值.【分析】要求函數(shù)y=f(x)2+f(x2)的最大值，首先要求函數(shù)的解析式，然后求出函數(shù)的定義域， 最后用換元法求出函數(shù)的值域.【解析】f(x)=2+log3x,y=f(x)2+f(x2)=(2+log3x)2+(2+log3x2)=log32x+6log3x+6=(log3x+3)2-3. 函數(shù)f(x)的定義域為1,9, 要使函數(shù)y=f

9、(x)2+f(x2)有定義，必須1x29， 1x9. 1x3,0log3x1.令u=log3x，則0u1. 又函數(shù)y=(u+3)2-3在-3,+)上是增函數(shù), 當(dāng)u=1時，函數(shù)y=(u+3)2-3有最大值13. 即當(dāng)log3x=1,即x=3時，函數(shù)y=f(x)2+f(x2)有最大值為13.例2、（1）若且，求的取值范圍。（2）已知，求的取值范圍；例3、解下列方程：（1） 、 （2）、（3）、 （4）、例4、解不等式：（1）、 （2）、變式訓(xùn)練：1、函數(shù)f(x)loga|x1|在(0,1)上是減函數(shù)，那么f(x)在(1，)上()A遞增且無最大值 B遞減且無最小值C遞增且有最大值 D遞減且有最小值

10、答案A解析當(dāng)0x1，當(dāng)x1時，f(x)loga(x1)在(1，)上為增函數(shù)，且無最大值，故選A考點六、求變量范圍例1、已知函數(shù)f(x)=lg(ax2+2x+1).（1）若f(x)的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若f(x)的值域為R，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）要使f(x)的定義域為R，只要使(x)=ax2+2x+1的值恒為正值， a0，=4-4a0，（2）若f(x)的值域為R，則要求(x)=ax2+2x+1的值域包含(0,+). 當(dāng)a0時，(x)=ax2+2x+1要包含(0,+)， 需a0，=4-4a0， 綜上所述，0 a1.例2、函數(shù)f(x)log(3x2ax5)在1，)上是減

11、函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍解：令t3x2ax5，則ylogt在1，)上單調(diào)遞減，故t3x2ax5在1，)單調(diào)遞增， 且t0(即當(dāng)x1時t0) 因為t3x2ax5的對稱軸為x，所以8a6.例3、若函數(shù)g(x)log3(ax22x1)有最大值1，求實數(shù)a的值解：令h(x)ax22x1，由于函數(shù)g(x)log3h(x)是遞增函數(shù)，所以要使函數(shù) g(x)log3(ax22x1)有最大值1，應(yīng)使h(x)ax22x1有最大值3， 因此有，解得a，此即為實數(shù)a的值變式訓(xùn)練：1、設(shè)0a1，f(x)loga(a2x2ax2)，則f(x)0的x的取值范圍是_解析：loga(a2x2ax2)0a2x2ax21(ax)

12、22ax30ax3xloga3. 答案：(，loga3)2、設(shè)a0，a1，函數(shù)f(x)alg(x22x3)有最大值，則不等式loga(x25x7)0的解集為_解析：設(shè)tlg(x22x3)lg(x1)22當(dāng)xR時，tminlg2.又函數(shù)yf(x)有最大值，所以0a0，得0x25x71，解得2x3.故不等式解集為x|2x0，a1)的單調(diào)區(qū)間解：當(dāng)a1時，f(x)的增區(qū)間為(1，)，減區(qū)間為(，) 當(dāng)0a1，那么原問題就是1在2，+)上恒成立時，求a的問題。若1，即，由于x0,，所以ax+，又在2，+)上是增函數(shù)，當(dāng)x=2時，最小，所以a2+=，因此實數(shù)a的范圍是 1a0且a1)(1)求f(x)的定

13、義域；(2)討論f(x)的單調(diào)性；(3)x為何值時，函數(shù)值大于1.解析(1)f(x)loga(ax1)有意義，應(yīng)滿足ax10即ax1當(dāng)a1時，x0，當(dāng)0a1時，x1時，函數(shù)f(x)的定義域為x|x0；0a1時，函數(shù)f(x)的定義域為x|x1時yax1為增函數(shù)，因此yloga(ax1)為增函數(shù)；當(dāng)0a1時f(x)1即ax1aaxa1xloga(a1)0a1即0ax1a1axa1loga(a1)x0，a1)的最大值比最小值大1，求a的值解析a1時，ylogax是增函數(shù)，logaloga21，即loga1，得a.0a0且a1)，(1)求f(x)的定義域；(2)判斷yf(x)的奇偶性；(3)求使f(x

14、)0的x的取值范圍解析(1)依題意有0，即(1x)(1x)0，所以1x0得，loga0(a0，a1)，當(dāng)0a1時，由可得01，解得1x1時，由知1，解此不等式得0x1.例5、已知f(x)loga(a0，a1)是奇函數(shù)(1)求m的值；(2)討論f(x)的單調(diào)性解：(1)f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)logalogaloga0對定義域內(nèi)的任意x恒成立，1，(m21)x20，m1.當(dāng)m1時，1，函數(shù)無意義，m1.(2)由(1)知，f(x)loga，定義域為(，1)(1，)，求導(dǎo)得f(x)logae.當(dāng)a1時，f(x)0，f(x)在(，1)與(1，)內(nèi)都是減函數(shù)；當(dāng)0a1時，f(x)0，f(x)在

15、(，1)與(1，)上都是增函數(shù)例7、判斷函數(shù)f（x）=ln（x）的奇偶性.例8、（1）證明函數(shù)f（x）=log2（x2+1）在（0，+）上是增函數(shù)；（2）問：函數(shù)f（x）=log2（x2+1）在（，0）上是減函數(shù)還是增函數(shù)？分析：此題目的在于讓學(xué)生熟悉函數(shù)單調(diào)性證明通法，同時熟悉利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較同底數(shù)對數(shù)大小的方法.例9、已知f（logax）=，其中a0，且a1.（1）求f（x）；（2）求證：f（x）是奇函數(shù)；（3）求證：f（x）在R上為增函數(shù).分析：利用換元法，可令t=logax，求出f（x），從而求出f（x）.證明奇函數(shù)及增函數(shù)可運(yùn)用定義.解：用換元法求出f(x)的解析式，由于其中含

16、有字母，故需討論設(shè)tlogax，則xat，f(t)即f(t)(atat)f(x)(axax)f(x)的定義域是(，)，設(shè)x10，a1，ax1ax20,1ax1ax20.若0aax2，ax1ax20.此時0，f(x1)f(x2)0，即f(x1)1，f(x1)0且a1時，f(x)在(，)上是單調(diào)函數(shù)，是單調(diào)增函數(shù)變式訓(xùn)練：1、f(x)log2的圖象關(guān)于原點對稱，則實數(shù)a的值為_解析：由圖象關(guān)于原點對稱可知函數(shù)為奇函數(shù)，所以f(x)f(x)0，即log2log20log20log21，所以1a1(負(fù)根舍去)答案：1考點八、反函數(shù)例1、已知a0,且a1，函數(shù)y=ax與y=loga(-x)的圖象只能是（

17、 ） 【分析】分a1,0a1兩種情況，分別作出兩函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象判定關(guān)系.【解析】解法一：首先，曲線y=ax只可能在上半平面，y=loga(-x)只可能在左半平面，從而排除A，C. 其次，從單調(diào)性著手，y=ax與y=loga(-x)的增減性正好相反，又可排除D，故只能選B.解法二：若0a1，則曲線y=ax上升且過點(0,1)，而曲線y=loga(-x)下降且過(-1,0)，只有B滿足條件.解法三：如果注意到y(tǒng)=loga(-x)的圖象關(guān)于y軸的對稱圖象為y=logax的圖象，因為y=logax與y=ax互為反函數(shù) （圖象關(guān)于直線y=x對稱），則可直接選B.1、已知函數(shù)f(x)的反函數(shù)為g(x

18、)12lgx(x0)，則f(1)g(1)()A0B1C2D4答案C解析g(1)1，f(x)與g(x)互為反函數(shù)，f(1)1，f(1)g(1)2.2、若函數(shù)yf(x)是函數(shù)yax(a0，且a1)的反函數(shù)，其圖象經(jīng)過點(，a)，則f(x)()Alog2x Blogx C. Dx2解析：選B.yaxxlogay，f(x)logax，alogaf(x)logx.3、 函數(shù)的反函數(shù)的解析表達(dá)式為（ ）ABCD解析：由已知得，運(yùn)用指、對數(shù)式的互化，得，所以其反函數(shù)的解析式為，即故選A考點九、對數(shù)函數(shù)圖像的變換 1函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向左平移2個單位得到。 2. 函數(shù)的圖象是由函數(shù)+3的圖象向右平移2個

19、單位，得到。 3. 函數(shù)（）的圖象是由函數(shù)的圖象 當(dāng)時先向左平移 b個單位，再向上平移c 個單位得到; 當(dāng)時先向右平移| b|個單位，再向上平移c 個單位得到; 當(dāng)時先向左平移 b個單位，再向下平移|c |個單位得到; 當(dāng)時先向右平移| b|個 單位，再向下平移|c| 個單位得到。4.說明：上述變換稱為平移變換。例1、說明下列函數(shù)的圖像與對數(shù)函數(shù)的圖像的關(guān)系，并畫出它們的示意圖，由圖像寫出它的單調(diào)區(qū)間：(1) ； (2)(3) ； (4) 練習(xí)、怎樣由對數(shù)函數(shù)的圖像得到下列函數(shù)的圖像？ (1)； (2)；變式訓(xùn)練：1、已知,其中,則下列各式正確的是 ( ) A B C D 2. 函數(shù)（a為常數(shù)

20、，a1）的大致圖像是 （ ）解析：函數(shù)（a為常數(shù)，a1）的定義域為（0，+），刪掉A、C選項，在定義域內(nèi)是減函數(shù)，刪掉B選項，故選D。另外本題也可以利用函數(shù)圖象的對稱變換，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱，從而可知，故選D。答案：D3、已知函數(shù)，且，則的圖像必過點（ ） ABCD解析：因為函數(shù)，且的圖像恒過定點，的圖像向右平移1個單位可得到函數(shù)的圖像所以的圖像比經(jīng)過點答案：C4、函數(shù)的圖象恒過定點_解析：當(dāng)真數(shù)部分等于1時，x=1，此時，所以，過定點(1,1)答案：(1，1)5、已知，則圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱的函數(shù)為（ ）A B C D解析：因為函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，所以與函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱的函數(shù)為答案：C6、已知，則 在其定義域上為（ ）A奇函數(shù)B偶函數(shù)C增函數(shù) D減函數(shù)解析：函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)