對數(shù)函數(shù)考點分析及經(jīng)典例題講解_第1頁
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1、 對數(shù)函數(shù)考點分析及經(jīng)典例題講解1 對數(shù)函數(shù)的定義:函數(shù) 叫做對數(shù)函數(shù),定義域是 a的取值0a1a1定義域 圖 象圖像特征在y軸的右側(cè),過定點(1,0)即x=1時,y=0當(dāng)x0且x0時,圖象趨近于 y軸正半軸.當(dāng)x0且x0時,圖象趨近于 y軸負(fù)半軸.值域R性 質(zhì)(1)過定點(1,0),(2)在(0,+)上是減函數(shù)(2)在(0,+)上是增函數(shù)函數(shù)值的變化規(guī)律當(dāng)0x1 時, y0.當(dāng) 0x1 時,y1時, y0 .3.對數(shù)函數(shù)y=logax(a0,且a1)與指數(shù)函數(shù)y=ax(a0,且a1)互為反函數(shù) .它們的圖象關(guān)于對稱.案例分析:考點一、比較大小例1、比較下列各組數(shù)中兩個值的大?。海?) log

2、23.4,log23.8; (2)log0.51.8,log0.52.1; (3)loga5.1,loga5.9; (4)log75,log67. (5); (6)變式訓(xùn)練:1、已知函數(shù),則當(dāng)時, ;當(dāng)時, .解析:根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖像可得當(dāng)時,;當(dāng)時,答案:;考點二、求定義域例2、求下列函數(shù)的定義域(1) ; (2) ; (3) (4)例3、選擇題:若則m、n滿足的條件是( ) A、mn1 B、nm1 C、0mn1 D、0nm1例4 、函數(shù)在什么區(qū)間上是增函數(shù)?在什么區(qū)間上是減函數(shù)?1、函數(shù)f(x)loga(a1)x1在定義域上()A是增函數(shù) B是減函數(shù) C先增后減 D先減后增解析:選A.當(dāng)a

3、1時,ylogat為增函數(shù),t(a1)x1為增函數(shù),f(x)loga(a1)x1為增函數(shù); 當(dāng)0a1時,ylogat為減函數(shù),t(a1)x1為減函數(shù), f(x)loga(a1)x1為增函數(shù)2、方程的解集是 3、已知函數(shù)f(x),則使函數(shù)f(x)的圖象位于直線y1上方的x的取值范圍是 _解析:當(dāng)x0時,3x11x10,1x0;當(dāng)x0時,log2x1x2,x2,綜上所述:1x0或x2.答案:1x0或x24、若00, 01). 令u=a-ax,u0,a1,axa,x1,y=loga(a-ax)的定義域為x|x1, ax0,u=a-axa,y=loga(a-ax)logaa=1,函數(shù)的值域為y|y0得

4、x5或x5或x0,y(,)因此ylog2(x26x5)的值域為R.3、已知滿足條件,求函數(shù)的最大值解:令,則;解得,即;,;當(dāng)時,4、已知,求的值。解析:由得,所以有,即,則或,當(dāng)時,所以應(yīng)舍去,所以。所以。5、設(shè)函數(shù),且, (1)求的值; (2)當(dāng)時,求的最大值解析:由已知,得, 解得(2)在上是增函數(shù), 的最大值為考點四、 對數(shù)函數(shù)的圖像例1、已知a0且a1,函數(shù)y=ax與y=loga(-x)的圖像只能是( )【分析】應(yīng)先由函數(shù)定義域判斷圖像的位置,再對底數(shù)a進(jìn)行討論,最后選出正確選項.【解析】解法一:首先,曲線y=ax只可能在上半平面,y=loga(-x)只可能在左半平面上,從而排除A,

5、C. 其次,從單調(diào)性著眼,y=ax與y=loga(-x)的增減性正好相反,又可排除D. 故應(yīng)選B. 解法二:若0a1,則曲線y=ax上升且過(0,1),而曲線y=loga(-x)下降且過(-1,0),只有B滿足條件. 解法三:如果注意到y(tǒng)=loga(-x)的圖象關(guān)于y軸的對稱圖象為y=logax,又y=logax與y=ax互為反函數(shù) (圖象關(guān)于直線y=x對稱),則可直接選定B.例2、已知圖中曲線C1,C2,C3,C4分別是函數(shù)yloga1x,yloga2x,yloga3x,yloga4x的圖象, 則a1,a2,a3,a4的大小關(guān)系是()Aa4a3a2a1Ba3a4a1a2Ca2a1a3a4Da

6、3a4a2a1解析:選B.由已知圖中的四條曲線底數(shù)不同及圖象的位置關(guān)系,再利用logaa1結(jié)合圖象求解例3、函數(shù)ylog2|x|的大致圖象是()解析:選D.當(dāng)x0時,ylog2xlog2x;當(dāng)x1,By|y()x,x1,則AB()Ay|0y0 C DR答案B解析Ay|ylog2x,x1y|y0,By|y()x,x1y|0y0,故選B.2、已知函數(shù)f(x)|lgx|,若ab,且f(a)f(b),則ab()A1 B2 C. D.解析:選A.如圖由f(a)f(b),得|lga|lgb|.設(shè)0ab,則lgalgb0. ab1.3、函數(shù)yloga(x2)3(a0且a1)的圖象過定點_解析:當(dāng)x1時,lo

7、ga(x2)0,yloga(x2)33,過定點(1,3)答案:(1,3)4、已知函數(shù)f(x),g(x)log2x,則f(x)與g(x)兩函數(shù)的圖象的交點個數(shù)為()A1 B2C3 D4答案:B5、函數(shù)y=loga(4-x) 的定義域是_ (其中a0,a1) 6、比較下列各組數(shù)中兩個值的大?。?1) log 23.4 , log 28.5 (2)log 0.31.8 , log 0.32.7(3) log a5.1 , log a5.9 ( a0 , 且a1 )7. 比較下列各題中兩個值的大小: log106 log108 log0.56 log0.54 log0.10.5 log0.10.6 l

8、og1.50.6 log1.50.48已知下列不等式,比較正數(shù)m,n 的大?。?(1) log 3 m log 0.3 n (3) log a m loga n (0a log a n (a1)考點五、求最值例1、已知x1,9,求的最大值及當(dāng)y取最大值時x的值.【分析】要求函數(shù)y=f(x)2+f(x2)的最大值,首先要求函數(shù)的解析式,然后求出函數(shù)的定義域, 最后用換元法求出函數(shù)的值域.【解析】f(x)=2+log3x,y=f(x)2+f(x2)=(2+log3x)2+(2+log3x2)=log32x+6log3x+6=(log3x+3)2-3. 函數(shù)f(x)的定義域為1,9, 要使函數(shù)y=f

9、(x)2+f(x2)有定義,必須1x29, 1x9. 1x3,0log3x1.令u=log3x,則0u1. 又函數(shù)y=(u+3)2-3在-3,+)上是增函數(shù), 當(dāng)u=1時,函數(shù)y=(u+3)2-3有最大值13. 即當(dāng)log3x=1,即x=3時,函數(shù)y=f(x)2+f(x2)有最大值為13.例2、(1)若且,求的取值范圍。(2)已知,求的取值范圍;例3、解下列方程:(1) 、 (2)、(3)、 (4)、例4、解不等式:(1)、 (2)、變式訓(xùn)練:1、函數(shù)f(x)loga|x1|在(0,1)上是減函數(shù),那么f(x)在(1,)上()A遞增且無最大值 B遞減且無最小值C遞增且有最大值 D遞減且有最小值

10、答案A解析當(dāng)0x1,當(dāng)x1時,f(x)loga(x1)在(1,)上為增函數(shù),且無最大值,故選A考點六、求變量范圍例1、已知函數(shù)f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)若f(x)的定義域為R,求實數(shù)a的取值范圍;(2)若f(x)的值域為R,求實數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)要使f(x)的定義域為R,只要使(x)=ax2+2x+1的值恒為正值, a0,=4-4a0,(2)若f(x)的值域為R,則要求(x)=ax2+2x+1的值域包含(0,+). 當(dāng)a0時,(x)=ax2+2x+1要包含(0,+), 需a0,=4-4a0, 綜上所述,0 a1.例2、函數(shù)f(x)log(3x2ax5)在1,)上是減

11、函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍解:令t3x2ax5,則ylogt在1,)上單調(diào)遞減,故t3x2ax5在1,)單調(diào)遞增, 且t0(即當(dāng)x1時t0) 因為t3x2ax5的對稱軸為x,所以8a6.例3、若函數(shù)g(x)log3(ax22x1)有最大值1,求實數(shù)a的值解:令h(x)ax22x1,由于函數(shù)g(x)log3h(x)是遞增函數(shù),所以要使函數(shù) g(x)log3(ax22x1)有最大值1,應(yīng)使h(x)ax22x1有最大值3, 因此有,解得a,此即為實數(shù)a的值變式訓(xùn)練:1、設(shè)0a1,f(x)loga(a2x2ax2),則f(x)0的x的取值范圍是_解析:loga(a2x2ax2)0a2x2ax21(ax)

12、22ax30ax3xloga3. 答案:(,loga3)2、設(shè)a0,a1,函數(shù)f(x)alg(x22x3)有最大值,則不等式loga(x25x7)0的解集為_解析:設(shè)tlg(x22x3)lg(x1)22當(dāng)xR時,tminlg2.又函數(shù)yf(x)有最大值,所以0a0,得0x25x71,解得2x3.故不等式解集為x|2x0,a1)的單調(diào)區(qū)間解:當(dāng)a1時,f(x)的增區(qū)間為(1,),減區(qū)間為(,) 當(dāng)0a1,那么原問題就是1在2,+)上恒成立時,求a的問題。若1,即,由于x0,,所以ax+,又在2,+)上是增函數(shù),當(dāng)x=2時,最小,所以a2+=,因此實數(shù)a的范圍是 1a0且a1)(1)求f(x)的定

13、義域;(2)討論f(x)的單調(diào)性;(3)x為何值時,函數(shù)值大于1.解析(1)f(x)loga(ax1)有意義,應(yīng)滿足ax10即ax1當(dāng)a1時,x0,當(dāng)0a1時,x1時,函數(shù)f(x)的定義域為x|x0;0a1時,函數(shù)f(x)的定義域為x|x1時yax1為增函數(shù),因此yloga(ax1)為增函數(shù);當(dāng)0a1時f(x)1即ax1aaxa1xloga(a1)0a1即0ax1a1axa1loga(a1)x0,a1)的最大值比最小值大1,求a的值解析a1時,ylogax是增函數(shù),logaloga21,即loga1,得a.0a0且a1),(1)求f(x)的定義域;(2)判斷yf(x)的奇偶性;(3)求使f(x

14、)0的x的取值范圍解析(1)依題意有0,即(1x)(1x)0,所以1x0得,loga0(a0,a1),當(dāng)0a1時,由可得01,解得1x1時,由知1,解此不等式得0x1.例5、已知f(x)loga(a0,a1)是奇函數(shù)(1)求m的值;(2)討論f(x)的單調(diào)性解:(1)f(x)是奇函數(shù),f(x)f(x)logalogaloga0對定義域內(nèi)的任意x恒成立,1,(m21)x20,m1.當(dāng)m1時,1,函數(shù)無意義,m1.(2)由(1)知,f(x)loga,定義域為(,1)(1,),求導(dǎo)得f(x)logae.當(dāng)a1時,f(x)0,f(x)在(,1)與(1,)內(nèi)都是減函數(shù);當(dāng)0a1時,f(x)0,f(x)在

15、(,1)與(1,)上都是增函數(shù)例7、判斷函數(shù)f(x)=ln(x)的奇偶性.例8、(1)證明函數(shù)f(x)=log2(x2+1)在(0,+)上是增函數(shù);(2)問:函數(shù)f(x)=log2(x2+1)在(,0)上是減函數(shù)還是增函數(shù)?分析:此題目的在于讓學(xué)生熟悉函數(shù)單調(diào)性證明通法,同時熟悉利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較同底數(shù)對數(shù)大小的方法.例9、已知f(logax)=,其中a0,且a1.(1)求f(x);(2)求證:f(x)是奇函數(shù);(3)求證:f(x)在R上為增函數(shù).分析:利用換元法,可令t=logax,求出f(x),從而求出f(x).證明奇函數(shù)及增函數(shù)可運(yùn)用定義.解:用換元法求出f(x)的解析式,由于其中含

16、有字母,故需討論設(shè)tlogax,則xat,f(t)即f(t)(atat)f(x)(axax)f(x)的定義域是(,),設(shè)x10,a1,ax1ax20,1ax1ax20.若0aax2,ax1ax20.此時0,f(x1)f(x2)0,即f(x1)1,f(x1)0且a1時,f(x)在(,)上是單調(diào)函數(shù),是單調(diào)增函數(shù)變式訓(xùn)練:1、f(x)log2的圖象關(guān)于原點對稱,則實數(shù)a的值為_解析:由圖象關(guān)于原點對稱可知函數(shù)為奇函數(shù),所以f(x)f(x)0,即log2log20log20log21,所以1a1(負(fù)根舍去)答案:1考點八、反函數(shù)例1、已知a0,且a1,函數(shù)y=ax與y=loga(-x)的圖象只能是(

17、 ) 【分析】分a1,0a1兩種情況,分別作出兩函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象判定關(guān)系.【解析】解法一:首先,曲線y=ax只可能在上半平面,y=loga(-x)只可能在左半平面,從而排除A,C. 其次,從單調(diào)性著手,y=ax與y=loga(-x)的增減性正好相反,又可排除D,故只能選B.解法二:若0a1,則曲線y=ax上升且過點(0,1),而曲線y=loga(-x)下降且過(-1,0),只有B滿足條件.解法三:如果注意到y(tǒng)=loga(-x)的圖象關(guān)于y軸的對稱圖象為y=logax的圖象,因為y=logax與y=ax互為反函數(shù) (圖象關(guān)于直線y=x對稱),則可直接選B.1、已知函數(shù)f(x)的反函數(shù)為g(x

18、)12lgx(x0),則f(1)g(1)()A0B1C2D4答案C解析g(1)1,f(x)與g(x)互為反函數(shù),f(1)1,f(1)g(1)2.2、若函數(shù)yf(x)是函數(shù)yax(a0,且a1)的反函數(shù),其圖象經(jīng)過點(,a),則f(x)()Alog2x Blogx C. Dx2解析:選B.yaxxlogay,f(x)logax,alogaf(x)logx.3、 函數(shù)的反函數(shù)的解析表達(dá)式為( )ABCD解析:由已知得,運(yùn)用指、對數(shù)式的互化,得,所以其反函數(shù)的解析式為,即故選A考點九、對數(shù)函數(shù)圖像的變換 1函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向左平移2個單位得到。 2. 函數(shù)的圖象是由函數(shù)+3的圖象向右平移2個

19、單位,得到。 3. 函數(shù)()的圖象是由函數(shù)的圖象 當(dāng)時先向左平移 b個單位,再向上平移c 個單位得到; 當(dāng)時先向右平移| b|個單位,再向上平移c 個單位得到; 當(dāng)時先向左平移 b個單位,再向下平移|c |個單位得到; 當(dāng)時先向右平移| b|個 單位,再向下平移|c| 個單位得到。4.說明:上述變換稱為平移變換。例1、說明下列函數(shù)的圖像與對數(shù)函數(shù)的圖像的關(guān)系,并畫出它們的示意圖,由圖像寫出它的單調(diào)區(qū)間:(1) ; (2)(3) ; (4) 練習(xí)、怎樣由對數(shù)函數(shù)的圖像得到下列函數(shù)的圖像? (1); (2);變式訓(xùn)練:1、已知,其中,則下列各式正確的是 ( ) A B C D 2. 函數(shù)(a為常數(shù)

20、,a1)的大致圖像是 ( )解析:函數(shù)(a為常數(shù),a1)的定義域為(0,+),刪掉A、C選項,在定義域內(nèi)是減函數(shù),刪掉B選項,故選D。另外本題也可以利用函數(shù)圖象的對稱變換,函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱,從而可知,故選D。答案:D3、已知函數(shù),且,則的圖像必過點( ) ABCD解析:因為函數(shù),且的圖像恒過定點,的圖像向右平移1個單位可得到函數(shù)的圖像所以的圖像比經(jīng)過點答案:C4、函數(shù)的圖象恒過定點_解析:當(dāng)真數(shù)部分等于1時,x=1,此時,所以,過定點(1,1)答案:(1,1)5、已知,則圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱的函數(shù)為( )A B C D解析:因為函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點對稱,所以與函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱的函數(shù)為答案:C6、已知,則 在其定義域上為( )A奇函數(shù)B偶函數(shù)C增函數(shù) D減函數(shù)解析:函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)

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