(07)第7章 參數(shù)估計.ppt

1、第 7 章 參數(shù)估計,第 7 章 參數(shù)估計,7.1 參數(shù)估計的一般問題 7.2 一個總體參數(shù)的區(qū)間估計 7.3 兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計 7.4 樣本容量的確定,學(xué)習(xí)目標(biāo),估計量與估計值的概念 點估計與區(qū)間估計的區(qū)別 評價估計量優(yōu)良性的標(biāo)準(zhǔn) 一個總體參數(shù)的區(qū)間估計方法 兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計方法 樣本容量的確定方法,參數(shù)估計在統(tǒng)計方法中的地位,統(tǒng)計推斷的過程,7.1 參數(shù)估計的一般問題,估計量與估計值 點估計與區(qū)間估計 評價估計量的標(biāo)準(zhǔn),估計量與估計值,估計量：用于估計總體參數(shù)的隨機變量 如樣本均值，樣本比例、樣本方差等 例如: 樣本均值就是總體均值 的一個估計量 參數(shù)用 表示，估計量用 表示

2、估計值：估計參數(shù)時計算出來的統(tǒng)計量的具體值 如果樣本均值 x =80，則80就是的估計值,估計量與估計值 (estimator & estimated value),點估計與區(qū)間估計,參數(shù)估計的方法,點估計 (point estimate),用樣本的估計量直接作為總體參數(shù)的估計值 例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計 例如：用兩個樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計 2.沒有給出估計值接近總體參數(shù)程度的信息 點估計的方法有矩估計法、順序統(tǒng)計量法、最大似然法、最小二乘法等,區(qū)間估計 (interval estimate),在點估計的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計的一個區(qū)間范圍，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計量加

3、減抽樣誤差而得到的 根據(jù)樣本統(tǒng)計量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計量與總體參數(shù)的接近程度給出一個概率度量 比如，某班級平均分?jǐn)?shù)在7585之間，置信水平是95%,區(qū)間估計的圖示,將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱為置信水平 表示為 (1 - 為是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的比例 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90% 相應(yīng)的 為0.01，0.05，0.10,置信水平,由樣本統(tǒng)計量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計區(qū)間稱為置信區(qū)間 統(tǒng)計學(xué)家在某種程度上確信這個區(qū)間會包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間 用一個具體的樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個特定的區(qū)間，我們無法知道這個樣本所產(chǎn)

4、生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值 我們只能是希望這個區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個，但它也可能是少數(shù)幾個不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個,置信區(qū)間 (confidence interval),置信區(qū)間與置信水平,均值的抽樣分布,(1 - ) % 區(qū)間包含了 % 的區(qū)間未包含,影響區(qū)間寬度的因素,1.總體數(shù)據(jù)的離散程度，用 來測度 樣本容量， 置信水平 (1 - )，影響 z 的大小,評價估計量的標(biāo)準(zhǔn),無偏性(unbiasedness),無偏性：估計量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被 估計的總體參數(shù),有效性(efficiency),有效性：對同一總體參數(shù)的兩個無偏點估計量 ，有更小標(biāo)準(zhǔn)差的估計量更有

5、效,一致性(consistency),一致性：隨著樣本容量的增大，估計量的 值越來越接近被估計的總體參數(shù),7.2 一個總體參數(shù)的區(qū)間估計,總體均值的區(qū)間估計 總體比例的區(qū)間估計 總體方差的區(qū)間估計,一個總體參數(shù)的區(qū)間估計,總體均值的區(qū)間估計 (正態(tài)總體、已知，或非正態(tài)總體、大樣本),總體均值的區(qū)間估計(大樣本),1.假定條件 總體服從正態(tài)分布,且方差() 已知 如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來近似 (n 30) 使用正態(tài)分布統(tǒng)計量,總體均值 在1-置信水平下的置信區(qū)間為,總體均值的區(qū)間估計(例題分析),【例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對產(chǎn)量質(zhì)量進行監(jiān)測，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進行抽檢，

6、以分析每袋重量是否符合要求?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機抽取了25袋，測得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差為10克。試估計該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95%,總體均值的區(qū)間估計(例題分析),解：已知N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得： 總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為,該食品平均重量的置信區(qū)間為101.44克109.28克之,總體均值的區(qū)間估計(例題分析),【例】一家保險公司收集到由36投保個人組成的隨機樣本，得到每個投保人的年齡(周歲)數(shù)據(jù)如下表。試建立投保人年齡90%的置信區(qū)間,總體均值的區(qū)間估計

7、(例題分析),解：已知n=36, 1- = 90%，z/2=1.645。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得： ， 總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為,投保人平均年齡的置信區(qū)間為37.37歲41.63歲,總體均值的區(qū)間估計 (正態(tài)總體、未知、小樣本),總體均值的區(qū)間估計 (小樣本),1.假定條件 總體服從正態(tài)分布,且方差() 未知 小樣本 (n 30) 使用 t 分布統(tǒng)計量,總體均值 在1-置信水平下的置信區(qū)間為,t 分布,分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布,總體均值的區(qū)間估計(例題分析),【例】已知

8、某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機抽取16只，測得其使用壽命(小時)如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間,總體均值的區(qū)間估計(例題分析),解：已知N(，2)，n=16, 1- = 95%，t/2=2.131。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得： ， 總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為,該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為1476.8小時1503.2小時,總體比例的區(qū)間估計,總體比例的區(qū)間估計,1.假定條件 總體服從二項分布 可以由正態(tài)分布來近似 使用正態(tài)分布統(tǒng)計量,3. 總體比例在1-置信水平下的置信區(qū)間為,總體比例的區(qū)間估計(例題分析),【例】某城市想要估計下崗職工中女性所占的比例，隨機

9、抽取了100個下崗職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間,解：已知 n=100，p65% , 1-= 95%，z/2=1.96,該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間為55.65%74.35%,總體方差的區(qū)間估計,總體方差的區(qū)間估計,1.估計一個總體的方差或標(biāo)準(zhǔn)差 2.假設(shè)總體服從正態(tài)分布 總體方差 2 的點估計量為S2,且,4. 總體方差在1-置信水平下的置信區(qū)間為,總體方差的區(qū)間估計(圖示),總體方差的區(qū)間估計(例題分析),【例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機抽取了25袋，測得每袋重量如下表7所示。已知產(chǎn)品重量的

10、分布服從正態(tài)分布。以95%的置信水平建立該種食品重量方差的置信區(qū)間,總體方差的區(qū)間估計(例題分析),解:已知n25，1-95% ,根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得s2 =93.21 2置信度為95%的置信區(qū)間為,該企業(yè)生產(chǎn)的食品總體重量標(biāo)準(zhǔn)差的的置信區(qū) 間為7.54克13.43克,7.3 兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計,兩個總體均值之差的區(qū)間估計 兩個總體比例的之差區(qū)間估計 兩個總體方差比的區(qū)間估計,兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計,兩個總體均值之差的區(qū)間估計(獨立大樣本),兩個樣本均值之差的抽樣分布,兩個總體均值之差的估計(大樣本),1.假定條件 兩個總體都服從正態(tài)分布，1、 2已知 若不是正態(tài)分布, 可以用正態(tài)分布來近似

11、(n130和n230) 兩個樣本是獨立的隨機樣本 使用正態(tài)分布統(tǒng)計量Z,兩個總體均值之差的估計 (大樣本),1.1、 2已知時，兩個總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,1、 2未知時，兩個總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,兩個總體均值之差的估計(例題分析),【例】某地區(qū)教育委員會想估計兩所中學(xué)的學(xué)生高考時的英語平均分?jǐn)?shù)之差，為此在兩所中學(xué)獨立地抽取兩個隨機樣本，有關(guān)數(shù)據(jù)如下表 。建立兩所中學(xué)高考英語平均分?jǐn)?shù)之差95%的置信區(qū)間,兩個總體均值之差的估計(例題分析),解: 兩個總體均值之差在1-置信水平下的置信區(qū)間為,兩所中學(xué)高考英語平均分?jǐn)?shù)之差的置信區(qū)間為 5.03

12、分10.97分,兩個總體均值之差的區(qū)間估計(獨立小樣本),兩個總體均值之差的估計(小樣本: 12=22 ),1.假定條件 兩個總體都服從正態(tài)分布 兩個總體方差未知但相等：1=2 兩個獨立的小樣本(n130和n230) 總體方差的合并估計量,估計量X1-X2的抽樣標(biāo)準(zhǔn)差,兩個總體均值之差的估計(小樣本: 12=22 ),兩個樣本均值之差的標(biāo)準(zhǔn)化,兩個總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,兩個總體均值之差的估計(例題分析),【例】為估計兩種方法組裝產(chǎn)品所需時間的差異，分別對兩種不同的組裝方法各隨機安排12個工人，每個工人組裝一件產(chǎn)品所需的時間（分鐘）下如表。假定兩種方法組裝產(chǎn)品的時間服

13、從正態(tài)分布，且方差相等。試以95%的置信水平建立兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間差值的置信區(qū)間,兩個總體均值之差的估計(例題分析),解: 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得 合并估計量為：,兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間之差的置信區(qū)間為 0.14分鐘7.26分鐘,兩個總體均值之差的估計(小樣本: 1222 ),1.假定條件 兩個總體都服從正態(tài)分布 兩個總體方差未知且不相等：12 兩個獨立的小樣本(n130和n230) 使用統(tǒng)計量,兩個總體均值之差的估計(小樣本: 1222 ),兩個總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,兩個總體均值之差的估計(例題分析),【例】沿用前例。假定第一種方法隨機安排12個工人，

14、第二種方法隨機安排8個工人，即n1=12，n2=8 ，所得的有關(guān)數(shù)據(jù)如表。假定兩種方法組裝產(chǎn)品的時間服從正態(tài)分布，且方差不相等。以95%的置信水平建立兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間差值的置信區(qū)間,兩個總體均值之差的估計(例題分析),解: 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得 自由度為：,兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間之差的置信區(qū)間為 0.192分鐘9.058分鐘,兩個總體均值之差的區(qū)間估計(匹配樣本),兩個總體均值之差的估計(匹配大樣本),假定條件 兩個匹配的大樣本(n1 30和n2 30) 兩個總體均值之差d=1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,兩個總體均值之差的估計(匹配小樣本),假定條件 兩個匹配的小樣本(

15、n1 30和n2 30) 兩個總體各觀察值的配對差服從正態(tài)分布 兩個總體均值之差d=1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為,兩個總體均值之差的估計(例題分析),【例】由10名學(xué)生組成一個隨機樣本，讓他們分別采用A和B兩套試卷進行測試，結(jié)果如下表 。試建立兩種試卷分?jǐn)?shù)之差d=1-2 95%的置信區(qū)間,兩個總體均值之差的估計(例題分析),解: 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得,兩種試卷所產(chǎn)生的分?jǐn)?shù)之差的置信區(qū)間為6.33分 15.67分,兩個總體比例之差區(qū)間的估計,1.假定條件 兩個總體服從二項分布 可以用正態(tài)分布來近似 兩個樣本是獨立的 2.兩個總體比例之差1- 2在1-置信水平下的置信區(qū)間為,兩個總體比例之差

16、的區(qū)間估計,兩個總體比例之差的估計(例題分析),【例】在某個電視節(jié)目的收視率調(diào)查中，農(nóng)村隨機調(diào)查了400人，有32%的人收看了該節(jié)目；城市隨機調(diào)查了500人，有45%的人收看了該節(jié)目。試以90%的置信水平估計城市與農(nóng)村收視率差別的置信區(qū)間,兩個總體比例之差的估計 (例題分析),解: 已知 n1=500 ，n2=400， p1=45%， p2=32%， 1-=95%， z/2=1.96 1- 2置信度為95%的置信區(qū)間為,城市與農(nóng)村收視率差值的置信區(qū)間為6.68%19.32%,兩個總體方差比的區(qū)間估計,兩個總體方差比的區(qū)間估計,1.比較兩個總體的方差比 用兩個樣本的方差比來判斷 如果S12/ S

17、22接近于1,說明兩個總體方差很接近 如果S12/ S22遠離1,說明兩個總體方差之間存在差異 總體方差比在1-置信水平下的置信區(qū)間為,兩個總體方差比的區(qū)間估計(圖示),兩個總體方差比的區(qū)間估計(例題分析),【例】為了研究男女學(xué)生在生活費支出(元)上的差異，在某大學(xué)各隨機抽取25名男學(xué)生和25名女學(xué)生，得到下面的結(jié)果： 男學(xué)生： 女學(xué)生： 試以90%置信水平估計男女學(xué)生生活費支出方差比的置信區(qū)間,兩個總體方差比的區(qū)間估計 (例題分析),解:根據(jù)自由度 n1=25-1=24 ，n2=25-1=24，查得 F/2(24)=1.98， F1-/2(24)=1/1.98=0.505 12 /22置信度

18、為90%的置信區(qū)間為,男女學(xué)生生活費支出方差比的置信區(qū)間為0.471.84,7.4 樣本容量的確定,估計總體均值時樣本容量的確定 估計總體比例時樣本容量的確定 估計兩個總體均值之差時樣本容量的確定 估計兩個總體比例之差時樣本容量的確定,估計總體均值時樣本容量的確定,估計總體均值時樣本容量n為 樣本容量n與總體方差2、邊際誤差E、可靠性系數(shù)Z或t之間的關(guān)系為 與總體方差成正比 與邊際誤差成反比 與可靠性系數(shù)成正比,估計總體均值時樣本容量的確定,其中：,估計總體均值時樣本容量的確定 (例題分析),【例】擁有工商管理學(xué)士學(xué)位的大學(xué)畢業(yè)生年薪的標(biāo)準(zhǔn)差大約為2000元，假定想要估計年薪95%的置信區(qū)間，

19、希望邊際誤差為400元，應(yīng)抽取多大的樣本容量？,估計總體均值時樣本容量的確定 (例題分析),解: 已知 =2000，E=400, 1-=95%， z/2=1.96 12 /22置信度為90%的置信區(qū)間為,即應(yīng)抽取97人作為樣本,估計總體比例時樣本容量的確定,根據(jù)比例區(qū)間估計公式可得樣本容量n為,估計總體比例時樣本容量的確定,E的取值一般小于0.1 未知時，可取最大值0.5,其中：,估計總體比例時樣本容量的確定 (例題分析),【例】根據(jù)以往的生產(chǎn)統(tǒng)計，某種產(chǎn)品的合格率約為90%，現(xiàn)要求邊際誤差為5%，在求95%的置信區(qū)間時，應(yīng)抽取多少個產(chǎn)品作為樣本？,解:已知=90%，=0.05， Z/2=1.96，E=5%,應(yīng)抽取的樣本容量為,應(yīng)抽取139個產(chǎn)品作為樣本,估計兩個總體均值之差時樣本容量的確定,設(shè)n1和n2為來自兩個總體的樣本，并假定n1=n2 根據(jù)均值之差的區(qū)間估計公式可得兩個樣本的容量n為,估計兩個總體均值之差時樣本容量的確定,其中：,估計兩個總體均