2018版高中數(shù)學 第二章 數(shù)列 2.2.1 等差數(shù)列 第2課時 等差數(shù)列的性質(zhì)學案 新人教B版必修5

1、第2課時等差數(shù)列的性質(zhì)1.掌握等差數(shù)列中兩項及多項之間的關系.(重點、易錯點)2.能靈活運用等差數(shù)列的性質(zhì)解決問題.(難點)基礎初探教材整理等差數(shù)列的性質(zhì)閱讀教材P37第二自然段P37例3及P38練習B第1,2題，完成下列問題.1.等差數(shù)列的圖象等差數(shù)列的通項公式ana1(n1)d，當d0時，an是一固定常數(shù)；當d0時，an相應的函數(shù)是一次函數(shù)；點(n，an)分布在以d為斜率的直線上，是這條直線上的一列孤立的點.2.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)an是公差為d的等差數(shù)列，若正整數(shù)m，n，p，q滿足mnpq，則amanapaq.特別地，當mn2k(m，n，kN)時，aman2ak.對有窮等差數(shù)列，與首末兩

2、項“等距離”的兩項之和等于首末兩項的和，即a1ana2an1akank1.(2)從等差數(shù)列中，每隔一定的距離抽取一項，組成的數(shù)列仍為等差數(shù)列.(3)若an是公差為d的等差數(shù)列，則can(c為任一常數(shù))是公差為d的等差數(shù)列；can(c為任一常數(shù))是公差為cd的等差數(shù)列；anank(k為常數(shù)，kN)是公差為2d的等差數(shù)列.(4)若an，bn分別是公差為d1，d2的等差數(shù)列，則數(shù)列panqbn(p，q是常數(shù))是公差為pd1qd2的等差數(shù)列.(5)an的公差為d，則d0an為遞增數(shù)列；d0an為遞減數(shù)列；d0an為常數(shù)列.1.下列說法中正確的有_.(填序號)若an是等差數(shù)列，則|an|也是等差數(shù)列.若

3、|an|是等差數(shù)列，則an也是等差數(shù)列.若an是等差數(shù)列，則對任意nN都有2an1anan2.數(shù)列an的通項公式為an3n5，則數(shù)列an的公差與函數(shù)y3x5的圖象的斜率相等.【解析】錯誤.如2，1,0,1,2是等差數(shù)列，但其絕對值就不是等差數(shù)列.錯誤.如數(shù)列1,2，3,4，5，其絕對值為等差數(shù)列，但其本身不是等差數(shù)列.正確.根據(jù)等差數(shù)列的通項可判定對任意nN都有2an1anan2成立.正確.因為an3n5的公差d3，而直線y3x5的斜率也是3.【答案】2.在等差數(shù)列an中，若a56，a815，則a14_.【解析】數(shù)列an是等差數(shù)列，a5，a8，a11，a14也成等差數(shù)列且公差為9，a14693

4、33.【答案】333.在等差數(shù)列 an中，已知a3a4a5a6a7450，則a2a8_.【解析】因為a3a4a5a6a75a5450.所以a590，a2a82a5290180.【答案】1804.已知等差數(shù)列an中，a7a916，a41，則a12_.【解析】在等差數(shù)列an中，由于a7a9a4a12，所以a12(a7a9)a416115.【答案】15小組合作型靈活設元解等差數(shù)列已知四個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為26，中間兩項的積為40，求這四個數(shù).【精彩點撥】(1)能否直接設出首項和公差，用方程組求解？(2)等差數(shù)列相鄰四項和為26，這四項有對稱性嗎？能否用對稱設法求解？【自主解答】法一：設這四個數(shù)

5、分別為a，b，c，d，根據(jù)題意，得解得或這四個數(shù)分別為2,5,8,11或11,8,5,2.法二：設此等差數(shù)列的首項為a1，公差為d，根據(jù)題意，得化簡，得解得或這四個數(shù)分別為2,5,8,11或11,8,5,2.法三：設這四個數(shù)分別為a3d，ad，ad，a3d，根據(jù)題意，得化簡，得解得這四個數(shù)分別為2,5,8,11或11,8,5,2.1.當已知條件中出現(xiàn)與首項、公差有關的內(nèi)容時，可直接設首項為a1，公差為d，利用已知條件建立方程組求出a1和d，即可確定數(shù)列.2.當已知數(shù)列有2n項時，可設為a(2n1)d，a3d，ad，ad，a3d，a(2n1)d，此時公差為2d.3.當已知數(shù)列有2n1項時，可設為

6、and，a(n1)d，ad，a，ad，a(n1)d，and，此時公差為d.再練一題1.三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為9，前兩項之積為后一項的6倍，求這三個數(shù). 【導學號：】【解】(1)設這三個數(shù)依次為ad，a，ad，則解得這三個數(shù)為4,3,2.等差數(shù)列的實際應用甲、乙兩人連續(xù)6年對某縣農(nóng)村養(yǎng)雞業(yè)規(guī)模進行調(diào)查，提供兩個不同的信息圖如圖221.甲調(diào)查表明：從第1年每個養(yǎng)雞場出產(chǎn)1萬只雞上升到第6年平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn)2萬只雞.乙調(diào)查表明：由第1年養(yǎng)雞場個數(shù)30個減少到第6年10個.甲乙圖221請你根據(jù)提供的信息回答問題.(1)第2年養(yǎng)雞場的個數(shù)及全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)；(2)到第6年這個縣的養(yǎng)雞業(yè)規(guī)模比第1年

7、是擴大了還是縮小了？請說明理由.【精彩點撥】解決本題關鍵是構造兩個數(shù)列：一個是每年的養(yǎng)雞只數(shù)的平均值構成的數(shù)列，一個是每年的養(yǎng)雞場的個數(shù)構成的數(shù)列.【自主解答】由題圖可知，從第1年到第6年平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn)的雞數(shù)成等差數(shù)列，記為an，公差為d1，且a11，a62；從第1年到第6年的養(yǎng)雞場個數(shù)也成等差數(shù)列，記為bn，公差為d2，且b130，b610；從第1年到第6年全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)記為數(shù)列cn，則cnanbn.(1)由a11，a62，得得a21.2；由b130，b610，得得b226.c2a2b21.22631.2，即第2年養(yǎng)雞場有26個，全縣出產(chǎn)雞31.2萬只.(2)c6a6b621020c

8、1a1b130，到第6年這個縣的養(yǎng)雞業(yè)規(guī)模比第1年縮小了.1.在實際問題中，若涉及一組與順序有關的數(shù)的問題，可考慮利用數(shù)列方法解決，若這組數(shù)依次成直線上升或下降，則可考慮利用等差數(shù)列方法解決.2.在利用數(shù)列方法解決實際問題時，一定要分清首項、項數(shù)等關鍵量.再練一題2.某公司經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品，第1年獲利200萬元，從第2年起由于市場競爭等方面的原因，利潤每年比上一年減少20萬元，按照這一規(guī)律如果公司不開發(fā)新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營策略，從哪一年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損？ 【導學號：】【解】由題意可知，設第1年獲利為a1，第n年獲利為an，則anan120，(n2，nN)，每年獲利構成等差數(shù)列an，

9、且首項a1200，公差d20.所以ana1(n1)d200(n1)(20)20n220.若an0，則該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損，由an20n22011，即從第12年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損.探究共研型等差數(shù)列的性質(zhì)探究1數(shù)列1,2,3,4,5,6,7,8，是等差數(shù)列嗎？1,3,5,7，是等差數(shù)列嗎？2,4,6,8，是等差數(shù)列嗎，它們有什么關系？這說明了什么？【提示】這三個數(shù)列均是等差數(shù)列，后兩個數(shù)列是從第一個數(shù)列中每隔相同的項數(shù)抽取一項，按原來順序組成的新數(shù)列，這說明從一個等差數(shù)列中每隔相同的項數(shù)取一項，按原來的順序排列，還是一個等差數(shù)列.探究2在等差數(shù)列an中，若an3n1.那么a1a5a

10、2a4嗎？a2a5a3a4成立嗎？由此你能得到什么結論？該結論對任意等差數(shù)列都適用嗎？為什么？【提示】由an3n1可知a1a5a2a4與a2a5a3a4均成立，由此有若m，n，p，qN且mnpq，則amanapaq.對于任意等差數(shù)列an，設其公差為d.則amana1(m1)da1(n1)d2a1(mn2)d，apaqa1(p1)da1(q1)d2a1(pq2)d，因mnpq，故amanapaq對任意等差數(shù)列都適用.探究3在等差數(shù)列an中，2anan1an1(n1)成立嗎？2anankank(nk0)是否成立？【提示】在探究2的結論中令mn，pn1，qn1，可知2anan1an1成立；令性質(zhì)(2

11、)中的mn，pnk，qnk，可知2anankank也成立.在公差為d的等差數(shù)列an中，(1)已知a2a3a23a2448，求a13；(2)已知a2a3a4a534，a2a552，求d.【精彩點撥】解答本題可以直接轉化為基本量的運算，求出a1和d后再解決其他問題，也可以利用等差數(shù)列的性質(zhì)來解決.【自主解答】法一：(1)化成a1和d的方程如下：(a1d)(a12d)(a122d)(a123d)48，即4(a112d)48.4a1348.a1312.(2)化成a1和d的方程如下：解得或d3或3.法二：(1)根據(jù)已知條件a2a3a23a2448，及a2a24a3a232a13.得4a1348，a131

12、2.(2)由a2a3a4a534，及a3a4a2a5得2(a2a5)34，即a2a517.解得或d3或d3.1.利用等差數(shù)列的通項公式列關于a1和d的方程組，求出a1和d，進而解決問題是處理等差數(shù)列問題的最基本方法.2.巧妙地利用等差數(shù)列的性質(zhì)，可以大大簡化解題過程.3.通項公式的變形形式anam(nm)d，(m，nN)，它又可變形為d，應注意把握，并學會應用.再練一題3.設數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列.若a1b17，a3b321，則a5b5_.【解析】法一：設數(shù)列an，bn的公差分別為d1，d2，因為a3b3(a12d1)(b12d2)(a1b1)2(d1d2)72(d1d2)21，所以d1d

13、27，所以a5b5(a3b3)2(d1d2)212735.法二：數(shù)列an，bn都是等差數(shù)列，數(shù)列anbn也構成等差數(shù)列，2(a3b3)(a1b1)(a5b5)，2217a5b5，a5b535.【答案】351.已知等差數(shù)列an，則使數(shù)列bn一定為等差數(shù)列的是()A.bnanB.bnaC.bnD.bn【解析】數(shù)列an是等差數(shù)列，an1and(常數(shù)).對于A：bn1bnanan1d，正確；對于B不一定正確，如數(shù)列ann，則bnan2，顯然不是等差數(shù)列；對于C，D：及不一定有意義，故選A.【答案】A2.在等差數(shù)列an中，已知a12，a2a313，則a4a5a6等于()A.40 B.42 C.43 D.45【解析】由即得d3.所以a524314.所以a4a5a63a542，故選B.【答案】B3.在等差數(shù)列an中，a2a59，a86，則a2_. 【導學號：】【解析】法一：由a2a5a83a515，a55，a24.法二：由得解之得a24.【答案】44.若2，a，b，c,9成等差數(shù)列，則ca_.【解析】由題意得該等差數(shù)列的公差d，所以ca2d.【答案】5.在等差數(shù)列an中，已知a2a5a89，a3a5a721，求該數(shù)列的通項公式.