2018版高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運(yùn)算3.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示學(xué)案新人教A版選修2

1、3.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)目的1 .理解空間向量基本定理，通過(guò)基本定理可以解決一些幾何問(wèn)題2 .理解基底、基矢量和向量線性組合的概念3 .掌握空間向量的坐標(biāo)表示，可以在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系上寫(xiě)出向量的坐標(biāo)知識(shí)點(diǎn)的空間向量基本定理思考1平面向量基本定理的內(nèi)容是什么？如果答案e1和e2是同一平面中的兩個(gè)非共軛向量，則相對(duì)于平面中的任何向量a僅有一對(duì)實(shí)數(shù)1和2，使得滿(mǎn)足a=1e1 2e2。 在此，不共線的e1、e2被稱(chēng)為表示該平面內(nèi)的所有向量的一組基底。2考慮平面向量的基礎(chǔ)是唯一確定的嗎？答案不是唯一的(1)整理空間向量的基本定理?xiàng)l件三個(gè)非共面向量a、b、c和空間中的一個(gè)向量p結(jié)論如果存在

2、規(guī)則的實(shí)際排列x，y，z，則p=xa yb zc(2)基底條件：三個(gè)向量a、b、c不齊全結(jié)論a，b，c被稱(chēng)為空間的基礎(chǔ)。基矢量：基底中的矢量a、b、c都稱(chēng)為基矢量知識(shí)點(diǎn)2空間向量的坐標(biāo)表示思考1怎樣表示平面向量的坐標(biāo)？答案是，在平面正交坐標(biāo)系中，將與x軸、y軸方向相同的2個(gè)單位矢量I，j分別設(shè)為基底，關(guān)于平面內(nèi)的1個(gè)向量a，如從平面向量的基本定理可知，只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，通過(guò)設(shè)為a=xi yj，平面內(nèi)的任何一個(gè)向量a都為x，設(shè)=xi yj，向量的坐標(biāo)(x，y )為起點(diǎn)a的坐標(biāo)，即=(x，y )，則a點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y )，反之亦然(o為坐標(biāo)原點(diǎn))。思考2基礎(chǔ)不同，矢量的坐標(biāo)相同嗎？回答錯(cuò)了整理空

3、間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示單位正交基底將具有共同起點(diǎn)o的3個(gè)垂直單位矢量標(biāo)記為e1、e2、e3空間直角坐標(biāo)系以e1、e2、e3的共通始點(diǎn)o為原點(diǎn)，分別以e1、e2、e3的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，作成空間直角坐標(biāo)系Oxyz空間向量的坐標(biāo)表示法對(duì)于任意一個(gè)空間的向量p，存在規(guī)則的實(shí)際排列x，y，z，以p=xe1 ye2 ze3，將x，y，z稱(chēng)為向量p的單位正交基底e1，e2，e3中的坐標(biāo)，標(biāo)記為p=)基于類(lèi)型1的概念例1如果 a，b，c是空間的一個(gè)基礎(chǔ)，那么嘗試a b，b c，c a是否成為該空間的一個(gè)基礎(chǔ)。解假說(shuō)a b、b c、c a共面性，實(shí)數(shù)、所存在的a b=(b c) (c a

4、)，a b=b a ( )c。a、b、c是基底，a、b、c不是共面的。這個(gè)方程式解不開(kāi)ab、b c、c a不是一個(gè)平面。a b、b c、c a可以作為空間的一個(gè)基礎(chǔ)。反思和知覺(jué)基礎(chǔ)判斷的基本思維方法和方法(1)基本思維方法：判斷3個(gè)空間向量是否同一面，如果同一面則無(wú)法構(gòu)成基底，如果不是同一面則可以構(gòu)成基底(2)方法：如果向量中存在零向量，則不能作為基底的一方的向量如果能用別的向量線性表示，則不能構(gòu)成基底假設(shè)a=b c，用空間向量的基本定理建立、的方程式群，有解就有共面，沒(méi)有不能作為基底的解就不一致，可以作為基底已知跟蹤訓(xùn)練1 (1)的a、b與c是非共面三個(gè)非零向量，可以與向量p=a-b，q=a

5、-b構(gòu)成基礎(chǔ)的向量為()A.2a B.2b C.2a 3b D.2a 5c(2)以下四個(gè)命題中正確的是：空間的任何矢量都可以用三個(gè)給定的方向量來(lái)表示如果 a，b，c是空間的一個(gè)基礎(chǔ)，則a，b，c并非全部為零向量如果向量a、b和任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么a和b必定是共線任意3個(gè)不共線的矢量可構(gòu)成空間的一個(gè)基底答案(1)D (2)解析(2)空間中的任何矢量都可以用其他3個(gè)非共面的矢量表示，因此不正確從正確的空間向量的基本定理可知，只有不共線的兩個(gè)矢量為基礎(chǔ)，因此正確的空間向量基礎(chǔ)由3個(gè)非共面的矢量構(gòu)成，因此不正確類(lèi)型2用基底表示向量例2如圖所示，在長(zhǎng)方體的abcdabcd 中，=a、=

6、b、=c、p是ca 的中點(diǎn)，m是CD 的中點(diǎn)，n是c d 的中點(diǎn)，n是c d 的中點(diǎn)(一)； (2)； (三)； (4)。解除AC、ad 的連接。(1)=()=()=()=(a b c )。(2)=()=(a 2b c)=a b c。(3)=()=( ) ()=a b c。(4)=(-)=()=()=a b c。反省和感知是基礎(chǔ)上表示向量的步驟(1)恒基底：基于已知條件，確定三個(gè)非共面向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底。(2)查找營(yíng)銷(xiāo)對(duì)象：用確定的基底(或已知基底)表示營(yíng)銷(xiāo)對(duì)象向量，根據(jù)三角形和平行四邊形規(guī)則，結(jié)合相等向量的置換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、簡(jiǎn)化，最終求出結(jié)果.(3)下述結(jié)論：可以利用空間向量的一

7、個(gè)基底a，b，c來(lái)表示空間的所有向量.表示貫徹，結(jié)果只包含a，b，c，不能包含其他形式的向量.如跟蹤訓(xùn)練2圖所示，在空間四邊形OABC中，g、h分別表示abc、OBC的重心，=a、=b、=c .試用向量a、b、c表示向量。解h是OBC的重心，d是BC的中點(diǎn)，(=()=(b c )。另外=-，(=()-=()=()=(a b c )。=-，(BC )-(ABC )=-a。類(lèi)型3空間向量的坐標(biāo)表示在例3的角錐長(zhǎng)為1的立方形AbcD-abcd中，e、f、g分別是棱DD、dc、BC的中點(diǎn)，以、為基礎(chǔ)，求出以下矢量的坐標(biāo)(1)、當(dāng)然，我們也可以。解(1)=、=，= =。(2)=-=()-()()=，=-

8、=()-()=-=、=-=-=-=(1，-，0 )。補(bǔ)充探究在本例中，嘗試以、為基礎(chǔ)，導(dǎo)出、的坐標(biāo)解=-=(-1，0，)，=(-)=-=(-)，1，0 )，=(0，)。反省和知覺(jué)用坐標(biāo)表示空間向量的步驟在蕾絲花邊訓(xùn)練的三空間四邊形OABC中，=a、=b、=c，點(diǎn)m是OA，并且OM=2MA，n是BC的中點(diǎn)，而在基礎(chǔ)a，b，c上的坐標(biāo)是答案分析OM=2MA，點(diǎn)m在OA上，OM=OA，=- ()=-a b c=。1 .在以下三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是()3個(gè)非零向量a、b、c若不能構(gòu)成空間的1個(gè)基底，則a、b、c為同一平面。如果兩個(gè)非零向量a、b都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則a、b為共線a、b是兩個(gè)不

9、共線的矢量，如果c=a b(、R且0 )，則a、b、c構(gòu)成空間的一個(gè)基底。A.0 B.1 C.2 D.3答案c解析正確.基底的量必須是同一個(gè)面正確不正確. a、b不是共線，c=a b時(shí)，a、b、c是共面，所以只有正確。2 .已知點(diǎn)a在基礎(chǔ)a，b，c上的坐標(biāo)是(8，6，4 )，其中如果a=i j，b=j k，c=k i，則點(diǎn)a在基礎(chǔ)上。a.(12，14，10 ) b.(10，12，14 )c.(十四，十二，十) d.(四，三，二)答案a假設(shè)分析點(diǎn)a在基點(diǎn)a，b，c處的對(duì)應(yīng)向量為p，則p=8a6b4c=8I8j6k4I=12 I 14 j 1000在a=e1 e2 e3、b=e1 e2-e3、c=

10、e1-e2 e3、d=e1 2e2 3e3、d=a的情況下答案是-1、-解析- d=(e1e2e3)(e1e2- e3)(e1- e2e3)=() e 1如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1上制作關(guān)空間直角坐標(biāo)系字，如果已知AB=AD=2，BB1=1，則的坐標(biāo)是答案(0，2，1 ) (2，2，1 )如果從所產(chǎn)生的空間直角坐標(biāo)系獲知a (0，0，0 )，c1(2，2，1 )，d1(0，2，1 )，則其坐標(biāo)變?yōu)?0，2，1 )，并且其坐標(biāo)變?yōu)? .在四面體片OABC中，=a、=b、=c和d是BC的中點(diǎn)，而e是AD的中點(diǎn)，則可以用答案a b c分析=()=(- - )=a b c1 .基底上

11、沒(méi)有零向量。 零向量和任何非零向量都是共線向量，任何兩個(gè)非零向量都是共面的，所以三個(gè)向量表示基礎(chǔ)上三個(gè)向量一定是非零向量2 .要在空間幾何上獲得關(guān)系點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，首先創(chuàng)建合適的坐標(biāo)系，一般選擇兩個(gè)垂直的三條線段作為坐標(biāo)軸，然后選擇基矢量，用基矢量表示根據(jù)已知條件和圖形之間的關(guān)系所獲得的向量，即所獲得的向量的坐標(biāo)。3 .由基底表示的空間向量一般使用矢量的加法、減法、乘法的算法和加法的平行四邊形的法則、加法、減法的三角形的法則.40分鐘會(huì)話的課外作業(yè)一、選擇題1 .以下四個(gè)命題中正確的是()a .基底a，b，c中也可以存在零向量b .空間的任意3個(gè)非共面向量可以構(gòu)成空間向量的基礎(chǔ)C.ABC垂直角的三

12、角形的滿(mǎn)足條件為=0d .空間向量的基礎(chǔ)只能有一個(gè)組答案b分析使用排除法。 由于零向量與任意兩個(gè)非零向量齊平，所以a不正確，ABC不一定是垂直角三角形，=0或=0，所以c不正確。 因?yàn)榭臻g基底可以有無(wú)數(shù)的群，所以d是不正確的2 .以下說(shuō)法不正確的是()a .空間中的3個(gè)向量的地震震級(jí)為1，使得它們能夠構(gòu)成空間中的1個(gè)單位正交基b .縱坐標(biāo)為0的向量平行于由x軸和y軸確定的平面c .縱坐標(biāo)為0的向量都在同一平面上d .橫軸為0的矢量全部垂直于x軸上的基矢量。答案a解析單位正交基底除要求模式為1外，還要求3個(gè)向量為2個(gè)垂直3 .如果向量、的起點(diǎn)m和終點(diǎn)a、b、c相互不重疊，且沒(méi)有三點(diǎn)共線，則將向量

13、設(shè)為空間的一組基底的關(guān)系是()A.= B.=C.= D.=2-答案c分析相對(duì)于選項(xiàng)a，結(jié)論=x y z(x y z=1)M、a、b、c這4點(diǎn)共面已知。 對(duì)于b、d選項(xiàng)，因?yàn)槿菀桌斫?、同一面，所以在選項(xiàng)c中，只有同一面。4 .如果已知點(diǎn)o、a、b、c是空間上不一致的4點(diǎn)，且向量a=、向量b=-，則不能與a、b構(gòu)成空間基底的向量是()A. B. C. D .或答案c分析=a-b且a、b不是共線，a、b、共面和a、b不能構(gòu)成一組空間基底。5 .如果知道I，j，k是空間直角坐標(biāo)系Oxyz的坐標(biāo)向量，則b點(diǎn)的坐標(biāo)是()b.(-1，1，-1) B.(-i，j，-k )C.(1，-1，-1) D .不確定性

14、答案d分析向量的坐標(biāo)與b點(diǎn)的坐標(biāo)不同由于a點(diǎn)的坐標(biāo)未知，因此無(wú)法確定b點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)OABC為四面體片，G1為abc的重心，g為OG1上的一點(diǎn)，并且OG=3GG1，若=x y z，則設(shè)(x，y，z )為()甲乙丙。答案a如解析圖所示，當(dāng)將AG1交點(diǎn)BC與點(diǎn)e連接時(shí)，點(diǎn)e是BC中點(diǎn)，=()=(-2 )、=(-2 )，=3=3(-)，=()=(-)=，所以選擇a。二、填海問(wèn)題7 .如圖所示，在立方形ABCDA1B1C1D1上制作空間直角坐標(biāo)系，立方形的棱錐長(zhǎng)為1時(shí)，其坐標(biāo)為_(kāi)，其坐標(biāo)為_(kāi) _ _ _ _，答案(1，0，0 ) (1，0，1 ) (-1，1，-1)分析=- -。8.a，b，c是空間的一個(gè)基

15、礎(chǔ)，如果存在實(shí)數(shù)x，y，z使得xa yb zc=0，則x=_，y=?；卮? 0 0關(guān)于解析，在x、y、z中存在一個(gè)非零的數(shù)，如果x0，則a=-b-c、a、b、c為同一個(gè)面已知在四面體片ABCD中，當(dāng)=a-2c、=5a 6b-8c并且相對(duì)折角線AC和BD的中點(diǎn)分別為e和f時(shí)，=_。答案3a 3b-5c如解析圖所示，取BC的中點(diǎn)g，連接EG、FG，=-=-=(5a 6b-8c) (a-2c)=3a 3b-5c10 .如果四邊形ABCD是平行四邊形，并且a (4，1，3 )、B(2，- 5，1 )、c (3，7，-5)，則頂點(diǎn)d的坐標(biāo)為答案(五、十三、-三)從四邊形ABCD為平行四邊形可知分析=、假設(shè)D(x，y，z )，則=(x-4，y-1，z-3 )，=(1，12，-6)，所以可以解開(kāi)即，d點(diǎn)的坐標(biāo)是(5，13，-3) .三、解答問(wèn)題已知向量p在基底a、b和c上的坐標(biāo)是(2，3，-1)，并且獲得在基底a，a b，a b c上的p的坐標(biāo)。解從已知的p=2a 3b-c開(kāi)始，假設(shè)p=xa y(a b) z(a b c)=(x y z)a (y z)b zc。我能理解因此，p在基礎(chǔ)a，a b，a b c上的坐標(biāo)為(-1，4，-1)。12 .已知ABCD-a1b-1c1d 1是p