2019年高考數(shù)學一輪復習第7章立體幾何第2節(jié)空間圖形的基本關系與公理學案理北師大版

1、第二節(jié)空間圖形的基本關系與公理考綱傳真(教師用書獨具)1.理解空間直線、平面位置關系的定義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題(對應學生用書第108頁)基礎知識填充1空間圖形的公理(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(即直線在平面內)(2)公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面(即可以確定一個平面)(3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線(4)公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，

2、有且只有一個平面推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面推理3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面(5)等角定理空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補2空間點、直線、平面之間的位置關系直線與直線直線與平面平面與平面平行關系圖形語言符號語言aba相交關系圖形語言符號語言abAaAl獨有關系圖形語言符號語言a，b是異面直線a3.異面直線所成的角(1)定義：設a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點O作直線aa，bb，把a與b所成的銳角(或直角)叫作異面直線a與b所成的角(2)范圍：.知識拓展1唯一性定理(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行(2)過直線外一點有且只

3、有一個平面與已知直線垂直(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直2異面直線的判定定理經(jīng)過平面內一點的直線與平面內不經(jīng)過該點的直線互為異面直線基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)兩個平面，有一個公共點A，就說，相交于過A點的任意一條直線()(2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面()(3)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合()(4)若直線a不平行于平面，且a，則內的所有直線與a異面()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)如圖721所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分

4、別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為()圖721A30B45 C60 D90C連接B1D1，D1C(圖略)，則B1D1EF，故D1B1C為所求的角，又B1D1B1CD1C，D1B1C60.3在下列命題中，不是公理的是()A平行于同一個平面的兩個平面相互平行B過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面C如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在此平面內D如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線AA不是公理，是個常用的結論，需經(jīng)過推理論證；B，C，D是平面的基本性質公理4已知直線a和平面，l，a，a，且a在，內的射影分別為直線

5、b和c，則直線b和c的位置關系是()A相交或平行B相交或異面C平行或異面D相交、平行或異面D依題意，直線b和c的位置關系可能是相交、平行或異面5(2016山東高考)已知直線a，b分別在兩個不同的平面，內，則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件A由題意知a，b，若a，b相交，則a，b有公共點，從而，有公共點，可得出，相交；反之，若，相交，則a，b的位置關系可能為平行、相交或異面因此“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要條件故選A(對應學生用書第109頁)平面的基本性質及應用如圖722，正方體ABCDA1B

6、1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點求證：圖722(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面；(2)CE，D1F，DA三線共點證明(1)如圖，連接EF，CD1，A1B.E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E，C，D1，F(xiàn)四點共面(2)EFCD1，EFCD1，CE與D1F必相交，設交點為P，則由P直線CE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直線DA，CE，D1F，DA三線共點規(guī)律方法1.證明線共面或點共面的常用方法(1)直接法：證明直線平行或相交，從而證明線共面.(2)納入平面法：先確定一個平面，再證

7、明有關點、線在此平面內.(3)輔助平面法：先證明有關的點、線確定平面，再證明其余元素確定平面，最后證明平面，重合.2.證明點共線問題的常用方法(1)基本性質法：一般轉化為證明這些點是某兩個平面的公共點，再根據(jù)基本性質3證明這些點都在這兩個平面的交線上.(2)納入直線法：選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其余點也在該直線上.3.證明三線共點問題常用的方法：先證其中兩條直線交于一點，再證交點在第三條直線上.跟蹤訓練如圖723，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BGGCDHHC12.圖723(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四面共面；(2)設EG與FH交于點P，

8、求證：P，A，C三點共線證明(1)因為E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，所以EFBD.在BCD中，所以GHBD，所以EFGH.所以E，F(xiàn)，G，H四點共面(2)因為EGFHP，PEG，EG平面ABC，所以P平面ABC同理P平面ADC所以P為平面ABC與平面ADC的公共點又平面ABC平面ADCAC，所以PAC，所以P，A，C三點共線空間兩直線的位置關系(1)(2018東北三省三校二聯(lián))是一個平面，m，n是兩條直線，A是一個點若m，n，且Am，A，則m，n的位置關系不可能是() 【導學號：】A垂直B相交C異面D平行(2)(2017河北邯鄲調研)如圖724，在三棱錐SABC中，G1，G2分別是SAB和SA

9、C的重心，則直線G1G2與BC的位置關系是()圖724A相交B平行C異面D以上都有可能(1)D(2)B(1)由于Am，A，m，則有m與相交，而n，那么m，n的位置關系只可能是相交(包括垂直)或異面，不可能平行，故選D.(2)連接SG1并延長交AB于M，連接SG2并延長交AC于N，連接MN(圖略)由題意知SM為SAB的中線，且SG1SM，SN為SAC的中線，且SG2SN，在SMN中，G1G2MN，易知MN是ABC的中位線，MNBC，因此可得G1C2BC，即直線G1G2與BC的位置關系是平行故選B.規(guī)律方法跟蹤訓練如圖725，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點

10、，有以下四個結論：圖725直線AM與CC1是相交直線；直線AM與BN是平行直線；直線BN與MB1是異面直線；直線AM與DD1是異面直線其中正確的結論的序號為_直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，所以錯誤點B，B1，N在平面BB1C1C中，點M在此平面外，所以BN，MB1是異面直線同理AM，DD1也是異面直線異面直線所成的角(1)(2017全國卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()ABCD(2)(2018南京、欽州第二次適應性考試)已知底面是邊長為2的正方形的四棱錐PABCD中，四棱錐的側棱長都為

11、4，E是PB的中點，則異面直線AD與CE所成角的余弦值為()ABCD(1)C(2)A (1)法一：將直三棱柱ABCA1B1C1補形為直四棱柱ABCDA1B1C1D1，如圖(1)所示，連接AD1，B1D1，BD.(1)由題意知ABC120，AB2，BCCC11，所以AD1BC1，AB1，DAB60.在ABD中，由余弦定理知BD22212221cos 603，所以BD，所以B1D1.又AB1與AD1所成的角即為AB1與BC1所成的角，所以cos .故選C法二：以B1為坐標原點，B1C1所在的直線為x軸，垂直于B1C1的直線為y軸，BB1所在的直線為z軸建立空間直角坐標系，如圖(2)所示(2)由已知

12、條件知B1(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(1,0,0)，A(1，1)，則(1,0，1)，(1，1)所以cos，.所以異面直線AB1與BC1所成的角的余弦值為.故選C(2)因為四邊形ABCD是正方形，所以ADBC，則異面直線AD和CE所成角為BC和CE所成角，即BCE.在PBC中，PBPC4，BC2，所以由余弦定理得cosPBC，則在BCE中，CE2BE2BC22BEBCcosPBC448cosPBC6，故cosBCE，故選A規(guī)律方法求異面直線所成角的兩種方法(1)平移法作：通過作平行線得到相交直線.證：證明所作角為異面直線所成的角(或其補角).求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求