高中數(shù)學 優(yōu)選法與試驗設計初步課件 新人教A版選修4-7

1、選修47優(yōu)選法與試驗設計初步 第一講 優(yōu)選法 一.什么叫優(yōu)選法 二.單峰函數(shù),問題提出,1.利用線性規(guī)劃原理，可以解決在線性約束條件下，求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題，同時還可以求得使目標函數(shù)取得最大或最小值的最優(yōu)解.其中在可行域內(nèi)尋找最優(yōu)解，體現(xiàn)了一種優(yōu)選法思想.,2.蒸饅頭是日常生活中常做的事情，為了使蒸出的饅頭好吃，就要放堿，如果堿放少了，蒸出的饅頭就發(fā)酸；堿放多了，饅頭就會發(fā)黃且有堿味.如果你沒有做饅頭的經(jīng)驗，也沒有人可以請教，就要用數(shù)學的方法迅速找出合適的堿量標準.,3.在實踐中的許多最優(yōu)化問題，試驗結果與因素的關系，有些很難用數(shù)學形式來表達，有些表達式很復雜，這需要我們學習解決

2、這類問題的數(shù)學方法.,優(yōu)選法與 單峰函數(shù),探究（一）：優(yōu)選法,思考1：有一種商品價格競猜游戲，參與者在只知道售價范圍的前提下，對一件商品的價格進行競猜.當競猜者給出的估價不正確時，主持人以“高了”或“低了”作為提示語，再讓競猜者繼續(xù)估價，在規(guī)定時間或次數(shù)內(nèi)猜對了即可獲得相應獎品.如果你參與這項活動，每次會怎么給出估價？,思考2：在生產(chǎn)、生活和科學實驗中，人們?yōu)榱诉_到優(yōu)質、高產(chǎn)、低耗等目的，需要對有關因素的組合進行選擇，其中最佳組合簡稱最佳點，關于最佳點的選擇問題，稱為優(yōu)選問題.優(yōu)選問題在生產(chǎn)、科研和日常生活中大量存在，如商品價格競猜，蒸饅頭放堿等都是優(yōu)選問題，你能列舉一個優(yōu)選問題的實例嗎？,思

3、考3：有一個1km2的正方形池塘，現(xiàn)在要找到池塘的最深點，若每隔1m測量一次，大約要測量多少次？,約106次,思考4：對于那些試驗結果和相關因素的關系不易用數(shù)學形式表達或數(shù)學表達很復雜的優(yōu)選問題，人們往往通過做試驗的辦法來尋找各種因素的最佳點.通過試驗方法來求最佳點時，如果不合理安排，就可能面臨什么問題？,面臨大量試驗.,花費大量人力、財力和時間.,有時可能不具有操作性.,思考5：利用數(shù)學原理，合理安排試驗，以最少的實驗次數(shù)迅速找到最佳點的科學試驗方法稱為優(yōu)選法.那么使用優(yōu)選法的目的是什么？需要進一步探究的問題是什么？,目的：減少試驗次數(shù).,問題：優(yōu)選法如何實施.,探究（二）：單峰函數(shù),思考1

4、：在軍事訓練中，發(fā)射炮彈要考慮發(fā)射角多大時炮彈的射程最遠，這是一個優(yōu)選問題，能否用數(shù)學形式表達炮彈的射程與發(fā)射角之間的關系？,能,思考2：設炮彈的初速度為v，發(fā)射角為(090)，在時刻t炮彈距發(fā)射點的水平距離為x，離地面的高度為y，空氣阻力忽略不計，則在下面的直角坐標系中，炮彈飛行軌跡的參數(shù)方程和普通方程分別是什么？,(t為參數(shù)),思考3：炮彈的射程x與發(fā)射角之間的函數(shù)關系是什么？其圖象如何？炮彈發(fā)射角的最佳點是什么？,最佳點是,在試驗范圍內(nèi)有唯一的最佳點，當試驗范圍內(nèi)變化因素的取值比最佳點再大些或最小些時，試驗效果都差，而且取值距離最佳點越遠試驗效果越差.,思考5：下圖中的兩個函數(shù)稱為區(qū)間

5、a，b上的單峰函數(shù)，那么單峰函數(shù)的定義特征是什么？,函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上只有唯一的最大(小)值點C，且在點C的兩側單調(diào)，并具有相反的單調(diào)性.,思考6：下列各圖中的函數(shù)是區(qū)間a，b上的單峰函數(shù)嗎？單峰函數(shù)一定是連續(xù)函數(shù)嗎？,規(guī)定：區(qū)間a，b上的單調(diào)函數(shù)是單峰 函數(shù).,單峰函數(shù)不一定是連續(xù)函數(shù).,探究（三）：因素與試點,思考1：在炮彈發(fā)射試驗中，除發(fā)射角外，客觀上還會因哪些原因影響炮彈的射程？,初速度，空氣阻力，地理位置等.,思考2：一般地，把影響試驗目標的諸多原因稱為因素.由于全面考慮試驗中的各種因素往往非常困難，常假設其中的某些因素保持不變，或忽略某些影響較小的因素，而把關注點集中在感興

6、趣的某個因素上.如果在一個試驗過程中，只有（或主要有）一個因素在變化，則稱這類問題為單因素問題. 炮彈發(fā)射試驗是否為單因素問題？認為哪些因素保持不變？忽略了哪些因素？,認為初速度保持不變，忽略了空氣阻力.,思考3：把試驗中可以人為調(diào)控的因素叫做可控因素，不能人為調(diào)控的因素叫做不可控因素，炮彈發(fā)射試驗中哪些是可控因素，哪些是不可控因素？一般地，在試驗中我們感興趣的因素是哪種因素？,發(fā)射角是可控因素，空氣阻力是不可控因素，感興趣的是可控因素.,思考4：表示試驗目標與因素之間對應關系的函數(shù)稱為目標函數(shù)，常用x表示因素，f(x)表示目標函數(shù)，包含最佳點的因素范圍下限用a表示，上限用b表示. 炮彈發(fā)射試

7、驗的目標函數(shù)，因素范圍上、下限分別是什么？,目標函數(shù)：,因素范圍上限： ，下限：0.,思考5：當主要因素確定之后，接下來的任務是通過試驗找出最佳點，使試驗的結果（目標）最好. 當目標函數(shù)沒有表達式時，一般要選擇適當?shù)姆椒ò才旁囼烖c（簡稱試點），選擇試點方法找出最佳點的基本原則是什么？,試點個數(shù)盡可能少.,思考6：設x1和x2是因素范圍a，b內(nèi)的任意兩個試點，C為最佳點，把兩個試點中效果較好的點稱為好點，效果較差的點稱為差點.若目標函數(shù)為單峰函數(shù)，則好點與差點哪個更接近最佳點？,若好點和差點在最佳點同側，則好點比差點更接近最佳點；否則，不好說.,思考7：若目標函數(shù)為單峰函數(shù)，則最佳點，好點，差點

8、的相對位置關系如何？,最佳點與好點必在差點的同側.,思考8：以差點為分界點，把因素范圍分成兩部分，其中好點所在部分稱為存優(yōu)范圍.據(jù)此，你能設計一個找最佳點的方法嗎？,不斷縮小存優(yōu)范圍,理論遷移,例1 據(jù)醫(yī)學統(tǒng)計，人群中帶有某種傳染病毒的人所占的比例為0.25%.某市在一次高考體檢中有1萬名考生待檢，為了查清這些考生中哪些人攜帶此病毒，醫(yī)院采取一種叫“群試”的方法，通過血液化驗進行排查.即把從每位考生身上抽取的血樣分成兩部分，一份保存?zhèn)溆?，一份與其他若干人的血樣混合在一起化驗若某組混合血樣中含此病毒，說明這組人中有該病毒攜帶者，然后利用備用血樣逐個化驗排查；若某組混合血樣中不含此病毒，說明這組人

9、中沒有該病毒攜帶者，這樣就可以減少化驗的次數(shù)若將這1萬名考生平均分成200組進行群試化驗排查，那么至多做多少次化驗，就一定能找出所有該病毒攜帶者.,1424次,例2 已知函數(shù)f(x)為區(qū)間0，1上的單峰函數(shù)，且f(x)在xa時取最大值，并稱a為峰點，包含峰點的區(qū)間叫做含峰區(qū)間.證明：對任意x1，x2(0，1)， x1x2，若f(x1)f(x2)，則(0，x2)為含峰區(qū)間；若f(x1)f(x2)，則(x1，1)為含峰區(qū)間.,例3 已知函數(shù) 若f(x)是0，4上的單峰函數(shù)，求a的取值范圍.,小結作業(yè),1.如果影響試驗的某個因素（記為x）處于某種狀態(tài)（記為xx0）時，試驗結果最好，那么這種狀態(tài)（xx

10、0）就是這個因素（x）的最佳點.,2.具有單峰性的試驗是優(yōu)選法研究的最簡單的試驗，在這樣的試驗中，試驗結果可以表示為實驗因素的單峰函數(shù).,3.目標函數(shù)并不需要f(x)的真正表達式，因素范圍可以用a到b的線段來表示. 不斷縮小存優(yōu)范圍是尋找最佳點的一個有效辦法.,作業(yè)： P3習題1.1：1，2. P5習題1.2：1，2.,選修47優(yōu)選法與試驗設計初步 第一講 優(yōu)選法 三.黃金分割法0.618法,問題提出,1.優(yōu)選法的含意是什么？,利用數(shù)學原理，合理安排試驗，以最少的實驗次數(shù)迅速找到最佳點的科學試驗方法.,2.區(qū)間a，b上的單峰函數(shù)的基本特點是什么？,函數(shù)在區(qū)間a，b上只有唯一的最大(小)值點C，

11、且在點C的兩側單調(diào)，并具有相反的單調(diào)性.,3.好點、差點和單峰函數(shù)存優(yōu)范圍的含義分別是什么？,好點：兩個試點中效果較好的點；,差點：兩個試點中效果較差的點；,存優(yōu)范圍：以差點為分界點，把因素范 圍分成兩部分，好點所在 部分對應的范圍.,4.優(yōu)選法的基本原則是以最少的實驗次數(shù)迅速找到最佳點，在實際問題中，應采取什么辦法貫徹這個原則？對具有單峰性的試驗，如何安排試點才能迅速找到最佳點？這才是優(yōu)選法的核心內(nèi)容，也是我們必須解決的問題.,黃金分割法,探究（一）：黃金分割常數(shù),思考1：對于單峰函數(shù)，最佳點與好點必在差點的同側，從而可以通過不斷縮小存優(yōu)范圍來尋找最佳點，具體如何操作？,先在因素范圍a，b內(nèi)

12、任選兩點各做一次試驗，根據(jù)試驗結果確定好點與差點，在差點處把a，b分成兩段，截掉不含好點的一段，留下存優(yōu)范圍a1，b1再在a1，b1內(nèi)重復上述工作，.,思考2：假設因素區(qū)間為0，1，取兩個試點0.1和0.2，則對峰值在(0，0.1)內(nèi)的單峰函數(shù)，兩次試驗存優(yōu)范圍縮小到了什么區(qū)間？對峰值在(0.2，1)內(nèi)的單峰函數(shù)，兩次試驗存優(yōu)范圍縮小到了什么區(qū)間？,(0，0.2),(0.1，1),思考3：上述結果表明，如果試點選取是隨意的，則對尋找單峰函數(shù)最佳點的效率會產(chǎn)生一定的影響.由于在試驗之前無法預知哪個試點是好點，為了克服盲目性和僥幸心理，在每次選取兩個試點時，你認為這兩個試點應具有什么相對位置關系為

13、好？,關于區(qū)間中點對稱,思考4：在一個區(qū)間內(nèi)關于中點對稱的兩點有無數(shù)對，實踐表明，兩個試點離中點太近或太遠，都不利于很快接近最佳點.我們設想：每次舍去的區(qū)間長度與舍去前的區(qū)間長度之比為常數(shù).對單峰函數(shù)，若兩個試點的試驗結果一樣，應如何舍去區(qū)間？,同時舍去兩個試點外側的區(qū)間.,思考5：在因素區(qū)間a，b內(nèi)選取兩個試點x1和x2，且x1x2，由點x1和x2關于區(qū)間a，b的中心對稱，可得什么關系？舍去的區(qū)間長度為多少？,x2abx1,思考6：不妨設x2是好點，x1是差點，則舍去的區(qū)間是什么？存優(yōu)范圍是什么？再在存優(yōu)范圍內(nèi)a，x1內(nèi)做試驗要取幾個試點？,存優(yōu)范圍是a，x1,舍去(x1，b,取一個試點,思

14、考7：在存優(yōu)范圍a，x1內(nèi)取第三個試點x3，則點x2與x3的相對位置關系如何？舍去的區(qū)間長度為多少？,關于區(qū)間a，x1的中心對稱，且點x3在點x2左側，舍去的區(qū)間長度為x1x2.,思考8：根據(jù)按比例舍去原則，可得什么等式？,思考9：將上面的等式可得, ,即 如何理解這個等式兩邊的實際意義？,兩次舍棄后的存優(yōu)范圍占舍棄前全區(qū)間的比例數(shù).,思考10：設 ，有什么辦法求出 t的值嗎？,探究（二）：黃金分割法,思考1： 稱為黃金分割常數(shù)，用表示，0.618.試驗方法中，利用黃金分割常數(shù)確定試點的方法叫做黃金分割法，也叫做0.618法.一般地，利用這個方法尋找單峰函數(shù)在因素區(qū)間a，b內(nèi)的最佳點，具體如何

15、操作？,在存優(yōu)范圍內(nèi)取黃金分割點為試點.,思考2：煉鋼時通過加入含有特定化學元素的材料，使練出的鋼滿足一定的指標要求.假設為了煉出某種特定用途的鋼，每噸需要加入某元素的量在1000g到2000g之間，若以1g為間隔，把所有的可能性都做一遍試驗來尋找最優(yōu)點，這種方法稱為均分法，利用均分法尋找最優(yōu)點有什么缺點？,試驗次數(shù)太多，在時間、人力和物力上造成浪費.,思考3：用一張紙條表示10002000g，以1000為起點標出刻度，如何確定第一試點x1和第二試點x2的值？,1382,1618,x110000.618(20001000) 1618(g)，,x210002000 x11382(g).,思考4：

16、如果稱因素范圍的左右兩端點值分別為小頭和大頭，那么x1和x2的直觀表達式如何？,x1小0.618(大小)， x2小大x1.,思考5：用黃金分割法確定第一試點x1后，x2的值相當于“加兩頭，減中間”.類似地，在確定第n個試點xn時，如果存優(yōu)范圍內(nèi)相應的好點是xm，則xn等于什么？,xn小大xm,思考6：對前述煉鋼問題，比較第一、二次試驗結果，如果第二試點x2是好點，則第三試點x3的值如何計算？,x31000161813821236(g),思考7：比較第二、三次試驗結果，如果第二試點x2仍是好點，則第四試點x4的值如何計算？,x41236161813821472(g),思考8：用0.618法尋找最

17、佳點時，雖然不能保證在有限次內(nèi)準確找到最佳點，但隨著試驗次數(shù)的增加，存優(yōu)范圍會越來越小，若用一個數(shù)據(jù)n來刻畫n次試驗后的精度，以此衡量一種試驗方法的效率，則n應如何計算？,思考9：用0.618法確定試點時，n次試驗后的精度n為多少？,n0.618n1,思考10：用0.618法尋找最佳點時，若給定精度，為了達到這個精度，至少要做多少次試驗？,理論遷移,例1 已知某因素范圍是100，1100，用黃金分割法尋找最佳點，已知前6次試驗后的好點包含在區(qū)間700，750內(nèi)，求第6次試驗后的存優(yōu)范圍.,684，774,例2 調(diào)酒師為了調(diào)制一種雞尾酒，每100kg烈性酒中需要加入檸檬汁的量在1kg到2kg之間

18、，用0.618法尋找它的最佳加入量，要求加入檸檬汁的誤差不超出1g，問需要做多少次試驗？,需要做19次試驗,例3 在用0.618法尋找最佳點的過程中，若某次試驗后的存優(yōu)范圍是2，b且2.382是這個存優(yōu)范圍內(nèi)的一個好點，求b的值.,b2.618或b3.,小結作業(yè),1.建立黃金分割法的基本原則是：兩個試點關于存優(yōu)范圍的中心對稱，且每次舍去的區(qū)間長度與舍去前的區(qū)間長度成比例.,2.黃金分割法主要適用于單因素單峰目標函數(shù)，第一個試點確定在因素范圍的0.618處，后續(xù)試點可以用“加兩頭，減中間”來確定.,3.試驗方法的效率常用精度n來反映，在相同試驗次數(shù)下，精度越高，方法越好.,作業(yè)： P10習題1.

19、3：1，2，3.,選修47優(yōu)選法與試驗設計初步 第一講 優(yōu)選法 四.分數(shù)法,問題提出,1.黃金分割法的基本原則是什么？,兩個試點關于存優(yōu)范圍的中心對稱，且每次舍去的區(qū)間長度與舍去前的區(qū)間長度成比例.,2.用黃金分割法尋找最優(yōu)點時，第一個試點選在何處？后續(xù)試點的數(shù)量值如何計算？,第一個試點在因素范圍的0.618處；,后續(xù)試點選在存優(yōu)范圍內(nèi)，用“加兩頭，減中間”來確定數(shù)量值.,3.用黃金分割法確定試點時，n次試驗后的精度n為多少？,n0.618n1,4.黃金分割法操作簡單實用，是一種重要的優(yōu)選法，是尋找單因素單峰目標函數(shù)最佳點的主要方法.但是，如果因素范圍是由一些離散的點組成，就不便甚至不能利用黃

20、金分割法來尋找最佳點.用此，我們希望以黃金分割法為基礎，再研究一個類似的方法來彌補黃金分割法的不足.,分數(shù)法,探究（一）：分數(shù)法的概念,思考1：在配置某種清洗液時，需要加入某種材料.經(jīng)驗表明，加入量大于130ml肯定不好.用150ml的錐形量杯計量加入量，該量杯的量程分為15格，每格代表10ml，能否用0.618法找出這種材料的最優(yōu)加入量？為什么？,不方便，因為用0.618法算出的試點不是10ml的整數(shù)倍，錐形量杯難以精確計量.,思考2：0.618是黃金分割常數(shù) 的近似值，是方程210的根，該方程可以作哪些變形？,(1)1， 等.,思考3：將等式 右邊的反復 用 代替，可得什么關系式？,思考4

21、：上式右邊是一個繁分式，叫做無窮連分數(shù)，為了書寫簡便，記作 ,那么這個無窮分數(shù)的前6項 分別為多少？,前一項的分母等于后一項的分子；,F0F11， .,思考6：上述數(shù)列Fn叫做斐波那契數(shù) 列，隨著n的增大， 的值與有什么關系？,逐漸趨向于,思考7：分數(shù) 可作為的近似值，而 且n越大近似程度越高，數(shù)列 稱為 的漸近分數(shù)列， 稱為的第n項漸 近分數(shù).如果用0.618法確定試點不方便，可以用哪些數(shù)代替0.618？,用的漸近分數(shù),思考8：在前述“配置清洗液”問題中，因素范圍是0130ml，錐形量杯能精確計量10ml的整數(shù)倍，用哪個漸近分數(shù)來代替0.618選取試點最合適？,思考9：用 代替0.618，第

22、1試點和第2 試點對應的加入量分別為多少ml？若第1試點是好點，則第3試點對應的加入量為多少ml？,x201308050,x35013080100,思考10：在優(yōu)選法中，用漸近分數(shù)近似代替0.618確定試點的方法叫做分數(shù)法，那么在什么情況下使用分數(shù)法？,因素范圍由一些離散的、間隔不等的點組成，試點只能取某些特定值.,探究（二）：分數(shù)法的操作原理,思考1：在測試某設備的線路中，要選一個電阻，但測試者手里只有阻值為0.5K，1K，1.3K，2K，3K，5K，5.5K等七種阻值不等的定值電阻，用分數(shù)法優(yōu)選這個阻值有何困難？如何解決？,阻值間隔不均勻，電阻個數(shù)不是斐波那契數(shù).,把這些電阻由小到大排序，

23、并在兩端各增加一個虛點，使因素范圍湊成8格. 阻值 0.5 1 1.3 2 3 5 5.5 排序 0 1 2 3 4 5 6 7 8,3K，1.3K.,思考2：通過上述處理，可以把阻值優(yōu) 選變?yōu)榕帕行蛱杻?yōu)選，用漸近分數(shù) 代 替0.618確定試點，第1個試點選取哪個阻值的電阻？第2個試點選取哪個阻值的電阻？,思考3：如果第2個試點是好點，則第3個試點選取哪個阻值的電阻？如果第1個試點是好點，則第3個試點選取哪個阻值的電阻？,5K.,1K.,思考4：分數(shù)法的基本思想是用適當?shù)臐u近分數(shù)代替0.618，再類似黃金分割法的操作原理選取試點.設某試驗的因素范圍是0，1，如果只能做1次試驗，則應取哪個漸近分

24、數(shù)代替0.618？試點選在何處？精度為多少？,精度為0.5.,思考5：設某試驗的因素范圍是0，1，如果只能做2次試驗，則應取哪個漸近分數(shù)代替0.618？兩個試點分別選在何處？精度為多少？,第1試點選在 處，第2試點選在 處， 精度為 .,思考6：如果只能做3次試驗，則應取哪個漸近分數(shù)代替0.618？精度為多少？一般地，如果只能做k次試驗，則應取哪個漸近分數(shù)代替0.618？精度為多少？,漸近分數(shù)取 ，精度為 ；,漸近分數(shù)取 ，精度為 .,思考7：用分數(shù)法安排試點時，若可能的試點總數(shù)正好是某一個Fn1，則第1，2個試點分別選哪個點？經(jīng)過兩次試驗后，存優(yōu)范圍中還剩下多少個試點可能是最佳點？,第Fn1

25、和Fn2點，剩Fn11個試點.,思考8：在Fn1個可能的試點中，最多做多少次試驗就能找到其中的最佳點？,最多做n1次試驗,思考9：若可能的試點總數(shù)大于某一個 Fn1，且小于某一個Fn11，用分數(shù)法安排試點時應作如何處理？,把所有可能的試點減少為Fn1個， 或增設幾個虛點湊成Fn11個.,思考10：一般地，用分數(shù)法安排試點的操作步驟如何？,（1）將試點個數(shù)調(diào)整為Fn1個；,（2）用 代替0.618確定第一個試點；,（3）用“加兩頭，減中間”的方法確定后續(xù)試點.,思考11：對目標函數(shù)為單峰的情形，用分數(shù)法尋找最佳點的試驗次數(shù)與試點個數(shù)有什么關系？,（1）當因素范圍內(nèi)有Fn11個試點時，最多只需作n

26、次試驗就能找出其中的最佳點.,（2）通過n次試驗，最多能從Fn11個試點中保證找出最佳點.,（3）只有按照分數(shù)法安排試點，才能通過n次試驗保證從Fn11個試點中找出最佳點.,理論遷移,例 某化工廠擬對某一化工產(chǎn)品進行技術改良，需要優(yōu)選加工溫度，試驗范圍定為6080C，精度要求1，技術員準備用分數(shù)法進行優(yōu)選. （1）如何安排試驗？ （2）最多通過幾次試驗就可以找出最佳點？ （3）若最佳點為70C，求各試點的值.,小結作業(yè),1.分數(shù)法適用于單因素單峰函數(shù)的因素范圍由一些離散的點組成，試點只能取某些特定值的情形，其基本思想是用適當?shù)臐u近分數(shù)代替0.618，然后按類似黃金分割法的操作原理選取試點. 即

27、先用漸近分數(shù)確定第一個試點，后續(xù)試點可以用“加兩頭，減中間”的方法來確定.,2.現(xiàn)實中，由于時間、人力、物力和財力的關系，往往使試驗次數(shù)受到限制，這種情況下采用分數(shù)法可以達到較好的效果.當試點個數(shù)一定時，用分數(shù)法找出其中的最佳點的試驗次數(shù)最少.,3.若因素范圍內(nèi)的試點將試驗范圍所分的段數(shù)不是斐波那契數(shù)，則可以通過減少試點數(shù)或增加虛點數(shù)湊成斐波那契數(shù).,作業(yè)： P17習題1.4：1，2，3.,選修47優(yōu)選法與試驗設計初步 第一講 優(yōu)選法 五.其他幾種常用的優(yōu)選法,問題提出,1.斐波那契數(shù)列Fn的構成規(guī)律是什么？,F0F11， .,2.分數(shù)法的基本思想與適用范圍是什么？,用漸近分數(shù) 近似代替0.6

28、18確定試點的方法.,適用于單因素單峰函數(shù)的因素范圍由一些離散的點組成，試點只能取某些特定值的情形.,3.用分數(shù)法安排試點的操作步驟如何？,將試點個數(shù)調(diào)整為Fn1個,用 代替0.618確定第一個試點,用“加兩頭，減中間”的方法確定后續(xù)試點.,4.分數(shù)法尋找最佳點的試驗次數(shù)與試點個數(shù)有什么關系？,（1）當因素范圍內(nèi)有Fn11個試點時，最多只需作n次試驗就能找出其中的最佳點.,（2）通過n次試驗，最多能從Fn11個試點中保證找出最佳點.,（3）只有按照分數(shù)法安排試點，才能通過n次試驗保證從Fn11個試點中找出最佳點.,5.分數(shù)法與黃金分割法都是有效的優(yōu)選法，其操作原理基本類似，其主要區(qū)別是分數(shù)法用

29、漸近數(shù)確定第一個試點，黃金分割法用0.618確定第一個試點，其共同點是用“加兩頭，減中間”確定后續(xù)試點.由于這兩種優(yōu)選法的適應范圍各有其局限性，同時，利用這兩種方法解決某些優(yōu)選問題需要較多的試驗次數(shù)，因此，我們還得有一些其他的優(yōu)選法作為補充.,其他幾種常 用的優(yōu)選法,探究（一）：對分法,思考1：在商品價格競猜游戲中，競猜者以怎樣的方式估價，可以盡快猜對商品的價格？,每次取存優(yōu)范圍的中點值作為估價.,思考2：有一條10km長的輸電線路出現(xiàn)了故障，在線路的一端A處有電，在另一端B處沒有電，你有什么辦法通過試點迅速查出故障所在位置？,每次取存優(yōu)范圍的中點作為試點.,思考3：上述安排試點的方法稱為對分

30、法，那么對分法的操作步驟是什么？,取因素范圍的中點為試點,根據(jù)試驗結果截去范圍的一半,在存優(yōu)范圍內(nèi)重復上述操作，直至找出最佳點.,思考4：并不是所有優(yōu)選問題都可以用對分法，那么對分法的適應條件是什么？,（1）有一個鑒別試驗結果好壞的標準；,（2）能根據(jù)每次試驗結果預知下個試點的存優(yōu)范圍.,思考5：利用對分法作n次試驗，所達到的精度為多少？,思考6：分別用0.618法和對分法安排試驗，找出蒸饅頭時合適的放堿量，哪種方法更為有效？為什么？,對分法更有效.,第一，合適的放堿量事先有明確的標準 第二，用對分法取試點計算要方便； 第三，同樣多次試驗對分法的精度要高，用對分法能以較少次數(shù)的試驗找到最佳點.

31、,探究（二）：盲人爬山法,思考1：當電視機畫面有“雪花”時，可以用遙控器進行頻道微調(diào)，使畫面達到清晰狀態(tài)，具體如何操作？,先往前面方向微調(diào)，如果畫面清晰一些了就繼續(xù)往這個方向微調(diào)，否則就往后面方向微調(diào).如果前后微調(diào)的清晰度都比某點低，則該點為清晰狀態(tài)最佳點.,思考2：一個盲人爬山時已到某處，假設山是單峰的，且只有一條直道經(jīng)過山頂，試設想他如何判斷其立足之處是否為山頂？,對前后兩個方向進行試探，如果前面高了，就向前走一步，否則試探后面.如果前后都比某點低，就說明到達山頂了.,思考3：對單因素單峰試驗，利用上述思想尋找最佳點具體如何操作？,根據(jù)經(jīng)驗或估計找一個起點A，在因素的減方向找一個試點B,若

32、B是好點，就繼續(xù)減少，若A是好點，在因素的增方向找一個試點C,若C是好點，就繼續(xù)增加,如果增加到某點時是差點，就減少增加的步長，直至找出最佳點.,思考4：上述確定試點的方法稱為盲人爬山法，這種方法的效果快慢與哪些要素有關？,起點，每步間隔的大小.,思考5：為提高盲人爬山法的試驗效果，從開始試點到找到最佳點，每步間隔的大小大致如何安排比較合理？,兩頭小，中間大.,探究（三）：分批試驗法,思考1：0.618法，分數(shù)法，對分法，爬山法的共同特點是，后續(xù)試驗的安排依賴于前面的試驗結果.優(yōu)點是總的試驗次數(shù)少，缺點是若試驗結果需要很長時間才能得到，則試驗周期累加耗時太多.為了縮短試驗總時間，加快試驗進度，

33、你有什么新的想法？,（1）把所有可能的試驗同時安排進行，根據(jù)試驗結果找出最佳點.,（2）把全部試驗分幾批做，每一批同時安排幾個試驗，并進行比較，直到找出最佳點.,思考2：上述試驗方法稱為分批試驗法，利用這種方法尋找最佳點，需要解決的技術問題是什么？,如何合理分批，每批如何安排試驗.,思考3：如圖，將因素范圍a，b均分為3份，取兩個分點x1，x2為試點各做一次試驗.若x1為好點，則存優(yōu)范圍為a，x2，再將該存優(yōu)范圍均分為4份，取兩個分點x3，x4為試點各做一次試驗，若x3為好點，則存優(yōu)范圍為a，x1，再將該存優(yōu)范圍均分為4份，取兩個分點x5，x6為試點各做一次試驗，依次類推，直到找出最佳點.這是

34、一種均分分批試驗法，這種方法每批安排幾個試點，第n次試驗后的精度如何計算？,思考4：均分分批試驗法每批可以做2n個試驗，首先把試驗范圍均分為2n1份，產(chǎn)生2n個均分點x1，x2，x2n，以每個均分點為試點各做一次試驗，比較其試驗結果.如果xi最好，則存優(yōu)范圍為(xi1，xi1)，然后將該范圍均分為 2n2份，在xi兩側各產(chǎn)生n個分點，以這2n個均分點為試點再做試驗，如此反復，就能找到最佳點.用這個方法做分批試驗，每批試驗后的存優(yōu)范圍如何變化？,第一批試驗后的存優(yōu)范圍為原來的 倍，以后每批試驗后的存優(yōu)范圍都為前 次留下范圍的 倍.,思考5：在分批試驗中，可以將第1批試點按比例安排在試驗范圍內(nèi).若

35、每批做2個試驗，則將因素范圍7等分，第一批兩個試點安排在第3，4兩個點上進行.設第4個分點為好點，則存優(yōu)范圍為第3個分點到右端，第二批兩個試點安排在第5，6兩個點上進行.再將存優(yōu)范圍4等分，第三批兩個試點安排在新增的兩個分點上進行. 如此反復，直到找出最佳點.這是一種比例分割分批試驗法，第n次試驗后的精度如何計算？,思考6：比例分割分批試驗法每批可以做2n個試驗，類似上述原理，若每批做4個試驗，則要將因素范圍幾等分？第一批4個試點如何安排？,分成17等分，第一批試點安排在第5，6，11，12四個點上.,思考7：若第一批四個試點中第6個點為好點，則第二批4個試點如何安排？,第二批試點安排在第7，

36、8，9，10四個點上.,思考8：用比例分割分批試驗法，每批分別做2個，4個，6個，8個試驗，第一批試點的位置有什么分布規(guī)律？,22 444 6666 88888,探究（四）：多峰的情形,思考1：前面介紹的方法都只適用于“單峰”的情況，若實際問題是“多峰”情形，用前述方法找到一個“峰”以后怎么處理？,如果達到預先要求，就先用于實際問題，以后再找其他更高的“峰”.,思考2：先做一批分布比較均勻的試驗，看是否有“多峰”現(xiàn)象，如果有則如何處理？,分區(qū)間尋找，在每個可能出現(xiàn)“高峰”的范圍內(nèi)做試驗，找出這些“峰”.,思考3：如圖，第一批試點一般按0.6180.382劃分，使得有峰值的范圍總是成(，)或(，

37、)，這樣處理有什么好處？,對每個留下的區(qū)域應用0.618法就可以 利用已做過的試驗結果，從而減少試驗次數(shù).,理論遷移,例 某試驗的因素范圍是(3，18)，用均分分批試驗法尋找最佳點，每批安排4個試驗. （1）如何安排第一批試點； （2）若第一批試點中從左到右第3個試點是好點，如何安排第二批試點.,第一批4個試點值分別為6，9，12，15.,第二批4個試點值分別為10，11，13，14.,小結作業(yè),1.如果每作一次試驗，根據(jù)結果可以決定下次試驗的方向，就可以用對分法尋找最佳點.相對于0.618法和分數(shù)法，對分法更簡單，易操作.,2.盲人爬山法是一種采用小步調(diào)調(diào)整策略的優(yōu)選法，在生產(chǎn)實踐和科學試驗

38、中，如果某些因素不允許大幅度調(diào)整，可以用盲人爬山法尋找最佳點.,3.分批試驗法每批同時做幾個試驗，可以加快試驗進度，根據(jù)存優(yōu)范圍越小效率越高的原理，比例分割法比均分法效果要好.,4.優(yōu)選法主要針對單峰情形，對多峰問題應轉化為單峰問題.,作業(yè)： P23習題1.5： 1，3，4，5，6.,選修47優(yōu)選法與試驗設計初步 第一講 優(yōu)選法 六.多因素方法,問題提出,1.對分法的操作原理是什么？,取因素范圍的中點為試點根據(jù)試驗結果截去范圍的一半在存優(yōu)范圍內(nèi)重復上述操作，直至找出最佳點.,2.盲人爬山法的操作原理是什么？,根據(jù)經(jīng)驗或估計找一個起點A，在因素的減方向找一個試點B若B是好點，就繼續(xù)減少，若A是好

39、點，在因素的增方向找一個試點C若C是好點，就繼續(xù)增加如果增加到某點時是差點，就減少增加的步長，直至找出最佳點.,3.均分分批試驗法的操作原理是什么？,把試驗范圍均分為2n1份，產(chǎn)生2n個均分點x1，x2，x2n，以每個均分點為試點各做一次試驗，比較其試驗結果.如果xi最好，則存優(yōu)范圍為(xi1，xi1)，然后將該范圍均分為2n2份，在xi兩側各產(chǎn)生n個分點，以這2n個均分點為試點再做試驗，如此反復，直至找到最佳點.,4.比例分割分批試驗法，第一批試點的位置有什么分布規(guī)律？,22 444 6666 88888,5.黃金分割法，分數(shù)法，對分法，盲人爬山法，分批試驗法等，是解決單因素單峰情形的優(yōu)選方

40、法，對多峰的情形，一般轉化為單峰情形來解決.但在現(xiàn)實中，我們會遇到多因素優(yōu)選問題，即試驗效果同時受到兩個或兩個以上因素的影響，從而需要有解決這類問題的辦法.,多因素方法,探究（一）：縱橫對折法和從好點出發(fā)法,思考1：設某個優(yōu)選問題同時受到某兩個因素的影響，用x，y表示兩個因素的取值，zf(x，y)表示目標函數(shù)，那么雙因素優(yōu)選問題的本質是什么？,迅速找到二元目標函數(shù)zf(x，y)的最大值或最小值及其對應的點(x，y).,思考2：假設函數(shù)zf(x，y)在某一區(qū)域內(nèi)單峰，其幾何意義是把曲面zf(x，y)看作一座山，頂峰只有一個，從幾何上如何理解雙因素優(yōu)選問題的本質？,迅速找到曲面的最高峰.,思考3：

41、把試驗范圍內(nèi)zf(x，y)取同一值的曲線叫做等高線，各條等高線在水平面上的投影是一圈套一圈的曲線，那么雙因素優(yōu)選問題轉化為尋找哪圈等高線？,最里邊的一圈等高線.,思考4：以橫坐標表示因素，縱坐標表示因素，假設因素的試驗范圍為a1，b1，因素的試驗范圍為a2，b2用什么策略尋找峰頂在水平面上的投影點？,先固定一個因素，對另一個因素進行優(yōu)選，再固定第二個因素，對第一個因素進行優(yōu)選.,思考5：如圖，先將因素固定在試驗范圍的中點c1處，對因素進行單因素優(yōu)選，得到最佳點A1；再將因素固定在試驗范圍的中點c2處，對因素進行單因素優(yōu)選，得到最佳點B1，比較點A1和B1的試驗結果，若B1是好點，則存優(yōu)范圍是哪

42、個區(qū)域？,c1b1，a2b2.,思考6：將因素固定在新范圍(c1，b1的中點d1處，對因素進行單因素優(yōu)選，得到最佳點A2，比較點A2和B1的試驗結果，若A2是好點，則存優(yōu)范圍是哪個區(qū)域？,c1b1，c2b2.,思考7：如此繼續(xù)下去，不斷縮小存優(yōu)區(qū)域，直至找到最佳點為止，這個方法稱為縱橫對折法.其中每次可以采用什么方法對一個因素進行優(yōu)選？,黃金分割法，分數(shù)法，對分法，盲人爬山法，分批試驗法等.,思考8：實踐中每次對一個因素的固定點不一定取中點，如果先將因素固定在原生產(chǎn)點(或黃金分割點)c1處，對因素進行單因素優(yōu)選，得到最佳點A1(c1，c2)；再將因素固定在c2處，對因素進行單因素優(yōu)選，得到最佳

43、點B1(d1，c2),則存優(yōu)范圍是哪個區(qū)域？,a1c1，a2b2.,思考9：在此基礎上，將因素固定在d1處，對因素進行單因素優(yōu)選，得到最佳點A2(d1，d2)，則存優(yōu)范圍是哪個區(qū)域？,a1c1，a2c2.,思考10：如此繼續(xù)下去，不斷縮小存優(yōu)區(qū)域，就能找到所需要的最佳點，這個方法稱為從好點出發(fā)法.該方法有什么特點？,除第一次外，對某一因素進行優(yōu)選時，另一因素固定在上次試驗結果的好點上.,探究（二）：平行線法,思考1：縱橫對折法和從好點出發(fā)法的共同特點是先固定因素，優(yōu)選因素，再固定因素，優(yōu)選因素，來回進行優(yōu)選試驗，應用這兩種方法對實驗條件有什么要求？,兩個試驗因素都比較容易調(diào)整.,思考2：如圖，

44、設影響某試驗結果的因素有，兩個，且因素難以調(diào)整，先把因素固定在0.618處，對因素進行單因素優(yōu)選，得到最佳點A1；再把因素固定在0.382處，對因素進行單因素優(yōu)選，得到最佳點A2；比較點A1和A2的試驗結果，若A1是好點，則存優(yōu)范圍是哪個區(qū)域？,01，0.3821.,思考3：再把因素固定在0.764處，對因素進行單因素優(yōu)選，得到最佳點A3.比較點A1和A3的試驗結果，若A1仍是好點，則存優(yōu)范圍是哪個區(qū)域？,01，0.3820.764.,思考4：如此繼續(xù)下去，不斷縮小存優(yōu)區(qū)域，就能找到所需要的最佳點，這個方法稱為平行線法. 該方法有什么特點？,每次試驗都是在相互平行的直線上做.,思考5：應用平行

45、線法時，對因素的取點是否一定要按0.618法？平行線法能否保證下一條平行線上的最佳點一定優(yōu)于以前各條平行線上的最佳點？,不一定.,思考6：在求得兩條平行線l1與l2上的最佳點A1與A2后，比較點A1和A2的試驗結果，若A1是好點，則在存優(yōu)區(qū)域內(nèi)過點A1，A2作直線L1，在L1上用單因素法找到最佳點A3.如果對A3的試驗結果不滿意，再過點A3作l1的平行線l3，在l3上用單因素法找到最佳點A4. 如果對A4的試驗結果還不滿意，則在新的存優(yōu)區(qū)域內(nèi)過點A1，A4作直線L2，在L2上用單因素法找到最佳點A5. 如此繼續(xù)下去，直到結果滿意為止. 這個方法稱為平行線加速法.應用該方法找最佳點有什么優(yōu)點？,能提高獲得滿意試驗結果的速度.,探究（三）：雙因素盲人爬山法,思考1：在單因素大生產(chǎn)試驗中，若試驗因素不允許大幅度調(diào)整，只能用盲人爬山法.如果雙因素問題中試驗因