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高 等 數(shù) 學(xué) (上),第四章 不定積分,第四節(jié) 幾種特殊函數(shù)的不定積分,有理函數(shù)：兩個多項(xiàng)式的商表示的函數(shù) .,一、有理函數(shù)的積分,稱為真分式；,稱為假分式；,利用多項(xiàng)式除法, 假分式可以化成一個多項(xiàng)式和一個真分式之和.,例,把有理函數(shù)的積分化成一個多項(xiàng)式和一個 真分式積分之和.,關(guān)鍵：將真分式化為部分分式之和.,由代數(shù)學(xué)里的部分分式定理知：,1）分母中若有因式 ，則分解后為,例如,2）分母中若有因式 ,其中,則分解后為：,其中Ai , Bi 都是常數(shù) ( i 1 , 2 , ),定理1 有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).,例1,（待定系數(shù)法）,1）分母中若有因式 ，則分解后為,2）分母中若有因式 ,則分解為：,因此,只要求出四類積分.,例2,由,得 ， ， .,所以,例3,得,因此,例4 求,可求得,例5,注意 一般的方法不一定是最佳的方法, 故有理式 的積分應(yīng)先考慮其它方法, 不得已時才用一般方法計(jì)算.,三角函數(shù)有理式的定義：,由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)，一般記為 .,二、三角函數(shù)有理式的積分,因?yàn)?因而,若令 ，則,（稱為萬能代換）,定理2 三角函數(shù)有理式的原函數(shù)都是初等函數(shù).,討論類型,解決方法：作代換去掉根號 .,三、簡單無理函數(shù)的積分,例8,解 令 ，則,所以,原式=,

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