圓與二次函數(shù)知識點

1、圓和二次函數(shù)知識點圓一、圓的概念集合形式的概念： 1、 圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合； 2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合； 3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合軌跡形式的概念：1、圓：到定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓；2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）；3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距

2、離都相等的一條直線。二、點與圓的位置關(guān)系1、點在圓內(nèi) 點在圓內(nèi)；2、點在圓上 點在圓上；3、點在圓外 點在圓外；三、直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離 無交點；2、直線與圓相切 有一個交點；3、直線與圓相交 有兩個交點；四、圓與圓的位置關(guān)系外離（圖1） 無交點 ；外切（圖2） 有一個交點 ；相交（圖3） 有兩個交點 ；內(nèi)切（圖4） 有一個交點 ；內(nèi)含（圖5） 無交點 ； 五、垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??； （2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??； （3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直

3、平分弦，并且平分弦所對的另一條弧 以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結(jié)論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結(jié)論，即： 是直徑 弧弧 弧弧中任意2個條件推出其他3個結(jié)論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 即：在中， 弧弧六、圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。 此定理也稱1推3定理，即上述四個結(jié)論中，只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結(jié)論，即：； 弧弧七、圓周角定理1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。即：和是弧所對的圓心角和圓周角 2、圓周角定理的推論：推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓

4、或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧；即：在中，、都是所對的圓周角 推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。即：在中，是直徑 或 是直徑推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。即：在中， 是直角三角形或注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。八、圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對角。 即：在中， 四邊形是內(nèi)接四邊形 九、切線的性質(zhì)與判定定理（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線； 兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二

5、者缺一不可 即：且過半徑外端 是的切線（2）性質(zhì)定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖） 推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點。 推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理：即：過圓心；過切點；垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。十、切線長定理切線長定理： 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：、是的兩條切線 平分十一、圓冪定理（1）相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。即：在中，弦、相交于點， （2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的 兩條線段的比例中項。即：

6、在中，直徑， （3）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是 這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。即：在中，是切線，是割線 （4）割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖）。即：在中，、是割線 十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓的的公共弦。如圖：垂直平分。即：、相交于、兩點 垂直平分十三、圓的公切線兩圓公切線長的計算公式：（1）公切線長：中，；（2）外公切線長：是半徑之差； 內(nèi)公切線長：是半徑之和 。十四、圓內(nèi)正多邊形的計算（1）正三角形 在中是正三角形，有關(guān)計算在中進(jìn)行：；（2）正四邊形同理，四

7、邊形的有關(guān)計算在中進(jìn)行， ：（3）正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計算在中進(jìn)行，.十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計算公式1、扇形：（1）弧長公式：；（2）扇形面積公式： ：圓心角 ：扇形多對應(yīng)的圓的半徑 ：扇形弧長 ：扇形面積2、圓柱： （1）圓柱側(cè)面展開圖 =（2）圓柱的體積：3、圓錐側(cè)面展開圖（1）=（2）圓錐的體積：二次函數(shù)知識點（一）、定義與定義表達(dá)式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系： y=ax2+bx+c（a0），則稱y為x的二次函數(shù)。（二）、二次函數(shù)的三種表達(dá)式 一般式：y=ax2+bx+c（a0）頂點式：y=a(x-h) 2+k（a0），此時拋物線的頂點坐標(biāo)為P（h，k）交點

8、式：y=a(x-x1)(x-x2)（a0）僅用于函數(shù)圖像與x軸有兩個交點時，x1、x2為交點的橫坐標(biāo)，所以兩交點的坐標(biāo)分別為A（x1，0）和 B（x2，0），對稱軸所在的直線為x=注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系：h= ，k= ； x1, x2=；（三）、二次函數(shù)的圖像 從圖像可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，屬于軸對稱圖形。二次函數(shù)圖像的畫法五點法：（1）先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點M，并用虛線畫出對稱軸（2）求拋物線與坐標(biāo)軸的交點：當(dāng)拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A,B及拋物線與y軸的交點C，再找到點C的對稱點D。將這五個點按從左到右的順序

9、連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)的圖像。當(dāng)拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D。由C、M、D三點可粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對對稱點A、B，然后順次連接五點，畫出二次函數(shù)的圖像。（四）、幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)當(dāng)時開口向上當(dāng)時開口向下(軸)(0,0)(軸)(0, )(,0)(,)()圖象平移規(guī)律：左加右減，對x；上加下減，直接加減（五）、拋物線的性質(zhì)拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.1拋物線是軸對稱圖形，對稱軸為直線，對稱軸與拋物線唯一的交點是拋物線的頂點P。特別地

10、，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）2拋物線有一個頂點P，坐標(biāo)為P（-，）。 當(dāng)x=- 時，y最值= ，當(dāng)a0時，函數(shù)y有最小值；當(dāng)a0時，函數(shù)y有最大值。當(dāng)-=0時，P在y軸上（即交點的橫坐標(biāo)為0）；當(dāng)= b2-4ac=0時，P在x軸上（即函數(shù)與x軸只有一個交點）。3二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小（即形狀）。 當(dāng)a0時，拋物線開口向上；當(dāng)a0時，拋物線開口向下。|a|越大，則拋物線的開口越小。對于兩個拋物線，若形狀相同，開口方向相同，則a相等；若形狀相同，開口方向相反，則a互為相反數(shù)。4二次項系數(shù)a和一次項系數(shù)b共同決定對稱軸的位置，四字口訣為“左同右異”，即：當(dāng)對稱軸

11、在y軸左邊時，a與b同號（即ab0）； 當(dāng)對稱軸在y軸右邊時，a與b異號（即ab0）。 5常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點位置，拋物線與y軸交于點（0，c）。6拋物線y=ax2+bx+c（a0）與x軸交點個數(shù)與方程ax2+bx+c=0的根的判定方法：= b2-4ac0時，拋物線與x軸有2個交點，對應(yīng)方程有兩個不相同的實數(shù)根；= b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點，對應(yīng)方程有兩個相同的實數(shù)根。 = b2-4ac0時，拋物線與x軸沒有交點，對應(yīng)方程沒有實數(shù)根。（六）、二次函數(shù)的對稱性關(guān)于X軸對稱 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是；關(guān)于Y軸對稱 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是；關(guān)于原點對稱 關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是關(guān)于頂點對稱 關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是；關(guān)于頂