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文檔簡介

1、圓和二次函數(shù)知識點圓一、圓的概念集合形式的概念: 1、 圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合; 2、圓的外部:可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合; 3、圓的內(nèi)部:可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合軌跡形式的概念:1、圓:到定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心,定長為半徑的圓;2、垂直平分線:到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線(也叫中垂線);3、角的平分線:到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線;4、到直線的距離相等的點的軌跡是:平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線;5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是:平行于這兩條平行線且到兩條直線距

2、離都相等的一條直線。二、點與圓的位置關(guān)系1、點在圓內(nèi) 點在圓內(nèi);2、點在圓上 點在圓上;3、點在圓外 點在圓外;三、直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離 無交點;2、直線與圓相切 有一個交點;3、直線與圓相交 有兩個交點;四、圓與圓的位置關(guān)系外離(圖1) 無交點 ;外切(圖2) 有一個交點 ;相交(圖3) 有兩個交點 ;內(nèi)切(圖4) 有一個交點 ;內(nèi)含(圖5) 無交點 ; 五、垂徑定理垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論1:(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條??; (2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分弦所對的兩條??; (3)平分弦所對的一條弧的直徑,垂直

3、平分弦,并且平分弦所對的另一條弧 以上共4個定理,簡稱2推3定理:此定理中共5個結(jié)論中,只要知道其中2個即可推出其它3個結(jié)論,即: 是直徑 弧弧 弧弧中任意2個條件推出其他3個結(jié)論。推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 即:在中, 弧弧六、圓心角定理圓心角定理:同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弦相等,所對的弧相等,弦心距相等。 此定理也稱1推3定理,即上述四個結(jié)論中,只要知道其中的1個相等,則可以推出其它的3個結(jié)論,即:; 弧弧七、圓周角定理1、圓周角定理:同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。即:和是弧所對的圓心角和圓周角 2、圓周角定理的推論:推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓

4、或等圓中,相等的圓周角所對的弧是等弧;即:在中,、都是所對的圓周角 推論2:半圓或直徑所對的圓周角是直角;圓周角是直角所對的弧是半圓,所對的弦是直徑。即:在中,是直徑 或 是直徑推論3:若三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個三角形是直角三角形。即:在中, 是直角三角形或注:此推論實是初二年級幾何中矩形的推論:在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。八、圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理:圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ),外角等于它的內(nèi)對角。 即:在中, 四邊形是內(nèi)接四邊形 九、切線的性質(zhì)與判定定理(1)切線的判定定理:過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線; 兩個條件:過半徑外端且垂直半徑,二

5、者缺一不可 即:且過半徑外端 是的切線(2)性質(zhì)定理:切線垂直于過切點的半徑(如上圖) 推論1:過圓心垂直于切線的直線必過切點。 推論2:過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理:即:過圓心;過切點;垂直切線,三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。十、切線長定理切線長定理: 從圓外一點引圓的兩條切線,它們的切線長相等,這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即:、是的兩條切線 平分十一、圓冪定理(1)相交弦定理:圓內(nèi)兩弦相交,交點分得的兩條線段的乘積相等。即:在中,弦、相交于點, (2)推論:如果弦與直徑垂直相交,那么弦的一半是它分直徑所成的 兩條線段的比例中項。即:

6、在中,直徑, (3)切割線定理:從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是 這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。即:在中,是切線,是割線 (4)割線定理:從圓外一點引圓的兩條割線,這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等(如上圖)。即:在中,、是割線 十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理:兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓的的公共弦。如圖:垂直平分。即:、相交于、兩點 垂直平分十三、圓的公切線兩圓公切線長的計算公式:(1)公切線長:中,;(2)外公切線長:是半徑之差; 內(nèi)公切線長:是半徑之和 。十四、圓內(nèi)正多邊形的計算(1)正三角形 在中是正三角形,有關(guān)計算在中進(jìn)行:;(2)正四邊形同理,四

7、邊形的有關(guān)計算在中進(jìn)行, :(3)正六邊形同理,六邊形的有關(guān)計算在中進(jìn)行,.十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計算公式1、扇形:(1)弧長公式:;(2)扇形面積公式: :圓心角 :扇形多對應(yīng)的圓的半徑 :扇形弧長 :扇形面積2、圓柱: (1)圓柱側(cè)面展開圖 =(2)圓柱的體積:3、圓錐側(cè)面展開圖(1)=(2)圓錐的體積:二次函數(shù)知識點(一)、定義與定義表達(dá)式 一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系: y=ax2+bx+c(a0),則稱y為x的二次函數(shù)。(二)、二次函數(shù)的三種表達(dá)式 一般式:y=ax2+bx+c(a0)頂點式:y=a(x-h) 2+k(a0),此時拋物線的頂點坐標(biāo)為P(h,k)交點

8、式:y=a(x-x1)(x-x2)(a0)僅用于函數(shù)圖像與x軸有兩個交點時,x1、x2為交點的橫坐標(biāo),所以兩交點的坐標(biāo)分別為A(x1,0)和 B(x2,0),對稱軸所在的直線為x=注:在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關(guān)系:h= ,k= ; x1, x2=;(三)、二次函數(shù)的圖像 從圖像可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線,屬于軸對稱圖形。二次函數(shù)圖像的畫法五點法:(1)先根據(jù)函數(shù)解析式,求出頂點坐標(biāo),在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點M,并用虛線畫出對稱軸(2)求拋物線與坐標(biāo)軸的交點:當(dāng)拋物線與x軸有兩個交點時,描出這兩個交點A,B及拋物線與y軸的交點C,再找到點C的對稱點D。將這五個點按從左到右的順序

9、連接起來,并向上或向下延伸,就得到二次函數(shù)的圖像。當(dāng)拋物線與x軸只有一個交點或無交點時,描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D。由C、M、D三點可粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像,可再描出一對對稱點A、B,然后順次連接五點,畫出二次函數(shù)的圖像。(四)、幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下:函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)當(dāng)時開口向上當(dāng)時開口向下(軸)(0,0)(軸)(0, )(,0)(,)()圖象平移規(guī)律:左加右減,對x;上加下減,直接加減(五)、拋物線的性質(zhì)拋物線的三要素:開口方向、對稱軸、頂點.1拋物線是軸對稱圖形,對稱軸為直線,對稱軸與拋物線唯一的交點是拋物線的頂點P。特別地

10、,當(dāng)b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)2拋物線有一個頂點P,坐標(biāo)為P(-,)。 當(dāng)x=- 時,y最值= ,當(dāng)a0時,函數(shù)y有最小值;當(dāng)a0時,函數(shù)y有最大值。當(dāng)-=0時,P在y軸上(即交點的橫坐標(biāo)為0);當(dāng)= b2-4ac=0時,P在x軸上(即函數(shù)與x軸只有一個交點)。3二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小(即形狀)。 當(dāng)a0時,拋物線開口向上;當(dāng)a0時,拋物線開口向下。|a|越大,則拋物線的開口越小。對于兩個拋物線,若形狀相同,開口方向相同,則a相等;若形狀相同,開口方向相反,則a互為相反數(shù)。4二次項系數(shù)a和一次項系數(shù)b共同決定對稱軸的位置,四字口訣為“左同右異”,即:當(dāng)對稱軸

11、在y軸左邊時,a與b同號(即ab0); 當(dāng)對稱軸在y軸右邊時,a與b異號(即ab0)。 5常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點位置,拋物線與y軸交于點(0,c)。6拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸交點個數(shù)與方程ax2+bx+c=0的根的判定方法:= b2-4ac0時,拋物線與x軸有2個交點,對應(yīng)方程有兩個不相同的實數(shù)根;= b2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點,對應(yīng)方程有兩個相同的實數(shù)根。 = b2-4ac0時,拋物線與x軸沒有交點,對應(yīng)方程沒有實數(shù)根。(六)、二次函數(shù)的對稱性關(guān)于X軸對稱 關(guān)于軸對稱后,得到的解析式是; 關(guān)于軸對稱后,得到的解析式是;關(guān)于Y軸對稱 關(guān)于軸對稱后,得到的解析式是; 關(guān)于軸對稱后,得到的解析式是;關(guān)于原點對稱 關(guān)于原點對稱后,得到的解析式是; 關(guān)于原點對稱后,得到的解析式是關(guān)于頂點對稱 關(guān)于頂點對稱后,得到的解析式是;關(guān)于頂

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