定積分的應(yīng)用(一).ppt

1、一、平面圖形的面積,二、由平行截面面積求體積,第十章 定積分的應(yīng)用（一）,由平行截面面積求體積 直接應(yīng)用求旋轉(zhuǎn)體的體積,面積公式（直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)）,一、平面圖形的面積,如果函數(shù)y=f(x)( f(x)0)在區(qū)間a, b上連續(xù)，則由曲線y=f(x)、x軸與直線x=a、x=b所圍成的曲邊梯形的面積為,復(fù)習(xí)：,由上下兩條連續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線x=a、x=b所圍成的圖形的面積 S 如何求？,考慮如下問(wèn)題：,1、若圖形在x軸上方，,注意圖形的形成,2、若圖形不在x軸上方，,yf(x)+m,y=g(x)+m,將圖形平移到x軸的上方,由上下兩條連續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與

2、左右兩條直線x=a、x=b所圍成的圖形的面積 S 如何求？,考慮如下問(wèn)題：,1、若圖形在x軸上方，,結(jié)論：由上下兩條連續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線,S,x=a、x=b所圍成的圖形的面積為,注： (1)當(dāng)曲線f(x)=0或g(x)=0時(shí)，上述公式也成立。,(2)當(dāng)左右兩邊縮為一點(diǎn)時(shí)，上述公式也成立。,(3)積分區(qū)間就是圖形在x軸上的投影區(qū)間。,結(jié)論：由上下兩條連續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線,S,x=a、x=b所圍成的圖形的面積為,注： (1)當(dāng)曲線f(x)=0或g(x)=0時(shí)，上述公式也成立。,(4)如果 y=f(x)有分段點(diǎn) c，則需把圖形分割后計(jì)算。,yf

3、1(x),yf2(x),結(jié)論：由上下兩條連續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線,S,x=a、x=b所圍成的圖形的面積為,注： (1)當(dāng)曲線f(x)=0或g(x)=0時(shí)，上述公式也成立。,(2)當(dāng)左右兩邊縮為一點(diǎn)時(shí)，上述公式也成立。,(3)積分區(qū)間就是圖形在x軸上的投影區(qū)間。,討論： 由左右兩條連續(xù)曲線x=y(y)、x=j(y)與上下兩條直線y=c、 y=d所圍成的圖形的面積 S 如何求？,答案：,結(jié)論：由上下兩條連續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線,S,x=a、x=b所圍成的圖形的面積為,結(jié)論：由上下兩條連續(xù)曲線y=f(x)、y=g(x)與左右兩條直線,S,x=a、x=b

4、所圍成的圖形的面積為,例1. 求橢圓 所圍成的圖形面積。 解：設(shè)橢圓在第一象限的面積為S1，則橢圓的面積為,解： 由對(duì)稱性，圖形面積是第一 象限部分的兩倍。,S =2 ,解： 由對(duì)稱性，圖形面積是第一 象限部分的兩倍。,S =2 ,=2 ,例3 計(jì)算拋物線y22x 與直線xy4所圍成的圖形的面積。,解：求兩曲線的交點(diǎn)得：(2，2)，(8，4)。將圖形向y軸投影得區(qū)間2，4。,=18。,思考：為什么不向x軸投影？,一般地 , 當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程,給出時(shí),按順時(shí)針?lè)较蛞?guī)定起點(diǎn)和終點(diǎn)的參數(shù)值,則曲邊梯形面積,極坐標(biāo)情形,求由曲線,及,圍成的曲邊扇形的面積 .,在區(qū)間,上任取小區(qū)間,則該小區(qū)間

5、上曲邊扇形面積的近似值為,所求曲邊扇形的面積為,對(duì)應(yīng) 從 0 變,例5. 計(jì)算阿基米德螺線,解:,到 2 所圍圖形面積 .,例6. 計(jì)算心形線,所圍圖形的,面積 .,解:,(利用對(duì)稱性),二、由平行截面面積求體積,設(shè)一立體在x軸上的投影區(qū)間為a, b ，過(guò)x點(diǎn)垂直于x軸的截面面積S(x)是x的連續(xù)函數(shù)，求此立體的體積。,(3)令l=maxDxi，則立體體積為,(1) 在a, b內(nèi)插入分點(diǎn)： a=x0x1x2 xn-1xn=b，,(2)過(guò)xi(i=1, 2, , n-1)且垂直于x軸的平面，把立體分割成n個(gè)小薄片，第i個(gè)小薄片體積的近似值S(xi)Dxi。,將n個(gè)小薄片體積的近似值相加得立體體積

6、的近似值,垂直 x 軸的截面是橢圓,例7. 計(jì)算由曲面,所圍立體(橢球體),解:,它的面積為,因此橢球體體積為,特別當(dāng) a = b = c 時(shí)就是球體體積 .,的體積.,例8. 一平面經(jīng)過(guò)半徑為R 的圓柱體的底圓中心 ,并,與底面交成 角,解: 如圖所示取坐標(biāo)系,則圓的方程為,垂直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積為,利用對(duì)稱性,計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積 .,思考: 可否選擇 y 作積分變量 ?,此時(shí)截面面積函數(shù)是什么 ?,如何用定積分表示體積 ?,提示:,區(qū)間a, b上截面積為S(x)的立體體積：,右圖為由連續(xù)曲線 yf(x)、直線 xa 、 xb 及 x 軸所圍成的曲邊梯形繞 x

7、軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體。,關(guān)鍵是確定截面面積,當(dāng)考慮連續(xù)曲線段,繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周?chē)傻牧Ⅲw體積時(shí),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,截面面積為,于是有,例9 連接坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn)P(h，r)的直線、直線xh 及x軸圍成一個(gè)直角三角形。將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為r、高為h的圓錐體。計(jì)算這圓錐體的體積。,所求圓錐體的體積為,曲線y=f(x)繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積：,區(qū)間a, b上截面積為 S(x) 的立體體積：,例10. 計(jì)算由橢圓,所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而,成的橢球體的體積.,解: 方法1 利用直角坐標(biāo)方程,則截面面積,(利用對(duì)稱性),于是,方法2 利用橢圓參數(shù)方程,則,特別當(dāng)b = a 時(shí), 就得半徑為a 的球體的體積,例11. 計(jì)算擺線,的一拱與 y0,所圍成的圖形分別繞 x 軸 , y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積 .,解: 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為,利用對(duì)稱性,繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為,注意上下限 !,注意分段點(diǎn)！,分部積分,注,(利用“偶倍奇零”),例12. 求曲線,與