自動控制 LTI系統(tǒng)的MATLAB輔助.ppt

1、第5章 LTI系統(tǒng)的MATLAB輔助設(shè)計與仿真,5.1 控制系統(tǒng)工具箱的使用 5.2 LTI模型數(shù)組 5.3 LTI系統(tǒng)分析和設(shè)計的圖形操作環(huán)境 5.4 LTI控制系統(tǒng)的設(shè)計實例,5.1 控制系統(tǒng)工具箱的使用,5.1.1 創(chuàng)建LTI模型對象 MATLAB 6.X中的控制系統(tǒng)工具箱（控制系統(tǒng)工具箱）為線性時不變系統(tǒng)（LTI）的建模和分析提供了豐富的函數(shù)和工具, 既支持連續(xù)和離散系統(tǒng), 也能夠處理SISO和MIMO系統(tǒng)。 并且, 用戶可以將多個LTI模型放在同一個數(shù)組中統(tǒng)一進行計算和分析。,使用控制系統(tǒng)工具箱的第一步是為系統(tǒng)選擇適當?shù)哪Ｐ汀?MATLAB 6.X支持的LTI模型包括： 傳遞函數(shù)模型

2、（TF）, 例如, 零極點-增益模型（ZPK）, 例如, 狀態(tài)空間模型（SS）, 例如, 頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)模型（FRD）, 由系統(tǒng)頻率響應(yīng)的采樣測量值構(gòu)成。 例如, 可以在FRD模型中存放實驗中測量的系統(tǒng)頻率響應(yīng)值。 一旦在MATLAB工作空間中創(chuàng)建了上述模型, 就可以使用各種函數(shù)來對系統(tǒng)模型進行分析和計算。 例如, 可以針對系統(tǒng)的各種模型設(shè)計補償器, 分析系統(tǒng)的各種屬性, 如可控性、 可觀性、 時域和頻域響應(yīng)等等。,不同的系統(tǒng)模型在MATLAB中的存儲形式是不同的。 例如, 用簡單的分子分母多項式表示傳遞函數(shù)模型； 用四個矩陣 A、 B、 C和D 表示狀態(tài)空間模型； 用零極點集合來說明系統(tǒng)的零極

3、點-增益模型等等。 MATLAB分別用定制的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來存儲這些模型, 稱為LTI對象, 包括TF、 ZPK、 SS和 FRD對象。 這些對象將所有模型的信息封裝起來, 從而讓用戶可以從整體上對模型代表的系統(tǒng)進行操作。,表 5.1 LTI模型的創(chuàng)建函數(shù),1.創(chuàng)建傳遞函數(shù)模型 1） SISO傳遞函數(shù)模型 連續(xù)SISO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 ?,(5.1),可以采用兩種方法創(chuàng)建SISO傳遞函數(shù)模型。 一種是使用tf命令, 另一種則可以直接引用Laplace變量s的多項式。 使用tf命令的方法是 h = tf(num, den),其中, 行向量num和獸穴分別是多項式n(s)和d(s)的系數(shù)。 注意這里的多

4、項式是按照s的降冪排列的。 例如, 如果某個SISO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是h(s)=s/(s2+2s+10), 則可以通過下面的命令來創(chuàng)建該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型: h = tf(1 0, 1 2 10) MATLAB的輸出結(jié)果為 傳送功能: s - s2 + 2 s + 10 h是一個TF對象, 存放傳遞函數(shù)的分子分母多項式數(shù)據(jù)。,當然也可以按照通常習(xí)慣用s的多項式來直接表示SISO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 為此, 首先將s定義為Laplace算子: s = tf(s); 然后輸入s的多項表達式。 例如, 輸入 H = s/(s2 + 2*s +10); 將產(chǎn)生與h = tf(1 0, 1 2 10)相同的系

5、統(tǒng)模型。,2） MIMO傳遞函數(shù)模型 MIMO系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是由基本的SISO傳遞函數(shù)所組成的二維數(shù)組。 同樣有兩種方法來創(chuàng)建MIMO系統(tǒng)模型： 一種是將組成該MIMO系統(tǒng)的多個SISO傳遞函數(shù)進行串聯(lián)； 另一種方法則可以使用帶元胞數(shù)組參數(shù)的tf命令。 考慮下面的有理傳遞函數(shù)矩陣,可以將 H(s)定義為兩個SISO系統(tǒng)的組合： h11 = tf(1 -1, 1 1); h21 = tf(1 2, 1 4 5); H = h11; h21 如果使用tf命令方式, 則必須首先定義兩個元胞數(shù)組N和D： N = 1 -1;1 2; D = 1 1;1 4 5; H = tf(N, D),傳送功能從輸入

6、到輸出. s - 1 1:- s + 1 s + 2 2:- s2 + 4 s + 5,使用tf命令可以創(chuàng)建只有單個增益或增益矩陣的TF對象, 例如G = tf(1 0; 2 1)將產(chǎn)生增益矩陣,而E = tf將創(chuàng)建空的傳遞函數(shù)。 2創(chuàng)建零極點-增益模型 1） SISO零極點-增益模型 連續(xù)SISO系統(tǒng)的零極點-增益模型的一般形式為,(5.2),3） 創(chuàng)建狀態(tài)空間模型 狀態(tài)空間模型是采用線性微分或差分方程來描述系統(tǒng)的動態(tài)行為。 連續(xù)時間系統(tǒng)具有如下的一般形式,(5.3),使用ss命令創(chuàng)建系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的調(diào)用格式為,sys = ss(A, B, C, D),例 5.1 在MATLAB中創(chuàng)建下

7、面系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型：,輸入sys = ss(0 1;-5 -2, 0;3, 0 1, 0) 創(chuàng)建的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型為,= x1 x2 x1 0 1.00000 x2 -5.00000 -2.00000 b = u1 x1 0 x2 3.00000 c = x1 x2 y1 0 1.00000 d = u1 y1 0,4） 創(chuàng)建描述符狀態(tài)空間模型 描述符狀態(tài)空間（DSS）模型是上述標準狀態(tài)空間模型的一般形式。 其基本形式為,(5.4),控制系統(tǒng)工具箱僅僅支持 E 為非奇異矩陣的 情況。 這時, 式（5.4）與下面的形式相同,(5.5),當E矩陣的條件數(shù)很小時, 采用式（5.4）將比式（5.5）

8、計算更加方便。 dss命令的調(diào)用格式是 sys = dss(A, B, C, D, E) 5） 創(chuàng)建頻率響應(yīng)（RFD）模型 如果我們無法直接建立研究對象的傳遞函數(shù)或狀態(tài)空間模型, 而只知道該系統(tǒng)在某些頻率處的頻率響應(yīng)值, 仍然可以采用frd命令創(chuàng)建該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)模型。 frd命令的調(diào)用格式是 sys = frd(response, frequencies, units),其中, 頻率是由不同頻率值構(gòu)成的長度為Nf的實數(shù)向量, 回答是與這些頻率值對應(yīng)的復(fù)數(shù)形式的頻率響應(yīng)值。 單位是頻率所采用的單位, 為“拉德/s”（缺省值）和“Hz”之一。 例如, 假設(shè)數(shù)據(jù)文件LTIexamples.mat存

9、儲有測量的頻率向量freq和相應(yīng)的響應(yīng)值respG， 則創(chuàng)建FRD對象的步驟是 載入LTIexamples sys = frd(respG, freq) MATLAB輸出結(jié)果為 從輸入1到:,頻率(拉德/s) 輸出1 - - 1 -0.812505-0.000312i 2 -0.175077-0.001596i 3 -0.092593-0.462963i 4 -0.075781-0.001625i 5 -0.043735-0.000390i 創(chuàng)建MIMO系統(tǒng)的FRD模型與SISO的情況類似, 只不過這時的頻率響應(yīng)回答是pmNf維數(shù)組， 其中p和m分別是系統(tǒng)的輸出和輸入維數(shù)。,6） 創(chuàng)建離散系統(tǒng)

10、模型 離散系統(tǒng)模型的創(chuàng)建過程與連續(xù)系統(tǒng)模型的創(chuàng)建過程幾乎相同, 唯一的區(qū)別在于創(chuàng)建離散系統(tǒng)模型必須指定系統(tǒng)的采樣周期或采樣時間。 下面的命令將分別創(chuàng)建離散系統(tǒng)的TF、 ZPK、 SS和FRD模型對象： sys1 = tf(num, 獸穴, Ts) sys2 = zpk(z, p, k, Ts) sys3 = ss(a, b, c, d, Ts) sys4 = frd(回答, 頻率, Ts),7） 創(chuàng)建DSP格式的離散傳遞函數(shù) 在數(shù)字信號處理中, 我們習(xí)慣于將離散系統(tǒng)的傳遞函數(shù)寫成z-1的有理分式， 并且z-1在多項式中按照升冪排列。 例如,可以用行向量1 0.5和1 2 3來定義。 使用fil

11、t函數(shù)可以創(chuàng)建具有DSP格式的離散傳遞函數(shù) h = filt(num, 獸穴) h = filt(num, 獸穴, Ts) 第一式?jīng)]有指定系統(tǒng)的采樣時間, 而第二式通過Ts指定該系統(tǒng)的采樣時間。 例如 h = filt(1 0.5, 1 2 3) 產(chǎn)生的輸出為 傳送功能: 1 + 0.5 z-1,- 1 + 2 z-1 + 3 z-2 標本時間: 未指明的,5.1.2 設(shè)置LTI對象的屬性 前一節(jié)討論了如何在MATLAB環(huán)境中創(chuàng)建LTI對象來封裝系統(tǒng)模型的數(shù)據(jù)和采樣時間。 實際上創(chuàng)建的LTI對象具有大量的附加屬性。 其中一些屬性是四種LTI對象共有的, 稱為一般屬性。 另一些屬性是某種LTI對

12、象獨有的, 稱為特殊屬性。 表5.2列舉了LTI對象所有的一般屬性。,表 5.2 LTI對象的一般屬性,有兩種方法可以獲取和設(shè)置LTI對象的屬性值。 一種是使用獲得和設(shè)置命令, 如 PropertyValue = 獲得(sys, PropertyName) 設(shè)置(sys, PropertyName, PropertyValue) 另一種是直接運用結(jié)構(gòu)的屬性訪問, 如下面的語句與上面采用設(shè)置和獲得函數(shù)的功能相同。,PropertyValue = sys.PropertyName% 獲得財產(chǎn)價值 sys.PropertyName = PropertyValue% 設(shè)置財產(chǎn)價值 例如 sys = s

13、s(1, 2, 3, 4, InputName, u); sys.a ans = 1,5.1.3 LTI模型之間的相互轉(zhuǎn)換 可以分別使用tf、 ss、 zpk和frd命令顯式地將一種LTI對象轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的LTI對象。 sys = tf(sys) % 轉(zhuǎn)換成TF模型 sys = zpk(sys) % 轉(zhuǎn)換成ZPK模型 sys = ss(sys) % 轉(zhuǎn)換成SS模型 sys = frd(sys, 頻率) % 轉(zhuǎn)換成FRD模型,表 5.3 LTI模型的轉(zhuǎn)換函數(shù),例如, 如果輸入 sys = ss(-2, 1, 1, 3) zpk(sys) 則將一個狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換成一個零極點-增益模型, 其結(jié)果為

14、Zero/pole/gain: 3 (s+2.333) - (s+2) 控制系統(tǒng)工具箱中的某些函數(shù)可能只處理某種類型的LTI模型。,例如, tfdata命令只支持TF對象。 如果此時的輸入?yún)?shù)是其它類型的LTI對象, 則調(diào)用函數(shù)可以自動將輸入的LTI對象轉(zhuǎn)換成本身支持的LTI對象類型, 而不需要用戶顯式地進行轉(zhuǎn)換。 例如 sys = ss(0, 1, 1, 0) num, 獸穴 = tfdata(sys) tfdata函數(shù)首先將sys的狀態(tài)方程模型轉(zhuǎn)換成等價的傳遞函數(shù)模型, 從而得到相應(yīng)的分子和分母多項式的數(shù)據(jù)。,說明： (1) TF、 ZPK和SS這三種LTI對象的計算精度是不同的。 尤其在

15、處理高維傳遞函數(shù)模型時, 計算的準確度可能會很差。 因此, 一般使用系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型（SS）來進行相關(guān)的操作。 (2) 使用tf函數(shù)將其它類型的模型轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)模型, 可能會降低原系統(tǒng)的表示精度。 其結(jié)果將可能導(dǎo)致轉(zhuǎn)換后的傳遞函數(shù)極點位置與原始的零極點-增益模型或狀態(tài)空間模型不完全相同。,(3) 對于SISO系統(tǒng), 向狀態(tài)空間模型的轉(zhuǎn)換過程不是唯一的； 對于MIMO系統(tǒng), 這種轉(zhuǎn)換也不能保證產(chǎn)生系統(tǒng)的最小實現(xiàn)。 例如, 對于狀態(tài)空間模型sys, ss(tf(sys)也許會得到不同的狀態(tài)空間矩陣, 對于MIMO系統(tǒng)設(shè)置會得到不同數(shù)量的狀態(tài)變量。 因此, 用戶應(yīng)盡可能避免其它LTI對象與狀態(tài)空

16、間對象之間的相互轉(zhuǎn)換。,5.1.4 Simulink 中的LTI系統(tǒng)模塊 Simulink的基本模塊庫中包含LTI系統(tǒng)模塊（如圖5.1所示）。 通過該模塊, 用戶可以在Simulink模型方框圖中使用LTI對象。 用戶可以在MATLAB的命令窗口中輸入ltiblock命令來得到LTI系統(tǒng)模塊。 雙擊該模塊, 將出現(xiàn)圖5.2所示的屬性對話框。,其中最重要的屬性是LTI系統(tǒng)變量, 用戶在該編輯框中輸入LTI對象的創(chuàng)建命令， 缺省值是tf(1, 1 1)。 LTI系統(tǒng)模塊支持連續(xù)和離散系統(tǒng)的傳遞函數(shù)、 狀態(tài)空間和零極點-增益模型。 但是在實際仿真中都將它們轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間模型進行計算。,圖 5.1 S

17、imulink中的LTI模塊,圖 5.2 LTI模型的屬性對話框,5.1.5 LTI模型的運算 在MATLAB環(huán)境中, 用戶可以對所建立的LTI模型對象進行簡單的運算, 例如， 加、 減、 乘、 除和串、 并聯(lián)等。 例如, 輸入 tf(1, 1 0) + tf(1 1, 1 2) % 相當于1/s + (s+1)/(s+2) 計算得到一個新的傳遞函數(shù) 傳送功能: s2 + 2 s + 2 - s2 + 2 s,圖 5.3 兩個LTI對象的加法,圖 5.4 兩個LTI對象的乘法,傳遞函數(shù)之間的乘法表示兩個LTI系統(tǒng)之間的串聯(lián), 如圖5.4所示。 例如輸入 2 * tf(1, 1 0)*tf(1

18、1, 1 2) % 相當于2*1/s*(s+1)/(s+2) 產(chǎn)生新的LTI模型 傳送功能: 2 s + 2 - s2 + 2 s 其它的運算還包括系統(tǒng)求逆和系統(tǒng)轉(zhuǎn)置等。,5.1.6 系統(tǒng)分析工具 控制系統(tǒng)工具箱為用戶提供了一整套用于LTI模型的時域和頻域分析工具。 這些函數(shù)大都支持所有類型的系統(tǒng), 包括連續(xù)和離散系統(tǒng)、 SISO或MIMO系統(tǒng)甚至由多個模型組成的LTI數(shù)組。 不過其中的FRD模型比較特殊， 它只能對系統(tǒng)進行頻域分析。 讀者可能已經(jīng)注意到, 本書前面幾章的介紹中已經(jīng)或多或少地使用到了其中的某些函數(shù)。,系統(tǒng)的時域響應(yīng)可用來研究線性模型在特定輸入和干擾條件下的暫態(tài)行為。 用戶可以從

19、系統(tǒng)時域響應(yīng)中確定諸如上升時間、 穩(wěn)定時間、 最大超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)誤差等系統(tǒng)時域特性。 控制系統(tǒng)工具箱提供的函數(shù)可以完成系統(tǒng)的階躍響應(yīng)、 脈沖響應(yīng)、 初始條件響應(yīng)和一般線性系統(tǒng)仿真。 例如可以借助randn和lsim函數(shù)仿真系統(tǒng)在白噪聲輸入情況下的響應(yīng)曲線。 除了對系統(tǒng)進行時域仿真, 控制系統(tǒng)工具箱還可以完成系統(tǒng)的頻域分析， 包括繪制系統(tǒng)的預(yù)示圖、 Nichols圖和Nyquist曲線等等。 表5.4列舉了控制系統(tǒng)工具箱中有關(guān)系統(tǒng)分析的函數(shù)。,表 5.4 LTI模型的分析函數(shù),5.1.7 模型屬性的分析 模型的一般特點包括模型類型、 我/O維數(shù)和連續(xù)或離散屬性。 表5.5中列出了與模型屬性相關(guān)的命

20、令。 這些命令可以用來處理連續(xù)、 離散點著模型或任何LTI模型組成的數(shù)組。,表 5.5 模型屬性相關(guān)命令,下面的代碼顯示了模型屬性操作函數(shù)的一些使用方法。 H = tf(1 1 -1, 1 0.1 1 2 10) 傳送功能從輸入1到輸出: 1 - s + 0.1 傳送功能從輸入2到輸出: s - 1 - s2 + 2 s + 10 班級(H),ans = tf 大小(H) 傳送功能有2輸入(s) 和1輸出(s). ny, nu = 大小(H) % 注意: ny = 輸出的個數(shù) ny = 1 nu = 2 isct(H) % 系統(tǒng)是連續(xù)的嗎？ ans = 1,isdt(H) % 系統(tǒng)是離散的嗎？

21、 ans = 0 控制系統(tǒng)工具箱還可以確定系統(tǒng)的零極點位置和DC增益以及范數(shù)等。 表 5.6 是相關(guān)指令的簡要說明。,表 5.6 模型動態(tài)屬性命令,除了L范數(shù)外, 這些命令都不支持FRD模型。 下面的代碼顯示了模型動態(tài)屬性操作函數(shù)的一些使用方法。 h = tf(4 8.4 30.8 60, 1 4.12 17.4 30.8 60) 傳送功能: 4 s3 + 8.4 s2 + 30.8 s + 60 - s4 + 4.12 s3 + 17.4 s2 + 30.8 s + 60 棒(h),ans = -1.7971 + 2.2137i -1.7971 - 2.2137i -0.2629 + 2.7

22、039i -0.2629 - 2.7039i 零點(h) ans = -0.0500 + 2.7382i -0.0500 - 2.7382i -2.0000 dcgain(h) ans =,1 ninf, fpeak = 標準(h, inf)% 的山頂財物增加freq.response ninf = 1.3402 % 山頂財物增加 fpeak = 1.8537 % 頻率什么地方財物增加山頂 ?,這些函數(shù)還可以處理LTI數(shù)組, 并且其返回值也為數(shù)組。 例如, 可以分析一個三維LTI數(shù)組sysarray(具體構(gòu)造方法參考5.2節(jié))的極點情況。 sysarray = tf(rss(2, 1, 1,

23、3) 模型sysarray(:, :, 1, 1) = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 傳送功能: -0.6201 s - 1.905 -,s2 + 5.672 s + 7.405 模型sysarray(:, :, 2, 1) = 傳送功能: 0.4282 s2 + 0.3706 s + 0.04264 - s2 + 1.056 s + 0.1719 模型sysarray(:, :, 3, 1) = 傳送功能: 0.621 s + 0.7567,- s2 + 2.942 s + 2.113 3x1連續(xù)的的數(shù)組時間傳送功能. 棒(sysar

24、ray) ans(:, :, 1) = -3.6337 -2.0379 ans(:, :, 2) = -0.8549 -0.2011 ans(:, :, 3) = -1.6968 -1.2452,表 5.7 系統(tǒng)狀態(tài)空間實現(xiàn)命令,5.2 LTI模型數(shù)組,5.2.1 基本概念 在實際的系統(tǒng)分析和設(shè)計工程中, 有時同時考慮幾個線性時不變（LTI）系統(tǒng)的模型所組成的集合會給工作帶來很大的方便。 例如, 可以考慮某個參數(shù)變化下的一組模型： sys1 = tf(1, 1 1 1); sys2 = tf(1, 1 1 2); sys3 = tf(1, 1 1 3);,可以采用LTI數(shù)組（LTI數(shù)組）來存儲

25、這一系列模型。 例如, 對于上面的例子, 可以創(chuàng)建一個包含三個LTI傳遞函數(shù)模型的LTI數(shù)組： sys-ltia = (sys1, sys2, sys3); 為了形象地說明LTI數(shù)組的存儲形式, 考慮圖 5.5 中由5個傳遞函數(shù)模型組成的集合。 在這個例子中, 每個模型都具有兩個輸入和輸出, 但每個模型的系統(tǒng)參數(shù)不同。,圖 5.5 5個LTI模型組成的LTI數(shù)組,如同可以在一個多維數(shù)組中定義22矩陣的集合, 我們也可以在一個LTI數(shù)組sysa中定義這5個傳遞函數(shù)模型。 LTI數(shù)組的每個元素都是某個具體的LTI模型。 例如, 可以通過sysa(: , : , 3)來訪問其中第三個模型， 而sys

26、a(2, 2, 3)則表示第三個模型中第 2 個輸入到第2個輸出的傳遞函數(shù), 如圖5.6所示。,圖 5.6 LTI數(shù)組元素的訪問方法,5.2.2 LTI數(shù)組的維數(shù)和形狀 單個LTI模型的維數(shù)和形狀是由其輸入和輸出通道決定的。 但是一個LTI數(shù)組則具有不同的維數(shù)和形狀的概念。 我/O維數(shù)： LTI數(shù)組中所有模型共同具有的輸入和輸出維數(shù)。 數(shù)組維數(shù)： 模型數(shù)組自身所具有的維數(shù)。 LTI數(shù)組的尺寸大小是由下面的因素決定的。 我/O維數(shù)的長度： LTI數(shù)組中所有模型共同具有的輸入或輸出的個數(shù)。,圖5.7顯示了一個23的LTI數(shù)組m2d, 其中每一個元素都是一個輸入和兩個輸出的傳遞函數(shù)模型。 我們可以使

27、用下面的代碼將該LTI數(shù)組裝入MATLAB工作空間, 并分析它的大?。?載入LTIexamples 大小(m2d) 23連續(xù)的的數(shù)組時間傳送功能 各自的傳送功能2輸出和1輸入.,圖 5.7 LTI數(shù)組的維數(shù)和尺寸大小,5.2.3 創(chuàng)建LTI數(shù)組 可以采用下面三種方法來創(chuàng)建一個LTI模型： (1) 使用為了循環(huán)語句對LTI數(shù)組的每個元素賦值。 (2) 使用堆命令將多個LTI模型組合成一個LTI數(shù)組。 (3) 使用tf、 zpk、 ss和frd指令。 而且, 我們還可以使用rss命令來創(chuàng)建以隨機狀態(tài)空間模型為元素的LTI數(shù)組。,1） 使用rss命令 使用rss命令可以很方便地創(chuàng)建狀態(tài)空間模型所組成

28、的LTI數(shù)組, 其中每個模型具有相同數(shù)目的狀態(tài)變量。 該命令的調(diào)用方法是 rss(N, P, M, sdim1, , sdimk) 其中, N是LTI數(shù)組中每個模型的狀態(tài)數(shù)目； P是每個模型的輸出量數(shù)目； M是每個模型的輸入量數(shù)目； sdim1, , sdimk是數(shù)組維數(shù)的長度。,例如, 下面的程序?qū)?chuàng)建由隨機狀態(tài)空間模型所組成的42數(shù)組。 其中每個模型具有三個狀態(tài)、 兩個輸出和一個輸入。 sys = rss(3, 2, 1, 4, 2); 大小(sys) 42連續(xù)的的數(shù)組時間情形空間模型 各自的模型2輸出, 1輸入, 和3情形.,2） 使用循環(huán)語句 假設(shè)我們要創(chuàng)建包含4個二階LTI傳遞函數(shù)模

29、型的LTI模型數(shù)組, 這些模型具有如下所示的相同的結(jié)構(gòu),每個模型中的阻尼系數(shù)和自然頻率不同。 假如分別取1=0.66, 2=0.76,=1.2, =1.5, 可以輸入下面的程序創(chuàng)建需要的LTI模型數(shù)組：,zeta = 0.66, 0.75; w = 1.2, 1.5; 為了我= 1:2 為了j = 1:2 H(:, :, i, j) = tf(w(j)2, 1 2*zeta(i)*w(j) w(j)2); 末端 末端,3） 使用堆函數(shù) 創(chuàng)建LTI模型數(shù)組的方法是使用堆函數(shù)。 該函數(shù)既可以處理單個的LTI模型, 也可以處理LTI數(shù)組。 它可以將多個LTI數(shù)組或單個的LTI模型組合成更大的LTI數(shù)

30、組。 例如, 如果兩個TF模型sys1和sys2具有相同數(shù)目的輸入和輸出, 則可以輸入 sys = 堆(1, sys1, sys2) 它可以將這兩個模型組合成為21的模型數(shù)組。,4） 直接使用tf、 zpk、 ss和frd函數(shù) 如果我們將多維數(shù)組作為tf、 zpk、 ss和frd等函數(shù)的參數(shù), 同樣可以創(chuàng)建LTI數(shù)組的功能。 例如, 對于TF模型, 可以使用 sys = tf(num, 獸穴) 其中, num和獸穴都是相同大小的多維元胞數(shù)組（單元數(shù)組）。 對于ZPK模型, 可以使用 sys = zpk(零點, 棒, 財物增加),其中的零點和棒都是元胞數(shù)組, 其元胞元素包含每個模型中每個我/O對

31、的零極點向量。 而財物增加則是包含每個模型中每個我/O對的標量增益的多維數(shù)組。 對于狀態(tài)空間模型, 則可以使用 sys = ss(a, b, c, d) 其中的a、 b、 c和d都是多維實數(shù)數(shù)組。 注意, 在創(chuàng)建的SS模型數(shù)組中的所有模型都具有相同數(shù)目的狀態(tài)和輸入輸出。,5.2.4 LTI數(shù)組的下標運用 我們可以像操作多維數(shù)組那樣使用下標來對LTI數(shù)組中的元素進行操作, 包括訪問模型、 抽取子系統(tǒng)、 調(diào)整LTI數(shù)組中的元素、 刪除LTI數(shù)組中的元素等。 LTI數(shù)組下標的使用格式為 ?sys(輸出, 輸入, n1, , nk) 其中, 輸出和輸入分別代表選擇的輸入和輸出通道； n1, , nk為

32、數(shù)組維的下標, 用來選擇LTI數(shù)組中的一個模型或模型的子集。,1） 訪問LTI數(shù)組中的模型 可以用此方法訪問LTI數(shù)組中的模型： 對前兩個下標使用冒號參數(shù)(: , :), 表示選擇該模型的所有我/O通道, 剩下的下標指定待選擇模型在LTI數(shù)組中的位置。 例如, 如果sys是由下面的命令定義的一個52的狀態(tài)空間模型所組成的LTI數(shù)組 sys = rss(4, 3, 2, 5, 2); 我們可以訪問位于LTI數(shù)組sys中(3, 2)位置的模型 sys(:, :, 3, 2),2） 數(shù)組維的單參數(shù)下標的使用 我們也可以使用數(shù)組維的單參數(shù)下標來訪問LTI數(shù)組中的模型。 例如, 對于上面的52 數(shù)組,

33、下面的命令同樣可以訪問sys中(3, 2)位置的模型： sys(:, :, 8) 這里的8正好是對數(shù)組進行逐行掃描時(3, 2)模型的位置。,3） 獲取子系統(tǒng)的LTI數(shù)組 我們也可以從LTI數(shù)組中的所有模型中選擇指定我/O通道的子集。 例如 sys = rss(4, 3, 2, 5, 2); = sys(1, 1 2) 或者 = sys(1, 1 2, :, :) 選擇LTI數(shù)組的每個模型中最靠前的兩個輸入通道和第一個輸出通道, 返回52的單輸出二輸入的子系統(tǒng)數(shù)組。 也可以在LTI數(shù)組中選擇模型的同時指定我/O通道。,4） 修改LTI數(shù)組 我們可以修改LTI數(shù)組中的整個模型或模型中的輸入輸出通

34、道。 例如 sys = rss(4, 3, 2, 5, 2); % 由狀態(tài)空間模型組成的52數(shù)組 H = rss(4, 1, 1, 5, 2); % 由SISO模型組成的52數(shù)組 sys(1, 2) = H 將修改LTI數(shù)組sys的所有模型中從輸入2到輸入1的子系統(tǒng)。 這些LTI數(shù)組中的SISO子系統(tǒng)將被SISO模型組成的LTI數(shù)組H所替換。 也可以通過循環(huán)來實現(xiàn)LTI數(shù)組的賦值：,為了k = 1:5 為了j = 1:2 sys(1, 2, k, j) = H(:, :, k, j); 末端 末端,5） 刪除LTI數(shù)組中的元素 我們可以將LTI數(shù)組中的相應(yīng)部分賦值為空（ ）來實現(xiàn)對該部分的刪除

35、。 例如 sys = rss(4, 3, 2, 5, 2); sys(1, :) = ; 大小(sys) 52連續(xù)的的數(shù)組時間情形空間模型 各自的模型2輸出, 2輸入, 和4情形.,5.2.5 LTI數(shù)組的相關(guān)運算 我們可以像操作單個的LTI模型那樣對整個LTI數(shù)組進行基本的模型操作。 這些操作包括 算術(shù)操作： +、 -、 *、 /、 等。 函數(shù)操作： 沿我/O維（, ;）的組合, 反饋、 附加、 系列、 平行的和lft。 當這些操作涉及兩個或兩個以上的LTI數(shù)組時, 相當于對這些LTI數(shù)組中對應(yīng)的模型之間的操作。,因此, 結(jié)果中的第k個模型是由sys1中的第k個模型與sys2中的第k個模型進

36、行相應(yīng)的操作計算得到的。 例如, 假設(shè)sys1和sys2是兩個LTI數(shù)組, 輸入 sysa = op(sys1, sys2) 則結(jié)果LTI數(shù)組sys的第k個模型是由sys1中的第k個模型與sys2中的第k個模型相加得到的。 對單個LTI模型的分析工具, 例如腳步、 預(yù)示和nyquist等, 也可以適用于LTI數(shù)組。 這時， 相當于同時對多個LTI模型完成相同的分析計算。,5.3 LTI系統(tǒng)分析和設(shè)計的圖形操作環(huán)境,LTI觀測器（LTI查看）是控制系統(tǒng)工具箱自帶的用于線性時不變（LTI）系統(tǒng)分析的圖形界面（GUI）工具, 支持10種不同類型的系統(tǒng)響應(yīng)分析, 包括階躍、 脈沖、 預(yù)示、 Nyqui

37、st、 Nichols、 零極點、 sigma（奇異值）、 lsim和最初的圖形等。 最后兩種僅僅在LTI觀測器初始化時有效。,通過配置LTI觀測器, 可以實現(xiàn)在同一個觀測器中同時顯示六種分析曲線和任何數(shù)量的模型， 而且可以隨時獲取指定響應(yīng)曲線的信息, 諸如峰值響應(yīng)和幅值或相位裕度等等。 在MATLAB的命令窗口中輸入ltiview命令可以打開一個新的LTI觀測器, 也可以在SISO設(shè)計工具中啟動它（參考5.3.2節(jié)內(nèi)容）。 圖5.8是對某個LTI系統(tǒng)的分析結(jié)果。,圖 5.8 LTI系統(tǒng)的圖形分析工具(LTI查看),1） 使用【輸入】菜單命令載入模型 可以通過點擊【文件】菜單中的【輸入.】命令

38、將所要分析的模型載入到觀測器中。 該命令執(zhí)行后將出現(xiàn)一個選擇對話框, 其中列舉了當前MATLAB工作空間中的所有模型對象（如圖5.10所示）, 用戶可以選擇其中的單個或多個模型將其載入到觀測器中。,2） 使用【輸出】菜單命令刪除觀測器中的模型 如果不再需要觀測器中的某個模型, 可以通過【文件】菜單中的【輸出.】命令將該模型從觀測器中刪除。 彈出的模型選擇框列舉了目前觀測器中存在的所有模型, 如圖5.11所示。 通過對話框右邊的按鈕, 用戶還可以選擇被刪除模型的存放位置, 例如存放到磁盤中（保存為.墊數(shù)據(jù)文件形式）或者MATLAB的工作空間中。,圖 5.9 LTI查看的鼠標右鍵快捷菜單,圖 5.

39、10 將模型載入到觀測器中,圖 5.11 從觀測器中刪除模型,3） 觀測器的顯示配置 通過【編輯】中的【小塊土地配置】菜單, 可以對觀測器分析曲線的顯示數(shù)目、 曲線類型等進行配置, 如圖5.12所示。,圖 5.12 觀測器的配置對話框,5.3.2 SISO系統(tǒng)設(shè)計工具（SISO設(shè)計工具） SISO系統(tǒng)設(shè)計工具（SISO設(shè)計工具）是用于單輸入單輸出反饋控制系統(tǒng)補償器設(shè)計的圖形設(shè)計環(huán)境。 通過該工具, 用戶可以快速完成以下工作： 利用根軌跡方法計算系統(tǒng)閉環(huán)特性。 針對開環(huán)系統(tǒng)預(yù)示圖的系統(tǒng)設(shè)計。 添加補償器的零極點。 設(shè)計超前/滯后網(wǎng)絡(luò)和濾波器。 分析閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)（使用LTI查看）。 調(diào)整系統(tǒng)幅值或

40、相位裕度。 系統(tǒng)在連續(xù)或離散狀態(tài)下的互換。,1） 打開SISO系統(tǒng)設(shè)計工具 在MATLAB命令窗口中輸入sisotool命令, 可以打開一個空的SISO設(shè)計工具, 也可以在sisotool命令的輸入?yún)?shù)中指定SISO設(shè)計工具啟動時缺省打開的模型。 注意該模型必須存在于MATLAB的當前工作空間中。 一個DC電機的設(shè)計環(huán)境如圖5.13所示。,圖 5.13 SISO系統(tǒng)的圖形設(shè)計工具,2） 將模型載入SISO設(shè)計工具 通過【文件】菜單下的【輸入模型】命令, 可以將所要研究的模型載入SISO設(shè)計工具中。 點擊該菜單項后, 將彈出輸入系統(tǒng)數(shù)據(jù)對話框, 如圖5.14所示。 3） 當前的補償器（當前的賠償

41、者） 當前的補償器（當前的賠償者）一欄顯示的是目前設(shè)計的系統(tǒng)補償器的結(jié)構(gòu)。 缺省的補償器增益是一個沒有任何動態(tài)屬性的單位增益。 一旦用戶在根軌跡圖中添加零極點, 該欄將會采用零極點-增益格式顯示補償器的結(jié)構(gòu)。,圖 5.14 輸入系統(tǒng)數(shù)據(jù)對話框,4） 反饋結(jié)構(gòu) SISO設(shè)計工具在缺省條件下將補償器放在系統(tǒng)的前向通道中。 另一種反饋結(jié)構(gòu)是將補償器放置于系統(tǒng)的反饋回路中。 用戶可以通過【FS】按鈕在兩種結(jié)構(gòu)之間進行切換, 如圖5.15所示。,圖 5.15 SISO設(shè)計工具中的反饋控制結(jié)構(gòu) (a) 補償器(C)位于前向回路中; (b) 補償器(C)位于反饋回路中,5.4 LTI控制系統(tǒng)的設(shè)計實例,5.

42、4.1 LQG調(diào)節(jié)器的設(shè)計 這一節(jié)將結(jié)合MATLAB自帶的一個例子來演示LQG調(diào)節(jié)器的設(shè)計方法。 在MATLAB的命令窗口中輸入milldemo可以運行相應(yīng)的演示程序。 該例是為熱軋機設(shè)計一套控制系統(tǒng), 以控制鋼材在熱軋過程中的水平和垂直厚度。 圖5.16是熱軋機水平（x軸方向）壓軋過程的簡單示意圖。,壓軋機的完整模型屬于MIMO系統(tǒng)。 圖5.17 顯示了該系統(tǒng)的開環(huán)模型, 各部分的含義為：u為控制輸入， 為厚度間隙， f為增量式軋力，wf，我們?yōu)楦蓴_模型的驅(qū)動白噪聲。 測量的軋力變化f包括由水壓驅(qū)動器驅(qū)動的力矩增量和由于偏心作用和輸入厚度變化所引起的干擾力的大小。,圖 5.16 熱軋機水平壓

43、軋過程示意圖,圖 5.17 熱軋機的開環(huán)模型框圖,值得注意的是, H(s)、 鐵(s)和Fi(s)的輸出是增量式的，增加水壓或偏心力的作用可以減小成型工件的厚度，同時增加工件的輸入厚度也會導(dǎo)致成型工件的厚度間隙。 系統(tǒng)x、 y軸的相應(yīng)模型分別為 x軸（水平方向）,y軸（垂直方向）,1） x軸方向的LQG設(shè)計 為了簡化設(shè)計過程, 首先忽略系統(tǒng)x和y軸之間的耦合, 將它們作為獨立的回路看待, 也就是說為每個軸設(shè)計SISO LQG調(diào)節(jié)器。 調(diào)節(jié)器的設(shè)計目標是減小因偏心和輸入厚度變化所帶來的工件的壓軋厚度變化x、 y。 設(shè)計的第一步是定義模型的傳遞函數(shù)對象： % 水壓驅(qū)動器 Hx = tf(2.4e8

44、, 1 72 902, inputname, u-x),% 輸入厚度/硬度等干擾模型 使固定= tf(1e4, 1 0.05, inputn, w-ix) % 滾壓偏心模型 Fex = tf(3e4 0, 1 0.125 62, inputn, w-不包括) % 增益 gx = 1e-6;,接下來建立圖5.16的開環(huán)系統(tǒng)模型： % 從輸入到力f1和f2的我/O映射 Px = 附加(ss(Hx) Fex, 使固定) % 加入從f1, f2到輸出 x-缺口和 x-力量的靜態(tài)增益 Px = -gx gx;1 1 * Px % 為系統(tǒng)輸出命名 設(shè)置(Px, outputn, x-缺口 x-力量),變量

45、Px現(xiàn)在包含一個開環(huán)狀態(tài)空間模型： ?Px.inputname ans = u-x w-不包括 w-ix Px.outputname ans = x-缺口 x-力量,第2個系統(tǒng)輸出x-力量是測量的滾軋力大小。 LQG調(diào)節(jié)器使用該測量值來驅(qū)動水壓驅(qū)動器和減小由于擾動所引起的厚度變化X。 LQG調(diào)節(jié)器的設(shè)計分為如下兩步： (1) 設(shè)計全狀態(tài)反饋控制器, 使下面的線性二次判據(jù)最小,(5.6),(2) 設(shè)計Kalman濾波器估計給定測量力x-力量的狀態(tài)向量。 線性二次判據(jù)J(uX)將同時考慮低頻和高頻特性。 因為用戶主要關(guān)心的是系統(tǒng)的低頻特性, 因此通過低通濾波器30/(s+30)來減小高頻影響。 l

46、pf = tf(30, 1 30) % 將低通濾波器加入第一個系統(tǒng)輸出Px Pxdes = 附加(lpf, 1) * Px 設(shè)置(Pxdes, outputn, x-缺口* x-力量) % 使用LQRY設(shè)計狀態(tài)反饋增益 (q=1, r=1e-4) kx = lqry(Pxdes(1, 1), 1, 1e-4),下面使用kalman函數(shù)設(shè)計Kalman觀測器。 系統(tǒng)噪聲,(5.7),具有單位方差； 而測量噪聲方差限制在1000以下。 輸入下面的命令： estx = kalman(Pxdes(2, :), 眼睛(2), 1000) 最后連接狀態(tài)反饋增益kx和狀態(tài)觀測器estx形成 LQG調(diào)節(jié)器：

47、Regx = lqgreg(estx, kx),以上就完成了x軸方向的LQG設(shè)計。 圖5.18是調(diào)節(jié) 器在0.11000拉德/s范圍內(nèi)的預(yù)示響應(yīng)曲線。 預(yù)示(Regx, 0.1 1000) 觀察圖5.19可以驗證LQG調(diào)節(jié)器的控制效果。 首先考慮輸入厚度的增長影響。 這類低頻擾動會同時影響輸出厚度和滾軋力的大小。 因為調(diào)節(jié)器在低頻段的相位近似為0, 反饋回路將充分增加水壓驅(qū)動力以抵消厚度增長的影響。,圖 5.18 x軸LQG調(diào)節(jié)器的預(yù)示響應(yīng)曲線,觀察圖5.19可以驗證LQG調(diào)節(jié)器的控制效果。 首先考慮輸入厚度的增長影響。 這類低頻擾動會同時影響輸出厚度和滾軋力的大小。 因為調(diào)節(jié)器在低頻段的相位

48、近似為0, 反饋回路將充分增加水壓驅(qū)動力以抵消厚度增長的影響。 如果考慮偏心的影響, 由于滾軋圓柱的偏心作用會引起滾軋間隙的波動, 當滾軋間隙減小時, 滾軋力將隨之增加使得工件厚度減小，而水壓驅(qū)動力必定會減?。ㄘ摲答佔饔茫﹣砘謴?fù)期望的滾軋厚度。 這個過程可以通過圖5.18 的Bode曲線得到驗證： LQG調(diào)節(jié)器在偏心干擾的自然頻率（6 rad/s）附近的相位為-180以下。,最后創(chuàng)建閉環(huán)系統(tǒng)模型, 并比較開/閉環(huán)系統(tǒng)在輸入白噪聲wex和wix下的時間響應(yīng), 其中采樣時間選擇 dt = 0.01。 dt = 0.01 t = 0:dt:50 % 仿真時間范圍time samples % 創(chuàng)建單位

49、方差的系統(tǒng)噪聲wx = w-ex;w-ix, 相應(yīng)的離散化方差為1/dt wx = sqrt(1/dt) * randn(2, length(t) lsim(Px(1, 2:3), :, clx(1, 2:3), -, wx, t) 圖5.19中虛線對應(yīng)于系統(tǒng)的開環(huán)響應(yīng), 顯然, 由于LQG調(diào)節(jié)器的作用, 熱軋機的厚度控制誤差減小為原來的1/4。,圖 5.19 白噪聲影響下x軸開/閉環(huán)系統(tǒng)的時間響應(yīng),2） y軸LQG調(diào)節(jié)器的設(shè)計 按照類似的過程, 我們可以設(shè)計y軸方向的LQG調(diào)節(jié)器（用于控制垂直方向的壓軋厚度）。 % 定義模型的各個組成部分 Hy = tf(7.8e8, 1 71 882, i

50、nputn, u-y) Fiy = tf(2e4, 1 0.05, inputn, w-iy) Fey = tf(1e5 0, 1 0.19 9.42, inputn, w-ey) gy = 0.5e-6 % 壓軋力與控制間隙之間的增益比例常數(shù),% 創(chuàng)建開環(huán)模型 Py = append(ss(Hy) Fey, Fiy) Py = -gy gy;1 1 * Py set(Py, outputn, y-gap y-force) % 狀態(tài)反饋增益設(shè)計 Pydes = append(lpf, 1) * Py % 加入低頻段權(quán)重 set(Pydes, outputn, y-gap* y-force) k

51、y = lqry(Pydes(1, 1), 1, 1e-4) % Kalman 觀測器設(shè)計 esty = kalman(Pydes(2, :), eye(2), 1e3),% 創(chuàng)建閉環(huán)系統(tǒng), 設(shè)計y軸方向的SISO LQG調(diào)節(jié)器 Regy = lqgreg(esty, ky) cly = feedback(Py, Regy, 1, 2, +1) 為了比較y軸方向的開/閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng), 輸入 dt = 0.01 t = 0:dt:50 wy = sqrt(1/dt) * randn(2, length(t) lsim(Py(1, 2:3), :, cly(1, 2:3), -, wy, t),圖

52、5.20 y軸方向開/閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)比較,3） 不同軸之間的耦合 本節(jié)開始講到x/y軸厚度調(diào)節(jié)問題屬于典型的MIMO問題。 但是到目前為止, 僅僅為單個獨立的x或y通道設(shè)計了LQG調(diào)節(jié)器。 如果兩個軸之間能夠充分解耦, 則上述設(shè)計過程是有效的。 實際上, 熱軋機的兩軸之間存在一定的耦合作用, 這點從物理上也不難理解, 當沿一個軸鍛壓工件時, 工件由于受到擠壓作用, 勢必將從另一個軸方向（與鍛壓軸垂直）進行伸展, 從而增大了另一個軸方向上的壓軋間隙。 兩軸之間的耦合作用如圖5.21 所示。,相應(yīng)的耦合系統(tǒng)模型可以寫成,圖5.21 x/y軸間的耦合作用框圖(gxy=0.1, gyx=0.4),下面

53、通過仿真來觀察兩軸之間的耦合作用對獨立通道LQG調(diào)節(jié)器的影響。 為此創(chuàng)建圖5.21所示的耦合系統(tǒng)模型。 P = append(Px, Py) % 將x/y軸模型組合成一個系統(tǒng) P = P(1 3 2 4, 1 4 2 3 5 6) % 加入軸間的耦合作用 gxy = 0.1; gyx = 0.4; CCmat = eye(2) 0 gyx*gx;gxy*gy 0 ; zeros(2) 1 -gyx;-gxy 1 Pc = CCmat * P Pc.outputname = P.outputname,% 創(chuàng)建閉環(huán)系統(tǒng)模型 feedin = 1:2 % Pc的前兩個輸入是控制輸入 feedout

54、= 3:4 % Pc的后兩個輸出是測量值 cl = feedback(Pc, append(Regx, Regy), feedin, feedout, +1) wxy = wx ; wy lsim(Pc(1:2, 3:6), :, cl(1:2, 3:6), -, wxy, t),圖5.22顯示出比較的結(jié)果。 從圖中可以看出, 由于兩軸之間的耦合作用, x軸方向的調(diào)節(jié)效果變差（x軸厚度的峰值變化大約是不考慮耦合作用時的4倍以上）, 因此, 在設(shè)計LQG調(diào)節(jié)器時不能忽略軸間耦合的影響, 必須針對整個MIMO的LQG設(shè)計才能抵消兩軸之間耦合作用所帶來的干擾。,4） 整個MIMO系統(tǒng)設(shè)計LQG調(diào)節(jié)器

55、 Pdes = append(lpf, lpf, eye(2) * Pc % 加入低通濾波器 Pdes.outputn = Pc.outputn k = lqry(Pdes(1:2, 1:2), eye(2), 1e-4*eye(2) % LQ 增益 est = kalman(Pdes(3:4, :), eye(4), 1e3*eye(2) % Kalman 觀測器 RegMIMO = lqgreg(est, k) % 創(chuàng)建MIMO LQG 調(diào)節(jié)器 %創(chuàng)建閉環(huán)系統(tǒng)模型 cl = feedback(Pc, RegMIMO, 1:2, 3:4, +1);,% 使用相同的噪聲輸入對系統(tǒng)進行仿真 ls

56、im(Pc(1:2, 3:6), :, cl(1:2, 3:6), -, wxy, t) 最后的仿真結(jié)果如圖5.23所示。 比較圖5.22和圖5.23, 顯然針對MIMO系統(tǒng)設(shè)計的LQG調(diào)節(jié)器很大程度上提高了系統(tǒng)的調(diào)節(jié)性能。 這從另一方面也驗證了x/y軸的耦合作用對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響。,圖 5.22 考慮軸間耦合作用與獨立通道設(shè)計的結(jié)果比較,圖 5.23 MIMO調(diào)節(jié)器的閉環(huán)仿真結(jié)果,5.4.2 Kalman濾波器的設(shè)計 這一節(jié)將討論如何使用控制系統(tǒng)工具箱進行Kalman濾波器的設(shè)計和仿真。 考慮下面的離散系統(tǒng)： xn+1=Axn+B(un+wn) (5.9) yn=Cxn (5.10) 其中, wn是在輸入端加入的高斯噪聲。 狀態(tài)矩陣參數(shù)分別為,A = 1.1269-0.49400.1129 1.0000 0 0 0 1.0000 0; B = -