《養(yǎng)老保險問題》PPT課件.ppt

1、科學(xué)計算與數(shù)學(xué)建模,中南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)與計算技術(shù)學(xué)院,第4章 養(yǎng)老保險問題,第四章 養(yǎng)老保險問題 非線性方程求根的數(shù)值解法,4.1.1 問題的引入,養(yǎng)老保險是保險中的一種重要險種，保險公司將提供不同的保險方案供以選擇，分析保險品種的實際投資價值。也就是說，如果已知所交保費和保險收入，則按年或按月計算實際的利率是多少？或者說，保險公司需要用你的保費實際至少獲得多少利潤才能保證兌現(xiàn)你的保險收益？,4.1 養(yǎng)老保險問題,4.1.2 模型分析,假設(shè)每月交費200元至60歲開始領(lǐng)取養(yǎng)老金，男性若25歲起投保，屆時養(yǎng)老金每月2282元；如35歲起投保，屆時月養(yǎng)老金1056元；試求出保險公司為了兌現(xiàn)保險責任，

2、每月至少應(yīng)有多少投資收益率？這也就是投保人的實際收益率。,4.1.3 模型假設(shè),這應(yīng)當是一個過程分析模型問題。過程的結(jié)果在條件一定時是確定的。整個過程可以按月進行劃分，因為交費是按月進行的。假設(shè)投保人到第 月止所交保費及收益的累計總額為 ，每月收益率為 ，用 分別表示60歲之前和之后每月交費數(shù)和領(lǐng)取數(shù)，N表示停交保險費的月份，M表示停領(lǐng)養(yǎng)老金的月份。,4.1.4 模型建立,在整個過程中，離散變量的變化規(guī)律滿足： 在這里實際上表示從保險人開始交納保險費以后，保險人賬戶上的資金數(shù)值。,4.1.4 模型建立,我們關(guān)心的是在第M月時， 能否為非負 數(shù)？如果為正，則表明保險公司獲得收益；如為負，則表明保

3、險公司出現(xiàn)虧損。當為0時，表明保險公司最后一無所有，所有的收益全歸保險人，把它作為保險人的實際收益。 從這個分析來看，引入變量 ，很好地刻畫了整個過程中資金的變化關(guān)系；特別是引入收益率 r，雖然它不是我們所求的保險人的收益率，但從問題系統(tǒng)環(huán)境中來看，必然要考慮引入另一對象保險公司的經(jīng)營效益，以此作為整個過程中各量變化的表現(xiàn)基礎(chǔ)。,4.1.5 模型求解,從4.1.4的兩式，可以得到：,再分別取，k=N和k=M，并利用FM=0可以求出： 它是一個非線性方程。,代數(shù)方程求根問題是一個古老的數(shù)學(xué)問題。早在16世紀就找到了三次、四次方程的求根公式。但直到19世紀才證明了 次的一般代數(shù)方程式是不能用代數(shù)公

4、式求解的，因此需要研究用數(shù)值方法求得滿足一定精度的代數(shù)方程式的近似解。 在工程和科學(xué)技術(shù)中許多問題常歸結(jié)為求解非線性方程式問題。正因為非線性方程求根問題是如此重要和基礎(chǔ)，因此它的求根問題很早就引起了人們的興趣，并得到了許多成熟的求解方法。下面就讓我們首先了解一下非線性方程的基本概念。,4.2.1 根的搜索相關(guān)定義,定義4.2.1 設(shè)有一個非線性方程 ，其中 為實變量 的非線性函數(shù)。 （1）如果有 使 ，則稱 為方程的根，或為 的零點。 （2）當 為多項式，即 則稱 為 次代數(shù)方程， 包含指數(shù)函數(shù)或者三角函數(shù)等特殊函數(shù)時，則稱 為特殊方程。 （3）如果 ，其中 。 為正整數(shù)，則稱 為 的 重根。

5、當 時稱 為 的單根。,4.2 非線性方程求根的數(shù)值方法,定理4.2.1 設(shè) 為具有復(fù)系數(shù)的 次代數(shù)方程，則 在復(fù)數(shù)域上恰有 個根（ 重根計算 個）。如果 為實系數(shù)方程，則復(fù)數(shù)根成對出現(xiàn)，即當: 為 的復(fù)根，則 亦是 的根。 定理4.2.2 設(shè) 在 連續(xù),且 ，則存在 ，使得 ，即 在 內(nèi)存在實零點。,4.2.2 逐步搜索法,對于方程 ， ，為明確起見，設(shè) , ，從區(qū)間左端點 ，出發(fā)按某個預(yù)定步長 （如取 ， 為正整數(shù)），一步一步地向右跨，每跨一步進行一次根的收索。即檢查節(jié)點 上的函數(shù)值 的符號，若 ，則 即為方程解。若 ，則方程根在區(qū)間 中，其寬度為 。,表4.2.1 的符號,4.2.2 逐

6、步搜索法,例4.2.1 考察方程 由于 則 在 內(nèi)至少有一個根，設(shè)從 出發(fā)，以 為步長向右進行根的搜索。列表記錄各節(jié)點函數(shù)值的符號。可見在 內(nèi)必有一根。,易見此方法應(yīng)用關(guān)鍵在步長 的選擇上。很明顯，只要步長 取得足夠小，利用此法就可以得到任意精度的根，但 縮小，搜索步數(shù)增多，從而使計算量增大，用此方法對高精度要求不合適。,4.2.3 二分法,對非線性方程 ,其中 在 連續(xù)且 ，不妨設(shè) 在 僅有一個零點。,二分法的步驟如下：記 ， 。,第1步：分半計算 ，將 分半。計算中點 及 ，若 ，則 ，停止計算。,于是得到長度縮短一半的含根區(qū)間 ,即 ,且 。,求方程 的實根 的二分法過程，就是將 逐步分

7、半，檢查函數(shù)值符號的變化，以便確定包含根的充分小區(qū)間。,第2步：令 ，重復(fù)第1步的分半計算的全過程，直至達到精度要求 ，停止計算。,若 ，則根必在 內(nèi)， ；否則根必在 內(nèi)，記 。,設(shè)已完成第1步第 步，分半計算得到含根區(qū)間滿足 : 且 即 ，而 ；,則第k步的分半計算： ，且有：,總之，由上述二分法得到序列 ，由(4.2.2)有：,用二分法求方程 的實根 的近似值可達到任意指定的精度，事實上，設(shè) 為給定的任意精度要求，則由,可得只要分半計算的次數(shù) 滿足：,二分法的優(yōu)點是方法簡單，且只要求 連續(xù)即可，可用二分法求出 在 內(nèi)全部實根，但二分法不能求復(fù)根及偶數(shù)重根，且收斂較慢，函數(shù)值計算次數(shù)較多。,

8、(4.2.3),例4.2.2 用二分法求 在1,2內(nèi)一個實根，且要求精確到小數(shù)點后第三位（即 ）。,解：因 ，于是將 ， 代入公式(4.2.3) ，可確定所需分半計算次數(shù)為 ，計算結(jié)果部分如下表。,4.2.4 迭代法,迭代法是一種逐次逼近法。它是求解代數(shù)方程，超越方程及方程組的一種基本方法，但存在收斂性及收斂快慢的問題。 用迭代法求解 的近似根，首先需將此方程化為等價的方程： 然而將 化為等價方程 的方法是很多的。,例4.2.3 對方程 可用不同的方法將其化為等價方程： （1） （2）,定義4.2.2 （迭代法）設(shè)方程為 取方程根的一個初始近似 ，且按下述逐次代入法，構(gòu)造一個近似解序列：,這種

9、方法稱為迭代法（或稱為單點迭代法）， 稱為迭代函數(shù)。,若由迭代法產(chǎn)生的序列 的極限存在，即 ，稱 為收斂或迭代過程 收斂，否則稱迭代法不收斂。,顯然在由方程 轉(zhuǎn)化為等價方程 時，選擇不同的迭代函數(shù) ，就會產(chǎn)生不同的序列 （即使初值 選擇一樣）且這些序列的收斂情況也不會相同。,若 連續(xù)，且 ，則 ，即 為方程 的解（稱 為函數(shù) 的不動點）。,例4.2.4 對例4.2.1中方程考查用迭代法求根 由計算可以看出，我們選取的兩個函數(shù) ，分別構(gòu)造序列 收斂情形不一樣（初值都取為1），在 中 收斂且 ，在 中計算出 無定義。,表4.2.3 部分計算結(jié)果,因此對用迭代法求方程 的近似根，需要研究下述問題：

10、（1）如何選取迭代函數(shù) 使迭代過程 收斂。 （2）若 收斂較慢時，怎樣加速 收斂。,迭代法的幾何意義： 從幾何意義看，求方程 根的問題，是求曲線 與直線 交點的橫坐標 ，當?shù)瘮?shù) 的導(dǎo)數(shù)函數(shù) 在根 處滿足下述幾種條件時，從幾何上來看迭代過程 的收斂情況如圖4.2.1。 從曲線 上一點 出發(fā)，沿著平行于x軸方向前進交 于一點 再從點 沿平行于y軸方向前進交 于 點，顯然 的橫坐標就是 ，繼續(xù)這過程就得到序列 ，且從幾何上觀察知道在（1），（2）情況下 收斂于 ，在（3），（4）情況 不收斂于 。,圖4.2.1 迭代法的幾何意義圖,由迭代法的幾何定義知，為了保證迭代過程收斂，應(yīng)該要求迭代函數(shù)的導(dǎo)

11、數(shù)滿足條件 。當 時，原方程在 中可能有幾個根或迭代法不收斂，為此有關(guān)于迭代收斂性的定理4.2.3。 定理4.2.3 設(shè)有方程 ， (1) 設(shè) 于 一階導(dǎo)數(shù)存在， (2) 當 時，有 ， (3) 滿足條件： 則有： 在 上有唯一解 ， 對任意選取初始值 ，迭代過程 收斂即 ， 誤差估計,證明 只證 ， ， 由定理條件 ，當取 時，則有 記誤差 ，由中值定理有： ，其中 在 與 之間，即 ，又由條件有： ，由此遞推可得： ，由 故 。 由迭代公式 有： ，其中c在 與 之間，于是： 即 。,由上面 反復(fù)利用代入上式中有： 由定理 結(jié)果可知，當計算得到的相鄰兩次迭代滿足條件 時，則誤差 。 因此在

12、計算機上可利用 來控制算法終止，但要注意 時，即使 很小，誤差 仍然可能很大。 另外，當已知 及 及給定精度要求 時，利用定理 結(jié)果可確定使誤差達到給定精度要求時所需要迭代次數(shù)k，事實上，由 解得：,定理條件 ，在一般情況下，可能對大范圍的含根區(qū)間不滿足，而在根的鄰近是成立的，為此有如下迭代過程的局部收斂性結(jié)果。 定理4.2.4 （迭代法的局部收斂性）設(shè)給定方程 （1）設(shè) 為方程的解， （2）設(shè) 在 的鄰域內(nèi)連續(xù)可微，且有 ，則對任意初值 （在 的鄰域內(nèi)），迭代過程 ， 收斂于 。,例4.2.5 由迭代法解方程,解 (1)顯然有 即知方程于0,2及-1.9,-1內(nèi)有根記為 。 (2)考察取初值

13、 迭代過程 的收斂性，其中迭代函數(shù)為 ，顯然 ， ，及 為增函數(shù)，則當 時， ，又由 則有 。 于是由定理4.2.4可知，當初值 時，迭代過程 收斂，如果要求 的近似根準確到小數(shù)點后第6位（即要求 ）由計算結(jié)果可知 。且 則 ， 。,表4.2.4 部分計算結(jié)果表,(3)為了求-1.9,-1內(nèi)方程的根。由迭代方程 ，顯然 ，所以迭代過程 （初值 ）不能保證收斂于 。 (4)若將方程轉(zhuǎn)化為等價方程 或 則 ，且 （ 時） 所以當選取 時迭代過程 收斂。如取 ，則迭代12次有 ，且 。 由此例可見，對于方程 ，迭代函數(shù) 取不同形式，相應(yīng)的迭代法產(chǎn)生的 收斂情況也不一樣，因此，我們應(yīng)該選擇迭代函數(shù)時構(gòu)

14、造的迭代過程 收斂，且收斂較快。,關(guān)于迭代公式的加工： 對于收斂的迭代過程，只要迭代足夠多次，總可以使結(jié)果達到任意的精度。但有時迭代收斂緩慢，從而使計算量變得很大，因此迭代過程的加速是一個很重要的課題。 設(shè) 為根 的某個預(yù)測值，用迭代公式校正一次得： 由中值定理： ， 介于 之間，若 改變不大。近似地取某常數(shù)，則由,可以期望按上式右端求得的 是比更好的近似值。 若將每得到一次改進值算作一步，并用 和 分別表示第 步的校正值和改進值，則加速迭代計算方案如下： 校正： 改進： 由于使用參數(shù) ，這在實際應(yīng)用中不方便，下面進行改進計算。,設(shè) 的某近似值 ，將校正值 再校正一次得： ，由 與 得： 由此

15、得： 。這樣將上式右端作為改進公式就不再含有導(dǎo)數(shù)信息了。但需要用到兩次迭代的結(jié)果進行加工。如果仍將得到一次改進值作為一步，則計算過程如下： 上述處理過程稱為（埃特金）方法。,4.2.5 Newton公式,對于方程 ，應(yīng)用迭代法時先要改寫成 ，即需要針對 構(gòu)造不同的合適的迭代函數(shù) ，顯然可以取迭代函數(shù)為 ，相應(yīng)迭代公式為 。 一般地，這種迭代公式不一定收斂，或者速度很慢。對此公式應(yīng)用前面的加速技術(shù)具體格式為：,記 ，則上二式可合并寫為： 。此公式稱為簡單的Newton公式，迭代函數(shù)為： 。又由于 為 的近似值，而 ，因此 實際上是 的近似值，故用 代替上式中的 即得到下面的迭代函數(shù)： 。 相應(yīng)的

16、迭代公式為： ， 即為Newton公式。,4.2.6 Newton法的幾何意義,Newton法的基本思想就是將非線性方程 逐步線性化求解，設(shè) 有近似的根 ，將 在 處 展開得： 從而 近似地表為： 。方程 的根 即為曲線 與 軸焦點的橫坐標。設(shè) 為 近似值，過曲線 上橫坐標 為 的點 作曲線的切線，該切線 與 軸焦點的橫坐標即為 的新近似 值 ，它與 軸交點的橫坐標為： ，因此 Newton法亦稱切線法。,4.2.7 Newton法的局部收斂性,定義4.2.3 設(shè)迭代過程 收斂于方程 的根 ，如果迭代誤差 ，當 時有： 則稱該迭代過程為 階收斂的。 定理4.2.5 對迭代過程 如果 在 附近連

17、續(xù)，且： 且 ，則該迭代過程在 附近是 階收斂的。,證明 由于 ，則有前面關(guān)于迭代法的局部收斂性定理知：此迭代過程 具有局部收斂性。即 。將 在 處 展開，并注意到 有： 而， 從而上式化為：,即： 故知迭代過程具有 階收斂性。,定理4.2.5 表明迭代過程的收斂速度依賴于迭代函數(shù) 的選取，如果 時 。則迭代過程只可能是線性收斂的。,對于Newton法，由迭代函數(shù)為： 則 ， 若 為 的一個單根。即 ，則由上式知 。 由上面定理可知Newton法在根 的鄰域內(nèi)是平方收斂的（二階收斂 的）。,特別地考察Newton公式：設(shè) 二次連續(xù)可微，則 ， 在 之間，特別地取 ，注意 ，則 設(shè) 。兩邊同除以

18、 ，得： （注： ），利用Newton公式，即有： 當 ，則 ， 或,可見 （誤差）與 的誤差 的平方成比例。當初始誤差 充分小時，以后迭代的誤差將減少得非常快。反之 ，則放大。Newton法每計算一步，需要計算一次函數(shù)值 和一次導(dǎo)數(shù)值 。 例4.2.6 用Newton法求解 。 解 顯然 。則在0,2內(nèi)方程有一個根，求導(dǎo) 則Newton公式為： 取 ，迭代6次得近似根為 , 。這表明，當初值 取值靠近 時，Newton法收斂且收斂較快，否則Newton法可能不收斂。,下面考慮Newton法的誤差估計，由中值定理有： ， 當 充分接近 時，有 因此，用Newton法求方程單根 的近似根 的誤差

19、 可用 來估計。,4.2.8 Newton法應(yīng)用舉例,1. 對給定的正數(shù) ，應(yīng)用Newton法解二次方程 可導(dǎo)出求開方值 的計算格式： 可證明公式 對任意函數(shù)初值 都是收斂的。這是因為：,兩式相除得： 利用此式遞推可得： （ 由 可知： ，則： ）而 ， 故由公式知 即迭代法恒收斂。）,例4.2.7 求 的近似值，要求 終止迭代。 解 取 經(jīng)6次迭代后： ， ， ，故 。 對給定正數(shù) ，應(yīng)用Newton法求解 ，由此式可導(dǎo)出求 而不用除法的計算程序： 。 這個算法對于沒有設(shè)置除法操作的電子計算機是有用的?？梢宰C明，此算法初值滿足 時是收斂的，這是因為： 即： ，令 ，有遞推公式： ，反復(fù)遞推得

20、： 。 當 ，即 時，有 即 ，從而迭代法收斂。,4.2.9 Newton下山法,Newton法收斂性依賴于 初值的選取，如果 偏離 較遠，則Newton法可能發(fā)散。 例如，對方程 。求在 附近的一個根 。若取初值 ，則由Newton法： 計算得 ，僅迭代3次即得有6位有效數(shù)字的近似值 。但若取初值 則由同一Newton公式計算得 ，這反而比 更遠離所求根 ，因此發(fā)散。為防止發(fā)散，對迭代過程加一下降要求： 滿足這項要求的算法稱為下山法。,將Newton法與下山法結(jié)合，即在下山法保證函數(shù)下降條件下，用Newton法加速收斂。為此，可將Newton計 算結(jié)果 與每一步近似值 作加權(quán)均： ，其中 （

21、 ）稱為下山 因子。選擇下山因子 以保證下降性。 的選擇方法是：由 反復(fù)減半的試探法，若能找到 使下降性成立，則下山成功，否則下山失敗，改變初值 重新開始。,4.2.10 弦截法與拋物法,Newton法 每迭代一次計算函數(shù)值 ，導(dǎo)數(shù)值 各一次，當 函數(shù)本身比較復(fù)雜時，求導(dǎo)數(shù)值更加困難。 下面方法多利用以前各次計算的函數(shù)值 來回避導(dǎo)數(shù)值 的計算，導(dǎo)出這種求根方法的基本原理是插值法。 設(shè) 是 的一組近似值，利用對應(yīng)的函數(shù)值 ，構(gòu)造插值多項式 ，適當選取 的一個根作為 的新的近似根 。這樣就確定了一個迭代過程，記迭代函數(shù)為 ，則 ，下面具體考察 （弦截法）， （拋物法）兩種情形。,4.2.11 弦截

22、法,設(shè) 為 的近似根，過點 ， 構(gòu)造一次插值多項式 ，并用 的根作為 的新的近似根 。由于 則由 可得： 另外，公式(4.2.9)也可以用導(dǎo)數(shù) 的差商 近似取代Newton公式中的 ，同樣得公式 。,弦截法的幾何意義： 如圖，曲線 上橫坐標為 的點分別記為 ，則弦線 的斜率等于差商 。 的方程為： 則按 求得的近似根 實際上是弦線 與 軸交點的橫坐標。因此這種算法稱為弦截法，又稱割線法。,弦截法與切線法（Newton法）都是線性化方程，但兩者有本質(zhì)區(qū)別。Newton切線法在計算 時只用到前一步的 及 ，但要計算 ，而弦截法在計算 時要用前面兩步的結(jié)果 ，而不須計算導(dǎo)數(shù)。這種方法必須有兩個啟動值

23、 。 例4.2.8 用割線法求解方程 在 的根。 解 取初值 ，則迭代5次后有 ， 。例子表明弦截法仍具有較快的收斂性。,定理4.2.6 假設(shè) 在根 領(lǐng)域 內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo) 數(shù)，且對 有 。又初值 ，那么當鄰域 充 分小時，弦截法 將按階 收斂到根 。 (證明略),下面分析弦截法用于求解 時，對Atken加速算法的幾何解釋： 為 的近似根， ， 在曲線上走了兩點 ， 引弦線 與直線 交于一點 ，則 的橫坐標（與縱坐標相等）為： 此即為Atken加速計算方法的公式。再看右圖，所求的根 是曲線 與 的交點 的橫坐標，從圖形上看，盡管迭代值 比 和 更遠偏離了 ，但按上式求得的 卻明顯地扭轉(zhuǎn)了這種發(fā)

24、散的趨勢。,4.2.12 拋物線法,設(shè)已知 的三個近似根為 ，以這三點為節(jié)點構(gòu)造二次插值多項式 ，并適當選取 的一個零點 作為新的近似根。這樣確定的迭代過程稱為拋物線法（亦稱密勒法）。 拋物線插值多項式為： 有兩個零點： 其中，,其幾何意義就是：用拋物線 與 軸的交點 作為所求根 的近似值。如右圖。為了由 定出一個值 ，需討論根式前正負符號的取舍問題在 三個近似根中，自然假定以 更接近所求的根 ，這時為保證精度，選取 中較近 的一個值作為新的近似根 ，為此，只要令根式前的符號與 的符號相同。,例4.2.9 用拋物線法求解方程 解 取三個初值 ， 計算 ， ， ， ， ， ， ， 從而： 。,定理4.2.7 若 在根 的鄰域 內(nèi) 有三節(jié)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且對 ，有 。又初值 ，那么當領(lǐng)域 充分小時，拋物線法(4.2.8)將按階 收斂于根 。 可見拋物線法比弦截法的收斂性更接近于Newton法。定理的證明略。,4.2.13 多項式求值的秦九韶算法,多項式的重要特點之一是求值方便，設(shè) ，系數(shù) 均為實數(shù)。用 除 ，記其商為 ，則其余項顯然為 即 令 代入公式 后與 比較同項式系數(shù)，可得：,從而有： 式提供了計算函數(shù)值 的有效算法稱為秦九韶法。這種算法的優(yōu)點是計算量小，結(jié)構(gòu)緊湊，易編制計算機程序。 再看 的 階Taylor展開式：注意（對 次多項式）更高階導(dǎo)數(shù)為