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1、柯橋中學(xué)高三數(shù)學(xué)組 何利民,第五編 平面向量,5.1 向量的線性運(yùn)算,1向量概念,向量是既有大小又有方向的量。,兩個(gè)向量之間的只能說(shuō)相等或不相等、共線或不共線,而無(wú)所謂誰(shuí)大誰(shuí)小。但向量的長(zhǎng)度(模)是可以比較大小的。,D,2零向量,零向量是指長(zhǎng)度為0的向量。,規(guī)定:零向量與任一向量平行。即零向量的方向不確定,A,3單位向量,長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫單位向量。,4共線向量,方向相同或相反的非零向量叫平行向量。,任一組平行向量都可移到同一直線上,因此平行向量又叫共線向量。,特別規(guī)定:零向量與任一向量平行。,常用,5向量的加法與減法,三角形法則與平行四邊形法則,運(yùn)算性質(zhì): (交換律); (結(jié)合律);

2、 (2)減法 減法與加法互為逆運(yùn)算; 法則:服從三角形法則.,D,6實(shí)數(shù)與向量的積,7平面向量基本定理,B,基礎(chǔ)自測(cè) 1.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是 A. B. ( ) C. D. =,C,2.如圖所示,D是ABC的邊AB上的中點(diǎn),則向量 等于 A. B. () C. D.,A,3.(2009北京理,2)已知向量a、b不共線,c=ka+b(kR),d=a-b.如果cd,那么() A.k=1且c與d同向 B.k=1且c與d反向 C.k=-1且c與d同向 D.k=-1且c與d反向,D,4.下列各命題中,真命題的個(gè)數(shù)為() 若|a|=|b|,則a=b或a=-b; 若 ,則A

3、、B、C、D是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn); 若a=b,b=c,則a=c; 若ab,bc,則ac. A.4B.3C.2D.1,D,5.在四邊形ABCD中, =a+2b, =-4a-b, =-5a-3b,其中a,b不共線,則四邊形ABCD為() A.梯形 B.平行四邊形 C.菱形 D.矩形 解析 由已知得 =-8a-2b, 故 ,由共線向量知識(shí)知ADBC, 且|AD|=2|BC|,故四邊形ABCD為梯形,所以選A.,A,題型一 平面向量的有關(guān)概念 【例1】給出下列命題 向量 的長(zhǎng)度與向量 的長(zhǎng)度相等; 向量a與向量b平行,則a與b的方向相同或相反; 兩個(gè)有共同起點(diǎn)并且相等的向量,其終點(diǎn)必相同; 兩個(gè)

4、有共同終點(diǎn)的向量,一定是共線向量; 向量 與向量 是共線向量,則點(diǎn)A、B、C、D必在同一條直線上; 有向線段就是向量,向量就是有向線段. 其中假命題的個(gè)數(shù)為() A.2 B.3 C.4 D.5,題型分類 深度剖析,C,(1)本題涉及的主要內(nèi)容有向量的概念、 向量的表示、零向量、平行向量、相等向量、共線向量. (2)搞清楚向量的含義.向量不同于我們以前學(xué)習(xí)過(guò)的 數(shù)量,學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)結(jié)合物理中位移等向量進(jìn)行觀察、抽象、 分析、比較,逐步理解向量是既有大小又有方向的量.,探究提高,知能遷移1 下列結(jié)論中,不正確的是() A.向量 , 共線與向量 同義 B.若向量 ,則向量 與 共線 C.若向量 = ,則向

5、量 = D.只要向量a,b滿足|a|=|b|,就有a=b,D,題型二 平面向量的線性運(yùn)算 【例2】在ABC中,D、E分別為 BC、AC邊上的中點(diǎn),G為BE上 一點(diǎn),且GB=2GE,設(shè) , ,試用 表示 , . 結(jié)合圖形性質(zhì),準(zhǔn)確靈活運(yùn)用三角形法則和平行四邊形法則是向量加減運(yùn)算的關(guān)鍵.,思維啟迪,(1)解題的關(guān)鍵在于搞清構(gòu)成三角形的三個(gè)問題間的相互關(guān)系,能熟練地找出圖形中的相等向量,并能熟練運(yùn)用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化. (2)用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問題的基本技巧是:觀察各向量的位置;尋找相應(yīng)的三角形或多邊形;運(yùn)用法則找關(guān)系;化簡(jiǎn)結(jié)果.,探究提高,知能遷移2,B,題型三 共線向量問題 【例3

6、】 (12分)設(shè)兩個(gè)非零向量 不共線, (1)若 . 求證:A、B、D三點(diǎn)共線;(2)試確定實(shí)數(shù)k,使 (1)由已知求 判斷 與 的關(guān)系判斷A、B、D的關(guān)系. (2)應(yīng)用共線向量的充要條件列方程組 解方程組得k值.,思維啟迪,探究提高 (1)向量共線的充要條件中要注意當(dāng)兩向量共線時(shí),通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量,要注意待定系數(shù)法的運(yùn)用和方程思想. (2)證明三點(diǎn)共線問題,可用向量共線來(lái)解決,但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),才能得出三點(diǎn)共線.,C,B,例6、06湖南卷,x0,方法與技巧 1.將向量用其他向量(特別是基向量)線性表示,是十分重要的技能

7、,也是向量坐標(biāo)形式的基礎(chǔ). 2.首尾相連的若干向量之和等于以最初的起點(diǎn)為起點(diǎn),最后的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量;若這兩點(diǎn)重合,則和為零向量. 3.通過(guò)向量的共線可以證明三點(diǎn)共線及多點(diǎn)共線,但要注意到向量的平行與直線的平行的區(qū)別.,思想方法 感悟提高,失誤與防范 1.0與實(shí)數(shù)0有區(qū)別,0的模為數(shù)0,它不是沒有方向,而是方向不定.0可以看成與任意向量平行. 2.由ab,bc不能得到ac.取不共線的向量a與c,顯然有a0,c0. 3.注意向量加法的三角形法則與向量減法的三角形法則的根本區(qū)別與聯(lián)系.,定時(shí)檢測(cè) 一、選擇題 1.(2009湖南理,2)對(duì)于非零向量a、b,“a+b=0” 是“ab”的() A.充分不

8、必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 解析 當(dāng)a+b=0時(shí),a=-b,ab; 當(dāng)ab時(shí),不一定有a=-b. “a+b=0”是“ab”的充分不必要條件.,A,2.已知O為ABC內(nèi)一點(diǎn),且 =0,則AOC與ABC的面積之比是( ) A.12B.13C.23D.11 解析 設(shè)AC的中點(diǎn)為D,則 0, 即點(diǎn)O為AC邊上的中線BD的中點(diǎn), .,A,3.(2008全國(guó)理,3)在ABC中, =c, =b, 若點(diǎn)D滿足 ,則 等于() A. B. C. D. 解析 如圖所示,在ABC中,A,b,c,b,c,b,c,b,c,4.(2008廣東理,8)在平行四邊形ABCD中,A

9、C與BD交于點(diǎn)O,E是線段OD的中點(diǎn),AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F.若 =a, =b,則 等于() A. B. C. D.,解析 如圖所示, E是OD的中點(diǎn), 又ABEFDE, =3 , = . 在AOE中, = = 答案 B,5.(2008海南理,8)平面向量a,b共線的充要條件是() A.a,b方向相同 B.a,b兩向量中至少有一個(gè)為零向量 C. R,b= a D.存在不全為零的實(shí)數(shù) 1, 2, 1a+ 2b=0 解析 A中,a,b同向則a,b共線;但a,b共線,a,b不一定同向,因此A不是充要條件. 若a,b兩向量中至少有一個(gè)為零向量,則a,b共線;但a,b共線時(shí),a,b不一定是零向量,如

10、a=(1,2),b=(2,4),從而B不是充要條件. 當(dāng)b= a時(shí),a,b一定共線; 但a,b共線時(shí),若b0,a=0,則b= a就不成立, 從而C也不是充要條件. 對(duì)于D,假設(shè) 10,則a= b,因此a,b共線; 反之,若a,b共線,則a= b,即ma-nb=0. 令 1=m, 2=-n,則 1a+ 2b=0. 答案 D,6.已知向量a、b、c中任意兩個(gè)都不共線,并且a+b與 c共線,b+c與a共線,那么a+b+c等于( ) A.a B.b C.c D.0 解析 a+b與c共線,a+b= 1c 又b+c與a共線,b+c= 2a 由得:b= 1c-a. b+c= 1c-a+c=( 1+1)c-a

11、= 2a, 1+1=0 1=-1 2=-1 2=-1,D,,即,a+b+c=-c+c=0.,二、填空題 7.設(shè)e1、e2是兩個(gè)不共線的向量,已知 =2e1+ke2, =e1+3e2, =2e1-e2,若A、B、D三點(diǎn)共線,則實(shí)數(shù)k的值為 . 解析 =2, -4 =k.,-8,則k=-8.,8.在ABC中, =a, =b,M是CB的中點(diǎn),N是AB的中點(diǎn),且CN、AM交于點(diǎn)P,則 =_. (用a、b表示) 解析 如圖所示,,a,b,9.在ABC中,已知D是AB邊上一點(diǎn),若式 ,則 = . 解析 由圖知 且 =0. +2得:3 ,三、解答題 10.如圖所示,在ABC中, D、F分別是BC、AC的中點(diǎn), a, =b. (1)用a、b表示向量 、 、 、 、 ; (2)求證:B、E、F三點(diǎn)共線. (1)解 延長(zhǎng)AD到G,使 連接BG、CG,得到ABGC, 所以 =a+b,(2)證明 由(1)可知 所以B、E、F三點(diǎn)共線.,11.若a,b是兩個(gè)不共線的非零向量,a與b起點(diǎn)相同,則當(dāng)

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