4.5 兩角和與差的正弦、余弦和正切.ppt

1、4.5 兩角和與差的正弦、余弦和正切 要點(diǎn)梳理 1.cos（-）=cos cos +sin sin (C-) cos(+)= (C+) sin(-)=sin cos -cos sin (S-) sin(+)= (S+),cos cos -sin sin ,sin cos +cos sin ,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),前面4個(gè)公式對(duì)任意的，都成立，而后面兩個(gè) 公式成立的條件是 (T+需滿足), (T-需滿足) kZ時(shí)成立，否則是不成立的.當(dāng) tan 、tan 或tan（）的值不存在時(shí)， 不能使用公式T,處理有關(guān)問題，應(yīng)改用誘導(dǎo) 公式或其它方法來解.,2.要辯證地看待和角與差角，根據(jù)需要，可以進(jìn) 行適當(dāng)

2、的變換：=(+)-,=(-) +，2=（+）+（-）， 2=（+）-（-）等等. 3.二倍角公式 sin 2= ; cos 2= = = ; tan 2= .,2sin cos ,cos2-sin2,2cos2-1,1-2sin2,4.在準(zhǔn)確熟練地記住公式的基礎(chǔ)上，要靈活運(yùn)用 公式解決問題：如公式的正用、逆用和變形用 等.如T可變形為： tan tan = , tan tan = 5.函數(shù)f（）=acos +bsin (a,b為常數(shù))，可以 化為f（）= 或f（）= ，其中可由a，b的值唯一 確定.,tan()(1tan tan ),=,.,基礎(chǔ)自測(cè) 1.cos 43cos 77+sin 43

3、cos 167的值為 （ ） A. B. C. D. 解析 原式=cos 43cos(90-13) +sin 43cos(180-13) =cos 43sin 13-sin 43cos 13 =sin(13-43)=-sin 30=,B,2. ( ) 解析 由已知可得,C,3.（2009陜西）若3sin +cos =0, 則 的值為（ ） A. B. C. D.-2 解析 3sin +cos =0,則,A,4.已知tan(+)=3，tan(-)=5，則tan 2 等于（ ） A. B. C. D. 解析 tan 2=tan(+)+(-),D,5.（2009上海）函數(shù)y=2cos2x+sin 2

4、x的最小值 是 . 解析 y=2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x y最小值=1- .,題型一 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值 (1)從把角變?yōu)?入手,合理使用 公式. (2)應(yīng)用公式把非10角轉(zhuǎn)化為10的角,切 化弦.,題型分類 深度剖析,解 （1）原式,（1）三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看” 原則，一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征. （2）對(duì)于給角求值問題，往往所給角都是非特 殊角，解決這類問題的基本思路有： 化為特殊角的三角函數(shù)值； 化為正、負(fù)相消的項(xiàng)，消去求值； 化分子、分母出現(xiàn)公約數(shù)進(jìn)行約分求值.,知能遷移1 解,題型二 三角函數(shù)的給值求值 角的變換：所求角分拆成已知角

5、的 和、差、倍角等，綜合上述公式及平方關(guān)系. 解,角的變換：轉(zhuǎn)化為同角、特殊角、已 知角或它們的和、差、兩倍、一半等；如 =(+)-=(-)+,2=(+)+ (-)等； 函數(shù)變換：弦切互化，化異名為同名. 綜合運(yùn)用和、差、倍角與平方關(guān)系時(shí)注意角的范 圍對(duì)函數(shù)值的影響.當(dāng)出現(xiàn)互余、互補(bǔ)關(guān)系，利用 誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化.,知能遷移2 已知,( ),解析,答案 A,題型三 三角函數(shù)的給值求角 已知tan(-)= ,tan = , 且,(0,),求2-的值. 對(duì)角2-拆分為+(-);拆 分為(-)+,先求tan ,再求tan(2-). 解,2-=+(-)(-,0). tan(2-)=tan+(-),(1)通過

6、求角的某種三角函數(shù)值來求 角,在選取函數(shù)時(shí),遵照以下原則:已知正切函數(shù) 值,選正切函數(shù);已知正、余弦函數(shù)值，選正弦 或余弦函數(shù)；若角的范圍是 ，選正、余弦 皆可；若角的范圍是（0，），選余弦較好； 若角的范圍為 ，選正弦較好. （2）解這類問題的一般步驟為： 求角的某一個(gè)三角函數(shù)值； 確定角的范圍； 根據(jù)角的范圍寫出所求的角.,知能遷移3 已知 (1)求sin 的值； (2)求的值. 解,題型四 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用 （12分）已知、為銳角，向量a= (cos ,sin ),b=(cos ,sin ),c (1)若ab= ,ac= ,求角2-的值; (2)若a=b+c，求tan 的值. （1）由

7、 及a,b, c的坐標(biāo)，可求出關(guān)于、的三角函數(shù)值，進(jìn) 而求出角. （2）由a=b+c可求出關(guān)于、的三角恒等式， 利用方程的思想解決問題.,解 （1）ab=（cos ，sin ） （cos ，sin ） =cos cos +sin sin ,2分,4分,6分,8分,10分,（1）已知三角函數(shù)值求角，一定要 注意角的范圍. （2）求有關(guān)角的三角函數(shù)問題，有時(shí)構(gòu)造等式， 用方程的思想解決更簡(jiǎn)單、實(shí)用.,12分,知能遷移4（2009廣東）已知向量a=(sin ,-2) 與b=(1,cos )互相垂直,其中 (1)求sin 和cos 的值;,解,方法與技巧 1.巧用公式變形： 和差角公式變形：tan x

8、tan y=tan(xy) (1tan xtan y); 倍角公式變形:降冪公式 配方變形：,思想方法 感悟提高,2.利用輔助角公式求最值、單調(diào)區(qū)間、周期. y=asin +bcos = (+)(其 中tan = )有: 3.重視三角函數(shù)的“三變”：“三變”是指“變 角、變名、變式”；變角為：對(duì)角的分拆要盡 可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能 減少函數(shù)名稱；變式：對(duì)式子變形一般要盡可 能有理化、整式化、降低次數(shù)等.在解決求值、 化簡(jiǎn)、證明問題時(shí),一般是觀察角度、函數(shù)名、 所求（或所證明）問題的整體形式中的差異， 再選擇適當(dāng)?shù)娜枪胶愕茸冃?,4.已知和角函數(shù)值，求單角或和角的三角函數(shù)值

9、 的技巧：把已知條件的和角進(jìn)行加減或2倍角后 再加減，觀察是不是常數(shù)角，只要是常數(shù)角， 就可以從此入手，給這個(gè)等式兩邊求某一函 數(shù)值，可使所求的復(fù)雜問題簡(jiǎn)化！ 5.熟悉三角公式的整體結(jié)構(gòu)，靈活變換.本節(jié)要重 視公式的推導(dǎo)，既要熟悉三角公式的代數(shù)結(jié)構(gòu), 更要掌握公式中角和函數(shù)名稱的特征，要體會(huì) 公式間的聯(lián)系，掌握常見的公式變形，倍角公 式應(yīng)用是重點(diǎn)，涉及倍角或半角的都可以利用 倍角公式及其變形.,失誤與防范 1.運(yùn)用公式時(shí)要注意審查公式成立的條件，要注 意和、差、倍角的相對(duì)性，要注意升次、降次 的靈活運(yùn)用，要注意“1”的各種變通. 2.在(0,)范圍內(nèi)，sin(+)= 所對(duì)應(yīng)的 角+不是唯一的.

10、 3.在三角求值時(shí)，往往要估計(jì)角的范圍后求值.,一、選擇題 1.sin 45cos 15+cos 225sin 15的值 為 （ ） A. B. C. D. 解析 原式=sin 45cos 15-cos 45 sin 15,C,定時(shí)檢測(cè),2.,（ ）,解析,B,3.,（ ）,解析,A,4.已知向量,( ),解析,B,5.,（ ）,解析,A,6.在ABC中,角C=120,tan A+tan B= ，則 tan Atan B的值為 ( ) A. B. C. D. 解析 tan(A+B)=-tan C=-tan 120= ,B,二、填空題 7. . 解析,8. . 解析,2,9. 已知,.,解析,三、解答題 10.化簡(jiǎn)：,解,11.已知函數(shù) (1)求f(x)的周期和單調(diào)遞增區(qū)間； (2)若關(guān)于x的方程f(x)-m=2在 上有解, 求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 解,12.已知向量a=(3s