2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(山東卷)理科數(shù)學(xué)試題及答案

1、2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(山東卷)理科數(shù)學(xué)本試卷分第卷和第卷兩部分,共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘。考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.注意事項：1. 答題前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、座號、準(zhǔn)考證號、縣區(qū)和科類填寫在答題卡和試卷規(guī)定的位置上.，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上指定位置。2. 第卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，答案不能答在試卷上。3. 第卷必須用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡各題的答題區(qū)域內(nèi)作答;不能寫在試題卷上; 如需改動，先畫掉原來的答案,然后再寫上新的答

2、案;不能使用涂改液、膠帶紙,修正帶,不按以上要求作答的答案無效。4. 填空題請直接填寫答案,解答題應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.。參考公式：柱體的體積公式V=Sh，其中S是柱體的底面積，h是錐體的高。錐體的體積公式V=，其中S是錐體的底面積，h是錐體的高。如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);R如果事件A,B獨立,那么P(AB)=P(A)P(B).事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是,那么次獨立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生次的概率:. 第卷(共60分)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.集合,若,則的值為(

3、 )A.0 B.1 C.2 D.42.復(fù)數(shù)等于（ ）. A B. C. D. 3.將函數(shù)的圖象向左平移個單位, 再向上平移1個單位,所得圖象的函數(shù)解析式是( ).2 2 2 正(主)視圖 2 2 側(cè)(左)視圖 A. B. C. D.4. 一空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( ).A. B. C. D. 5. 已知，表示兩個不同的平面，m為平面內(nèi)的一條直線，則“”是“”的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O 6. 函數(shù)的圖像大致為( ).A

4、B C P 第7題圖 7.設(shè)P是ABC所在平面內(nèi)的一點，則（）A. B. C. D.某工廠對一批產(chǎn)品進行了抽樣檢測.右圖是根據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重（單位：克）數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是96，106，樣本數(shù)據(jù)分組為96，98），98，100),96 98 100 102 104 106 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 克 頻率/組距 第8題圖 100，102)，102，104),104，106,已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是( ).A.90 B.75 C. 60 D.459.

5、設(shè)雙曲線的一條漸近線與拋物線y=x+1 只有一個公共點，則雙曲線的離心率為( ).A. B. 5 C. D.10. 定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)= ，則f（2009）的值為( )A.-1 B. 0 C.1 D. 211.在區(qū)間-1，1上隨機取一個數(shù)x，的值介于0到之間的概率為( ).A. B. C. D. 12. 設(shè)x，y滿足約束條件 ，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a0，b0）的值是最大值為12，則的最小值為( ). A. B. C. D. 4第卷二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。13.不等式的解集為 .開始 S=0,T=0,n=0 TS S=S+5 n=n+2 T=T+

6、n 輸出T 結(jié)束 是 否 14.若函數(shù)f(x)=a-x-a(a0且a1)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是 .15.執(zhí)行右邊的程序框圖，輸出的T= .16.已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間0,2上是增函數(shù),若方程f(x)=m(m0)在區(qū)間上有四個不同的根,則三、解答題：本大題共6分，共74分。17.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=cos(2x+)+sinx.(1) 求函數(shù)f(x)的最大值和最小正周期.(2) 設(shè)A,B,C為ABC的三個內(nèi)角，若cosB=，且C為銳角，求sinA.（18）（本小題滿分12分）E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 如圖，在直四棱柱ABCD-A

7、BCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點。（1） 證明：直線EE/平面FCC；（2） 求二面角B-FC-C的余弦值。 (19)(本小題滿分12分) 在某校組織的一次籃球定點投籃訓(xùn)練中，規(guī)定每人最多投3次；在A處每投進一球得3分，在B處每投進一球得2分；如果前兩次得分之和超過3分即停止投籃，否則投第三次，某同學(xué)在A處的命中率q為0.25，在B處的命中率為q，該同學(xué)選擇先在A處投一球，以后都在B處投，用表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分，其分布列為 0 2 3 4 5 p 0.03 P1 P2 P3 P4 （1

8、） 求q的值；（2） 求隨機變量的數(shù)學(xué)期望E;（3） 試比較該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過3分與選擇上述方式投籃得分超過3分的概率的大小。（20）（本小題滿分12分）等比數(shù)列的前n項和為， 已知對任意的 ，點，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.（1）求r的值； （11）當(dāng)b=2時，記 （21）（本小題滿分12分）兩縣城A和B相距20km，現(xiàn)計劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的的距離有關(guān)，對城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y,統(tǒng)計調(diào)查表明：垃圾處理廠對城

9、A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k ,當(dāng)垃圾處理廠建在的中點時，對城A和城B的總影響度為0.065.（1）將y表示成x的函數(shù)；（11）討論（1）中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小？若存在，求出該點到城A的距離;若不存在，說明理由。（22）（本小題滿分14分）設(shè)橢圓E: （a,b0）過M（2，） ，N(,1)兩點，O為坐標(biāo)原點，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程

10、，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。第卷(共60分)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.集合,若,則的值為( )A.0 B.1 C.2 D.4【解析】:,故選D.答案:D【命題立意】:本題考查了集合的并集運算,并用觀察法得到相對應(yīng)的元素,從而求得答案,本題屬于容易題.2.復(fù)數(shù)等于（ ）. A B. C. D. 2. 【解析】: ,故選C.答案:C【命題立意】:本題考查復(fù)數(shù)的除法運算，分子、分母需要同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，把分母變?yōu)閷崝?shù)，將除法轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔ㄟM行運算.3.將函數(shù)的圖象向左平移個單位, 再向上平移1個單位,

11、所得圖象的函數(shù)解析式是( ).A. B. C. D.3. 【解析】:將函數(shù)的圖象向左平移個單位,得到函數(shù)即的圖象,再向上平移1個單位,所得圖象的函數(shù)解析式為,故選B.答案:B【命題立意】:本題考查三角函數(shù)的圖象的平移和利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式進行化簡解析式的基本知識和基本技能,學(xué)會公式的變形.4. 一空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( ).2 2 側(cè)(左)視圖 2 2 2 正(主)視圖 A. B. C. D. 【解析】:該空間幾何體為一圓柱和一四棱錐組成的,俯視圖 圓柱的底面半徑為1,高為2,體積為,四棱錐的底面邊長為，高為，所以體積為所以該幾何體的體積為.答案:C【命題立意】:

12、本題考查了立體幾何中的空間想象能力,由三視圖能夠想象得到空間的立體圖,并能準(zhǔn)確地計算出.幾何體的體積.5. 已知，表示兩個不同的平面，m為平面內(nèi)的一條直線，則“”是“”的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】:由平面與平面垂直的判定定理知如果m為平面內(nèi)的一條直線,則,反過來則不一定.所以“”是“”的必要不充分條件.答案:B.【命題立意】:本題主要考查了立體幾何中垂直關(guān)系的判定和充分必要條件的概念.x y 1 1 D O x y O 1 1 C x y O 1 1 B 1 x y 1 O A 6. 函數(shù)的圖像大致為( ). 【解析】:函數(shù)有意義

13、,需使,其定義域為,排除C,D,又因為,所以當(dāng)時函數(shù)為減函數(shù),故選A.答案:A.【命題立意】:本題考查了函數(shù)的圖象以及函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等性質(zhì).本題的難點在于給出的函數(shù)比較復(fù)雜,需要對其先變形,再在定義域內(nèi)對其進行考察其余的性質(zhì).A B C P 第7題圖 7.設(shè)P是ABC所在平面內(nèi)的一點，則（）A. B. C. D.【解析】:因為，所以點P為線段AC的中點，所以應(yīng)該選B。答案：B?！久}立意】:本題考查了向量的加法運算和平行四邊形法則，可以借助圖形解答。.某工廠對一批產(chǎn)品進行了抽樣檢測.右圖是根據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重（單位：克）數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是96，106

14、，樣本數(shù)據(jù)分組為96，98），98，100),96 98 100 102 104 106 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 克 頻率/組距 第8題圖 100，102)，102，104),104，106,已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是( ).A.90 B.75 C. 60 D.45【解析】:產(chǎn)品凈重小于100克的概率為(0.050+0.100)2=0.300, 已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36,設(shè)樣本容量為,則,所以,凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的概率為(0.100+0.15

15、0+0.125)2=0.75,所以樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是1200.75=90.故選A.答案:A【命題立意】:本題考查了統(tǒng)計與概率的知識,讀懂頻率分布直方圖,會計算概率以及樣本中有關(guān)的數(shù)據(jù).9. 設(shè)雙曲線的一條漸近線與拋物線y=x+1 只有一個公共點，則雙曲線的離心率為( ).A. B. 5 C. D.【解析】:雙曲線的一條漸近線為,由方程組,消去y,得有唯一解,所以=,所以,故選D.答案:D.【命題立意】:本題考查了雙曲線的漸近線的方程和離心率的概念,以及直線與拋物線的位置關(guān)系,只有一個公共點,則解方程組有唯一解.本題較好地考查了基本概念基本方法和基本技能.1

16、0. 定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)= ，則f（2009）的值為( )A.-1 B. 0 C.1 D. 2【解析】:由已知得,所以函數(shù)f(x)的值以6為周期重復(fù)性出現(xiàn).,所以f（2009）= f（5）=1,故選C.答案:C.【命題立意】:本題考查歸納推理以及函數(shù)的周期性和對數(shù)的運算.11.在區(qū)間-1，1上隨機取一個數(shù)x，的值介于0到之間的概率為( ).A. B. C. D. 【解析】:在區(qū)間-1，1上隨機取一個數(shù)x,即時,要使的值介于0到之間,需使或或，區(qū)間長度為，由幾何概型知的值介于0到之間的概率為.故選A.答案:A【命題立意】:本題考查了三角函數(shù)的值域和幾何概型問題,由自變量x的取值

17、范圍,得到函數(shù)值的范圍,再由長度型幾何概型求得.12. 設(shè)x，y滿足約束條件 ，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a0，b0）的值是最大值為12，則的最小值為( ). A. B. C. D. 4【解析】:不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當(dāng)直線ax+by= z（a0，b0）過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點（4,6）時,目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a0，b0）取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故選A.答案:A【命題立意】:本題綜合地考查了線性規(guī)劃問題和由基本不等式求函數(shù)的最值問題.要求能準(zhǔn)確地畫出不等式表示的平面區(qū)域,并且能夠求得目標(biāo)函數(shù)的最值,對于形如已知2a

18、+3b=6,求的最小值常用乘積進而用基本不等式解答.第卷二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。13.不等式的解集為 .【解析】:原不等式等價于不等式組或或不等式組無解,由得,由得,綜上得,所以原不等式的解集為.答案: 【命題立意】:本題考查了含有多個絕對值號的不等式的解法,需要根據(jù)絕對值的定義分段去掉絕對值號,最后把各種情況綜合得出答案.本題涉及到分類討論的數(shù)學(xué)思想.14.若函數(shù)f(x)=a-x-a(a0且a1)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是 .開始 S=0,T=0,n=0 TS S=S+5 n=n+2 T=T+n 輸出T 結(jié)束 是 否 【解析】: 設(shè)函數(shù)且和函數(shù),則函數(shù)f(x)

19、=a-x-a(a0且a1)有兩個零點, 就是函數(shù)且與函數(shù)有兩個交點,由圖象可知當(dāng)時兩函數(shù)只有一個交點,不符合,當(dāng)時,因為函數(shù)的圖象過點(0,1),而直線所過的點一定在點(0,1)的上方,所以一定有兩個交點.所以實數(shù)a的取值范圍是答案: 【命題立意】:本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與直線的位置關(guān)系,隱含著對指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的考查,根據(jù)其底數(shù)的不同取值范圍而分別畫出函數(shù)的圖象解答.15.執(zhí)行右邊的程序框圖，輸出的T= .【解析】:按照程序框圖依次執(zhí)行為S=5,n=2,T=2;S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=

20、20+10=30S,輸出T=30答案:30【命題立意】:本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖,一般都可以反復(fù)的進行運算直到滿足條件結(jié)束,本題中涉及到三個變量,注意每個變量的運行結(jié)果和執(zhí)行情況.16.已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間0,2上是增函數(shù),若方程f(x)=m(m0)在區(qū)間上有四個不同的根,則-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m0) 【解析】:因為定義在R上的奇函數(shù)，滿足,所以,所以, 由為奇函數(shù),所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱且,由知,所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù),又因為在區(qū)間0,2上是增函數(shù),所以在區(qū)間-2,0上也是增函數(shù).如圖所示,那么方程f(x)=

21、m(m0)在區(qū)間上有四個不同的根,不妨設(shè)由對稱性知所以答案:-8【命題立意】:本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性,對稱性,周期性,以及由函數(shù)圖象解答方程問題,運用數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)與方程的思想解答問題. 三、解答題：本大題共6分，共74分。17.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=cos(2x+)+sinx.(3) 求函數(shù)f(x)的最大值和最小正周期.(4) 設(shè)A,B,C為ABC的三個內(nèi)角，若cosB=，且C為銳角，求sinA.解: （1）f(x)=cos(2x+)+sinx.=所以函數(shù)f(x)的最大值為,最小正周期.（2）=, 所以, 因為C為銳角, 所以,又因為在ABC 中, cosB=

22、, 所以 , 所以.【命題立意】:本題主要考查三角函數(shù)中兩角和差的弦函數(shù)公式、二倍角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)以及三角形中的三角關(guān)系.（18）（本小題滿分12分）E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點。（3） 證明：直線EE/平面FCC；（4） 求二面角B-FC-C的余弦值。解法一：（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中點F1，E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P 連接A1D，C1F1，

23、CF1，因為AB=4, CD=2,且AB/CD，所以CDA1F1，A1F1CD為平行四邊形，所以CF1/A1D，又因為E、E分別是棱AD、AA的中點，所以EE1/A1D，所以CF1/EE1，又因為平面FCC，平面FCC，所以直線EE/平面FCC.（2）因為AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中點,所以BF=BC=CF,BCF為正三角形,取CF的中點O,則OBCF,又因為直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1平面ABCD,所以CC1BO,所以O(shè)B平面CC1F,過O在平面CC1F內(nèi)作OPC1F,垂足為P,連接BP,則OPB為二面角B-FC-C的一個平面角, 在BCF為正三角形中,在RtCC1

24、F中, OPFCC1F,在RtOPF中,所以二面角B-FC-C的余弦值為.E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M 解法二:（1）因為AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中點,所以BF=BC=CF,BCF為正三角形, 因為ABCD為等腰梯形,所以BAC=ABC=60,取AF的中點M,連接DM,則DMAB,所以DMCD,以DM為x軸,DC為y軸,DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,C1（0,2,2）,E（,0）,E1（,-1,1）,所以,設(shè)平面CC1F的法向量為則所以取,則,所以,所以直線EE/

25、平面FCC.（2）,設(shè)平面BFC1的法向量為,則所以,取,則,所以,由圖可知二面角B-FC-C為銳角,所以二面角B-FC-C的余弦值為.【命題立意】:本題主要考查直棱柱的概念、線面位置關(guān)系的判定和二面角的計算.考查空間想象能力和推理運算能力,以及應(yīng)用向量知識解答問題的能力.(19)(本小題滿分12分) 在某校組織的一次籃球定點投籃訓(xùn)練中，規(guī)定每人最多投3次；在A處每投進一球得3分，在B處每投進一球得2分；如果前兩次得分之和超過3分即停止投籃，否則投第三次，某同學(xué)在A處的命中率q為0.25，在B處的命中率為q，該同學(xué)選擇先在A處投一球，以后都在B處投，用表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分，其分布

26、列為 0 2 3 4 5 p 0.03 P1 P2 P3 P4 （4） 求q的值；（5） 求隨機變量的數(shù)學(xué)期望E;（6） 試比較該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過3分與選擇上述方式投籃得分超過3分的概率的大小。解:（1）設(shè)該同學(xué)在A處投中為事件A,在B處投中為事件B,則事件A,B相互獨立,且P(A)=0.25, P(B)= q,.根據(jù)分布列知: =0時=0.03,所以，q=0.8.（2）當(dāng)=2時, P1=0.75 q( )2=1.5 q( )=0.24當(dāng)=3時, P2 =0.01,當(dāng)=4時, P3=0.48,當(dāng)=5時, P4=0.24所以隨機變量的分布列為 0 2 3 4 5 p 0.03 0.2

27、4 0.01 0.48 0.24 隨機變量的數(shù)學(xué)期望（3）該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過3分的概率為;該同學(xué)選擇（1）中方式投籃得分超過3分的概率為0.48+0.24=0.72.由此看來該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過3分的概率大.【命題立意】:本題主要考查了互斥事件的概率,相互獨立事件的概率和數(shù)學(xué)期望,以及運用概率知識解決問題的能力.（20）（本小題滿分12分）等比數(shù)列的前n項和為， 已知對任意的 ，點，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.（1）求r的值； （11）當(dāng)b=2時，記 證明：對任意的 ，不等式成立解:因為對任意的,點，均在函數(shù)且均為常數(shù)的圖像上.所以得,當(dāng)時,當(dāng)時,又因為為等比數(shù)列,所以

28、,公比為,（2）當(dāng)b=2時，, 則,所以下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立. 當(dāng)時,左邊=,右邊=,因為,所以不等式成立. 假設(shè)當(dāng)時不等式成立,即成立.則當(dāng)時,左邊=所以當(dāng)時,不等式也成立.由、可得不等式恒成立.【命題立意】:本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項公式,以及已知求的基本題型,并運用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題,以及放縮法證明不等式.（21）（本小題滿分12分）兩縣城A和B相距20km，現(xiàn)計劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的的距離有關(guān)，對城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y,統(tǒng)計調(diào)查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k ,當(dāng)垃圾處理廠建在的中點時，對城A和城B的總影響度為0.065.（1）將y表示成x的函數(shù)；（11）討論（1）中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最??？若存在，求出該點到城A的距離;若不存在，說明理由。A B C x 解法一:（1）如圖,由題意知ACBC,其中當(dāng)時，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函數(shù)為（2）,令得