排列組合應(yīng)用題解法高二數(shù)學(xué).ppt

1、排列組合應(yīng)用題解法,浙江省玉環(huán)縣楚門中學(xué)呂聯(lián)華,從n個(gè)不同元素中,任取m個(gè)元素,并成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.,從n個(gè)不同元素中,任取m個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。,1.排列的定義:,2.組合的定義:,3.排列數(shù)公式:,4.組合數(shù)公式:,排列與組合的關(guān)鍵是問題與次序有無關(guān)系。,5 加法原理和乘法原理：完成任務(wù)時(shí)是分類進(jìn)行還是步進(jìn)行。,例1：7種不同的花種在排成一列的花盆里，若兩種葵花不種 在中間，也不種在兩端的花盆中，問有多少不同的種法？,解一：分兩步完成；,第一步選兩葵花之外的花占據(jù)兩端和中間的位置,第二步排其余的位置：

2、,解二：第一步由葵花去占位：,第二步由其余元素占位：,小結(jié)：當(dāng)排列或組合問題中，若某些元素或某些位置有特殊要 求 的時(shí)候，那么，一般先按排這些特殊元素或位置，然后再 按排其它元素或位置，這種方法叫特殊元素（位置）分析法。,例2：要排一個(gè)有5個(gè)獨(dú)唱節(jié)目和3個(gè)舞蹈節(jié)目的節(jié)目單，如果 舞蹈節(jié)目不排頭，并且任何2個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，則不同的 排法有幾種？,【圖示】,解：5個(gè)獨(dú)唱節(jié)目的排法是 ，,小結(jié)：當(dāng)某幾個(gè)元素要求不相鄰時(shí)，可以先排沒有條件限 制的元素，再將要求不相鄰的元素按要求插入已排好元素 的空隙之中，這種方法叫插入法。,舞蹈不排在頭一個(gè)節(jié)目，又 需任何兩個(gè)舞蹈不連排，只要把舞蹈節(jié)目，插入獨(dú)唱節(jié)目

3、的 5個(gè)空隙中即可，即舞蹈節(jié)目的排法是 ，,所以排法的種數(shù) 為 。,例3：某工廠制造的一臺(tái)機(jī)器要按裝一排8個(gè)不同的按鈕，其中 3個(gè)方按 鈕一定要裝在一起，而且紅色方鈕必在另兩方鈕 中間，有多少種裝法？,【圖示】,解：先把三個(gè)方按鈕排好，有 種排法，,小結(jié)：如果某幾個(gè)元素必須相鄰時(shí)，首先可以把這幾個(gè)元 先進(jìn)行排列，然后把這幾個(gè)元素捆綁在一起看成一個(gè)元素， 再與其它元素進(jìn)行排列，這種方法叫捆綁法。,然后把三個(gè)方按 鈕“捆綁”在一起看成一個(gè)按鈕，與其余5個(gè)按鈕相當(dāng)于6個(gè)按 鈕排成一排，有 種排法，,所以共有 種裝法。,例4：空間十個(gè)點(diǎn)A1，A2，A3，A10，其中A1，A2 A5在同一平面內(nèi)，此外再

4、無三點(diǎn)共線四點(diǎn)共面，以這些點(diǎn) 為頂點(diǎn)，一共可以構(gòu)成幾個(gè)四面體？,A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,A9,A10,【圖示】,解：因?yàn)樗拿骟w需四個(gè)頂點(diǎn)組成 所以在十個(gè)點(diǎn)中取四個(gè)點(diǎn)共 有 種方法。,小結(jié)：在排列或組合問題中“含”與“不含”的問題，經(jīng)常先 把所有元素進(jìn)行排列或組合，然后再去掉含有不能含的元 素的取法數(shù)，這種方法叫排除法。,但四個(gè)點(diǎn) 在同一平面上不能組成四面體 ，所以排除同一平面上五個(gè)點(diǎn) 取四個(gè)點(diǎn)的情況共有 種 方法，,這樣，一共可以構(gòu)成 個(gè)四面體。,例5：圓周上有n個(gè)點(diǎn)（n6），用線段將它們彼此相連，這 些線段中任意三條在圓內(nèi)沒有公共點(diǎn)，問這些線段構(gòu)成多 少個(gè)頂點(diǎn)在圓內(nèi)的

5、三角形？,A1,B2,B1,C2,C1,A2,所以，上述問題轉(zhuǎn)化為在圓周上取6個(gè)點(diǎn)就能組成一圓內(nèi)三角形，從圓周上n個(gè)點(diǎn)中選6個(gè)點(diǎn)的組合數(shù) 就是圓內(nèi)三角形的個(gè)數(shù)。,解：圓內(nèi)三角形ABC，AB，在A1B2 上，ABC在A1B2的一側(cè)，則BC 所在的B1C2 ，AC所在的A2C1都被 A1B2一截為二，即在A1B2的兩側(cè) 各有兩點(diǎn)A2，B1，和C1，C2 ，同 理，在A2C1，B1C2 的兩側(cè)也各有 兩點(diǎn)，,因此每一個(gè)圓內(nèi)的三角形 決定圓周上6個(gè)點(diǎn)，反之，如在圓周上任取6個(gè)點(diǎn)，也可用上述方法找出三對(duì)點(diǎn)，每對(duì)點(diǎn)之間連線段，這三線段相交成一個(gè)圓內(nèi)三角形,例6：有一群孩子外出旅行，回來時(shí)準(zhǔn)備包車回家，包車

6、費(fèi) 20元，他們把每個(gè)人的錢湊合起來，其中有23人，每人有 05元硬幣一枚，另外10人，每人有1元硬幣一枚，問有多 不同的湊合方法？,解：把所有人的硬幣都湊合起來共有2305+101=215 元，所以多15元，這樣問題可轉(zhuǎn)化為取多余錢的方法數(shù) 即取3個(gè)05的硬幣或取1個(gè)05硬幣和1個(gè)1元硬幣的方法 數(shù)，則有 種取法。,小結(jié)：對(duì)于某些問題如果直接去考慮，就會(huì)比較復(fù)雜，若 能轉(zhuǎn)化為與其等價(jià)的問題，就變得簡(jiǎn)單，容易解決，這種 方法叫轉(zhuǎn)化法。,例7：在從2，3，5，7，11，13這六個(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)，分 別作分子，分母的分?jǐn)?shù)中，真分?jǐn)?shù)有幾個(gè)？,真分?jǐn)?shù),真分?jǐn)?shù),真分?jǐn)?shù),真分?jǐn)?shù),真分?jǐn)?shù),假分?jǐn)?shù),假分?jǐn)?shù),假

7、分?jǐn)?shù),假分?jǐn)?shù),假分?jǐn)?shù),解：因?yàn)閺牧鶄€(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)作為分子分母的分?jǐn)?shù)中，其中 真分?jǐn)?shù)出現(xiàn)的機(jī)會(huì)與出現(xiàn)假分?jǐn)?shù)的機(jī)會(huì)是均等的，因此真分 數(shù)的個(gè)數(shù)為 個(gè)。,5名運(yùn)動(dòng)員參加100米決賽，如果每人到達(dá)終點(diǎn)的順序不相同,問甲比乙先到達(dá)終點(diǎn)的可能有幾種?,小結(jié)：在排列或組合中若某兩個(gè)元素出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是相同的，在 求解中我們只要求出它的全體，那么，所求種數(shù)為全體的 二分之 一，這種方法叫機(jī)會(huì)均等法。（概率法）,例8：12個(gè)相同的球分給3個(gè)人，每人至少一個(gè)，而且必須 全部分完，有多少種分法？,解：將12個(gè)球排成一排，一共有11個(gè)空隙，將兩個(gè)隔板插入 這些空隙中，規(guī)定兩 隔板分成的左中右三部分球分別分給 3個(gè)人，每

8、一種隔法 對(duì)應(yīng)一種分法，于是分法的總數(shù)為 種方法。,小結(jié)：將n個(gè)相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)），可以用m-1塊隔板，插入n個(gè)元素排成一排的n-1個(gè)空隙中，所有 的插法數(shù)就是分法數(shù)，這種方法叫隔板法。,=55,鞏固練習(xí) 分配5人擔(dān)任5種不同的工作，如果甲不擔(dān)任第一種工作， 乙不擔(dān)任第二種工作，那么共有多少種分配方法？ 由a，b，c，d，f六個(gè)字母中，每次取4個(gè)進(jìn)行排列，若每個(gè)排列都包含a，b且a在b前的有多少個(gè)？ 在1，2，3，100這100個(gè)自然數(shù)中，每次取不等的兩數(shù)相乘，使它們的積是7的倍數(shù)，這樣的取法有多少種？ 求方程X+Y+Z+W=100的正整數(shù)解的組數(shù)是多少？ 某區(qū)有7條南北向街道5條東西向街道 （如圖）從A點(diǎn)走向B點(diǎn)，最短走法有 多少種？,A,B,小結(jié)：在中學(xué)數(shù)學(xué)中，解答數(shù)學(xué)問題常用的數(shù)學(xué)思想方法很 多如數(shù)形結(jié)合思想；分類討論思想；化歸的思想等等。 而我們以上的：特殊元素（位置）分析法，插入法