第二屆華杯賽復(fù)賽試題答案詳解華杯賽

1、 第二屆華杯賽復(fù)賽試題答案詳解華杯賽 第二屆華杯賽復(fù)賽試題答案 參考答案 第二屆華杯賽復(fù)賽試題答案：1. 2.共有五個(gè)質(zhì)數(shù)：2，3，13，23，313. 4.91個(gè)5.(見下) 6.48分鐘7.6厘米8.(見下)9.(見下)10.(見下)11.66千米/小時(shí) 12.兒子在跑第3圈時(shí),第一次與父親再相遇 1.【解】原式= =( )248 =(4+2+1)24 =724 =7 = 2.【解】因?yàn)槿龔埧ㄆ系臄?shù)字和為6，能被3整除，所以用這三個(gè)數(shù)字任意排成的三位數(shù)都能被3整除，因此不可能是質(zhì)數(shù) 再看二張卡片的情形。因?yàn)?+2=3，根據(jù)同樣的道理，用1.2，組成的二位數(shù)也能被3整除，因此也不是質(zhì)數(shù).這

2、樣剩下要討論的二位數(shù)只有13、31、23、32這四個(gè)了，其中13，31和23都是質(zhì)數(shù)，而32不是質(zhì)數(shù)最后，一位數(shù)有三個(gè)：1，2，3。1不是質(zhì)數(shù)，2和3都是質(zhì)數(shù)所以，本題中的質(zhì)數(shù)共有五個(gè)：2，3，13，23，31 答：共有五個(gè)質(zhì)數(shù)：2，3，13，23，31。 3.【解】把碎石沉沒在水中，水面升高所增加的體積.就等于所沉入的碎石的體積.因此，沉入在水池中的碎石的體積是:330.06=0.54(米3)， 而沉入小水池中的碎石的體積是:220.04=0.16(米3)， 這兩堆碎石的體積一共是:0.54+0.16=0.7(米3) 把它們都沉入大水池里，大水池的水面升高所增加的體積也就是0.7米3， 而大

3、水池的底面積是:66=36(米3)， 所以大水池的水面升高了:0.736= (米)= (厘米)= (厘米) 答：大水池的水面升高了 厘米。 4.【解】設(shè)想圓圈上的孔已按下面方式編了號：a孔編號為1，然后沿逆時(shí)針方向順次編號為2，3，4，b孔的編號就是圓圈上的孔數(shù),每隔2孔跳一步，跳在1，4，7，10，上。最后跳到b孔，因此總孔數(shù)是3的倍數(shù)加1,同樣道理，每隔4孔跳一步最后跳到b孔，就意味著總孔數(shù)是5的倍數(shù)加1;而每隔6孔跳一步最后跳回到a，就意味著總孔數(shù)是7的倍數(shù)。 如果將孔數(shù)減1，那么得數(shù)既是3的倍數(shù)也是5的倍數(shù)，因而是15的倍數(shù)。這個(gè)15的倍數(shù)加上1就等于孔數(shù)，而且能被7整除。注意：15被

4、7除余1，所以156被7除余6，15的6倍加1正好被7整除。我們還可以看出，15的其他(小于7的)倍數(shù)加1都不能被7整除，而157=105已經(jīng)大于100.7以上的倍數(shù)都不必考慮，因此，圓圈上總孔數(shù)是156十1=91 答：圓圈上共有91個(gè)孔。 5.【解】714=23717. 由此可以看出，要使最下面方框中的數(shù)與714互質(zhì)，在剩下未填的數(shù)字2，3，5，6中只能選5，也就是說，第三行的一位數(shù)只能填5。 現(xiàn)在來討論第二行的三個(gè)方框中應(yīng)該怎樣填2，3，6這三個(gè)數(shù)字。 因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)偶數(shù)都有公約數(shù)2，而714是偶數(shù)，所以第二行的三位數(shù)不能是偶數(shù)，因此個(gè)位數(shù)字只能是3.這樣一來，第二行的三位數(shù)只能是263或6

5、23.但是623能被7整除，所以623與714不互質(zhì). 最后來看263這個(gè)數(shù)通過檢驗(yàn)可知：714的質(zhì)因數(shù)2，3，7和17都不是263的因數(shù)，所以714與263這兩個(gè)數(shù)互質(zhì),顯然，263與5也互質(zhì).因此714，263和5這三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。于是填法是： 6.【解】為敘述方便，我們把每個(gè)路口都標(biāo)上字母，如圖a、圖b所示 首先我們將道路圖逐步簡化。 從a出發(fā)經(jīng)過c到b的路線都要經(jīng)過dc和gc。面從a到c有兩條路線可走：adc需時(shí)間14+13=27(分鐘);agc需時(shí)間15+11=26(分鐘)。我們不會(huì)走前一條路線，所以可將dc這段路抹去。但要注意，ad不能抹去，因?yàn)閺腶到b還有別的路線(例如ahb)經(jīng)

6、過ad，需要進(jìn)一步分析。 由g到e也有兩條路線可走：cce需16分鐘，gie也是16分鐘。我們可以選擇其中的任一條路線，例如選擇前一條，抹掉gie。(也可以選擇后一條而抹掉ce。但不能抹掉gc，因?yàn)檫€有別的路線經(jīng)過它。)這樣，道路圖被簡化成圖49的形狀。 在圖b中，從a到f有兩條路線，經(jīng)過h的一條需14+6+17=37(分鐘)，經(jīng)過g的一條需15+11+10=36(分鐘)，我們又可以將前一條路線抹掉(圖c)。 圖c中，從c到b也有兩條路線，比較它們需要的時(shí)間，又可將經(jīng)過e的一條路線抹掉。最后，剩下一條最省時(shí)間的路線(圖d)，它需要15+11+10+12=48(分鐘)。 【又解】要抓住關(guān)鍵點(diǎn)c。

7、從a到b的道路如果經(jīng)過c點(diǎn)，那么，從a到c的道路中選一條最省時(shí)間的，即agc;從c到b的道路中也選一條最省時(shí)間的，即cfb。因而從a到b經(jīng)過c的所有道路中最省時(shí)間的就是這兩條道路接起來的，即agcfb。它的總時(shí)間是48分鐘。 剩下的只要比較從a到b而不經(jīng)過c點(diǎn)的道路與道路agcfb，看那個(gè)更省時(shí)間。 不經(jīng)過c點(diǎn)的道路只有兩條：adhfb，它需要49分鐘;agieb，它也需要49分鐘。 所以，從a到b最快需要48分鐘。 答：最快需要48分鐘。 7.【解】梯形abcd的面積等于efab，而三角彤a(chǎn)bg的面積等于 egab，因此三角形abg和梯形abcd的面積比等于 eg與ef的比.由題目的條件，三

8、角形abg的面積是梯形abcd的面積的 ，即eg是ef的 .因?yàn)閑f長15厘米，eg的長就是：15 =6(厘米). 答：eg長6厘米 8.【解】為了使問題簡化，我們首先分析一下這三堆砝碼之間的關(guān)系。很明顯，一個(gè)3克的砝碼加上一個(gè)7克的砝碼正好等于兩個(gè)5克的砝碼(都是10克)，因此，如果用一個(gè)3克的砝碼和一個(gè)7克的砝碼去替換兩個(gè)5克的砝碼，砝碼的個(gè)數(shù)及總重量都保持不變.這樣一來，我們就可以把5克砝碼兩個(gè)兩個(gè)地?fù)Q掉，直到只剩下一個(gè)5克的砝碼或者沒有5克砝碼為止。 問題歸結(jié)為下面兩種情形： (1)所取的砝碼中沒有5克砝碼。很明顯，為了使所取的砝碼個(gè)數(shù)盡量少，應(yīng)該盡可能少取3克砝碼.而130克減去3克

9、砝碼的總重量應(yīng)該是7克的倍數(shù)。計(jì)算一下就可以知道，取0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)3克砝碼，所余下的重量都不是7克的倍數(shù)。如果取6個(gè)3克砝碼，那么130克-3克6=112克=7克16。于是可以取16個(gè)7克砝碼和6個(gè)3克砝碼，總共22個(gè)砝碼 (2)所取的砝碼中有一個(gè)5克的。那么3克和7克砝碼的總重量是130克-5克=125克.和第一種情形類似，可以算出應(yīng)取2個(gè)3克砝碼和17個(gè)7克砝碼，這樣總共有17+2+1=20個(gè)砝碼 比較上面兩種情形，我們得知最少要取20個(gè)砝碼。取法可以就像后一種情形那樣：2個(gè)3克的，1個(gè)5克的，17個(gè)7克的，當(dāng)然也可以用兩個(gè)5克砝碼換掉一個(gè)3克和1個(gè)7克的砝碼，例如可以

10、取5個(gè)5克的和15個(gè)7克的. 9.【解】我們知道，每個(gè)圓的面積等于直徑的平方乘以(/4)?，F(xiàn)在要把5個(gè)圓分組，兩組的總面積要盡可能接近，或者說;兩組總面積的比盡可能接近1.由于每個(gè)圓面積都有因子(/ 4)。而我們關(guān)心的只是面積的比，所以可把這個(gè)共同的因子都去掉，使問題簡化為：將5個(gè)圓公成兩組，使兩組圓的直徑的平方和盡可能接近。 5個(gè)圓的直徑的平方分別是9，16，25,64，81. 這5個(gè)數(shù)的和是195.由于195是奇數(shù)，所以不可能把這5個(gè)數(shù)分成兩組，使它們的和相等.另一方面，81十16=97，9+25+64=98，二者僅相差1. 因此，應(yīng)該把直徑4米和9米的兩個(gè)花圃交給一個(gè)班管理，其余三個(gè)花圃

11、交給另一個(gè)班管理. 答：應(yīng)該把直徑4米和9米的兩個(gè)花圃交給一個(gè)班管理，其余三個(gè)花圃交給另一個(gè)班管理。 10.【解】觀察一下已經(jīng)寫出的數(shù)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，每隔兩個(gè)奇數(shù)就有一個(gè)偶數(shù)。這個(gè)規(guī)律是不難解釋的：因?yàn)閮蓚€(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù)，所以兩個(gè)奇數(shù)后面一定是偶數(shù)。另一方面，一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)的和是奇數(shù)，所以偶數(shù)后面一個(gè)是奇數(shù)，再后面一個(gè)還是奇數(shù)。這樣，一個(gè)偶數(shù)后面一定有連續(xù)兩個(gè)奇數(shù)，而這兩個(gè)奇數(shù)后面一定又是偶數(shù)，等等。 因此，偶數(shù)出現(xiàn)在第三、第六、第九第九十九個(gè)位子上。所以偶數(shù)的個(gè)數(shù)等于100以內(nèi)3的倍數(shù)的個(gè)數(shù)，即等于993=33，于是，這串?dāng)?shù)的前100個(gè)數(shù)中共有33個(gè)偶數(shù)。 本題給出的這串?dāng)?shù)叫做菲波那西數(shù)列，又

12、叫兔子數(shù)列。 答：這串?dāng)?shù)的前100個(gè)數(shù)中共有33個(gè)偶數(shù)。 11.【解】王師傅每兩千米應(yīng)行 2(小時(shí))，現(xiàn)來時(shí)每1千米行 小時(shí)， 所以返回時(shí)每1千米應(yīng)行： 2- = (小時(shí)) 即應(yīng)以每小時(shí)66千米的速度往回開. 【又解】根據(jù)題意，如果王師傅往返都以每小時(shí)60公里的速度行駛，正好按時(shí)返回甲地.也就是說,按計(jì)劃行駛1公里的時(shí)間是 小時(shí).而王師傅從甲地到乙地的實(shí)際行駛速度只有55公里/小時(shí)，這樣一來、實(shí)際行駛1公里所花費(fèi)的時(shí)間是 小時(shí),比計(jì)劃多用 小時(shí)，為了能按時(shí)返回甲地，王師傅從乙地返回甲地時(shí)，行駛1公里所花的時(shí)間必須比原計(jì)劃時(shí)間少 小時(shí).也就是說,只能花 = (小時(shí))。因此王師傅往回開的速度應(yīng)是66公/小時(shí)。 答：王師傅應(yīng)以66公里/小時(shí)的速度往回開。 12.【解】首先我們要注意到：父親和兒子只能在由a沿逆時(shí)針方向到b這一段跑道上相遇，而且兒子比父親跑得快，所以相遇時(shí)一定是兒子從后面追上父親. 兒子跑一圈所用的時(shí)間是19(400100)=76(秒)，也就是說，兒子每過76秒到達(dá)a點(diǎn)一次。同樣道理，父親每過50秒到達(dá)a點(diǎn)一次。在從a到b逆時(shí)針方向的一段跑道上，兒子要跑19(200100)=38(秒)，父親要跑20(200+100)=40(秒)。因此，只要在父親到達(dá)a點(diǎn)后的2秒之內(nèi)，兒子也到達(dá)a點(diǎn)，兒子就能從后面追上父親。于是，我們需