2018屆高三數(shù)學復習三角函數(shù)解三角形第八節(jié)解三角形課件理.pptx

1、理數(shù) 課標版,第八節(jié)解三角形,1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型:測量距離、高度、角度問題,計算面積問題等.,教材研讀,2.實際問題中的常用角 (1)仰角和俯角 與目標視線在同一鉛垂平面內的水平線和目標視線的夾角,目標視線在水平線上方的角叫仰角,目標視線在水平線下方的角叫俯角(如圖).,(2)方向角:一般指相對于正北或正南方向的水平銳角,如南偏東30,北偏西45等. (3)方位角 從正北方向順時針轉到目標方向的水平角叫做方位角,如點B的方位角為(如圖). (4)坡角:坡面與水平面所成的銳二面角. (附:坡度(坡比):坡面的鉛直高度與水平長度之比),3.解關于解三角形的應用題的一般步驟

2、(1)理解題意,弄清問題的實際背景,明確已知與未知,理清量與量之間的關系; (2)根據(jù)題意畫出示意圖,將實際問題抽象成解三角形問題; (3)根據(jù)題意選用正弦定理或余弦定理進行求解; (4)將所得結論還原到實際問題,注意實際問題中有關單位、近似計算等的要求.,1.從A處望B處的仰角為,從B處望A處的俯角為,則與的關系為 () A.B.=C.+=90D.+=180 答案B根據(jù)題意和仰角、俯角的概念畫出草圖,如圖,可知=.,2.如圖所示,已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東20的方向上,燈塔B在觀察站C的南偏東40的方向上,則燈塔A與燈塔B的距離為() A.

3、a kmB.a kmC.a kmD.2a km,答案BACB=180-(20+40)=120,在ABC中,AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 120=a2+a2-2a2=3a2,AB=a(km),故選B.,3.在上題的條件下,燈塔A相對于燈塔B的方向為() A.北偏西5B.北偏西10 C.北偏西15D.北偏西20 答案B易知B=A=30,C在B的北偏西40的方向上,又40-30= 10,故燈塔A相對于燈塔B的方向為北偏西10.,4.在相距2千米的A、B兩點處測量目標點C,若CAB=75,CBA=60,則A、C兩點之間的距離為千米. 答案 解析ACB=180-75-60=45,由正弦定理得

4、=, AC=千米.,5.一艘船自西向東勻速航行,上午10時到達燈塔P的南偏西75,距燈塔68海里的M處,下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處,則此船航行的速度為海里/小時. 答案 解析如圖,由題意知MPN=75+45=120,PNM=45. 在PMN中,=,MN=68=34 海里.,又由M到N所用的時間為14-10=4小時, 此船的航行速度v= 海里/小時.,考點一測量距離問題,考點突破,典例1(1)(2014四川,13,5分)如圖,從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為67,30,此時氣球的高是46 m,則河流的寬度BC約等于m.(用四舍五入法將結果精確到個位.參考數(shù)據(jù):sin

5、670.92, cos 670.39,sin 370.60,cos 370.80,1.73),(2)如圖,某觀測站C在城A的南偏西20的方向上,從城A出發(fā)有一條走向為南偏東40的公路,在C處觀測到距離C處31 km的公路上的B處有一輛汽車正沿公路向A城駛去,行駛了20 km后到達D處,測得C,D兩處的距離為21 km,這時此車距離A城千米.,答案(1)60(2)15 解析(1)設氣球A在地面的投影為點D,則AD=46 m,于是BD=ADtan(90 -67)=4619.5 m,DC=ADtan(90-30)=4679.6 m,BC= DC-BD=79.6-19.560 m. (2)在BCD中,

6、BC=31 km,BD=20 km,CD=21 km,由余弦定理得cosBDC=-, 所以cosADC=,所以sinADC=. 在ACD中,CD=21 km,CAD=60, 所以sinACD=sin(60+ADC)=+=. 由正弦定理得=,所以AD=15 km.,方法技巧 求解距離問題的一般步驟 (1)畫出示意圖,將實際問題轉化成三角形問題; (2)明確所求的距離在哪個三角形中,有幾個已知元素; (3)使用正弦定理、余弦定理解三角形(對于解答題,應作答).,1-1(2017安徽銅陵一中期末)如圖所示,A,B兩點在一條河的兩岸,測量者在A的同側,且B點不可到達,要測出A、B的距離,其方法是在A所

7、在的岸邊選定一點C,測出A、C的距離m,再借助儀器,測出ACB=,CAB=,在ABC中,運用正弦定理就可以求出AB. 若測出AC=60 m,BAC=75,BCA=45,則A,B兩點間的距離為m.,答案20 解析ABC=180-75-45=60, 由正弦定理得,=, AB=20(m). 即A,B兩點間的距離為20 m.,考點二測量高度問題 典例2(2015湖北,13,5分)如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時測得公路北側一山頂D在西偏北30的方向上,行駛600 m后到達B處,測得此山頂在西偏北75的方向上,仰角為30,則此山的高度CD=m.,答案100 解析依題意有AB=600,

8、CAB=30, CBA=180-75=105,DBC=30,DCCB. ACB=45, 在ABC中,由=, 得=, 有CB=300, 在RtBCD中,CD=CBtan 30=100, 則此山的高度CD=100 m.,易錯警示 解決高度問題的注意事項 (1)在解決有關高度的問題時,要理解仰角、俯角的概念. (2)在實際問題中,可能會遇到同時研究空間與平面(地面)的問題,這時最好畫兩個圖形,一個空間圖形,一個平面圖形,這樣處理起來既清楚又不容易搞錯. (3)一般是把高度問題轉化成三角形的問題,要注意三角形中的邊角關系的應用,若是空間的問題,則要注意空間圖形和平面圖形的結合.,2-1(2016湖北七

9、市(州)協(xié)作體聯(lián)考)如圖,為了估測某塔的高度,在同一水平面的A,B兩點處進行測量,在點A處測得塔頂C在西偏北20的方向上,仰角為60,在點B處測得塔頂C在東偏北40的方向上,仰角為30.,若A,B兩點相距130 m,則塔CD的高度為m. 答案10,解析設CD=h m,則AD= m,BD=h m,在ADB中,ADB=180-20 -40=120,由余弦定理得AB2=BD2+AD2-2BDADcos 120,可得1302= 3h2+-2h,解得h=10(負值舍去),故塔的高度為10 m.,考點三測量角度問題 典例3如圖,在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習中,紅方一艘偵察艇(位于A處)發(fā)現(xiàn)在北偏東45方向,相距

10、12 n mile的水面B處,有藍方一艘小艇正以每小時10 n mile的速度沿南偏東75方向前進,若紅方偵察艇以每小時 14 n mile的速度,沿北偏東45+方向攔截藍方的小艇.若要在最短的時間 內攔截住,求紅方偵察艇所需的時間和角的正弦值.,解析如圖,設紅方偵察艇在C處攔截住藍方的小艇,且經(jīng)過的時間為x小時, 則AC=14x(n mile),BC=10 x(n mile),ABC=120.,根據(jù)余弦定理得(14x)2=122+(10 x)2-240 xcos 120, 解得x=2(負值舍去). 故AC=28(n mile),BC=20(n mile). 根據(jù)正弦定理得=, 解得sin =. 綜上,要使紅方偵察艇在最短的時間內攔截住藍方小艇,則所需要的時間為2小時,角的正弦值為.,易錯警示 解決測量角度問題的注意事項 (1)明確方向角的含義; (2)分析題意,分清已知與所求,再根據(jù)題意正確畫出示意圖,這是最關鍵、最重要的一步; (3)將實際問題轉化為可用數(shù)學方法解決的問題后,注意正、余弦定理的綜合運用.,3-1如圖所示,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險,在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30,相距20海里的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線前往B處救援,求cos 的值.,解析在ABC中