高中數(shù)學(xué)《橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程》說(shuō)課稿 蘇教版選修

1、2.2.1 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的說(shuō)課稿蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書：數(shù)學(xué)選修2-11.在教材中的作用及地位本節(jié)課主要內(nèi)容是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 學(xué)生在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了解析幾何的兩種基本曲線直線和圓，初步掌握了解析幾何的思維方法利用代數(shù)的方法描述平面圖形及性質(zhì)；基本上掌握了解析幾何的解題基本格式；數(shù)形結(jié)合的思想比以前有了質(zhì)的飛 躍；但計(jì)算能力和知識(shí)的整合能力稍差；代數(shù)語(yǔ)言和幾何語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化還停留在表面。在此基礎(chǔ)上，我們又學(xué)習(xí)了三種圓錐曲線的定義，初步認(rèn)識(shí)了橢圓的定義判斷?，F(xiàn)又介紹運(yùn)用橢圓的定義求曲線的軌跡方程。橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程是繼學(xué)習(xí)圓以后運(yùn)用 “曲線和方程”理論解決具體的二次曲線的又一實(shí)例。從知識(shí)上

2、說(shuō)，它是對(duì)前面所學(xué)的運(yùn)用坐標(biāo)法研究曲線的幾何性質(zhì)的又一次實(shí)際演練，同時(shí)它也是進(jìn)一步研究橢圓幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)；從方法上說(shuō)，它為我們研究雙曲線、拋物線這兩種圓錐曲線提供了基本模式和理論基礎(chǔ)。因此，這節(jié)課有承前啟后的作用，是本章和本節(jié)的重點(diǎn)。講授本節(jié)后應(yīng)讓學(xué)生完成自我探究橢圓的成形過(guò)程，使他們理解并掌握橢圓的定義、圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程；并基本學(xué)會(huì)運(yùn)用定義求曲線方程；計(jì)算能力得以提高。對(duì)數(shù)學(xué)思想演繹和其自身數(shù)學(xué)能力的發(fā)展具有及其重要的意義。本節(jié)在研究橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的過(guò)程中借助數(shù)形結(jié)合，可以克服數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的抽象性，增加數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)的具體性，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)語(yǔ)言符號(hào)和視覺(jué)映象之間的相互轉(zhuǎn)化，這是整個(gè)圓錐曲線研究中不可

3、或缺的一部分。2.教學(xué)目標(biāo)分析1）知識(shí)目標(biāo)：講授本節(jié)后應(yīng)讓學(xué)生完成自我探究橢圓的成形過(guò)程，使他們更深入地理解并掌握橢圓的定義；基本學(xué)會(huì)運(yùn)用定義求曲線方程，提高計(jì)算能力；并會(huì)從圖形、定義、標(biāo)準(zhǔn)方程三個(gè)方面精確地判斷橢圓；理解標(biāo)準(zhǔn)化的意義。 2）能力目標(biāo)：在探求橢圓方程的過(guò)程中，著力于學(xué)生觀察、類比、聯(lián)想的數(shù)學(xué)能力，更加體會(huì)形數(shù)結(jié)合、綜合分析等數(shù)學(xué)思想方法的重要性。對(duì)于實(shí)際教學(xué)中，忽視計(jì)算技能的訓(xùn)練應(yīng)盡量避免，努力找尋解決如何避免繁雜的運(yùn)算、如何尋找更加合理簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑這一重要的數(shù)學(xué)問(wèn)題。通過(guò)學(xué)生的自我探究和創(chuàng)新培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維、優(yōu)選意識(shí)、嚴(yán)密的邏輯思維能力和動(dòng)手探索的能力。3）情感目標(biāo)：培養(yǎng)

4、學(xué)生積極參與的主體意識(shí)，體現(xiàn)他們努力進(jìn)取的思想風(fēng)貌，讓他們體驗(yàn)探索中挫折的艱辛和成功的快樂(lè)，感悟“數(shù)學(xué)美”，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，初步形成正確的數(shù)學(xué)觀、創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神，提高學(xué)生認(rèn)識(shí)世界水平。3.學(xué)生知識(shí)現(xiàn)狀分析知識(shí)現(xiàn)狀：學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了解析幾何的兩種基本曲線直線和圓，初步掌握了解析幾何的思維方法利用代數(shù)的方法描述平面圖形及性質(zhì)；基本上掌握了解析幾何的解題基本格式；數(shù)形結(jié)合的思想比以前有了質(zhì)的飛 躍；但計(jì)算能力和知識(shí)的整合能力稍差；代數(shù)語(yǔ)言和幾何語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化還停留在表面。上一節(jié)又學(xué)習(xí)了三種圓錐曲線的定義，對(duì)橢圓有了初步的認(rèn)識(shí)。4.重點(diǎn)、難點(diǎn)分析重點(diǎn)：標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及橢圓的判斷；難點(diǎn):橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推

5、導(dǎo)及應(yīng)用。5.學(xué)法和教法分析及教學(xué)手段教法：根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際水平，我采用了引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法和感性體驗(yàn)法進(jìn)行教學(xué)。引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法屬于啟發(fā)式教學(xué)，有利于充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和主動(dòng)性，體現(xiàn)了認(rèn)知心理學(xué)的相關(guān)內(nèi)容。在教學(xué)過(guò)程中，教師采用啟發(fā)、引導(dǎo)、點(diǎn)撥的方式，創(chuàng)設(shè)各種問(wèn)題情景，使學(xué)生帶著問(wèn)題去主動(dòng)思考，動(dòng)手操作，交流合作，進(jìn)而達(dá)到對(duì)知識(shí)的“發(fā)現(xiàn)”和“接受”，完成知識(shí)的內(nèi)化，使書本的知識(shí)真正成為自己的知識(shí)。 學(xué)法：在學(xué)生明確本堂課的學(xué)習(xí)目標(biāo)的基礎(chǔ)上，伴隨著課堂進(jìn)程的推進(jìn)，學(xué)生除了掌握相應(yīng)學(xué)習(xí)內(nèi)容，還要檢查、分析自己的學(xué)習(xí)過(guò)程，對(duì)如何學(xué)、如何鞏固，進(jìn)行自我檢查、自我校正、自我評(píng)價(jià)。會(huì)學(xué)有良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，

6、掌握基本的學(xué)習(xí)方法，能綜合運(yùn)用各種學(xué)習(xí)手段；善學(xué)能初步認(rèn)識(shí)自身學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)及特點(diǎn)揚(yáng)長(zhǎng)避短；求新能積極進(jìn)行獨(dú)立的、有創(chuàng)造性的思維活動(dòng)。 電教手段: 多媒體 實(shí)驗(yàn)教具（ 直尺、圖片）6.教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程:4m2m圖1【創(chuàng)設(shè)情境】圖3一客戶向木器加工廠訂購(gòu)一批橢圓形的木模：木模要求：長(zhǎng)4米，寬2米。木工制作演示：方案一、選取兩個(gè)相距為23米的定點(diǎn)，一根長(zhǎng)為4米的不可伸長(zhǎng)的細(xì)線，用墨筆繃緊細(xì)線畫圖（如圖2）；方案二、畫半徑為2的圓，把圓上的每一點(diǎn)沿垂直某一直徑的方向縮短為原來(lái)的1/2倍（如圖3）。（投影flash動(dòng)畫）圖2【學(xué)生活動(dòng)】問(wèn)題1：兩方案所畫圖形是客戶所要的橢圓嗎？能否說(shuō)出其中的科學(xué)的依據(jù)

7、？（不要求學(xué)生真正理解，目的是為了激起學(xué)生探知的欲望，加深定義與圖形的聯(lián)系，提高學(xué)生識(shí)圖的能力，但通過(guò)一節(jié)課的學(xué)習(xí)必須讓學(xué)生知曉其中科學(xué)的道理）解決這個(gè)問(wèn)題之前讓我們共同回顧以下我們對(duì)橢圓最初的認(rèn)識(shí)：一圖形：有具體的圖象但不精確；二定義：幾何描述不便于交流（粗略介紹以下圓錐曲線幾何大師阿波羅里奧斯，但流傳下來(lái)資料很少，一個(gè)重要的原因幾何描述不便于交流）。方案一：對(duì)比定義我們知道該圖是橢圓，而方案二：我們只能從形上得出該圖可能是橢圓，無(wú)法用目前的橢圓定義作出確切的判斷。上述木工制作：橢圓呈現(xiàn)是幾何形態(tài)的，故我們是否能把橢圓的形轉(zhuǎn)化為數(shù)即我們所熟知數(shù)形結(jié)合，用更為簡(jiǎn)潔明了數(shù)學(xué)表示方式方程來(lái)表示橢圓

8、，這樣便于記錄，流傳。事實(shí)上許多小到溫馨的生活的物件如：橢圓形的木桶、鏡子、紐扣、裝飾；大到精確的科學(xué)儀器和科學(xué)實(shí)驗(yàn)如：放映機(jī)的聚光燈泡的反射鏡、結(jié)石碎石機(jī)的工作原理、地球圍繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道（投影圖片）。從溫馨的生活場(chǎng)所到科技重地到處充斥著橢圓。為更好地研究創(chuàng)造這些我們就必須了解、掌握這些必要的數(shù)學(xué)知識(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（板書課題：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程）。只有熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程我們才能更好地設(shè)計(jì)、更好研究橢圓的性質(zhì)。【問(wèn)題建構(gòu)】問(wèn)題2：形如何向數(shù)轉(zhuǎn)化呢？（讓學(xué)生討論形數(shù)結(jié)合的感受，感受形數(shù)結(jié)合的必要性）方法：坐標(biāo)化原則：簡(jiǎn)潔對(duì)稱步驟：建系、取點(diǎn)；列式(幾何、代數(shù))；代換；化簡(jiǎn)；證明(可省)要求條理清

9、晰）xyOPF1F22c(x,y)分析：從定義（幾何性質(zhì)）入手突出：1、 如何建系：（讓學(xué)生從美的原則出發(fā)感受軸對(duì)稱、中心對(duì)稱的完美性，處理問(wèn)題時(shí)要保持完美性協(xié)調(diào)，忌破壞。）以焦點(diǎn)F1,F2所在直線為x軸，線段F1F2的中垂線為y軸，則F1(-c,0),F2(c,0) 設(shè)橢圓上一點(diǎn)P(x,y)。2、如何求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（暫且不提標(biāo)準(zhǔn)二字，純粹從求方程開始）1）明確幾何關(guān)系：|PF1|+|PF2|=2a2）幾何關(guān)系代數(shù)化：分析方程的結(jié)構(gòu)及所顯示的幾何意義（揭示出|F1F2|2a原因），強(qiáng)調(diào)為什么要化簡(jiǎn)美化，讓學(xué)生感受化簡(jiǎn)的必要性。3）化簡(jiǎn)關(guān)系：(讓學(xué)生討論如何化簡(jiǎn)，突出化簡(jiǎn)的目的去根號(hào))常規(guī)方

10、法：平方法(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 注：在化簡(jiǎn)的過(guò)程中，時(shí)時(shí)注意拓展學(xué)生思維，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)科學(xué)地思考?；?jiǎn)可以從其它兩個(gè)方面思考：一、分子有理化（有理化的意識(shí)）；二、等差中項(xiàng)（數(shù)學(xué)式子的結(jié)構(gòu)意識(shí)）注：若2a=2c時(shí)，化簡(jiǎn)所得方程與其圖形的對(duì)比平方法后得：能說(shuō)明什么？ 4）標(biāo)準(zhǔn)方程（分析為什么標(biāo)準(zhǔn)化，它的必要性） 結(jié)合橢圓的圖形分析b的引入的科學(xué)性【數(shù)學(xué)理論】1） 啟發(fā)兩個(gè)問(wèn)題：（突出a,b,c的幾何意義及相互關(guān)系幾何表示）橢圓在坐標(biāo)軸上的截距是（a,0）,(0, )嗎？a,b,c的幾何聯(lián)想是Rt（變動(dòng)P的位置使其落在y軸上）嗎？2） 標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式：焦點(diǎn)在x軸上：焦

11、點(diǎn)在y軸上:（即焦點(diǎn)在x軸的橢圓關(guān)于y=x對(duì)稱。在問(wèn)題方法上注意與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程類比，同時(shí)注意圖形與方程相互聯(lián)系提高學(xué)生的應(yīng)變能力） yxoF1F2M3)總結(jié)：a,b,c哪一個(gè)大？它們的幾何意義？焦點(diǎn)在x軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是_ _，焦點(diǎn)坐標(biāo)是_； 焦點(diǎn)在Y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是_，焦點(diǎn)坐標(biāo)是_。根式方程是 一般方程：mx2+ny2=1(m,nR+,mn)目的：培養(yǎng)學(xué)生的分析歸納、類比推廣的能力，在處理方程方面主要有兩層目的，一層是讓學(xué)生感受橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的簡(jiǎn)潔性及字母的幾何含義，提升學(xué)生的歸納能力；另一層主要是讓學(xué)生透過(guò)根式的幾何意義進(jìn)一步理解橢圓的定義，提升學(xué)生的對(duì)橢圓的判斷能力。 【

12、數(shù)學(xué)運(yùn)用】1、判斷下列方程是否為橢圓方程。若是，請(qǐng)確定a,b,c值并求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)。目的：讓學(xué)生重新認(rèn)識(shí)橢圓另一種表示形式方程；掌握橢圓方程的結(jié)構(gòu)及方程標(biāo)準(zhǔn)化的意識(shí)，區(qū)別圓與線段的方程形式。2、回答下列問(wèn)題。1）橢圓3x2+ky2=3的一個(gè)焦點(diǎn)是(0,1)，則k=_ 變:把“焦點(diǎn)(0,1)”改成“焦距為2”2）若方程ax2+by2=c表示橢圓，則有 Aabc0 Bac0且bc0 Cabc0且bc3 B.3k5 C.k5目的：訓(xùn)練學(xué)生的橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)化意識(shí)。3、已知一個(gè)油車上的貯油罐橫截面的外輪廓線是一個(gè)橢圓，它的焦距為2.4m,外輪廓線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離的和為3m,求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

13、強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：一建標(biāo)；二根據(jù)焦點(diǎn)建模；三根據(jù)條件和定義定a,b,c 變1：變:已知ABC的周長(zhǎng)為定值，其中A(3, 0), B(3, 0), 且頂點(diǎn)C的軌跡過(guò)點(diǎn)P(0,4),求頂點(diǎn)C的軌跡方程.分析：法1 求一般曲線方程 法2 利用橢圓的定義變2:已知ABC的周長(zhǎng)為定值，其中A， B為定點(diǎn)，在坐標(biāo)軸上，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而動(dòng)點(diǎn)C的軌跡過(guò)點(diǎn)P(5，0)，Q(0,4),求頂點(diǎn)C的軌跡方程。強(qiáng)調(diào)：方法的選擇：一方程組解系數(shù)；二定義確定系數(shù)【回顧反思】（重申橢圓判斷方法：形、定義、方程）1）圖形1：定義解釋圖形2(突出圓的壓縮變換：演示動(dòng)化)：方程解釋（P27例2）解決問(wèn)題的方法：轉(zhuǎn)移法（利用已有的曲線通過(guò)

14、某種關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N曲線）解題的步驟：1）設(shè)點(diǎn)（所求曲線的點(diǎn)與對(duì)應(yīng)已知曲線上的點(diǎn)） 2）找關(guān)系 3）帶入已知方程化簡(jiǎn) 4）判斷曲線2）情境變題主要圍繞橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用展開：圖形的方程：x2/4+y2=1變1：若該橢圓上的點(diǎn) P 到左焦點(diǎn)的距離是3，則點(diǎn) P 到右焦點(diǎn)的距離是_.變2：若該橢圓上的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)1，則點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離是_.變3：橢圓上一點(diǎn)P，F(xiàn)1、F2分別是左右焦點(diǎn)，則PF1F2的周長(zhǎng)_.Q是橢圓上另一點(diǎn)，且PQ過(guò)F1, 則PQF2的周長(zhǎng)_.目的：主要訓(xùn)練學(xué)生認(rèn)識(shí)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓的定義的等價(jià)關(guān)系，及相互轉(zhuǎn)化關(guān)系?！颈菊n小結(jié)】1）你可以從那幾個(gè)方面來(lái)判斷某曲線是否為橢圓？ 提示：一形似；二定義（根本）；三方程（標(biāo)準(zhǔn)與根式）2）你認(rèn)為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有哪些優(yōu)越性？（數(shù)形結(jié)合）3）你認(rèn)為求橢圓方程主要把握那幾個(gè)方面？提示：焦點(diǎn)定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型；橢圓的定義的量與a,b,c的關(guān)系4）解決問(wèn)題重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)兩個(gè)方面：提示：一確認(rèn)解決問(wèn)題的知識(shí)；二確認(rèn)解決問(wèn)題的方法 【課內(nèi)