浙江師范大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》d91基本概念

1、第九章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用,推廣,一元函數(shù)微分學(xué),多元函數(shù)微分學(xué),注意: 善于類比, 區(qū)別異同,一、平面點(diǎn)集,二、多元函數(shù)的概念,三、多元函數(shù)的極限,四、多元函數(shù)的連續(xù)性,第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念,一、平面點(diǎn)集,坐標(biāo)平面：,把這種建立了直角坐標(biāo)系的平面,直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn),有序?qū)崝?shù)組,二元有序?qū)崝?shù)組 的全體，即,就表示坐標(biāo)平面.,如果，以點(diǎn)P表示(x , y)，|OP|表示點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離，那么集合也可表示成：,=,如：平面上以原點(diǎn)為中心、r 為半徑的圓內(nèi)所有點(diǎn)的集合是,坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)p的點(diǎn)的集合稱為平面點(diǎn)集，記作,鄰域：,xoy平面上以P0為中心，0為半徑的圓內(nèi)部的點(diǎn)P(x,y

2、)的全體.,點(diǎn)集,稱為點(diǎn) P0 的 鄰域.,例如,在平面上,(圓鄰域),在空間中,(球鄰域),說(shuō)明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑 ,也可寫(xiě)成,點(diǎn) P0 的去心鄰域記為,平面點(diǎn)集,設(shè),為坐標(biāo)平面,上的一點(diǎn)，,只有下面三種關(guān)系.,下面用領(lǐng)域來(lái)描述點(diǎn)和點(diǎn)集之間的關(guān)系.,內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn),設(shè)有點(diǎn)集 E 及一點(diǎn) P :, 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E , 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E = , 若對(duì)點(diǎn) P 的任一鄰域 U(P) 既含 E中的內(nèi)點(diǎn)也含 E,則稱 P 為 E 的內(nèi)點(diǎn)；,則稱 P 為 E 的外點(diǎn) ;,則稱 P 為 E 的邊界點(diǎn) .,的外點(diǎn) ,顯然, E 的內(nèi)點(diǎn)必屬于 E ,E 的外點(diǎn)必

3、不屬于 E ,E 的,邊界點(diǎn)可能屬于 E, 也可能不屬于 E .,(1)滿足,的點(diǎn)都是E的內(nèi)點(diǎn);,(2)滿足,的點(diǎn)都是E的邊界點(diǎn),都不屬于E;,滿足,的點(diǎn)都是E的邊界點(diǎn),都屬于E;,聚點(diǎn),若對(duì)任意給定的0 ,點(diǎn)P 的去心,鄰域,內(nèi)總有E 中的點(diǎn) ,則,稱 P 是 E 的聚點(diǎn).,聚點(diǎn)可以屬于 E , 也可以不屬于 E,(因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為,E 的邊界點(diǎn) ),說(shuō)明,E的內(nèi)點(diǎn)一定是E的聚點(diǎn)，E的邊界點(diǎn) 可能是E的聚點(diǎn)，也可能不是E的聚點(diǎn),例,存在:點(diǎn),是,的聚點(diǎn)，,但,圓周,上的點(diǎn)都是,的聚點(diǎn)，,也屬于,.,開(kāi)區(qū)域及閉區(qū)域, 若點(diǎn)集 E 的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱 E 為開(kāi)集；, 若點(diǎn)集 E E , 則稱 E

4、為閉集；, 若集 E 中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于 E 的折線相連 , 開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.,則稱 E 是連通集 ;, 連通的開(kāi)集稱為開(kāi)區(qū)域 ,簡(jiǎn)稱區(qū)域 ;,。 。, E 的邊界點(diǎn)的全體稱為 E 的邊界, 記作E ;,例如，在平面上,開(kāi)區(qū)域,閉區(qū)域, 整個(gè)平面, 點(diǎn)集,是開(kāi)集，,是最大的開(kāi)域 ,也是最大的閉域 ;,但非區(qū)域 .,有界集：對(duì)于平面點(diǎn)集E，如果存在某一正數(shù)r，使得 ，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則稱E為有界集.,無(wú)界集：一個(gè)集合如果不是有界集，就稱這集合為無(wú)界集.,連通的開(kāi)集稱為區(qū)域,二、多元函數(shù)的概念,引例:, 圓柱體的體積, 定量理想氣體的壓強(qiáng), 三角形面積的海倫公式,當(dāng)r和

5、h在集合內(nèi)取定一對(duì)值時(shí)，V的對(duì)應(yīng)值就隨之確定.,定義1 設(shè)D是 的一個(gè)非空子集，稱映射f： 為定義在D上的二元函數(shù)，通常記為 或,點(diǎn)集D 稱為該函數(shù)的定義域，x、y 稱為自變量，z 稱為因變量，點(diǎn)集f(D)稱為該函數(shù)的值域。,二元函數(shù)的定義,與一元函數(shù)類似，,記號(hào)f 與 f (x,y) 的意義,但是，習(xí)慣上常用記號(hào),來(lái)表示D上的二元函數(shù) f .,是不同的，,或,表示二元函數(shù)的記號(hào)f 可以任意選取.,推廣定義1. 設(shè)非空點(diǎn)集,點(diǎn)集 D 稱為函數(shù)的定義域 ;,數(shù)集,稱為函數(shù)的值域 .,特別地 , 當(dāng) n = 2 時(shí), 有二元函數(shù),當(dāng) n = 3 時(shí), 有三元函數(shù),映射,稱為定義,在 D 上的 n

6、元函數(shù) , 記作,在上述函數(shù)概念中，關(guān)鍵的兩點(diǎn)為: (1) 點(diǎn)(x,y)的變化范圍，稱為定義域； (2) 對(duì)應(yīng)法則，即函數(shù)關(guān)系.,關(guān)于函數(shù)概念，我們主要研究下面三個(gè)問(wèn)題：,(1)求函數(shù)的定義域；,(2)建立函數(shù)關(guān)系；,(3)求函數(shù)值.,例4,要使ln(y2x)有意義，,解：,即 y2x,所以，定義域：,須使 y2x 0,例5 求函數(shù),的定義域.,解：,有意義，,須使,二元函數(shù)的幾何意義,設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)的定義域?yàn)閤oy面上 的某一區(qū)域D，對(duì)于D上的每一點(diǎn)P(x,y)， 在空間可以作出一點(diǎn)M(x,y,f(x,y)與它對(duì)應(yīng)；,當(dāng)點(diǎn)P(x,y)在D中變動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M(x,y,f(x,y) 就在

7、空間作相應(yīng)地變動(dòng)，它的軌跡是一個(gè)曲面.,例如, 二元函數(shù),定義域?yàn)?圓域,說(shuō)明:,二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) D,圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面.,的圖形一般為空間曲面 .,三元函數(shù),定義域?yàn)?圖形為,空間中的超曲面.,單位閉球,三、多元函數(shù)的極限,定義2. 設(shè)二元函數(shù),點(diǎn) ,則稱常數(shù)A 為函數(shù),(也稱為 二重極限),定義域?yàn)镈,P0 是 D 的聚,若存在常數(shù) A ,使得當(dāng)點(diǎn),記作,都有,對(duì)任意正數(shù) , 總存在正數(shù) ,例1. 設(shè),求證:,證:,故,總有,要證,例2. 設(shè),求證：,證：,故,總有,要證, 若當(dāng)點(diǎn),趨于不同值或有的極限不存在，,解: 設(shè) P(x , y) 沿直線

8、 y = k x 趨于點(diǎn) (0, 0) ,在點(diǎn) (0, 0) 的極限.,則可以斷定函數(shù)極限,則有,k 值不同極限不同 !,在 (0,0) 點(diǎn)極限不存在 .,以不同方式趨于,不存在 .,例3. 討論函數(shù),函數(shù),例4. 求,解: 因,而,此函數(shù)定義域 不包括 x , y 軸,則,故,P0(0,2)為D的聚點(diǎn).則由積的運(yùn)算法則：,例5. 求,解: 這個(gè)函數(shù)的定義域D=(x,y)|x0,y R,多元函數(shù)的極限運(yùn)算，有與一元函數(shù)類似的運(yùn)算法則.,僅知其中一個(gè)存在,推不出其他二者存在.,注. 二重極限,不同.,如果它們都存在, 則三者相等.,例如,顯然,與累次極限,但由例3 知它在(0,0)點(diǎn)二重極限不存

9、在 .,例3,四、 多元函數(shù)的連續(xù)性,定義3 . 設(shè) 二 元函數(shù),的定義域?yàn)?D，,如果函數(shù)在 D 上各點(diǎn)處都連續(xù), 則稱此函數(shù)在 D 上連續(xù)，,為D的聚點(diǎn)，且,則稱 函數(shù),或稱f(x,y)是D 上的連續(xù)函數(shù).,連續(xù),如果,定義4. 設(shè) 二 元函數(shù),的定義域?yàn)?D，,為D的聚點(diǎn)，且,此時(shí),稱為函數(shù)f(x,y)的間斷點(diǎn) .,在點(diǎn)P0不連續(xù)，,如果函數(shù)f(x,y),例如, 函數(shù),在點(diǎn)(0 , 0) 極限不存在,又如, 函數(shù),上間斷.,故 ( 0, 0 )為其間斷點(diǎn).,在圓周,結(jié)論: 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).,例6. 設(shè)f(x,y)=sinx，證明f(x,y)是R2上的連續(xù)函數(shù).,證:,由

10、于sinx在x0處連續(xù)，,故存在0，當(dāng),時(shí)，有,以上述做P0的領(lǐng)域U(P0,),則當(dāng),從而，,即sinx在點(diǎn)P0處連續(xù)，,由P0的任意性知，sinx作為x,y的二元函數(shù)在R2上連續(xù).,解:,例7.求,該函數(shù)是初等函數(shù)，它的定義域?yàn)椋?P0(1,2)為D的內(nèi)點(diǎn)，故有U(P0)是f(x,y)的一個(gè)定義域，因此：,一般地，求極限,如果f(P)是初等函數(shù)，,且P0是f(P)定義域的內(nèi)點(diǎn)，那么f(P)在P0處連續(xù)，有：,定理：若 f (P) 在有界閉域 D 上連續(xù), 則,* (4) f (P) 必在D 上一致連續(xù) .,在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;,(3) 對(duì)任意,(有界性定理),(最值定

11、理),(介值定理),(一致連續(xù)性定理),閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):,(證明略),解: 原式,例8.求,例9. 求函數(shù),的連續(xù)域.,解:,內(nèi)容小結(jié),1. 區(qū)域,鄰域 :,區(qū)域,連通的開(kāi)集,2. 多元函數(shù)概念,n 元函數(shù),常用,二元函數(shù),(圖形一般為空間曲面),三元函數(shù),有,3. 多元函數(shù)的極限,4. 多元函數(shù)的連續(xù)性,1) 函數(shù),2) 閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):,有界定理 ;,最值定理 ;,介值定理,3) 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù),P64 題 2; 4; 5 (3), (5) ( 畫(huà)圖 ) ; 8 P133 題 3; *4,思考與練習(xí),解答提示:,P64 題 2.,稱為二次齊次函數(shù) .,P65 題 4.,P65 題 5(3).,定義域,P65 題 5(5).,定義域,P65 題 8.,間斷點(diǎn)集,P13