2013上模糊數(shù)學教學課件.ppt

1、2020年9月9日,1,模糊數(shù)學緒論,用數(shù)學的眼光看世界，可把我們身邊的現(xiàn)象劃分為： 1.確定性現(xiàn)象：如水加溫到100oC就沸騰，這種現(xiàn)象的規(guī)律 性靠經(jīng)典數(shù)學去刻畫； 2.隨機現(xiàn)象：如擲篩子，觀看那一面向上，這種現(xiàn)象的規(guī)律 性靠概率統(tǒng)計去刻畫; 3.模糊現(xiàn)象：如 “今天天氣很熱”，“小伙子很帥”，等等。 此話準確嗎？有多大的水分？靠模糊數(shù)學去刻畫。,2020年9月9日,2,年輕、重、熱、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、長、短、貴、賤、強、弱、軟、硬、陰天、多云、暴雨、清晨、禮品。,共同特點：模糊概念的外延不清楚。,模糊概念導致模糊現(xiàn)象,模糊數(shù)學研究和揭示模糊現(xiàn)象的定量處理方法。,模糊數(shù)學緒

2、論,2020年9月9日,3,產(chǎn)生,1965年，L.A. Zadeh（扎德） 發(fā)表了文章模糊集 (Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 ),基本思想,用屬于程度代替屬于或不屬于。,某個人屬于禿子的程度為0.8, 另一個人屬于,禿子的程度為0.3等.,模糊數(shù)學緒論,2020年9月9日,4,模糊代數(shù)，模糊拓撲，模糊邏輯，模糊分析， 模糊概率，模糊圖論，模糊優(yōu)化等模糊數(shù)學分支,涉及學科,分類、識別、評判、預測、控制、排序、選擇；,模糊產(chǎn)品,洗衣機、攝象機、照相機、電飯鍋、空調(diào)、電梯,人工智能、控制、決策、專家系統(tǒng)、醫(yī)學、土木、 農(nóng)業(yè)、氣象、信息、

3、經(jīng)濟、文學、音樂,模糊數(shù)學緒論,2020年9月9日,5,模糊數(shù)學緒論,課堂主要內(nèi)容,一、基本概念,二、主要應(yīng)用,1. 模糊聚類分析對所研究的事物按一定標準進行分類,模糊集，隸屬函數(shù)，模糊關(guān)系與模糊矩陣,例如，給出不同地方的土壤，根據(jù)土壤中氮磷以及有機質(zhì)含量，PH值，顏色，厚薄等不同的性狀，對土壤進行分類。,2020年9月9日,6,2.模糊模式識別已知某類事物的若干標準模型，給出一個具體的對象，確定把它歸于哪 一類模型。,模糊數(shù)學緒論,例如：蘋果分級問題 蘋果，有I級，II級，III級，IV級四個等級。 現(xiàn)有一個具體的蘋果，如何判斷它的級別。,2020年9月9日,7,3.模糊綜合評判從某一事物的

4、多個方面進行綜合評價,模糊數(shù)學緒論,例如：某班學生對于對某一教師上課進行評價 從清楚易懂，教材熟練，生動有趣，板書清晰四方面 給出很好，較好，一般，不好四層次的評價 最后問該班學生對該教師的綜合評價究竟如何。,4.模糊線性規(guī)劃將線性規(guī)劃的約束條件或目標函數(shù)模糊化，引入隸屬函數(shù)，從而導出一個新的線性規(guī)劃問題，其最優(yōu)解稱為原問題的模糊最優(yōu)解,2020年9月9日,8,模糊數(shù)學,2020年9月9日,9,一、經(jīng)典集合與特征函數(shù),論域U中的每個對象u稱為U的元素。,模糊集合及其運算,2020年9月9日,10,. u,A,A,. u,模糊集合及其運算,2020年9月9日,11,其中,模糊集合及其運算,非此即

5、彼,2020年9月9日,12,模糊集合及其運算,亦此亦彼,U,A,模糊集合 ,元素 x,若 x 位于 A 的內(nèi)部， 則用1來記錄， 若 x 位于 A 的外部， 則用0來記錄， 若 x 一部分位于 A 的內(nèi)部，一部分位于 A 的外部，,則用,x 位于 A 內(nèi)部的長度來表示 x 對于 A 的隸屬程度。,2020年9月9日,13, 0, 1 , 0, 1 ,特征函數(shù),隸屬函數(shù),二、模糊子集,2020年9月9日,14,模糊集合及其運算,越接近于0,表示 x 隸屬于A 的程度越??；,越接近于1,表示 x 隸屬于A 的程度越大；,0.5,最具有模糊性，過渡點,2020年9月9日,15,模糊子集通常簡稱模糊

6、集，其表示方法有：,（1）Zadeh表示法,這里 表示 對模糊集A的隸屬度是 。,如“將一1,2,3,4組成一個小數(shù)的集合”可表示為,可省略,模糊集合及其運算,2020年9月9日,16,（3）向量表示法,（2）序偶表示法,若論域U為無限集，其上的模糊集表示為：,模糊集合及其運算,2020年9月9日,17,例1. 有100名消費者，對5種商品 評價，,結(jié)果為：,81人認為x1 質(zhì)量好，53人認為x2 質(zhì)量好，,所有人認為x3 質(zhì)量好，沒有人認為x4 質(zhì)量好，24人認為x5 質(zhì)量好,則模糊集A（質(zhì)量好）,2020年9月9日,18,例2：考慮年齡集U=0,100，O=“年老”，O也是一個年齡集，u

7、= 20 A，40 呢？ 札德給出了 “年老” 集函數(shù)刻畫:,1,0,U,50,100,2020年9月9日,19,再如，Y= “年輕”也是U的一個子集，只是不同的年齡段隸屬 于這一集合的程度不一樣，札德給出它的隸屬函數(shù)：,1,0,25,50,U,B（u）,2020年9月9日,20,則模糊集O（年老）,則模糊集Y（年輕）,2020年9月9日,21,2、模糊集的運算,定義：設(shè)A，B是論域U的兩個模糊子集，定義,相等：,包含：,并：,交：,余：,模糊集合及其運算,2020年9月9日,22,例3.,模糊集合及其運算,則：,0.3,0.9,1,0.8,0.6,0.2,0.1,0.8,0.3,0.5,20

8、20年9月9日,23,模糊集合及其運算,并交余計算的性質(zhì),1. 冪等律,2. 交換律,3. 結(jié)合律,4. 吸收律,2020年9月9日,24,模糊集合及其運算,6. 0-1律,7. 還原律,8. 對偶律,5. 分配律,2020年9月9日,25,引入概率算子和有界算子：,2020年9月9日,26,引入概率算子和有界算子：,定義： 設(shè)A,B F(U),則定義代數(shù)運算：,(1)A與B的代數(shù)積記作A B，運算規(guī)則由下式確定：,A B(u)= A(u)B(u) u U,2020年9月9日,27,a b= min(1,a+b),可以證明： a,b0,1, 0 max(0,a+b-1)1、 0 min(1,a

9、+b)1,定義10 :設(shè)A,B F(U),則定義有界運算：,(2)A與B的有界和記作A B，運算規(guī)則由下式確定：,A B(u)= min(1, A(u)+B(u) ) u U,2020年9月9日,28,幾個常用的算子：,（1）Zadeh算子,（2）取大、乘積算子,（3）環(huán)和、乘積算子,模糊集合及其運算,2020年9月9日,29,（4）有界和、取小算子,（5）有界和、乘積算子,（6）Einstain算子,模糊集合及其運算,2020年9月9日,30,三、隸屬函數(shù)的確定,1、模糊統(tǒng)計法,模糊統(tǒng)計試驗的四個要素：,模糊集合及其運算,2020年9月9日,31,特點：在各次試驗中， 是固定的，而 在隨機變

10、動。,模糊統(tǒng)計試驗過程：,（1）做n次試驗，計算出,模糊集合及其運算,2020年9月9日,32,模糊集合及其運算,對129人進行調(diào)查, 讓他們給出“青年人”的年齡區(qū)間，,問年齡 27屬于模糊集A（青年人）的隸屬度。,2020年9月9日,33,對年齡27作出如下的統(tǒng)計處理：,A(27) = 0.78,(變動的圈是否蓋住不動的點),2020年9月9日,34,2、指派方法,模糊集合及其運算,一般會有一些大致的選擇方向：偏大型，偏小型，中間型。,例如：在論域 中，確定A=“靠近5的數(shù)”的隸屬函數(shù),中間型,2020年9月9日,35,模糊集合及其運算,可以選取柯西分布中間類型的隸屬函數(shù),先確定一個簡單的，

11、比如,此時有,不太合理，故改變,2020年9月9日,36,模糊集合及其運算,取,此時有,有所改善。,2020年9月9日,37,常用的模糊分布,2020年9月9日,38,2020年9月9日,39,(1) 偏大型 (S 型) ：這種類型的隸屬函數(shù)隨 x 的增大而增大，隨所選函數(shù)的形式不同又分為： 1）升半矩形分布（圖3.7） 2）升半 分布 （圖3.8） 3）升半正態(tài)分布 （圖3.9） 4）升半柯西分布（圖3.10） 5）升半梯形分布（圖3.11） 6）升嶺形分布 （圖3.12）,2020年9月9日,40,(2) 偏小型 ( Z型 ) ：這種類型的隸屬函數(shù)隨 x 的增大而減小，隨所選函數(shù)的形式又可

12、分為： 1）降半矩形分布（圖3.13） 2）降半 分布 （圖3.14） 3）降半正態(tài)分布（圖3.15） 4）降半柯西分布（圖3.16） 5）降半梯形分布（圖3.17） 6）降嶺形分布 （圖3.18）,2020年9月9日,41,(3) 中間型 ( 型) ：這種類型的隸屬函數(shù)在(，a)上為偏大型，在 (a，+) 為偏小型，所以稱為中間型，隨所選函數(shù)的形式又可分為: 1）矩形分布 （圖3.19） 2）尖 分布 （圖3.20） 3）正態(tài)分布 （圖3.21） 4）柯西分布 （圖3.22） 5）梯形分布 （圖3.23） 6）嶺形分布 （圖3.24）,2020年9月9日,42,(1) 偏大型（S 型）：這種

13、類型的隸屬函數(shù)隨 x 的增大而增大，隨所選函數(shù)的形式不同又分為： 1）升半矩形分布（圖3.7）,2020年9月9日,43,2）升半 分布（圖3.8）,2020年9月9日,44,3）升半正態(tài)分布（圖3.9）,2020年9月9日,45,4）升半柯西分布（圖3.10）,2020年9月9日,46,5）升半梯形分布（圖3.11）,2020年9月9日,47,6）升嶺形分布（圖3.12）,2020年9月9日,48,(2) 偏小型 (Z 型 )：這種類型的隸屬函數(shù)隨 x 的增大而減小，又可分為： 1）降半矩形分布（圖3.13）,2020年9月9日,49,2）降半分布（圖 3.14）,2020年9月9日,50,

14、3）降半正態(tài)分布（圖3.15）,2020年9月9日,51,4）降半柯西分布（圖3.16）,2020年9月9日,52,5）降半梯形分布（圖3.17）,2020年9月9日,53,6）降嶺形分布（圖3.18）,2020年9月9日,54,(3) 中間型（ 型）：這種類型的隸屬函數(shù)在 ( ，a) 上為偏大型，在 (a, +) 為偏小型，所以稱為中間型，又可分為: 1）矩形分布（圖 3.19）,2020年9月9日,55,2）尖分布（圖3.20）,2020年9月9日,56,3）正態(tài)分布（圖 3.21）,2020年9月9日,57,4）柯西分布（圖 3.22）,返回,2020年9月9日,58,5）梯形分布（圖3

15、.23）,2020年9月9日,59,6）嶺形分布（圖 3.24）,2020年9月9日,60,3、其它方法,模糊集合及其運算,相對比較法：,論域U中元素v1, v2, vn ，要對論域中的元素按某種特征進行排序，首先，在二元對比中建立比較等級，然后用一定的方法進行總體排序，以獲得各元素對于該特性的隸屬函數(shù)。,2020年9月9日,61,相對比較法的具體步驟：, 設(shè)論域U中的一對元素(v1, v2), 在v1和v2的二元對比中,v1具有某特征的程度用gv2(v1)表示，v2具有某特征的程度用gv1(v2)表示。,且滿足： 0 gv2(v1) 1 、 0 gv1(v2) 1, 令：,且定義g(vi /

16、vj ) =1，當i=j時。,2020年9月9日,62,以g(vi /vj ) (i , j=1,2)為元素構(gòu)造相及矩陣G:,推廣： n個元素 的相及矩陣G:,2020年9月9日,63, 對矩陣G的每一行取最小值，然后按大小排序，可得各元素對某特征的隸屬函數(shù)。,例： 設(shè)論域U= v1,v2,v3,v0,其中v1表示長子，v2表示次子，v3表示三子，v0表示父親。,長子和次子與父親,次子和三子與父親,長子和三子與父親,長子：0.8次子：0.5,次子：0.4三子：0.7,長子：0.5次子：0.3,求與父親相似的隸屬度函數(shù)。,2020年9月9日,64,解：二元對比關(guān)系：( gv2(v1) , gv1

17、(v2)=(0.8,0.5) gv1(v1)=1,( gv3(v2) , gv2(v3)=(0.4,0.7），gv2(v2)=1,( gv3(v1) , gv1(v3)=(0.5,0.3），gv3(v3)=1,2020年9月9日,65,計算相及矩陣G,=,在相及矩陣中取每一行的最小值，按大小排列：13/54/7,結(jié)論：長子最象父親(1)；三子次之(0.6)；次子最不象(0.57)。,由此確定出隸屬度函數(shù)：,2020年9月9日,66,模糊集合及其運算,四、模糊矩陣,例如：,2020年9月9日,67,（1）模糊矩陣間的關(guān)系及運算,定義：設(shè) 都是模糊矩陣，定義,相等：,包含：,模糊集合及其運算,并：

18、,交：,余：,2020年9月9日,68,例4：,模糊集合及其運算,2020年9月9日,69,（2）模糊矩陣的合成,定義：設(shè) 稱模糊矩陣,為A與B的合成，其中 。,模糊集合及其運算,即：,定義：,設(shè)A為 階，則模糊方陣的冪定義為,2020年9月9日,70,例5：,模糊集合及其運算,2020年9月9日,71,（3）模糊矩陣的轉(zhuǎn)置,模糊集合及其運算,性質(zhì)：,2020年9月9日,72,（4）模糊矩陣的 截矩陣,顯然，截矩陣為Boole矩陣。,模糊集合及其運算,2020年9月9日,73,例6：,模糊集合及其運算,2020年9月9日,74,截矩陣的性質(zhì)：,性質(zhì)1.,性質(zhì)2.,性質(zhì)3.,性質(zhì)4.,模糊集合及

19、其運算,2020年9月9日,75,（5）特殊的模糊矩陣,定義：若模糊方陣滿足,則稱A為自反矩陣。,例如,是模糊自反矩陣。,定義：若模糊方陣滿足,則稱A為對稱矩陣。,例如,是模糊對稱矩陣。,模糊集合及其運算,2020年9月9日,76,模糊集合及其運算,定義：若模糊方陣滿足,則稱A為模糊傳遞矩陣。,例如,是模糊傳遞矩陣。,2020年9月9日,77,模糊集合及其運算,定義：若模糊方陣Q，S，A滿足,則稱 S 為 A 的傳遞閉包，記為 t (A)。,2020年9月9日,78,2020年9月9日,79,模糊聚類分析,一、基本概念及定理,2020年9月9日,80,模糊聚類分析,定理：,R是n階模糊等價矩陣

20、,是等,價的Boole矩陣。,意義：將模糊等價矩陣轉(zhuǎn)化為等價的Boole矩陣， 可以得到有限論域上的普通等價關(guān)系，而等價關(guān)系是可以分類的。因此，當在0,1上變動時，由 得到不同的分類。,2020年9月9日,81,模糊聚類分析,2020年9月9日,82,例6：設(shè)對于模糊等價矩陣,模糊聚類分析,2020年9月9日,83,模糊聚類分析,畫出動態(tài)聚類圖如下：,0.8,0.6,0.5,0.4,1,2020年9月9日,84,模糊聚類分析,2020年9月9日,85,例7：設(shè)有模糊相似矩陣,模糊聚類分析,2020年9月9日,86,二、模糊聚類的一般步驟,、建立數(shù)據(jù)矩陣,模糊聚類分析,2020年9月9日,87,

21、（1）標準差標準化,模糊聚類分析,2020年9月9日,88,（2）極差正規(guī)化,（3）極差標準化,模糊聚類分析,2020年9月9日,89,、建立模糊相似矩陣（標定）,（1）相似系數(shù)法,夾角余弦法,相關(guān)系數(shù)法,模糊聚類分析,2020年9月9日,90,（2）距離法,Hamming距離,Euclid距離,Chebyshev距離,模糊聚類分析,2020年9月9日,91,（3）貼近度法,最大最小法,算術(shù)平均最小法,幾何平均最小法,模糊聚類分析,2020年9月9日,92,3、聚類并畫出動態(tài)聚類圖,（1）模糊傳遞閉包法,步驟：,模糊聚類分析,（2）boole矩陣法（略）,2020年9月9日,93,（3）直接聚

22、類法,模糊聚類分析,當不同相似類出現(xiàn)公共元素時，將公共元素所在類合并。,將對應(yīng)于 的等價分類中 所在類與 所在類合并，所有情況合并后得到相應(yīng)于 的等價分類。, 依次類推，直到合并到U成為一類為止。,（4）最大樹法,（5）編網(wǎng)法,2020年9月9日,94,模糊聚類分析,2020年9月9日,95,解：,由題設(shè)知特性指標矩陣為,采用最大值規(guī)格化法將數(shù)據(jù)規(guī)格化為,模糊聚類分析,2020年9月9日,96,用最大最小法構(gòu)造 模糊相似矩陣得到,模糊聚類分析,2020年9月9日,97,用平方法合 成傳遞閉包,2020年9月9日,98,取 ，得,模糊聚類分析,2020年9月9日,99,取 ，得,取 ，得,模糊聚

23、類分析,2020年9月9日,100,取 ，得,取 ，得,模糊聚類分析,2020年9月9日,101,畫出動態(tài)聚類圖如下：,模糊聚類分析,2020年9月9日,102,若利用直接聚類法,模糊相似矩陣,取1, 此時 為單位矩陣，故分類自然為,x1，x2，x3，x4，x5。,取0.70, 此時,2020年9月9日,103,故分類應(yīng)為x1， x3， x2, x4，x5。,x2, x4為相似類,取0.63, 此時,x2, x4， x1, x4為相似類，,有公共元素x4的相似類為 x1, x2, x4,故分類應(yīng)為x1 , x2, x4， x3， x5。,2020年9月9日,104,取0.62, 此時,x2,

24、x4, x1, x4, x1, x3為相似類，,有公共元素x4的相似類為 x1, x2, x3,x4,故分類應(yīng)為x1, x2, x3,x4， x5。,2020年9月9日,105,取0.53, 此時,故分類應(yīng)為x1, x2, x3, x4 , x5 。,2020年9月9日,106,模糊聚類分析的簡要流程:,2020年9月9日,107,4、最佳閾值的確定,模糊聚類分析,（1） 按實際需要，調(diào)整 的值，或者是專家給值。,（2） 用 F - 統(tǒng)計量確定最佳值。,針對原始矩陣 X，得到,其中，,設(shè)對應(yīng)于 的分類數(shù)為 r ,第 j 類的樣本數(shù)為 nj ,第 j 類的樣本記為：,2020年9月9日,108,

25、則第j類的聚類中心為向量：,其中， 為第k個特征的平均值,作F - 統(tǒng)計量,模糊聚類分析,2020年9月9日,109,模糊聚類分析,若是,則由數(shù)理統(tǒng)計理論知道類與類之間的差異顯著,若滿足不等式的 F 值不止一個，則可進一步考察,差值 的大小，從較大者中選擇一個即可。,其中,2020年9月9日,110,2020年9月9日,111,模糊模式識別,2020年9月9日,112,模式識別是科學、工程、經(jīng)濟、社會以至生活中經(jīng)常遇到并要處理的基本問題。這一問題的數(shù)學模式就是在已知各種標準類型(數(shù)學形式化了的類型)的前提下，判斷識別對象屬于哪個類型？對象也要數(shù)學形式化，有時數(shù)學形式化不能做到完整，或者形式化帶

26、有模糊性質(zhì)，此時識別就要運用模糊數(shù)學方法。,模糊模式識別,2020年9月9日,113,在科學分析與決策中，我們往往需要將搜集到的歷史資料歸納整理，分成若干類型，以便使用管理。當我們?nèi)〉揭粋€新的樣本時，把它歸于哪一類呢？或者它是不是一個新的類型呢？這就是所謂的模式識別問題。在經(jīng)濟分析，預測與決策中，在知識工程與人工智能領(lǐng)域中，也常常遇到這類問題。 本節(jié)介紹兩類模式識別的模糊方法。一類是元素對標準模糊集的識別問題 點對集；另一類是模糊集對標準模糊集的識別問題 集對集。,模糊模式識別,2020年9月9日,114,例1. 蘋果的分級問題 設(shè)論域 X = 若干蘋果。蘋果被摘下來后要分級。一般按照蘋果的大

27、小、色澤、有無損傷等特征來分級。于是可以將蘋果分級的標準模型庫規(guī)定為 = 級，級，級，級，顯然，模型級，級，級，級是模糊的。當果農(nóng)拿到一個蘋果 x0 后，到底應(yīng)將它放到哪個等級的筐里，這就是一個元素（點）對標準模糊集的識別問題。,模糊模式識別,2020年9月9日,115,例2. 醫(yī)生給病人的診斷過程實際上是模糊模型識別過程。設(shè)論域 X = 各種疾病的癥候 (稱為癥候群空間) 。各種疾病都有典型的癥狀，由長期臨床積累的經(jīng)驗可得標準模型庫 = 心臟病，胃潰瘍，感冒，顯然，這些模型(疾病)都是模糊的。病人向醫(yī)生訴說癥狀(也是模糊的)，由醫(yī)生將病人的癥狀與標準模型庫的模型作比較后下診斷。這是一個模糊識

28、別過程，也是一個模糊集對標準模糊集的識別問題.,模糊模式識別,2020年9月9日,116,點對集,1. 問題的數(shù)學模型 (1) 第一類模型：設(shè)在論域 X 上有若干模糊集：A1，A2，AnF ( X )，將這些模糊集視為 n 個標準模式，x0 X 是待識別的對象，問 x0 應(yīng)屬于哪個標準模式 Ai ( i =1，2， n ) ?,(2) 第二類模型：設(shè) AF ( X )為標準模式，x1, x2, , xn X 為 n 個待選擇的對象，問最優(yōu)錄選對象是哪一個 xi (i =1，2， n ) ?,模糊模式識別,2020年9月9日,117,一最大隸屬原則,最大隸屬原則：,最大隸屬原則：,模糊模式識別,

29、2020年9月9日,118,模糊模式識別,2020年9月9日,119,例：考慮通貨膨脹問題。設(shè)論域為 R+ = x R| x0，它表示價格指數(shù)的集合，將通貨狀態(tài)分成 5 個類型（x 表示物價上漲 x %)：通貨穩(wěn)定輕度通貨膨脹,模糊模式識別,2020年9月9日,120,中度通貨膨脹重度通貨膨脹惡性通貨膨脹,模糊模式識別,2020年9月9日,121,當 x0 = 8 時，即物價上漲率為 8 %，我們有： A1(8) = 0.3679， A2 (8) = 0.8521， A3(8) = 0.0529 A4(8) 0， A5 (8) 0。此時，通貨狀態(tài)屬于輕度通貨膨脹。,模糊模式識別,當 x0 =

30、40 時，即物價上漲率為40 %，我們有： A1(40) 0， A2 (40 ) 0， A3(40) = 0.0003 A4(40) = 0.1299， A5 (40) = 0.6412。 此時，通貨狀態(tài)屬于惡性通貨膨脹。,2020年9月9日,122,一最大隸屬原則,最大隸屬原則：,最大隸屬原則：,模糊模式識別,2020年9月9日,123,例 細胞染色體形狀的模糊識別,細胞染色體形狀的模糊識別就是幾何圖形的模糊識別,而幾何圖形常?；癁槿舾蓚€三角圖形,故設(shè)論域為三角形全體.即 X =(A,B,C )| A+B+C =180, ABC 標準模型庫=E(正三角形),R(直角三角形), I(等腰三角形

31、),IR(等腰直角三角形),T(任意三角形).,某人在實驗中觀察到一染色體的幾何形狀，測得其三個內(nèi)角分別為94,50,36,即待識別對象為x0=(94,50,36).問x0應(yīng)隸屬于哪一種三角形？,2020年9月9日,124,先建立標準模型庫中各種三角形的隸屬函數(shù).,直角三角形的隸屬函數(shù)R(A,B,C)應(yīng)滿足條件： (1) 當A=90時, R(A,B,C)=1; (2) 當A=180時, R(A,B,C)=0; (3) 0R(A,B,C)1.,因此，不妨定義R(A,B,C ) = 1 - |A - 90|/90.,則R(x0)=0.955.,2020年9月9日,125,正三角形的隸屬函數(shù)E(A,

32、B,C)應(yīng)滿足：,(1) 當A = B = C = 60時, E(A,B,C )=1; (2) 當A = 180, B = C = 0時, E(A,B,C)=0; (3) 0E(A,B,C)1.,因此，不妨定義E(A,B,C ) = 1 (A C)/180.,則E(x0) =0.677.,2020年9月9日,126,等腰三角形的隸屬函數(shù)I(A,B,C)應(yīng)滿足：,(1) 當A = B 或者 B = C時, I(A,B,C )=1; (2) 當A = 180, B = 60, C = 0時, I(A,B,C ) = 0; (3) 0I(A,B,C )1.,因此，不妨定義 I(A,B,C ) = 1

33、 (A B)(B C)/60.,則I(x0) =0.766.,2020年9月9日,127,等腰直角三角形的隸屬函數(shù) (IR)(A,B,C) = I(A,B,C)R (A,B,C);,(IR) (x0) = 0.7660.955=0.766.,任意三角形的隸屬函數(shù) T(A,B,C) = IcRcEc= (IRE)c.,T(x0) =(0.7660.9550.677)c = (0.955)c = 0.045.,通過以上計算,R(x0) = 0.955最大,所以x0應(yīng)隸屬于直角三角形.,2020年9月9日,128,例 選擇優(yōu)秀考生。設(shè)考試的科目有六門 x1：政治 x2：語文 x3：數(shù)學 x4：理、化

34、 x5：史、地 x6：外語 考生為 y1，y2，yn，組成問題的論域 Y = y1, y2, , yn。設(shè) A = “優(yōu)秀”，是 Y 上的模糊集，A(yi) 是第 i 個學生隸屬于優(yōu)秀的程度。給定 A(yi) 的計算方法如下：,模糊模式識別,2020年9月9日,129,式中 i =1, 2, , n 是考生的編號，j =1, 2, ,6 是考試科目的編號， j 是第 j 個考試科目的權(quán)重系數(shù)。按照最大隸屬度原則，就可根據(jù)計算出的各考生隸屬于“優(yōu)秀”的程度（隸屬度）來排序。 例如若令 1= 2= 3=1， 4= 5= 0.8， 6= 0.7, 有 四個考生 y1, y2, y3, y4，其考試成

35、績分別如表 3.4,模糊模式識別,2020年9月9日,130,表 3.4 考生成績表,模糊模式識別,2020年9月9日,131,則可以計算出 于是這四個考生在“優(yōu)秀”模糊集中的排序為： y2, y4, y1, y3.,模糊模式識別,2020年9月9日,132,閾值原則：,模糊模式識別,有時我們要識別的問題，并非是已知若干模糊集求論域中的元素最大隸屬于哪個模糊集（第一類模型），也不是已知一個模糊集，對論域中的若干元素選擇最佳隸屬元素（第二類模型），而是已知一個模糊集，問論域中的元素，能否在某個閾值的限制下隸屬于該模糊集對應(yīng)的概念或事物，這就是閾值原則，該原則的數(shù)學描述如下：,2020年9月9日,

36、133,模糊模式識別,2020年9月9日,134,例 設(shè)有三個三角形的模糊集：I 表示“近似等腰三角形”，R 表示“近似直角三角形”，E 表示“近似正三角形”，它們是論域 X= (A, B, C) | A + B + C =180, A B C 0 上的模糊集，其隸屬函數(shù)規(guī)定如下：,2020年9月9日,135,容易驗證，當 A =B 或 B = C 時，I ( A, B, C ) =1；I(120, 60, 0) = 0； 當 A = 90 時，R( A，B，C ) =1；R(180，0，0) = 0； 當 A = B = C 時，E(60，60，60) =1；E(180, 0, 0)=0。這

37、說明以上隸屬函數(shù)在邊界情況下是合理的。 現(xiàn)有一三角形，其三個內(nèi)角分別為 A = 70，B = 60，C = 50，問這個三角形應(yīng)該算作哪一類三角形？,2020年9月9日,136,計算 按最大隸屬度原則，這個三角形比較接近“近似正三角形”,2020年9月9日,137,若給定 1= 0.85，則因 E (70, 60, 50) = 0.8891，所以 (70, 60, 50) 可認為屬于“近似正三角形”。 若給定 2= 0.8, 則因 I(70, 60, 50) = 0.8332， E(70, 60,5 0) = 0.889 2，所以 (70, 60, 50) 可認為既屬于“近似等腰三角形”又屬于

38、“近似正三角形”。 這就是說在模糊集的識別問題中，有時也不是唯一的，也存在著“亦此亦彼”的情況。,2020年9月9日,138,例如 已知 “青年人” 模糊集 Y，其隸屬度規(guī)定為 對于 x1 = 27 歲及 x2 = 30 歲的人來說，若取閾值,模糊模式識別,2020年9月9日,139,1 = 0.7，,模糊模式識別,故認為 27 歲和 30 歲的人都屬于“青年人” 范疇。,則因 Y(27) = 0.862 1，,而 Y(30) = 0.5 1 ，,故認為 27 歲的人尚屬于“青年人” ，而 30 歲人的則不屬于“青年人” 。,若取閾值 2 = 0.5，,則因 Y(27) = 0.862 2,而

39、 Y(30) = 0.5 = 2 ，,2020年9月9日,140,模糊模式識別,集對集,例如：論域為“茶葉”，標準有5種 待識別茶葉為B，反映茶葉質(zhì)量的6個指標為：條索，色澤，凈度，湯色，香氣，滋味，確定 B 屬于哪種茶,2020年9月9日,141,在實際問題中，我們常常要比較兩個模糊集的模糊距離或模糊貼近度，前者反映兩個模糊集的差異程度，后者則表示兩個模糊集相互接近的程度，這是一個事情的兩個方面。如果待識別的對象不是論域 X 中的元素 x，而是模糊集 A，已知的模糊集是 A1, A2, , An，那么問 A 屬于哪個 Ai (i = 1, 2, n)？就是另一類模糊模式識別問題 集對集。解決

40、這個問題，就必須先了解模糊集之間的距離或貼近度。,2020年9月9日,142,1. 距離判別分析 定義 設(shè) A、B F ( X )。稱如下定義的dP(A, B) 為 A 與 B 的 Minkowski (閔可夫斯基) 距離 (P1)： ) 當 X = x1, x2, , xn 時， ) 當 X = a, b 時，,模糊模式識別,2020年9月9日,143,特別地， p=1 時，稱 d 1(A, B) 為 A 與 B 的 Hamming (海明) 距離。 p=2 時，稱 d2(A, B) 為 A 與 B 的 Euclid (歐幾里德) 距離。 有時為了方便起見，須限制模糊集的距離在 0, 1中，

41、因此定義模糊集的相對距離 dp(A, B) ，相應(yīng)有 (1) 相對 Minkowski 距離,模糊模式識別,2020年9月9日,144,(2) 相對 Hamming 距離,模糊模式識別,2020年9月9日,145,(3) 相對 Euclid 距離,模糊模式識別,2020年9月9日,146,有時對于論域中的元素的隸屬度的差別還要考慮到權(quán)重 W(x)0，此時就有加權(quán)的模糊集距離。一般權(quán)重函數(shù)滿足下述條件： 當 X = x1，x2，xn 時，有 當 X = a, b 時，有 加權(quán) Minkowski 距離定義為,模糊模式識別,2020年9月9日,147,加權(quán) Hamming 距離定義為 加權(quán) Euc

42、lid 距離定義為,模糊模式識別,2020年9月9日,148,例 欲將在 A 地生長良好的某農(nóng)作物移植到 B地或 C 地，問 B、C 兩地哪里最適宜？ 氣溫、濕度、土壤是農(nóng)作物生長的必要條件，因而 A、B、C 三地的情況可以表示為論域 X = x1 (氣溫)，x2 (濕度)，x3 (土壤) 上的模糊集，經(jīng)測定，得三個模糊集為,模糊模式識別,2020年9月9日,149,由于 dw1( A, B ) dw1( A, C )，說明 A，B 環(huán)境比較相似，該農(nóng)作物宜于移植 B 地。,模糊模式識別,設(shè)權(quán)重系數(shù)為 W = ( 0.5, 0.23, 0.27 )。計算 A 與 B 及 A 與 C 的加權(quán) H

43、amming 距離，得,2020年9月9日,150,2、貼近度,模糊模式識別,按上述定義可知，模糊集的內(nèi)積與外積是兩個實數(shù)。,AB=,定義 設(shè) A，B F (U)，稱,為 A 與 B 的內(nèi)積，稱,為 A 與 B 的外積。,2020年9月9日,151,比較，可以看出 AB 與 ab 十分相似，只要把經(jīng)典數(shù)學中的內(nèi)積運算的加 “+” 與乘 “ ” 換成取大 “” 與取小 “” 運算，就得到 AB。,模糊模式識別,若 X =x1, x2, xn，記 A(xi) = ai，B(xi) = bi，則,與經(jīng)典數(shù)學中的向量 a = a1, a2, an 與向量 b = b1, b2, bn 的內(nèi)積,2020

44、年9月9日,152,例 設(shè) X =x1, x2, x3, x4, x5, x6, 則,A B,模糊模式識別,2020年9月9日,153,例 設(shè) A，BF (R)，A、B 均為正態(tài)型模糊集，其隸屬函數(shù)如圖,模糊模式識別,2020年9月9日,154,由定義知AB 應(yīng)為 max( AB ) ，隸屬度曲線CDE 部分的峰值，即曲線 A(x) 與 B(x) 的交點 x* 處的縱坐標。為求 x*，令,解得,于是,類似地，由于,故 A B=0。,模糊模式識別,2020年9月9日,155,模糊模式識別,表示兩個模糊集A，B之間的貼近程度。,或 L( A，B) = ( AB) ( A B)C,2020年9月9日

45、,156,C =,C =,故B比A更貼近于.,模糊模式識別,2020年9月9日,157,模糊模式識別,2020年9月9日,158,模糊模式識別,2020年9月9日,159,二、擇近原則,模糊模式識別,2020年9月9日,160,模糊模式識別,例如：論域為“茶葉”，標準有5種 待識別茶葉為B，反映茶葉質(zhì)量的6個指標為：條索，色澤，凈度，湯色，香氣，滋味，確定 B 屬于哪種茶,B)，,2020年9月9日,161,模糊模式識別,計算得,故茶葉 B 為 A1 型茶葉。,2020年9月9日,162,2020年9月9日,163,模糊綜合評判,一、一級模糊綜合評判,2020年9月9日,164,模糊綜合評判,

46、2020年9月9日,165,模糊綜合評判,2020年9月9日,166,模糊綜合評判,2020年9月9日,167,模糊綜合評判,2020年9月9日,168,根據(jù)運算的不同定義，可得到以下不同模型：,模糊綜合評判,2020年9月9日,169,例如有單因素評判矩陣,則B(0.18, 0.18, 0.18, 0.18),2020年9月9日,170,模糊綜合評判,2020年9月9日,171,模糊綜合評判,2020年9月9日,172,其中：,模糊綜合評判,2020年9月9日,173,實例：某平原產(chǎn)糧區(qū)進行耕作制度改革，制定了甲(三種三收) 乙(兩茬平作),丙(兩年三熟) 3種方案,主要評價指標有：糧食畝產(chǎn)

47、量，農(nóng)產(chǎn)品質(zhì)量，每畝用工量，每畝純收入和對生態(tài)平衡影響程度共5項，根據(jù)當?shù)貙嶋H情況，這5個因素的權(quán)重分別為0.2, 0.1, 0.15, 0.3, 0.25,其評價等級如下表,2020年9月9日,174,經(jīng)過典型調(diào)查，并應(yīng)用各種參數(shù)進行謀算預測，發(fā)現(xiàn)3種方案的5項指標可達到下表中的數(shù)字，問究竟應(yīng)該選擇哪種方案。,過程：,因素集,權(quán)重,A（0.2, 0.1, 0.15, 0.3, 0.25）,評判集,2020年9月9日,175,建立單因素評判矩陣：因素與方案之間的關(guān)系可以通過建立隸屬函數(shù)，用模糊關(guān)系矩陣來表示。,產(chǎn)量的隸屬函數(shù),2020年9月9日,176,產(chǎn)品質(zhì)量的隸屬函數(shù),2020年9月9日,

48、177,用工的隸屬函數(shù),純收入的隸屬函數(shù),生態(tài)平衡的影響因素的隸屬函數(shù),2020年9月9日,178,將方案中的數(shù)據(jù)代入各隸屬函數(shù)的公式中，算出相應(yīng)的隸屬度。,方案甲,2020年9月9日,179,得到單因素評判矩陣,由加權(quán)平均型進行綜合評判,歸一化得,可見，乙方案最佳，丙方案次之，甲方案最差。,2020年9月9日,180,二、多級模糊綜合評判（以二級為例）,問題：對高等學校的評估可以考慮如下方面,模糊綜合評判,2020年9月9日,181,二級模糊綜合評判的步驟：,模糊綜合評判,2020年9月9日,182,模糊綜合評判,2020年9月9日,183,模糊綜合評判,2020年9月9日,184,模糊綜合評判,2020年9月9日,185,模糊綜合評判,2020年9月9日,186,模糊綜合評判,2020年9月9日,187,模糊綜合評判,2020年9月9日,188,模糊綜合評判,2020年9月9日,189,2020年9月9日,190,模糊線性規(guī)劃,一、模糊約束條件下的極值問題,例：某人想買一件大衣，提出如下標準：式樣一般，質(zhì)量好，尺寸較全身，價格盡量便宜，設(shè)有5件大衣Xx1,x2,x3,x4,x5供選擇，經(jīng)調(diào)查結(jié)果如表,問他應(yīng)該購