高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理1.1兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理學(xué)案蘇教版選修

1、1.1兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理1掌握分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理(重點(diǎn))2會(huì)用兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題(難點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理1分類計(jì)數(shù)原理閱讀教材P5P6“例1”以上部分，完成下列問(wèn)題如果完成一件事，有n類方式，在第1類方式中有m1種不同的方法，在第2類方式中有m2種不同的方法，在第n類方式中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有Nm1m2mn種不同的方法判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)在分類計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同()(2)在分類計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事()(3)從甲地到乙地有兩類交通方式：坐飛機(jī)和乘輪船，其中飛機(jī)每天有3班，輪船有4班若李先生

2、從甲地去乙地，則不同的交通方式共有7種()(4)某校高一年級(jí)共8個(gè)班，高二年級(jí)共6個(gè)班，從中選一個(gè)班級(jí)擔(dān)任星期一早晨升旗任務(wù)，安排方法共有14種()【解析】(1)在分類計(jì)數(shù)原理中，分類標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，兩類不同方案中的方法是不能相同的(2)在分類計(jì)數(shù)原理中，是把能完成這件事的所有方法按某一標(biāo)準(zhǔn)分類的，故每類方案中的每種方法都能完成這些事(3)由分類計(jì)數(shù)原理，從甲地去乙地共347(種)不同的交通方式(4)根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，擔(dān)任星期一早晨升旗任務(wù)可以是高一年級(jí)，也可以是高二年級(jí)，因此安排方法共有8614(種)【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2分步計(jì)數(shù)原理閱讀教材P5P6“例1”以上部分，完成下

3、列問(wèn)題如果完成一件事，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有Nm1m2mn種不同的方法判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)在分步計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的()(2)在分步計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事()(3)已知x2,3,7，y3，4,8，則xy可表示不同的值的個(gè)數(shù)為9個(gè)()(4)在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上有四項(xiàng)比賽，冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有43種()【解析】(1)因?yàn)樵诜植接?jì)數(shù)原理中的每一步都有多種方法，而每種方法各不相同(2)

4、因?yàn)樵诜植接?jì)數(shù)原理中，要完成某件事需分幾個(gè)步驟，而每步都不能完成這件事，只有各步都完成了，這件事才算完成(3)因?yàn)閤從集合2,3,7中任取一個(gè)值共有3個(gè)不同的值，y從集合3，4,8中任取一個(gè)值共有3個(gè)不同的值，故xy可表示339個(gè)不同的值(4)因?yàn)槊總€(gè)項(xiàng)目中的冠軍都有3種可能的情況，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有34種不同的奪冠情況【答案】(1)(2)(3)(4)質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1：解惑：疑問(wèn)2：解惑：疑問(wèn)3：解惑：小組合作型分類計(jì)數(shù)原理(1)從高三年級(jí)的四個(gè)班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分別為4人，5人，6人，7人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組，

5、選其中一人為組長(zhǎng)，有多少種不同的選法？(2)在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個(gè)？【精彩點(diǎn)撥】(1)按所選組長(zhǎng)來(lái)自不同年級(jí)為分類標(biāo)準(zhǔn)(2)按個(gè)位(或十位)取09不同的數(shù)字進(jìn)行分類【自主解答】(1)分四類：從一班中選一人，有4種選法；從二班中選一人，有5種選法；從三班中選一人，有6種選法；從四班中選一人，有7種選法共有不同選法N456722種(2)法一按十位上的數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是8個(gè)，7個(gè)，6個(gè)，5個(gè)，4個(gè)，3個(gè)，2個(gè)，1個(gè)由分類計(jì)數(shù)原理知，符合題意的兩位數(shù)共有8765432136(個(gè))法二按個(gè)位上的數(shù)

6、字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)，5個(gè)，6個(gè)，7個(gè)，8個(gè)，所以按分類計(jì)數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有1234567836(個(gè))1應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理解題的策略(1)標(biāo)準(zhǔn)明確：明確分類標(biāo)準(zhǔn)，依次確定完成這件事的各類方法(2)不重不漏：完成這件事的各類方法必須滿足不能重復(fù)，又不能遺漏(3)方法獨(dú)立：確定的每一類方法必須能獨(dú)立地完成這件事2利用分類計(jì)數(shù)原理解題的一般思路再練一題1(1)某學(xué)生去書店，發(fā)現(xiàn)2本好書，決定至少買其中一本，則購(gòu)買方式共有_種(2)有三個(gè)袋子，分別裝有不同編號(hào)的紅色小球6個(gè)，白色小球5個(gè)，黃色小球4個(gè)若從三個(gè)袋子中

7、任取1個(gè)小球，有_種不同的取法【解析】(1)分兩類：買1本或買2本書，各類購(gòu)買方式依次有2種、1種，故購(gòu)買方式共有213種(2)有3類不同方案：第1類，從第1個(gè)袋子中任取1個(gè)紅色小球，有6種不同的取法；第2類，從第2個(gè)袋子中任取1個(gè)白色小球，有5種不同的取法；第3類，從第3個(gè)袋子中任取1個(gè)黃色小球，有4種不同的取法其中，從這三個(gè)袋子的任意一個(gè)袋子中取1個(gè)小球都能獨(dú)立地完成“任取1個(gè)小球”這件事，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，不同的取法共有65415種【答案】(1)3(2)15分步計(jì)數(shù)原理一種號(hào)碼鎖有4個(gè)撥號(hào)盤，每個(gè)撥號(hào)盤上有從0到9共十個(gè)數(shù)字，這4個(gè)撥號(hào)盤可以組成多少個(gè)四位數(shù)的號(hào)碼(各位上的數(shù)字允許重復(fù))

8、?【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)題意，必須依次在每個(gè)撥號(hào)盤上撥號(hào)，全部撥號(hào)完畢后，才撥出一個(gè)四位數(shù)號(hào)碼，所以應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理【自主解答】按從左到右的順序撥號(hào)可以分四步完成：第一步，有10種撥號(hào)方式，所以m110；第二步，有10種撥號(hào)方式，所以m210；第三步，有10種撥號(hào)方式，所以m310；第四步，有10種撥號(hào)方式，所以m410.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共可以組成N1010101010 000個(gè)四位數(shù)的號(hào)碼1應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理時(shí)，完成這件事情要分幾個(gè)步驟，只有每個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事情，每個(gè)步驟缺一不可2利用分步計(jì)數(shù)原理解題的一般思路(1)分步：將完成這件事的過(guò)程分成若干步；(2)計(jì)數(shù)：求出每一步中的方法數(shù)

9、；(3)結(jié)論：將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結(jié)果再練一題2張濤大學(xué)畢業(yè)參加工作后，把每月工資中結(jié)余的錢分為兩部分，其中一部分用來(lái)定期儲(chǔ)蓄，另一部分用來(lái)購(gòu)買國(guó)債人民幣儲(chǔ)蓄可以從一年期、二年期兩種中選擇一種，購(gòu)買國(guó)債則可以從一年期、二年期和三年期中選擇一種問(wèn)：張濤共有多少種不同的理財(cái)方式？【解】由題意知，張濤要完成理財(cái)目標(biāo)應(yīng)分步完成第1步，將一部分錢用來(lái)定期儲(chǔ)蓄，從一年期和二年期中任意選擇一種理財(cái)方式；第2步，用另一部分錢購(gòu)買國(guó)債，從一年期、二年期和三年期三種國(guó)債中任意選擇一種理財(cái)方式由分步計(jì)數(shù)原理，得236種探究共研型兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的辨析探究1某大學(xué)食堂備有6種葷菜，5種素菜，3種湯，現(xiàn)要配成一葷一

10、素一湯的套餐，試問(wèn)要“完成的這件事”指的是什么？若配成“一葷一素”是否“完成了這件事”？【提示】“完成這件事”是指從6種葷菜中選出一種，再?gòu)?種素菜中選出一種，最后從3種湯中選出一種，這時(shí)這件事才算完成而只選出“一葷一素”不能算“完成這件事”探究2在探究1中，要“完成配成套餐”這件事需分類，還是分步？為什么？【提示】要配成一葷一素一湯的套餐，需分步完成只配葷菜、素菜、湯中的一種或兩種都不能達(dá)到“一葷一素一湯”的要求，即都不能完成“配套餐”這件事探究3在探究1中若要配成“一素一湯套餐”試問(wèn)可配成多少種不同的套餐？你能分別用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理求解嗎？你能說(shuō)明分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的主要

11、區(qū)別嗎？【提示】5種素菜分別記為A，B，C，D，E.3種湯分別記為a，b，c.利用分類計(jì)數(shù)原理求解：以選用5種不同的素菜分類：選素菜A時(shí)，湯有3種選法；選素菜B時(shí)，湯有3種選法；選素菜C時(shí)，湯有3種選法；選素菜D時(shí)，湯有3種選法；選素菜E時(shí)，湯有3種選法故由加法計(jì)數(shù)原理，配成“一素一湯”的套餐共有3333315(種)不同的套餐利用分步計(jì)數(shù)原理求解：第一步：從5種素菜中，任選一種共5種不同的選法；第二步：從3種湯中，任選一種共3種不同的選法由分步計(jì)數(shù)原理，配成“一素一湯”的套餐共有5315(種)不同套餐兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的主要區(qū)別在于分類計(jì)數(shù)原理是將一件事分類完成，每類中的每種方法都能完成這件事，而分

12、步計(jì)數(shù)原理是將一件事分步完成，每步中的每種方法都不能完成這件事有A，B，C型高級(jí)電腦各一臺(tái)，甲、乙、丙、丁4個(gè)操作人員的技術(shù)等級(jí)不同，甲、乙會(huì)操作三種型號(hào)的電腦，丙不會(huì)操作C型電腦，而丁只會(huì)操作A型電腦從這4個(gè)操作人員中選3人分別去操作這三種型號(hào)的電腦，則不同的選派方法有多少種？【精彩點(diǎn)撥】從這4個(gè)操作人員中選3人分別去操作這三種型號(hào)的電腦，首先將問(wèn)題分類，可分為4類，然后每一類再分步完成即解答本題可“先分類，后分步”【自主解答】第1類，選甲、乙、丙3人，由于丙不會(huì)操作C型電腦，分2步安排這3人操作電腦，有224種方法；第2類，選甲、乙、丁3人，由于丁只會(huì)操作A型電腦，這時(shí)安排3人操作電腦，有

13、2種方法；第3類，選甲、丙、丁3人，這時(shí)安排3人操作電腦只有1種方法；第4類，選乙、丙、丁3人，同樣也只有1種方法根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有42118種選派方法1能用分步計(jì)數(shù)原理解決的問(wèn)題具有如下特點(diǎn)：(1)完成一件事需要經(jīng)過(guò)n個(gè)步驟，缺一不可；(2)完成每一步有若干種方法；(3)把各個(gè)步驟的方法數(shù)相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)2利用分步計(jì)數(shù)原理應(yīng)注意：(1)要按事件發(fā)生的過(guò)程合理分步，即分步是有先后順序的(2)“步”與“步”之間是連續(xù)的、不間斷的、缺一不可的，但也不能重復(fù)、交叉(3)若完成某件事情需n步，則必須依次完成這n個(gè)步驟后，這件事情才算完成再練一題3一個(gè)袋子里有10張不同的中國(guó)移

14、動(dòng)手機(jī)卡，另一個(gè)袋子里有12張不同的中國(guó)聯(lián)通手機(jī)卡(1)某人要從兩個(gè)袋子中任取一張自己使用的手機(jī)卡，共有多少種不同的取法？(2)某人手機(jī)是雙卡雙待機(jī)，想得到一張移動(dòng)和一張聯(lián)通卡供自己使用，問(wèn)一共有多少種不同的取法？【解】(1)第一類：從第一個(gè)袋子取一張移動(dòng)卡，共有10種取法；第二類：從第二個(gè)袋子取一張聯(lián)通卡，共有12種取法根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有101222種取法(2)第一步，從第一個(gè)袋子取一張移動(dòng)卡，共有10種取法；第二步，從第二個(gè)袋子取一張聯(lián)通卡，共有12種取法根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有1012120種取法構(gòu)建體系1一項(xiàng)工作可以用2種方法完成，有3人會(huì)用第1種方法完成，另外5人會(huì)用第2種方法完成

15、，從中選出1人來(lái)完成這項(xiàng)工作，不同選法有_種【解析】由分類計(jì)數(shù)原理知，有358種不同的選法【答案】82有4位教師在同一年級(jí)的4個(gè)班中各教一個(gè)班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)檢測(cè)時(shí)要求每位教師不能在本班監(jiān)考，則監(jiān)考的方法有_種. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【解析】分四步完成：第一步：第1位教師有3種選法；第二步：由第一步教師監(jiān)考班的數(shù)學(xué)老師有3種選法；第二步：第3位教師有1種選法；第四步：第4位教師有1種選法共有33119種監(jiān)考的方法【答案】933名學(xué)生報(bào)名參加藝術(shù)體操、美術(shù)、計(jì)算機(jī)、游泳課外興趣小組，每人選報(bào)一種，則不同的報(bào)名種數(shù)有_種【解析】第1名學(xué)生有4種選報(bào)方法；第2,3名學(xué)生也各有4種選報(bào)方法，因此，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原

16、理，不同的報(bào)名種數(shù)有44464.【答案】644某地奧運(yùn)火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動(dòng)分別由6名火炬手完成如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案共有_種(用數(shù)字作答)【解析】分兩類，第一棒是丙有12432148(種)；第一棒是甲、乙中一人有21432148(種)根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得，共有方案484896(種)【答案】965某公園休息處東面有8個(gè)空閑的凳子，西面有6個(gè)空閑的凳子，小明與爸爸來(lái)這里休息(1)若小明爸爸任選一個(gè)凳子坐下(小明不坐)，有幾種坐法？(2)若小明與爸爸分別就坐，有多少種坐法？【解】(1)小明爸爸選凳子可以分兩類：第

17、一類：選東面的空閑凳子，有8種坐法；第二類：選西面的空閑凳子，有6種坐法根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，小明爸爸共有8614(種)坐法(2)小明與爸爸分別就坐，可以分兩步完成：第一步，小明先就坐，從東西面共8614(個(gè))凳子中選一個(gè)坐下，共有14種坐法；(小明坐下后，空閑凳子數(shù)變成13)第二步，小明爸爸再就坐，從東西面共13個(gè)空閑凳子中選一個(gè)坐下，共13種坐法由分步計(jì)數(shù)原理，小明與爸爸分別就坐共有1413182(種)坐法我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、填空題1高一年級(jí)三好學(xué)生中有男生6人，女生4人，從中選一人去領(lǐng)獎(jiǎng)，共有_種不同的選法；

18、從中選一名男生，一名女生去領(lǐng)獎(jiǎng)，則共有_種不同的選法【解析】從中選一人去領(lǐng)獎(jiǎng)有6410(種)方法從中選一名男生一名女生去領(lǐng)獎(jiǎng)有6424(種)選法【答案】10242一名志愿者從沈陽(yáng)趕赴南京為游客提供導(dǎo)游服務(wù)，但需在北京停留已知從沈陽(yáng)到北京每天有7個(gè)航班，從北京到南京每天有6列火車，該志愿者從沈陽(yáng)到南京共有_種不同的方法. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【解析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，此人可選擇的行車方式共有6742(種)【答案】423(2016徐州高二檢測(cè))某乒乓球隊(duì)里有男隊(duì)員6人，女隊(duì)員5人，從中選取男、女隊(duì)員各一人組成混合雙打隊(duì)，不同的組隊(duì)方法有_種【解析】先選1男有6種方法，再選1女有5種方法，故共有6530種不

19、同的組隊(duì)方法【答案】304由1,2,3,4可以組_個(gè)自然數(shù)(數(shù)字可以重復(fù)，最多只能是四位數(shù)字)【解析】組成的自然數(shù)可以分為以下四類：第一類：一位自然數(shù)，共有4個(gè)第二類：兩位自然數(shù)，又可分兩步來(lái)完成先取出十位上的數(shù)字，再取出個(gè)位上的數(shù)字，共有4416(個(gè))第三類：三位自然數(shù)，又可分三步來(lái)完成每一步都可以從4個(gè)不同的數(shù)字中任取一個(gè)，共有44464(個(gè))第四類：四位自然數(shù)，又可分四步來(lái)完成，每一步都可以從4個(gè)不同的數(shù)字中任取一個(gè)，共有4444256(個(gè))由分類計(jì)數(shù)原理知，可以組成的不同的自然數(shù)為41664256340(個(gè))【答案】3405商店里有適合女學(xué)生身材的女上衣3種，裙子3種，褲子2種若一位女

20、生要買一套服裝，則共有_種不同選法【解析】3(32)15(種)【答案】156(2016無(wú)錫高二檢測(cè))設(shè)集合A中有3個(gè)元素，集合B中有2個(gè)元素，可建立AB的映射的個(gè)數(shù)為_【解析】建立映射，即對(duì)于A中的每一個(gè)元素，在B中都有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，故由分步計(jì)數(shù)原理得映射有2228(個(gè))【答案】87用4種不同的顏色涂入如圖111所示的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂色方法共有_種ABCD圖111【解析】按A，B，C，D順序涂色，共有432372種方法【答案】728甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng)，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩

21、位前面不同的安排方法共有_種【解析】分三類：若甲在周一，則乙丙有4312種排法；若甲在周二，則乙丙有326種排法；若甲在周三，則乙丙有212種排法所以不同的安排方法共有126220種【答案】20二、解答題9已知集合M3，2，1,0,1,2，P(a，b)表示平面上的點(diǎn)(a，bM)，問(wèn)：(1)P可表示平面上多少個(gè)不同的點(diǎn)？(2)P可表示平面上多少個(gè)第二象限的點(diǎn)？(3)P可表示多少個(gè)不在直線yx上的點(diǎn)？【解】(1)確定平面上的點(diǎn)P(a，b)可分兩步完成：第一步確定a的值，共有6種確定方法；第二步確定b的值，也有6種確定方法根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得知P可表示平面上的點(diǎn)數(shù)是6636(個(gè))(2)確定第二象限的

22、點(diǎn)，可分兩步完成：第一步確定a，由于a0，所以有3種確定方法；第二步確定b，由于b0，所以有2種確定方法由分步計(jì)數(shù)原理，得到第二象限的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是326(個(gè))(3)點(diǎn)P(a，b)在直線yx上的充要條件是ab.因此a和b必須在集合M中取同一元素，共有6種取法，即在直線yx上的點(diǎn)有6個(gè)結(jié)合(1)得，不在直線yx上的點(diǎn)共有36630(個(gè))10由0,1,2,3這四個(gè)數(shù)字，可組成多少個(gè)？(1)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？(2)可以有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？【解】(1)0不能做百位數(shù)字，所以百位數(shù)字有3種選擇，十位數(shù)字有3種選擇，個(gè)位數(shù)字有2種選擇，所以無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有33218(個(gè))(2)百位數(shù)字有3種選擇，十位

23、數(shù)字有4種選擇，個(gè)位數(shù)字也有4種選擇由分步計(jì)數(shù)原理知，可以有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有34448(個(gè))能力提升1.將1,2,3填入33的方格中，要求每行、每列都沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，如圖112是一種填法，則不同的填寫方法共有_種123312231圖112【解析】假設(shè)第一行為1,2,3，則第二行第一列可為2或3，此時(shí)其他剩余的空格都只有一種填法，又第一行有3216(種)填法故不同的填寫方法共有6212(種)【答案】122從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì)，其中所成的角為60的共有_對(duì). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【解析】與正方體的一個(gè)面上的一條對(duì)角線成60角的對(duì)角線有8條，故共有8對(duì)，正方體的12條面對(duì)角線共有96對(duì)，且每對(duì)均重復(fù)計(jì)算一次，故共有48對(duì)【答案】483將三種作物種在如圖113所示的5塊試驗(yàn)田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗(yàn)田不能種植同一種作