函數(shù)的奇偶性的典型例題

1、.函數(shù)的奇偶性的典型例題函數(shù)的奇偶性的判斷判斷函數(shù)的奇偶性大致有下列兩種方法：第一種方法 ：利用奇、偶函數(shù)的定義，主要考查f (x) 是否與f ( x) 、 f ( x)相等，判斷步驟如下：、定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；、數(shù)量關(guān)系f (x)f (x) 哪個(gè)成立；例 1：判斷下列各函數(shù)是否具有奇偶性、 f (x) x32x、 f ( x) 2x 43x2、 f (x)x 3x2、 f ( x)x2x1,2x1、 f (x)x22 x 、 f (x)x 211 x 2解：為奇函數(shù)為偶函數(shù)為非奇非偶函數(shù)為非奇非偶函數(shù)為非奇非偶函數(shù)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)注：教材中的解答過程中對(duì)定義域的判斷忽略了。例 2：判

2、斷函數(shù)x 2( x0)f ( x)2 ( x的奇偶性。x0)解 : f (0) 02f ( x)當(dāng) x 0,即當(dāng) x 0,即總有 f ( x)時(shí)有f ( x)( x)2x2f ( x)x 0,時(shí)有f ( x)( x)2( x)2f ( x)x 0,f ( x),故f ( x)為奇函數(shù).第二種方法：利用一些已知函數(shù)的奇偶性及下列準(zhǔn)則（前提條件為兩個(gè)函數(shù)的定義域交集不為空集）：兩個(gè)奇函數(shù)的代數(shù)和是奇函數(shù)； 兩個(gè)偶函數(shù)的和是偶函數(shù)；奇函數(shù)與偶函數(shù)的和既不非奇函數(shù)也非偶函數(shù)；兩個(gè)奇函數(shù)的積為偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的積為偶函數(shù)；奇函數(shù)與偶函數(shù)的積是奇函數(shù)。四、關(guān)于函數(shù)的奇偶性的幾個(gè)命題的判定。命題 1函數(shù)的

3、定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分.條件。此命題 正確 。如果函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)，這一點(diǎn)可以由奇偶性定義直接得出。命題 2兩個(gè)奇函數(shù)的和或差仍是奇函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的和或差仍是偶函數(shù)。此命題錯(cuò)誤。一方面，如果這兩個(gè)函數(shù)的定義域的交集是空集，那么它們的和或差沒有定義；另一方面，兩個(gè)奇函數(shù)的差或兩個(gè)偶函數(shù)的差可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，如f(x)=x(x -1,1 ),g(x)=x(x -2,2 ) ，可以看出函數(shù) f(x) 與 g(x) 都是定義域上的函數(shù)，它們的差只在區(qū)間 -1 ，1上有定義且 f(x)-g(x)=0 ，而在此區(qū)間上函數(shù) f(

4、x)-g(x) 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。命題 3 f(x)是任意函數(shù)，那么 |f(x)|與 f(|x|)都是偶函數(shù)。f ( x), ( f ( x )0此命題錯(cuò)誤。一方面，對(duì)于函數(shù)|f(x)|=不能保證f(-x)=f(x)或f ( x), ( f ( x)0),f(-x)=-f(x)；另一方面，對(duì)于一個(gè)任意函數(shù)f(x)而言，不能保證它的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。如果所給函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么函數(shù)f(|x|)是偶函數(shù)。命題 4 如果函數(shù) f(x) 滿足： |f(x)|=|f(-x)|，那么函數(shù) f(x) 是奇函數(shù)或偶函數(shù)。此命題錯(cuò)誤。 如函數(shù) f(x)=x,( x2n,nn )從圖像上看， f(

5、x) 的圖像既不關(guān)于原點(diǎn)2 ,( x2n 1,nn )x對(duì)稱，也不關(guān)于y 軸對(duì)稱，故此函數(shù)非奇非偶。命題 5函數(shù) f(x)+f(-x)是偶函數(shù)，函數(shù)f(x)-f(-x)是奇函數(shù)。此命題正確。 由函數(shù)奇偶性易證。命題 6已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且f(0)有定義，則f(0)=0 。此命題正確 。由奇函數(shù)的定義易證。命題 7已知 f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，方程f(x)=0有實(shí)根，那么方程f(x)=0的所有實(shí)根之和為零；若f(x)是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，則方程f(x)=0有奇數(shù)個(gè)實(shí)根。此命題正確。 方程 f(x)=0的實(shí)數(shù)根即為函數(shù)f(x) 與 x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由奇偶性的定義可知：若f(x

6、0 )=0 ，則 f(-x0 )=0 。對(duì)于定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)來說，必有f(0)=0。故原命題成立。五、關(guān)于函數(shù)按奇偶性的分類全體實(shí)函數(shù)可按奇偶性分為四類： 奇偶數(shù)、 偶函數(shù)、 既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)。六、關(guān)于奇偶函數(shù)的圖像特征.例 1：已知偶函數(shù)yf ( x) 在 y 軸右則時(shí)的圖像如圖（一）試畫出函數(shù)y 軸右則的圖像。yy11120x-2-112x圖（一）圖（二）七、關(guān)于函數(shù)奇偶性的簡(jiǎn)單應(yīng)用1、利用奇偶性求函數(shù)值例 1：已知f ( x)x 5ax 3bx8 且 f ( 2)10 ，那么f (2)2、利用奇偶性比較大小例 2：已知偶函數(shù)f ( x) 在,0 上為減函數(shù)，比較f

7、 ( 5) ， f (1) ， f (3) 的大小。3.利用奇偶性求解析式例 3：已知 f (x) 為偶函數(shù) 當(dāng) 0 x 1時(shí) , f (x) 1 x,當(dāng) 1 x 0時(shí) ，求 f ( x) 的解析式？4、利用奇偶性討論函數(shù)的單調(diào)性例 4：若 f (x) (k 2) x2 (k 3)x 3 是偶函數(shù)，討論函數(shù) f ( x) 的單調(diào)區(qū)間？5、利用奇偶性判斷函數(shù)的奇偶性例 5：已知函數(shù)f ( x)ax3bx 2cx(a0) 是偶函數(shù)，判斷g( x)ax 3bx 2cx 的奇偶性。6、利用奇偶性求參數(shù)的值例 6：定義在 r 上的偶函數(shù)f ( x) 在 (,0) 是單調(diào)遞減，若 f (2a2a1)f (3a22a1) ，則 a 的取值范圍是如何？7、利用圖像解題.例 （7 2004. 上海