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文檔簡介
1、太 陽 系,2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程,普寧僑中 鄭慶宏,嘗試實驗,形成概念,1取一條細(xì)繩; 2把它的兩端固定在板上的兩點F1、F2; 3用鉛筆尖(M)把細(xì)繩拉緊,在板上慢慢移動看看畫出的圖形。,F1,F2,M,觀察做圖過程:1繩長應(yīng)當(dāng)大于F1、F2之間的距離。2由于繩長固定,所以 M 到兩個定點的距離和也固定。,動手畫:,1. 改變兩圖釘之間的距離,使其與繩長相等,畫出的圖形還是橢圓嗎?,2繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎?,1. 改變兩圖釘之間的距離,使其與繩長相等,畫出的圖形還是橢圓嗎?,2繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎?,平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù) (大于|F1F2 |)的
2、點的軌跡叫橢圓。 這兩個定點F1、F2叫做橢圓的焦點 兩焦點之間的距離叫做焦距。,1、橢圓的定義,如果設(shè)軌跡上任一點M到兩定點F1、F2的距離和為常數(shù)2a,兩定點之間的距離為2c,則橢圓定義還可以用集合語言表示為:,P= M| |MF1 |+|MF2|=2a(2a2c),(1)平面曲線;,(2)到兩定點F1,F(xiàn)2的距離和等于定長;,(3)定長|F1F2|。,反思:橢圓上的點要滿足怎樣的幾何條件?,平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù) (大于|F1F2 |)的點的軌跡叫橢圓。 這兩個定點F1、F2叫做橢圓的焦點 兩焦點之間的距離叫做焦距。, 探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案,方案一,(對稱、
3、“簡潔”),x,設(shè)P (x, y)是橢圓上任意一點, 橢圓的焦距|F1F2|=2c(c0), 則F1、F2的坐標(biāo)分別是(c,0)、(c,0) . P與F1和F2的距離的和為固定值2a(2a2c),(問題:下面怎樣化簡?),由橢圓的定義得,限制條件:,由于,得方程,兩邊除以 得,由橢圓定義可知,整理得,兩邊再平方,得,移項,再平方,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,剛才我們得到了焦點在x軸上的橢圓方程, 如何推導(dǎo)焦點在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢?,(問題:下面怎樣化簡?),由橢圓的定義得,限制條件:,由于,得方程,如何根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點在哪個坐標(biāo)軸上?,Y,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點:,(1)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式:左邊是
4、兩個分式的平方和,右邊是1。,(2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個參數(shù)a、b、c滿足a2=b2+c2。,(3)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個參數(shù)a、b、c的值。反之求出a.b.c的值可寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。,(4)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中,x2與y2的分母哪一個大,則焦點就在哪一個軸上。并且哪個大哪個就是a2。,分母哪個大,焦點就在哪個軸上。,平面內(nèi)到兩個定點F1,F(xiàn)2的距離的和等 于常數(shù)(大于F1F2)的點的軌跡。,再認(rèn)識!,則a ,b ;,則a ,b ;,5,3,4,6,口答:,則a ,b ;,則a ,b ,3,快速練習(xí):1.判定下列橢圓的焦點在那條軸上?并指出焦點坐標(biāo)。,答:在 X 軸。(-3,0)和(3,0
5、),答:在 y 軸。(0,-5)和(0,5),判斷橢圓的焦點在哪個軸上的準(zhǔn)則:,哪個分母大,焦點就在哪條軸上,大的分母就是a2.,變式一:將上題焦點改為(0,-4)、(0,4), 結(jié)果如何?,變式二:將上題改為兩個焦點的距離為8,橢圓上一點P到兩焦點的距離和等于10,結(jié)果如何?,已知兩個焦點的坐標(biāo)分別是(-4,0)、(4,0),橢圓上一點P到兩焦點距離的和等于10;,2、寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,當(dāng)焦點在X軸時,方程為:,當(dāng)焦點在Y軸時,方程為:,分組練習(xí):求橢圓的焦點坐標(biāo)與焦距,答:焦點(-3,0)(3,0) 焦距 2c=6,答:焦點(0,-12)(0,12) 焦距 2c=24,例1
6、.求下列橢圓的焦點坐標(biāo),以及橢圓上每一點到兩焦點距離的和。,解:橢圓方程具有形式,其中,因此,兩焦點坐標(biāo)為,橢圓上每一點到兩焦點的距離之和為,練習(xí)1.下列方程哪些表示橢圓?,若是,則判定其焦點在何軸? 并指明 ,寫出焦點坐標(biāo).,?,兩個焦點分別是 (-2,0), (2,0), 且過點P,例2、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:,法一: c=2,法二: c=2,設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為:,2a=P +P,寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,兩個焦點的坐標(biāo)是( 0 ,-2)和( 0 ,2),并且經(jīng) 過點P,解: 因為橢圓的焦點在y軸上, 設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為, c=2,且 c2= a2 - b2, 4= a2 -
7、 b2 ,又橢圓經(jīng)過點P, ,聯(lián)立可求得:,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,(法一),牛刀小試,(法二) 因為橢圓的焦點在y軸上,所以設(shè)它的 標(biāo)準(zhǔn)方程為,由橢圓的定義知,,所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟: (1)首先要判斷焦點位置,設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程(先定位) (2)根據(jù)橢圓定義或待定系數(shù)法求a,b (后定量),1.求適合下列條件的橢圓方程,1.a4,b3,焦點在x軸上;,2.b=1, ,焦點在y軸上,練習(xí),3、若橢圓滿足: a5 , c3 , 求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。,如圖:求滿足下列條件的橢圓方程,解:橢圓具有標(biāo)準(zhǔn)方程,其中,因此,所求方程為,例3. 求出剛才在實驗中畫出的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,如圖,在圓 上任取一點P,過點P作x軸的垂線段PD,D為垂足當(dāng)點P在圓上運動時,線段PD的中點M的軌跡是什么?為什么?,例 2,解:設(shè)所得曲線上任一點的坐標(biāo)為 (x,y),圓 上的對應(yīng)點的坐標(biāo)為(x,y),由題意可得:,因為,即 為所求軌跡方程,所以,如圖,設(shè)點,的坐標(biāo)分 別為(-5,0),(5,0)直線AM,BM相交于點,且它們的斜率之積是,求點的軌跡方程,例 3,x,y,O,A,B,M,解:設(shè)點的坐標(biāo)為(x,y) ,因為點的坐標(biāo)為(-5,0) ,所以,直線AM的斜率,同理,直線BM的斜率,由已知有,化簡,得點M的軌跡方程為,練習(xí)3.已知方程 表示焦點在x軸上的橢圓,則m的取值范圍是 .,(
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