人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-1橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

1、太 陽 系,2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程,普寧僑中 鄭慶宏,嘗試實驗，形成概念,1取一條細(xì)繩； 2把它的兩端固定在板上的兩點F1、F2； 3用鉛筆尖（M）把細(xì)繩拉緊，在板上慢慢移動看看畫出的圖形。,F1,F2,M,觀察做圖過程：1繩長應(yīng)當(dāng)大于F1、F2之間的距離。2由于繩長固定，所以 M 到兩個定點的距離和也固定。,動手畫：,1. 改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？,2繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎？,1. 改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？,2繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎？,平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù) （大于|F1F2 |）的

2、點的軌跡叫橢圓。 這兩個定點F1、F2叫做橢圓的焦點 兩焦點之間的距離叫做焦距。,1、橢圓的定義,如果設(shè)軌跡上任一點M到兩定點F1、F2的距離和為常數(shù)2a，兩定點之間的距離為2c，則橢圓定義還可以用集合語言表示為：,P= M| |MF1 |+|MF2|=2a（2a2c）,（1）平面曲線；,（2）到兩定點F1，F(xiàn)2的距離和等于定長；,（3）定長|F1F2|。,反思：橢圓上的點要滿足怎樣的幾何條件？,平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù) （大于|F1F2 |）的點的軌跡叫橢圓。 這兩個定點F1、F2叫做橢圓的焦點 兩焦點之間的距離叫做焦距。, 探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案,方案一,(對稱、

3、“簡潔”),x,設(shè)P (x, y)是橢圓上任意一點， 橢圓的焦距|F1F2|=2c(c0)， 則F1、F2的坐標(biāo)分別是(c,0)、(c,0) . P與F1和F2的距離的和為固定值2a(2a2c),（問題：下面怎樣化簡？）,由橢圓的定義得，限制條件：,由于,得方程,兩邊除以 得,由橢圓定義可知,整理得,兩邊再平方，得,移項，再平方,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,剛才我們得到了焦點在x軸上的橢圓方程， 如何推導(dǎo)焦點在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？,（問題：下面怎樣化簡？）,由橢圓的定義得，限制條件：,由于,得方程,如何根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點在哪個坐標(biāo)軸上？,Y,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點：,（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是

4、兩個分式的平方和，右邊是1。,（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個參數(shù)a、b、c滿足a2=b2+c2。,（3）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個參數(shù)a、b、c的值。反之求出a.b.c的值可寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。,（4）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2與y2的分母哪一個大，則焦點就在哪一個軸上。并且哪個大哪個就是a2。,分母哪個大，焦點就在哪個軸上。,平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等 于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡。,再認(rèn)識！,則a ，b ；,則a ，b ；,5,3,4,6,口答：,則a ，b ；,則a ，b ,3,快速練習(xí)：1.判定下列橢圓的焦點在那條軸上?并指出焦點坐標(biāo)。,答：在 X 軸。（-3，0）和（3，0

5、）,答：在 y 軸。（0，-5）和（0，5）,判斷橢圓的焦點在哪個軸上的準(zhǔn)則：,哪個分母大,焦點就在哪條軸上,大的分母就是a2.,變式一:將上題焦點改為(0，-4)、(0，4)， 結(jié)果如何？,變式二:將上題改為兩個焦點的距離為8，橢圓上一點P到兩焦點的距離和等于10，結(jié)果如何？,已知兩個焦點的坐標(biāo)分別是(-4,0)、(4,0)，橢圓上一點P到兩焦點距離的和等于10；,2、寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,當(dāng)焦點在X軸時，方程為：,當(dāng)焦點在Y軸時，方程為：,分組練習(xí)：求橢圓的焦點坐標(biāo)與焦距,答：焦點（-3，0）（3，0） 焦距 2c=6,答：焦點（0，-12）（0，12） 焦距 2c=24,例1

6、.求下列橢圓的焦點坐標(biāo)，以及橢圓上每一點到兩焦點距離的和。,解：橢圓方程具有形式,其中,因此,兩焦點坐標(biāo)為,橢圓上每一點到兩焦點的距離之和為,練習(xí)1.下列方程哪些表示橢圓？,若是,則判定其焦點在何軸？ 并指明 ，寫出焦點坐標(biāo).,?,兩個焦點分別是 (-2，0)， (2，0)， 且過點P,例2、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：,法一: c=2,法二: c=2,設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為:,2a=P +P,寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,兩個焦點的坐標(biāo)是（ 0 ，-2）和（ 0 ，2），并且經(jīng) 過點P,解： 因為橢圓的焦點在y軸上， 設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為, c=2，且 c2= a2 - b2, 4= a2 -

7、 b2 ,又橢圓經(jīng)過點P, ,聯(lián)立可求得：,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,(法一),牛刀小試,(法二) 因為橢圓的焦點在y軸上，所以設(shè)它的 標(biāo)準(zhǔn)方程為,由橢圓的定義知，,所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟： （1）首先要判斷焦點位置，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程（先定位） （2）根據(jù)橢圓定義或待定系數(shù)法求a,b （后定量）,1.求適合下列條件的橢圓方程,1.a4，b3，焦點在x軸上；,2.b=1， ，焦點在y軸上,練習(xí),3、若橢圓滿足: a5 , c3 , 求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。,如圖:求滿足下列條件的橢圓方程,解：橢圓具有標(biāo)準(zhǔn)方程,其中,因此,所求方程為,例3. 求出剛才在實驗中畫出的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,如圖,在圓 上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足當(dāng)點P在圓上運動時,線段PD的中點M的軌跡是什么？為什么？,例 2,解：設(shè)所得曲線上任一點的坐標(biāo)為 （x，y）,圓 上的對應(yīng)點的坐標(biāo)為（x，y），由題意可得：,因為,即 為所求軌跡方程,所以,如圖,設(shè)點，的坐標(biāo)分 別為(-5,0)，(5,0)直線AM，BM相交于點，且它們的斜率之積是，求點的軌跡方程,例 3,x,y,O,A,B,M,解：設(shè)點的坐標(biāo)為(x,y) ,因為點的坐標(biāo)為(-5,0) ,所以，直線AM的斜率,同理，直線BM的斜率,由已知有,化簡,得點M的軌跡方程為,練習(xí)3.已知方程 表示焦點在x軸上的橢圓，則m的取值范圍是 .,(