2019年高考真題數(shù)學(江蘇卷含答案)

1、2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1本試卷共4頁，均為非選擇題(第1題第20題，共20題)。本卷滿分為160分，考試時間為120分鐘?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一片交回。2答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置。3請認真核對監(jiān)考員從答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符。4作答試題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效。5如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗。參考公式：樣本數(shù)據(jù)的方差，

2、其中柱體的體積，其中是柱體的底面積，是柱體的高錐體的體積，其中是錐體的底面積，是錐體的高一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分請把答案填寫在答題卡相應位置上1已知集合，則 .2已知復數(shù)的實部為0，其中為虛數(shù)單位，則實數(shù)a的值是 .3下圖是一個算法流程圖，則輸出的S的值是 .4函數(shù)的定義域是 .5已知一組數(shù)據(jù)6，7，8，8，9，10，則該組數(shù)據(jù)的方差是 .6從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務，則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是 .7在平面直角坐標系中，若雙曲線經(jīng)過點（3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是 .8已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項和.若，則的值是 .

3、9如圖，長方體的體積是120，E為的中點，則三棱錐E-BCD的體積是 .10在平面直角坐標系中，P是曲線上的一個動點，則點P到直線x+y=0的距離的最小值是 .11在平面直角坐標系中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點A處的切線經(jīng)過點（-e，-1)(e為自然對數(shù)的底數(shù)），則點A的坐標是 .12如圖，在中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點.若，則的值是 .13已知，則的值是 .14設是定義在R上的兩個周期函數(shù)，的周期為4，的周期為2，且是奇函數(shù).當時，其中k0.若在區(qū)間(0，9上，關于x的方程有8個不同的實數(shù)根，則k的取值范圍是 .二、解答題：本大題共6小題，共計9

4、0分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15（本小題滿分14分）在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值16（本小題滿分14分）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點，AB=BC求證：（1）A1B1平面DEC1；（2）BEC1E17（本小題滿分14分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C:的焦點為F1（1、0），F(xiàn)2（1，0）過F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2:交于點A，與橢圓C交于點D.連結AF1并延長交圓F2于點B，連結BF2交橢圓C于點E，連結DF1

5、已知DF1=（1）求橢圓C的標準方程；（2）求點E的坐標18（本小題滿分16分）如圖，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）規(guī)劃在公路l上選兩個點P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA規(guī)劃要求:線段PB、QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑已知點A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測得AB=10，AC=6，BD=12（單位:百米）（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長；（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個點選在D處？并說明理由；（3）對規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長度均為d（單位：百米）.求當d最小時，P、Q

6、兩點間的距離19（本小題滿分16分）設函數(shù)、為f（x）的導函數(shù)（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若ab，b=c，且f（x）和的零點均在集合中，求f（x）的極小值；（3）若，且f（x）的極大值為M，求證:M20（本小滿分16分）定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M數(shù)列”.（1）已知等比數(shù)列an滿足：，求證:數(shù)列an為“M數(shù)列”；（2）已知數(shù)列bn滿足:，其中Sn為數(shù)列bn的前n項和求數(shù)列bn的通項公式；設m為正整數(shù)，若存在“M數(shù)列”cn，對任意正整數(shù)k，當km時，都有成立，求m的最大值數(shù)學(附加題)21【選做題】本題包括A、B、C三小題，請選定其中兩小題，并在相應的答題區(qū)域內(nèi)

7、作答若多做，則按作答的前兩小題評分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 A.選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）已知矩陣 （1）求A2；（2）求矩陣A的特征值.B.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）在極坐標系中，已知兩點，直線l的方程為.（1）求A，B兩點間的距離；（2）求點B到直線l的距離.C.選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）設，解不等式.【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟22.（本小題滿分10分）設.已知.（1）求n的值；（2）設，其中，求的值.23.（本小題滿分10分）在

8、平面直角坐標系xOy中，設點集，令.從集合Mn中任取兩個不同的點，用隨機變量X表示它們之間的距離.（1）當n=1時，求X的概率分布；2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學答 案一、填空題：本題考查基礎知識、基本運算和基本思想方法.每小題5分，共計70分.1.2.23.54.5.6.7.8.169.1010.411.12.13.14.二、解答題15.本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)關系、誘導公式等基礎知識，考查運算求解能力.滿分14分.解：（1）因為，由余弦定理，得，即.所以.（2）因為，由正弦定理，得，所以.從而，即，故.因為，所以，從而.因此.16.本小題主要考查

9、直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力.滿分14分.證明：（1）因為D，E分別為BC，AC的中點，所以EDAB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABA1B1，所以A1B1ED.又因為ED平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1平面DEC1.（2）因為AB=BC，E為AC的中點，所以BEAC.因為三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1平面ABC.又因為BE平面ABC，所以CC1BE.因為C1C平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，C1CAC=C，所以BE平面A1ACC1.因為C1E平面A1ACC1，所以BEC1E.17.本小題主

10、要考查直線方程、圓的方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及橢圓的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、分析問題能力和運算求解能力.滿分14分.解：（1）設橢圓C的焦距為2c.因為F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因為DF1=，AF2x軸，所以DF2=，因此2a=DF1+DF2=4，從而a=2.由b2=a2-c2，得b2=3.因此，橢圓C的標準方程為.（2）解法一：由（1）知，橢圓C：，a=2，因為AF2x軸，所以點A的橫坐標為1.將x=1代入圓F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得y=4.因為點A在x軸上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直線AF1

11、：y=2x+2.由，得，解得或.將代入，得，因此.又F2(1，0)，所以直線BF2：.由，得，解得或.又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以.將代入，得.因此.解法二：由（1）知，橢圓C：.如圖，連結EF1.因為BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，從而BF1E=B.因為F2A=F2B，所以A=B，所以A=BF1E，從而EF1F2A.因為AF2x軸，所以EF1x軸.因為F1(-1，0)，由，得.又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以.因此.18.本小題主要考查三角函數(shù)的應用、解方程、直線與圓等基礎知識，考查直觀想象和數(shù)學建模及運用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力.滿分16分.解

12、：解法一：（1）過A作，垂足為E.由已知條件得，四邊形ACDE為矩形，.因為PBAB，所以.所以.因此道路PB的長為15（百米）.（2）若P在D處，由（1）可得E在圓上，則線段BE上的點（除B，E）到點O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.若Q在D處，連結AD，由（1）知，從而，所以BAD為銳角.所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.因此，Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.（3）先討論點P的位置.當OBP90時，在中，.由上可知，d15.再討論點Q的位置.由（2）知，要使得QA15，點Q只有位于點C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當QA=15時，.此

13、時，線段QA上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.綜上，當PBAB，點Q位于點C右側(cè)，且CQ=時，d最小，此時P，Q兩點間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+.因此，d最小時，P，Q兩點間的距離為17+（百米）.解法二：（1）如圖，過O作OHl，垂足為H.以O為坐標原點，直線OH為y軸，建立平面直角坐標系.因為BD=12，AC=6，所以OH=9，直線l的方程為y=9，點A，B的縱坐標分別為3，3.因為AB為圓O的直徑，AB=10，所以圓O的方程為x2+y2=25.從而A（4，3），B（4，3），直線AB的斜率為.因為PBAB，所以直線PB的斜率為，直線PB的方程為.所以P（13，9），.因此

14、道路PB的長為15（百米）.（2）若P在D處，取線段BD上一點E（4，0），則EO=45，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.若Q在D處，連結AD，由（1）知D（4，9），又A（4，3），所以線段AD：.在線段AD上取點M（3，），因為，所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.因此Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.（3）先討論點P的位置.當OBP90時，在中，.由上可知，d15.再討論點Q的位置.由（2）知，要使得QA15，點Q只有位于點C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當QA=15時，設Q（a，9），由，得a=，所以Q（，9），此時，線段QA上所有點到點O的距離均不小于圓O

15、的半徑.綜上，當P（13，9），Q（，9）時，d最小，此時P，Q兩點間的距離.因此，d最小時，P，Q兩點間的距離為（百米）.19本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查綜合運用數(shù)學思想方法分析與解決問題以及邏輯推理能力滿分16分解：（1）因為，所以因為，所以，解得（2）因為，所以，從而令，得或因為，都在集合中，且，所以此時，令，得或列表如下：1+00+極大值極小值所以的極小值為（3）因為，所以，因為，所以，則有2個不同的零點，設為由，得列表如下： +00+極大值極小值所以的極大值解法一：因此解法二：因為，所以當時，令，則令，得列表如下：+0極大值所以當時，取得極大值，且是最大值，故所以當時，

16、因此20本小題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)等基礎知識，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運用數(shù)學知識探究與解決問題的能力滿分16分解：（1）設等比數(shù)列an的公比為q，所以a10，q0.由，得，解得因此數(shù)列為“M數(shù)列”.（2）因為，所以由得，則.由，得，當時，由，得，整理得所以數(shù)列bn是首項和公差均為1的等差數(shù)列.因此，數(shù)列bn的通項公式為bn=n.由知，bk=k，.因為數(shù)列cn為“M數(shù)列”，設公比為q，所以c1=1，q0.因為ckbkck+1，所以，其中k=1，2，3，m.當k=1時，有q1；當k=2，3，m時，有設f（x）=，則令，得x=e.列表如下：xe(e，+) +0f（x）

17、極大值因為，所以取，當k=1，2，3，4，5時，即，經(jīng)檢驗知也成立因此所求m的最大值不小于5若m6，分別取k=3，6，得3q3，且q56，從而q15243，且q15216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.綜上，所求m的最大值為5數(shù)學(附加題)參考答案21【選做題】A選修42：矩陣與變換本小題主要考查矩陣的運算、特征值等基礎知識，考查運算求解能力滿分10分解：（1）因為，所以=（2）矩陣A的特征多項式為.令，解得A的特征值.B選修44：坐標系與參數(shù)方程本小題主要考查曲線的極坐標方程等基礎知識，考查運算求解能力滿分10分解：（1）設極點為O.在OAB中，A（3，），B（，），由余弦定理，得AB=.（2）因為直線l的方程為，則直線l過點，傾斜角為又，所以點B到直線l的距離為.C選修45：不等式選講本小題主要考查解不等式等基礎知識，考查運算求解和推理論證能力滿分10分解：當x0時，原不等式可化為，解得x2，即x時，原不等式可化為x+2x12，解得x1.綜上，原不等式的解集為.22.【必做題】本小題主要考查二項式定理、組合數(shù)等基礎知識，考查