概率論與數(shù)理統(tǒng)計柴中林第16講

1、,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第十六講,6.4 正態(tài)總體,6.4.1 2 分布,它是由正態(tài)分布派生出來的一種分布。,定義1: 設(shè) X1, X2, , Xn 相互獨立，且均服從正態(tài)分布 N(0, 1), 則稱隨機變量,服從自由度為 n 的卡方分布，記成 。,分布的密度函數(shù)為,由 分布的定義，不難得到其如下性質(zhì)：,進一步，由中心極限定理可以推出, n 充 分大時,近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N(0,1)。,分布密度函數(shù)圖形,n2 分布上 分位點有表可查，見附表4。,對于給定的 (0,1), 稱滿足條件,的點 n2()為 n2分布的上(右) 分位點。,分布分位點,t 分布的概率密度為,為服從自由度 n 的 t 分布，

2、記為 T tn。,6.4.2 t 分布,定義2: 設(shè) X N(0, 1) , Y n2 , 且 X與Y 相互獨立，則稱隨機變量,t 分布的概率密度圖形,當(dāng) n 充分大時，f (x; n) 趨近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度。,數(shù)學(xué)期望與方差,若 T tn , 對給定的 (0,1)，稱滿足條件,t 分布的分位點,的點 tn()為 tn 分布上 分位點。,t 分布的上 分位點有表可查，見附表3。,tn 分布上 分位點示意圖,6.4.3 F 分布,則稱 F =(X/m)/(Y/n)服從第一自由度為m，第二自由度為n 的 F 分布。記成 F Fm ,n 。,定義3：,F 分布的概率密度為,若 FFm, n，

3、對給定的 (0,1), 稱滿足條件,F 分布的分位點,的點 Fm,n()為F分布的上 分位點。.,F 分布上 分位點有表可查，見附表5。,F 分布上 分位點示意圖, 一個需要注意的問題:,這個關(guān)系式的證明如下：,證明：若 X Fm,n，則 Y = X -1 Fn,m。 依分位點定義，,上式等價于,再根據(jù) Y ( Fn,m ) 的上 分位點定義，有,這就證明了(1)式。,在通常 F 分布表中，只對 比較小的值,如 = 0.01, 0.05, 0.025及0.1等列出了分位點。但有時我們也需要知道 比較大的分位點，,它們在 F 分布表中查不到。這時我們就可利用分位點的關(guān)系式(1)把它們計算出來。,

4、例如：對m=12, n=9, =0.95, 我們在 F 分布表中查不到 F12,9(0.95)，但由(1)式，知,可從F 分布 表中查到, 還有一個重要結(jié)果: 若X tn , 則X2 F1,n。 請同學(xué)們自己證明。,定理 1：,6.4.4 正態(tài)總體樣本均值與樣本方差的分布,證明：僅證（1），其余的證明超出了教學(xué)范圍，需了解請參閱附錄 ( p143145)。因X1,X2,Xn是正態(tài)總體的樣本。故 X1,X2,Xn 獨立同分布于正態(tài)總體, 且有 E(X)=，Var(X)=2。由前面知識， 也服從正態(tài)分布，且有,于是有,定理的內(nèi)容在后面幾章的討論中將多次用到，希望大家牢記。,定理 1：,6.4.5

5、兩個正態(tài)總體的抽樣分布,證明：,（1）已知總體方差2=16；,（2） 2未知，但已知樣本方差的觀測值s2=18.45.,例2：在設(shè)計導(dǎo)彈發(fā)射裝置時，重要內(nèi)容之一是研究彈著點偏離目標(biāo)中心的距離的方差。 對于某類導(dǎo)彈發(fā)射裝置，彈著點偏離目標(biāo)中心的距離服從 N(,2)，這里 2 = 100米2。 現(xiàn)在進行了25次發(fā)射試驗，用 S2 記這25次試驗中彈著點偏離目標(biāo)中心的距離的樣本方差。 求: S 2 超過50米2的概率。,解: 根據(jù)基本定理，知,查附表4,得到:,所以，,例3：設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(20,52)，總體Y服從正態(tài)分布N(10,22)，從總體X與Y中分別抽取容量為n1=10與n2=8的樣本，求：,小結(jié),本講首先介紹