3_8065009_3.隔項(xiàng)遞推數(shù)列的基本類型

2017年課標(biāo)高考 母題 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 449 中國 高考數(shù)學(xué)母題 (第 140 號 ) 隔項(xiàng)遞推數(shù)列的基本類型 若數(shù)列 足 :a1=a,a2=b,=f(=g(或 =2 )1(1 nf(2 )1(1 ng(則稱數(shù)列 隔項(xiàng)遞推數(shù)列 ;隔項(xiàng)遞推數(shù)列具有三種最簡單也是最基本的形式 ,討論三種隔項(xiàng)遞推數(shù)列 的通項(xiàng)公式是其核心問題 . 母題結(jié)構(gòu) :( )(隔項(xiàng)等差 數(shù)列 )若 數(shù)列 足 :a1=a,a2=b, ,則 a+ (b+ (當(dāng)且僅當(dāng) = 2( ,數(shù)列 等差 數(shù)列 ; ( )(隔項(xiàng)等比 數(shù)列 )若 數(shù)列 足 :a1=a,a2=b,= an( 0),則 a b 且僅當(dāng) =(時(shí) ,數(shù)列 等 比 數(shù)列 ; ( )(隔項(xiàng)差比 數(shù)列 )若 數(shù)列 足 :a1=a,a2=b,=2 )1(1 n+1(1 n )1(1 nd,則 a+(d,b 母題 解 析 :( )當(dāng) n=2由 公差為 的 等 差數(shù)列 a+ (當(dāng) n= 2k 時(shí) ,由 公差為 的 等 差數(shù)列 b+ (又 由 等差 數(shù)列 2= =2( ( )當(dāng) n=2由 = = 公 比 為 的 等 比 數(shù)列 a 當(dāng) n=2由 = = 公 比 為 的 等 比 數(shù)列 b 由 等 比 數(shù)列 = =(; ( )當(dāng) n=2由 =2 )1(1 n+1(1 n )1(1 nd =d 公差為 差數(shù)列 a+()d;當(dāng) n=2k 時(shí) ,由 =2 )1(1 n+1(1 n )1(1 nd =公 比 為 q 的 等 比 數(shù)列 b 子題類型 :(2014 年課標(biāo) 高考試題 )已知 數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 為 Sn,0,= 中為常數(shù) . ( )證明 : ; ( )是否存在 ,使得 等 差數(shù)列 ？并說明理由 . 解析 :( )由 = = 式相減得 :( ( 0) ; ( )由 ,= 由 是公差為 的 等 差數(shù)列 1, 21n 1=2 n+ 22 (, ;所以 , 等 差數(shù)列 22 = =4,故 存在 =4,使得 等 差 數(shù)列 . 點(diǎn)評 :遞推關(guān)系式 :有許多等價(jià)式 ,如 : an+= n+b; = Sn+t;利用數(shù)列恒等式 ,可解決有關(guān) f(n)的數(shù)列問題 . 同 類 試題 : 1.(2002 年 全國 高考試題 )已知 由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列 ,滿足 ,)(),n=3,4,5, . ( )求 ( )證明 :an=,n=3,4,5, ; ( )求 通項(xiàng)公式及其前 n 項(xiàng)和 子題類型 :(2007年 湖北 高考試題 )已知數(shù)列 足 :,n N*),且 以 ( )證明 := 450 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 2017年課標(biāo)高考 母題 ( )若 cn=明數(shù)列 等比數(shù)列 ; ( )求和 :11a +21a +31a +41a + +121na+ 解析 :( )由 以 q 為公比的等比數(shù)列 =1 nn aa=q1=( )當(dāng) n=2 ,由 =公 比 為 比 數(shù)列 q2)當(dāng) n=2由 = =公 比 為 比 數(shù)列 (q2)cn=(q2)首項(xiàng)為 5,以 ( )由12121 (1a +21a +31a +41a + +121na+23n (q=1)或 23 )1( 1222 2 qq qn n . 點(diǎn)評 :遞推關(guān) 系式 := 許多等價(jià)式 ,如 :若 以 為公比的等比數(shù)列 ;利用數(shù)列恒等式 ,可解決有關(guān) =n)的數(shù)列問題 . 同 類 試題 : 2.(2015 年 湖南 高考試題 )設(shè)數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 知 ,且 =3+3,n N*. ( )證明 :=3 ( )求 子題類型 :(2008 年 湖 南 高考試題 )數(shù)列 足 :,=(1+n)an+n,n=1,2,3, . ( )求 a3,求數(shù)列 通項(xiàng)公式 ; ( )設(shè) bn=Sn=b1+ +當(dāng) n 6 時(shí) ,|n(n+2). 點(diǎn)評 :易知 ,n=2 )1(1 n,n=2 )1(1 n;故隔項(xiàng)差比數(shù)列 的遞 推關(guān) 系式 有多種表達(dá)形式 ;隔項(xiàng)差比數(shù)列 可綜合考查等 差 數(shù)列 與等 比數(shù)列 . 同 類 試題 : 3.(2007 年 湖南 高考 文科 試題 )設(shè) 列 n N*)的前 a1=a,且 0,n=2,3,4, . ( )證明 :數(shù)列 n 2)是常數(shù)數(shù)列 ; ( )試找出一個(gè)奇數(shù) a,使以 18為首項(xiàng) ,7為公比的等比數(shù)列 n N*)中的所有項(xiàng)都是數(shù)列 的項(xiàng) ,并指出 的第幾項(xiàng) . 4.(2007 年 陜西 高考試題 )已知各項(xiàng)全不為零的數(shù)列 前 k 項(xiàng)和為 1(k N*),其中 . ( )求數(shù)列 通項(xiàng)公式 ; ( )對任意給定的正整數(shù) n(n 2),數(shù)列 足=1k=1,2, ,.求 b1+ + 2017年課標(biāo)高考 母題 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 451 5.(2015 年 天津 高考試題 )已知數(shù)列 足 =q 為實(shí)數(shù) ,且 q1 ),n N*,且 a2+a3,a3+a4+( )求 q 的值和 通項(xiàng)公式 ;( )設(shè) 222n N*,求數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 . 6.(2004 年 全國 高考試題 )已知數(shù)列 ,且 -1)k,=k,其中 k=1,2,3, . ( )求 a3, ( )求 通項(xiàng)公式 . 7.(2007 年 湖南 高考 理科 試題 )已知 An(an,n N*)是曲線 y=a1=a,列 前 n 項(xiàng)和 ,且滿足 0,n=2,3,4, . ( )證明 :數(shù)列 (n 2)是常數(shù)數(shù)列 ; ( )確定 a 的取值集合 M,使 a M 時(shí) ,數(shù)列 單調(diào)遞增數(shù)列 ; ( )證明 :當(dāng) a M 時(shí) ,弦 (n N*)的斜率隨 n 單調(diào)遞增 . 8.(2005年 江西 高考 理科 試題 )已知數(shù)列 前 (n 3),且 ,23,求數(shù) 列 通項(xiàng)公式 . ( )由 )() 0,且 ,2,5,10;若 ,則 0,3, 與題設(shè)矛盾 ;若 ,則 ,35,與題設(shè)矛盾 ;若 0,則 ,0,3,與題設(shè)矛盾 ; ( )用數(shù)學(xué)歸納法證明 :當(dāng) n=3時(shí) ,a3=,等式成立 ; 假設(shè)當(dāng) n=k(k 3)時(shí)等式成立 ,即 ak=,由題設(shè) ) () =,即當(dāng) n=k+1 時(shí) ,等式成立 ,故 an=,n=3,4,5, ; ( )當(dāng) n=2 ,由 公差為 2 的 等 差數(shù)列 (當(dāng) n=2k 時(shí) ,由 公差為 2 的 等 差數(shù)列 +2( an=n+(-1)n 2 )1( 2 )1(1 n . ( )由 =(3+3)-(3)=3 =3an(n 2);又 =3=3an(n 1); ( )由 =3 3n 3(3 23(5 3 ( )當(dāng) n 2 時(shí) ,由 (3+(n+1)2 an+=6n+3 += 6n+9 數(shù)列 n 2)是常數(shù)數(shù)列 ; ( )由 1=12 2 a2+5 +2a;又由 數(shù)列 別是以 a2,6為公差的等差數(shù)列 (6,(6k+2奇數(shù) ;而 8 7 的項(xiàng) ;令 b1=18=6 a=3 k=3 a=3 k;令 6k=18 7k=3 7的第 6 7 ( )當(dāng) k=1時(shí) ,由 1=21;當(dāng) k 2時(shí) ,由 =1( 0) 2n ak=k; ( )由=1- 1k bk=223 1(-1)k 21 )1()2)(1(=(-1)k=1,2, ,n) b1+ +bn=(-1)- (-1)=-(1-1)n=( )由 ,且 =由 (a3+(a2+(a4+(a3+ a2(a3( a2= q=2 n; ( )由 bn=n(21)(21)0+2(21)1+3(21)2+ +n(21) 21(21)1+2(21)2+3(21)3+ +n(21)n ;由 452 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 2017年課標(biāo)高考 母題 - 得 :21+(21)1+(21)2+ +(21)1)n -(2n+4)(21)n. ( )由 -1)k,=k ,a3=3,a4=4,a5=2=13; ( )由 -1)k,=k =-1)k+3k -1)k+3k ( +(1+ (+(+ +(-1)3+32+ +32 )1(1 n+233n=2 2)1(3 -1)n=2 2)1(3 ( )當(dāng) n 2 時(shí) ,由 (3+(n+1)2 an+=6n+3 += 6n+9 =e nn 2 =數(shù)列 (n 2)是常數(shù)數(shù)列 ; ( )由 1=12 2 a2+5 +2a;又由 數(shù)列 別是以 a2,6為公 差的等 差數(shù)列 (6,(6k+2 數(shù)列 單調(diào)遞增數(shù)列 0 f (x)0 f(x)在 (- , ( )上都是增函數(shù) ;取 x0= f()f()ee 11ee 2