1_6354454_1.矩形生成二次曲線的類(lèi)型和本質(zhì)

中國(guó) 高考數(shù)學(xué)母題一千題 (第 0001 號(hào) ) 矩形生成二次曲線的類(lèi)型和本質(zhì) 生成二次曲線 的 一個(gè) 母題模型 求某動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是解析幾何的基本問(wèn)題 ,也是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題 ,其中 ,矩形 是生成 橢圓 、 雙曲線 、 拋物 線 等 的一個(gè)母題模型 . 母題結(jié)構(gòu) :( )如圖 ,在矩形 ,a,b(ab0),O 是 矩形 中心 ,E,F,G 分別 是 C, 中點(diǎn) ,動(dòng)點(diǎn) M,N 分別 在 C 上 ,且滿足 F=F,則 N 的交點(diǎn) P 在以 O 為中心 的 橢圓 上 ; ( )如圖 ,在矩形 a,b,動(dòng)點(diǎn) M, 直線 且滿足 C=D, 則 N 的交點(diǎn) P 在 雙曲線 上 ; ( )如圖 ,在矩形 a,b,動(dòng)點(diǎn) M, 直線 且滿足 B=C, E,則 E 的交點(diǎn) P 在 拋物 線 上 . 母題 解 析 :( )分別以直線 G 為 x,y 軸建立直角坐標(biāo)系如圖 ,則 B(a,C(a,b), D(-a,b),E(0,G(0,b),設(shè) F=F=t,則 M(),N(a, 22 P(x,y),則22; ( )以 中點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn) ,直線 x 軸建立直角坐標(biāo)系如圖 ,則 A(),B(a,0),C(a,2b),D(b),設(shè) C =D=t,則 M(a,2N(2at+a,2b) 2 P(x,y),則222; ( )分別以直線 D 為 x,則 B(2a,0),C(2a,2b),設(shè) B=C=t,則 M(2),N(2a,2 直線 ME:x=2N:y=x;設(shè) P(x,y),則 x=2 y=x,消去 t 得 :y=22子題類(lèi)型 :(2013年福建 高考試題 )如圖 ,在 正方形 ,O 為坐標(biāo)原點(diǎn) ,點(diǎn) A 的坐標(biāo) 為 (10,0),點(diǎn) 0,10),分別將線段 分點(diǎn)分別記為 2, ,1, ,接 x 軸的垂線與 i(i N+,1 i 9). ( )求證 :點(diǎn) Pi(i N+,1 i 9)都在同一條拋物線上 ,并求該拋物線 E 的方程 ; ( )過(guò)點(diǎn) C 作直線 l 與交拋物線 E 于不同的兩點(diǎn) M、 N,若 面積比為 4:1,求直線 l 的方程 . 解析 :( )因 0,i) 直線 0y= 線 x=i 點(diǎn) Pi(i N+,1 i 9)在拋物線 E:0y 上 ; ( )設(shè) M(x1,N(x2,直線 l:y=0;代入 0y得 x1+0k,100;由 :1 |4|矩形 ,a,O 為 中點(diǎn) 、 F、 G 分別在 移動(dòng) ,且,P 為 交點(diǎn) (如圖 ), 問(wèn)是否存在兩個(gè)定點(diǎn) ,使 P 到這兩點(diǎn)的距離的和為定值 求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值 ; 若不存在 ,請(qǐng)說(shuō)明理由 . 解析 :以 直線 則 A(),B(2,0),C(2,4a),D(a),設(shè) C=D= A=t,則 E(2,4F(2a),G( 2由直線 EG:2 y 軸交于定點(diǎn) M(0,2a);設(shè) P(x,y),則 22= ,點(diǎn) P 的軌跡為圓弧 ,不存在符合題意的兩點(diǎn) ;當(dāng) 軌跡為橢圓的一部分 ,點(diǎn) P 到該橢圓焦點(diǎn)的距離的和為定長(zhǎng) . 點(diǎn)評(píng) :如果能利用直線 ,以 直線 則可得標(biāo)準(zhǔn)方程 :于求焦點(diǎn) . 質(zhì) 子題類(lèi)型 :(2003 年新課程高考試題 )己知常數(shù) a0,向量 c=(0,a),i=(1,0),經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O,以 c+ i 為方向向量的直線與經(jīng)過(guò)定點(diǎn) A(0,a),以 c 為方向向量的直線相交于點(diǎn) P,其中 R,試問(wèn) :是否存在兩個(gè)定點(diǎn) E、 F,使得 |定值 求出 E、 F 的坐標(biāo) ;若不存在 ,說(shuō)明理由 . 解析 :設(shè) P(x,y),由 c+ i=( ,a),c=(1,a) 直線 率之積 =2= 點(diǎn) P 的軌跡為圓弧 ,不存在符合題意的 兩點(diǎn) ;當(dāng) 軌跡為橢圓的一部分 ,故存在橢圓的兩焦點(diǎn)滿足題意 . 點(diǎn)評(píng) :由以上兩題不難發(fā)現(xiàn) :過(guò)定點(diǎn) 的直線的交點(diǎn) 直線 斜率之積為小于零的常數(shù) ;過(guò)定點(diǎn) 的直線的交點(diǎn) 直線 斜率之積為大于零的常數(shù) ;這才是兩動(dòng)直線交點(diǎn)的軌跡為有心圓 錐 曲線 的本質(zhì) ;兩動(dòng)直線 即可用矩形包裝 ,也可用向量等包裝 . 1.(人教 A 版數(shù)學(xué) (選修 250 習(xí) 題 第 4 題 )如圖 ,矩形 ,|8,|6, E,F,G,R,S,R ,S ,T 是線段 分點(diǎn) R 與 ,S ,T 的交點(diǎn) L,M,N 都在橢圓162x+92y=1 上 . 2.(1983年全國(guó)高考副題 )如圖 ,在直角坐標(biāo)系中 ,己知矩形 A=a,CO=b,點(diǎn) O 的延長(zhǎng)線上 ,OD=a,設(shè) M、 N 分別是 上的動(dòng)點(diǎn) ,使 C=C 0,求直線 N 的 交點(diǎn) P 的軌跡方程 ,并畫(huà)出圖形 . 3.(2014年 浙江省高中數(shù)學(xué)第二屆教師說(shuō) 題 比 賽 試題 )如圖 ,在矩形 ,AB=a,AD=b (a0,b0),E 為 的中點(diǎn) ,設(shè) P、 Q 分別 上的動(dòng)點(diǎn) ,且滿足接 于點(diǎn) M,求動(dòng)點(diǎn) M 軌跡方程 ,并指出它的形狀 . 4.(2011年安徽高考試題 )設(shè)直線 l1:y=,l2:y=中實(shí)數(shù) k1,=0. ( )證明 ( )證明 x2+ 上 . 5.(2005 年 全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽預(yù) 賽試題 )己知常數(shù) a0,向量 p=(1,0),q=(0,a),經(jīng)過(guò)定點(diǎn) M(0,方向向量為 p+(0,a),方向向量為 p+2 q 的直線相交于點(diǎn) R,其中 R. ( )求點(diǎn) R 的軌跡方程 ; ( )設(shè) a=22,過(guò) F(0,1)的直線 l 交點(diǎn) R 的軌跡于 A、 B 兩點(diǎn) ,求 的取值范圍 . 由 i3,163i(i=1,2,3) 169 點(diǎn) 2