2017年海南省?？谑懈呖颊{(diào)研測試數(shù)學試題（理科）含答案

2017 年?？谑懈呖颊{(diào)研測試 數(shù)學試題（理科） 第 卷（共 60 分） 一、 選擇題：本大題共 12 個小題 ,每小題 5 分 ,共 60 分 有一項是符合題目要求的 . | 1 4M x x ， 2| 7 0N x x ，則 ） A |1 4 B |1 7 C | 0 4 D 40 z 滿足 31z i i（ i 是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3.“ 2x ”是“ 22x ”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條條 54x 的展開式中，含 3x 的項的系數(shù)為（ ） A 20 B 40 C 80 D 160 出 S 值為（ ） A 3115B 75C 3117D 913 , 0 1l n , 1e x e ，在區(qū)間 0 e， 隨機取一個實數(shù) x ，則 e 的概率是（ ） A 111eC1 11 e 與直線 3 4 0及 3 4 10 0 都相切，圓心在直線 4 上，則圓 ） A 223 1 1 B 223 1 1 C 223 1 1 D 223 1 1 ，若 212m m ma a a m N,數(shù)列 前 n 項積為且 21128 ，則 m 的值為（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 2 1s i n 02f x x 的周期為2，若將其圖象沿 x 軸向右平移 a 個單位 0a ，所得圖象關(guān)于原點對稱，則實數(shù) a 的最小值為（ ） A4B 34C2D8該幾何體的體積為（ ） A 16 3 B 24 3 C 80 33D 26 3 23的球有一個內(nèi)接正三棱錐 P ， 球的直徑， 60,則三棱錐 P 的體積為（ ） A 34B 334C 934D 27 x ， y 滿足程 133l o g l o g 1 , 1x y m m ，若不等式 2223 1 8 2 3a x x y a y x y 有解，則實數(shù) a 的取值范圍是（ ） A 55129 ，B 31121 ，C 3121，D 5529，第 卷（共 90 分） 二、填空題（每題 5 分，滿分 20 分，將答案填在答題紙上） a ， b 滿足21)32( 向量 a 與 b 的夾角為 0 ，表示的平面區(qū)域為 M ,若直線 2y k x上存在 M 內(nèi)的點，則實數(shù) k 的最大值是 22 1 0 0xy ， 的右焦點且垂于 x 軸的直線與雙曲線交于 A ,B 兩點，與雙曲線的漸近線交于 C ,D 兩點，若 513D,則雙曲線離心率的取值范圍為 前 n 項和為 若 8 9 7S S S ，則滿足 1 0 的正整數(shù) n 的值為 三、解答題 （本大題共 6 小題，共 70 分 明過程或演算步驟 .） 17. 在銳角 中 ,設(shè)角 A ， B ,C 所對邊分別為 a ， b ,c ， s i n c o s 4 s i n c o s 0b C A c A B. （ 1）求證： ; （ 2）若 , 10a ， 5b ，求 c 的值 . 18. 某地區(qū)擬建立一個藝術(shù)搏物館，采取競標的方式從多家建筑公司選取一家建筑公司，經(jīng)過層層篩選，甲、乙兩家建筑公司進入最后的招標 家公司從 6 個招標總是中隨機抽取 3 個總題，已知這 6 個招標問題中，甲公司可正確回答其中 4 道題目，而乙公司能 正面回答每道題目的概率均為 23，甲、乙兩家公司對每題的回答都是相獨立，互不影響的 . （ 1）求甲、乙兩家公司共答對 2 道題目的概率； （ 2）請從期望和方差的角度分析，甲、乙兩家哪家公司競標成功的可能性更大？ 19. 如圖所示，在四棱錐 P 中，底要 平行四邊形， 30， 32D ,D ,底面 E 為 一點，且 12C . （ 1）證明： D ; （ 2）求二面角 C 余弦值 . 20. 已知橢圓 22 10a ： 的左、右焦點分別為 1F 、 2F ，由橢圓短軸的一個端點與兩焦點構(gòu)成一個等邊三角形，它的面積為 43. （ 1）求橢圓 C 的方程； （ 2）已知動點 ,0B m n m n 在橢圓 C 上，點 0,2 3A ，直線 x 軸于點 D ,點 B 為點 B 關(guān)于 x 軸對稱點，直線 x 軸于點 E ,若在 y 軸上存點 0,得 ,求點 G 的坐標 . xf x e （ e 是自然對數(shù)的底數(shù)） . （ 1）求 （ 2）若 1a ，當 3253 312ax f x x x a x m 對任意 0,x 恒成立時， m 的最大值為 1 ，求實數(shù) a 的取值范圍 . 請考生在 22、 23 兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分 . 標系與參數(shù)方程 以坐標系原點 O 為極點， x 軸正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等長度單位 l 的參數(shù)方程為 c o s2 （ t 為參數(shù) ， 0 ），曲線 C 的極坐標方程為2c o s 8 s i n . （ 1）求直線 l 的普通方程和曲線 C 的直角從標方程； （ 2）設(shè)直線 l 與曲線 C 相交于 A ,B 兩點，當 變化時，求 最小值 . 等式選講 已知函數(shù) 2f x x . （ 1）求不等式 2 40f x x 的解集； （ 2）設(shè) 73g x x m ，若關(guān)于 x 的不等式 f x g x 的解集非空，求實數(shù) m 的取值范圍 . 試卷答案 一、選擇題 1 6 11、 12： | 0 7N x x ， 40 . 2. B 1 111 1 1 2 2i i ，則它在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為 1122，位于第二象限 . 3. A 若 2x ，則 2 4x ，從而 22x ; 若 22x ，則 2 4x ，解得 2x 或 2x . 所以，前者是后者的充分分不必要條件 . 4. D 515 4 c x ，令 2r ，得 D . 5. D 1i ， 13s； 2i ， 17S； 3i ， 913S. 6. B 當 01x時， 1xf x e e e ，當 1 時， x ，即 f x e ，所以 e 的概率是 111. 7. C 到兩直線 3 4 1 0 0 的距離都相等的直線方程為 3 4 5 0 ，聯(lián)立方程組3 4 5 04 ，解得 31 ，所以，半徑為 1 ，從而圓 223 1 1 . 8. D 因為 212m m ma a a ，所以12 1 2m ，即 1=2 . 又 212 1 1 ，由 212 128m ，得 3m . 9. D 1 c o s 2 1 c o s 222xf x x ， 2 =，解得 =2 ，從而 1 c o s 42f x x. 函數(shù) a 個單位后，得到新函數(shù)為 1 c o s 4 42g x x a . 0a， 4+2 ， ，當 0k 時， a 的最小傎為 8 . 10. C 該幾何體的直觀圖如圖所示，它是一底面是菱形的直四棱柱，在左上角切去一個三棱錐后形成的幾何體 1 1 3 8 0 34 3 4 4 4 42 3 4 3V . 11. B 由題意可得球 O 的半徑為 2 ，如圖，因為 球的直徑，所以 90，60可得 2, 所在小圓圓心為 O ,可由射影定理 2A P P O P Q ,所以 1， 3,因為 O 為 的中心，所以可求出 的邊長為 3 ，面積為 934，因此，三棱錐 P 的體積為 1 9 3 9 313 4 4 . 12. C 由 133l o g l o g 1 , 1x y m m ，得 1,33，又 2223 1 8 2 3a x x y a y x y ，整理得 2222m i 232x x y ，2222221 6 11 6 23223x y y ，令 1 33y ， 222 1 6 123t ，所以 221 6 2 3 123 ，易知函數(shù) 222 1 6 123t 在 113， 上遞增，在 1， 3上遞減 31321f ， 1 553 29f ， 55 3129 21，所以2131a. 二、填空題 13. 60 （或3） 由題可得21,c o s,21 ，故向量 a 與 b 的夾角為 60（或?qū)懗?） . 14. 2 可行域為如圖所示的五邊形 其內(nèi)部，聯(lián)立方程組 301 ，解得 12，即 1,2B ,當直線 2y k x過點 1,2B 時，m 2 . 15. 1312，易知 22因為漸近線 ，所以 2由22 5 213b 簡得 513即 2225169所以 2 2 225169c a c，從而 2 169144， 解得 1312 16. 16 8 9 7S S S ，得 890 ， 970 ， 9 0a ， 98 0 . 8916 16 02 ， 17 917 0 . 滿足 1 0 的正整數(shù) n 的值為 16. 三、解答題 17.（ 1）證明： s i n c o s 4 s i n c o s 0b C A c A B， s i n c o s 4 s i n c o A c A B ， 由正弦定理，得 s i n s i n c o s 4 s i n s i n c o A C A B即 s i n c o s 4 s i n c o A B ， s i n 4 s i nc o s c o ，即 . （ 2）解： ta n 3 , t a n t a n 31 t a n t a . 由（ 1）得25 t a n 31 4 t a ， 4A ， A 為銳角， 3A, 4A . 2 2 41 0 2 5 2 5 5 ， 即 5c ，或 3c . 由 ,知 B 為銳角，所以 3c 舍去，從而 5c . 1）由題意可知，所求概 率 1 2 31 2 2 114 2 4 2333662 2 2 1113 3 2 1 5C C C . (2)設(shè)甲公司正確完成面試的題數(shù)為 X ,則 X 的取值分別為 1 ， 2 ， 3 . 124236315 ,53)2(361224 304236135 . 則 X 的分布列為 ： X 1 2 3 P 51 53 51 1 3 11 2 3 25 5 5 2 2 21 3 1 21 2 2 2 3 25 5 5 5 . 設(shè)乙公司正確完成面試的題為 Y ,則 Y 取值分別為 0 ， 1 ， 2 ， 3 . 10 27, 213 2 1 21 3 3 9P Y C , 223 2 1 42 3 3 9P Y C , 3283 3 2 7 則 Y 的分布列為 ： Y 0 1 2 3 P 271 92 94 278 1 2 4 80 1 2 3 22 7 9 9 2 7 .（或 2 3, 3, 2323 ） 2 2 2 21 2 4 8 20 2 1 2 2 2 3 22 7 9 9 2 7 3 .( 2 1 23=3 3 3 ) 由 E X D Y , D X D Y 可得，甲公司 競標 成功的可能性更大 . 19.（ 1）證明：在 中 , 2 2 2 2 c o B A B D B A B D D B A . 不妨設(shè) 2,則由已知 3 ,得 3, 所以 222 32 3 2 2 3 12 ，所以 2 2 2A D B D B A, 所以 90，即 D ,又 底面 所以 D 所以,B D A P P A D P A B P D P A P D P A D 面面面. (2)解：由（ 1）知 A ,B ,以 D 為原點，如圖所示建立空間直角坐標系D ， 設(shè) 1, 于是 (0,0,0)D ， (0, 3, 0)B , ( 1, 3, 0)C , (0,0,1)P , 因為 E 為 一點，且 12C,所以 1, 3 , 1 ，所以 1 3 2,3 3 3E, 所以 1 3 2,3 3 3, 0 , 3 , 0 ，設(shè)平面 法向量 1 1 1 1,n x y z， 則 1 1 111 3 2 03 3 230x y ，令 1 1z ，則 1 2, 0,1n 又 1, 0, 0 , 1 2 3 2,3 3 3 ,設(shè)平面 法向量 2 2 2 2,n x y z22 2 201 2 3 2 03 3 3xx y z ，令 2 1y ，則 2 0,1, 3n ， 設(shè)二面角 C 的大小為 ，由圖可知2 ，則12123 1 51025 1）因為 212 3 4 32 ，所以 4a ， 23b ， 因此橢圓 C 的方程為 22116 12. （ 2）設(shè) 1,0 2,0 ,D ,B 三點共線10 2 3 2 3 ，整理得12323； 同理，由 A , B ,E 三點共線得22323. 又因為 O G D O E G ,則 t a n t a D O E G , 所以 E,即 2O G O D O E. 又 2 3 2 3n 且 0n ，所以 222221 2 1 21 2 1 2. 由于 22116 12，所以 22222 2 21 6 1 21 2 1 2 1 6 1 1 61 2 1 2 1 2 1 2n n . 所以 4t ，點 G 的坐標為 0, 4 . 1）因為 xf x e ，所以 xf x e a. 當 0a 時， xf x e a 0，所以 -+， 上單調(diào)遞增 . 當 0a 時，令 xf x e a 0，得 令， xf x e a 0得 x 1 所以 上單調(diào)遞減；在 1, 上單調(diào)遞增 . （ 2） 3253 312ax f x x x a x m ，即 3253 312x ax e a x x x a x m 對任意 0,x 恒成立， 所以 3 2 23 1 3 13 1 3 122x e x x a x x e x x a 對任意 0,x 恒成立 . 令 2