4-1-4_奇妙的一筆畫.題庫教師版.doc

4妙的一筆畫 題庫 所謂圖的一筆畫，指的就是：從圖的一點出發(fā)，筆不離紙，遍歷每條邊恰好一次，即每條邊都只畫一次，不準重復從圖中容易看出：能一筆畫出的圖首先必須是連通圖但是否所有的連通圖都可以一筆畫出呢？下面，我們就來探求解決這個問題的方法 什么樣的圖形能一筆畫成呢？這就是一筆畫問題，它是一種有名的數學游戲 我們把一個圖形中與偶數條線相連接的點叫做 偶點 相應的把與奇數條線相連接的點叫做奇點 一筆畫問題： (1)能一筆畫出的圖形必須是連通的 圖形； (2)凡是只由偶點組成的連通圖形一定可以一筆畫出畫時可以由任一偶點作為起點最后仍回到這點； (3)凡是只有兩個奇點的連通圖形一定可以一筆畫出畫時必須以一個奇點作為起點，以另一個奇點為終點； (4)奇點個數超過兩個的圖形，一定不能一筆畫 多筆畫問題： 我們把不能一筆畫成的圖，歸納為多筆畫多筆畫圖形的筆畫數恰等于奇點個數的一半事實上，對于任意的連通圖來說，如果有 2，那么這個圖一定可以用 n 筆畫成 【例 1】 我們把一個圖形上與偶數條線相連的點叫做偶點，與奇數條線相連的點叫做 奇點下圖中， 哪些點是偶點 ？哪些點 是奇點 ？ 【解析】 奇點： J D H F 偶點： A E B C G I 【例 2】 判斷下列圖 a、圖 b、圖 圖 析】 圖 a 能，因為有 2 個奇點， 圖 b 不能，因為圖形不是連通的， 圖 c 能，因為因為圖中全是奇點 【例 3】 下面圖形能不能一筆畫成？若果能，應該怎樣畫？ 例題精講 奇妙的一筆畫 4妙的一筆畫 題庫 【解析】 圖 1 能 因為圖中全是偶點， 圖 2 能 因為圖中全是偶點， 圖 3 不能因為有 4 個奇點 【例 4】 下面的圖形，哪些能一筆畫出？哪些不能一筆畫出？ 【解析】 第 1 個能， 2、 3 不能 【例 5】 下圖中不能一筆畫成，請你 在下圖中添加最少的線段，將其改成一筆畫的圖形，并畫出路線圖 【解析】 不能一筆畫出，因為圖中有 E H G 結 可以使圖形一筆畫出 【例 6】 下圖中的線段表示小路，請你仔細觀察，認真思考，能夠不重復的爬遍小路的是甲螞蟻還是乙螞蟻？該怎樣爬？ 【解析】 要想不重復爬出，需要圖形能一筆畫出，由于圖中有兩個奇點，所以應該從奇點出發(fā)才能一筆畫出圖形，所以甲螞蟻能夠 【例 7】 能否用剪刀從左下圖中一次連續(xù)剪下三個正方形和兩個三角形？ 【解析】 可以 【例 8】 下圖是兒童樂園的道路平面圖，要使游客走遍每條路并且不重復，那么出、 入口應設在哪里？ 4妙的一筆畫 題庫 【解析】 要想不重復，需要路線能一筆畫出，由于圖中有兩個奇點，所以入口和出口應該分別放在兩個奇點出，即 點 【例 9】 郵遞員叔叔向 11 個地點送信一次信，不走重復路，怎樣走最合適？ 【解析】 不走重復路，一筆能畫出路線圖，圖中有 2 個奇點，應該從奇點處出發(fā)，下面有一種參考路線： 4例 10】 觀察下面的圖，看各至少用幾筆畫成？ 【解析】 圖 (1)有 8 個奇點，所以要 4 筆畫出， 圖 (2)有 12 個奇點，所以要一筆畫出， 圖 (3)能一筆畫出 【例 11】 判斷下列圖形能否一筆畫若能，請給出一種畫法；若不能，請加一條線或去一條線，將其改成可一筆畫的圖形 J c【解析】 圖 (1)不能一筆畫出，因為圖中有 4 個奇點，連結 者去掉 可以使圖 形能一筆畫出 圖 (2)不能一筆畫出，因為圖中有 4 個奇點，去掉 者 可以使圖形能一筆畫出 圖 (3)不能一筆畫出，因為圖中有 4 個奇點，去掉 以使圖形能一筆畫出 一個 K(K 1)筆畫最少要添加幾條連線才能變成一筆畫呢？我們知道 K 筆畫有 2K 個奇點，如果在任意兩個奇點之間添加一條連線，那么這兩個奇點同時變成了偶點如左下圖中的 B， C 兩個奇點在右下圖中都變成了偶點所以只要在 就可以使奇點數目減少為2 個，從而變成一筆畫 4妙的一筆畫 題庫 【例 12】 18 世紀的哥尼斯堡城是一座美麗的城市，在這座城市中有一條布勒格爾河橫貫城區(qū)，這條河有兩條支流在城市中心匯合，匯合處有一座小島 A 和一座半島 D，人們在這里建了一座公園，公園中有七座橋把河兩岸和兩個小島連接起來 (如圖 a)如果游人要一次走過這七座橋，而且對每座橋只許走一次，問如何走才能成功？ 【解析】 歐拉解決這個問題的方法非常巧妙他認為：人們關心的只是一次不重復地走遍這七座橋，而并 不關心橋的長短和島的大小，因此，島和岸都可以看作一個點，而橋則可以看成是連接這些點的一條線這樣，一個實際問題就轉化為一個幾何圖形 (如下圖 )能否一筆畫出的問題了而圖 B 中有 4 個奇點顯然不能一筆畫出 【鞏固】 如下圖所示，兩條河流的交匯處有兩個島，有七座橋連接這兩個島及河岸問：一個散步者能否一次不重復地走遍這七座橋？ 【解析】 能 【例 13】 右圖是某展覽廳的平面圖，它由五個展室組成，任兩展室之間都有門相通，整個展覽廳還有一個進口和一個出口，問游人能否一次不重復地穿過所有的門，并且從入口進，從出口出？ 【解析】 將圖形中的 6 個區(qū)域看成 6 個點，每個門看成連結他們的線段，顯然 6 個點都是偶點，所以有人能一次不重復的走過所有的門 4妙的一筆畫 題庫 【鞏固】右圖是某展覽館的平面圖，一個參觀者能否不重復地穿過每一扇門？如果不能，請說明理由如果能，應從哪開始走？ 析】 不能 【例 14】 一條小蟲沿長 6 分米，寬 4 分米，高 5 分米的長方體的棱爬行如果它只能進不能退，并 且同一條棱不能爬兩次，那么它最多能爬多少分米？ 【解析】 8 個定點都是奇點，所以至少需要 4 筆 多畫長和高能保證總路程最長， 為 A B G H A D C F E D 總長為 6 4 5 4 4 1 48 分米 【鞏固】 一只木箱的長、寬、高分別為 5， 4， 3 厘米 (見右圖 )，有一只甲蟲從 棱爬行，每條棱不允許重復，則甲蟲回到 多能爬行多少厘米？ 【解析】 最多 34 厘米 【例 15】 如圖是某餐廳的平面圖，共有五個小廳，相鄰兩廳之間有門相通，并且設有入口請問你能否從入口進入一次不重復地穿過所有的門如果可以， 請指明穿行路線， 如果不能，應關閉哪個門就可以辦到？ 【解析】 可以將圖中的五個小廳以及廳外的部分都抽象成點，為方便解題，給它們分別編號這時，連通廳與廳之間的門就相當于各點之間的連線于是題目中餐廳的平面圖就抽象成為一個連通的圖形，求穿形路線的問題就轉化成一筆畫的問題在抽象出的圖形中，我們可以找到四個奇點，即、和廳外，所以圖形不能一筆畫出也就是說，從入口進入不可能一次不重復的穿過所有的門但根據一筆畫問題的知識，只要關閉門，把、變?yōu)榕键c，就可以辦到，可行路線如下圖： B 【例 16】 在 3 3的方陣中 每個小正方形的邊長都是 100 米小明沿線段從 點，不許走重復路，他最多能走多少米？ 【解析】 這道題大多數同學都采用試畫的方法，實際上可以用一筆畫原理求解首先，圖中有 8 個奇點，在 8 4妙的一筆畫 題庫 個奇點之間至少要去掉 4 條線段，才能使這 8 個奇點變成偶點；其次，從 點， A， B 兩點必須是奇點，現在 A， B 都是偶點，必須在與 A， B 連接的線段中各去掉 1 條線段，使 A， B 成為奇點所以至少要去掉 6 條線段，也就是最多能走 1800 米，走法如圖 【例 17】 一個郵遞員投遞信件要走的街道如右圖所示，圖中的數字 表示各條街道的千米數，他從郵局出發(fā)， 要走遍各街道，最后回到郵局怎樣走才能使所走的行程最