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文檔簡介
江西省撫州市 2015 2016 學年度高一上學期期末數(shù)學試卷 一、選擇題(每題 5分,共 60分) 1設(shè)集合 U=1, 2, 3, 4, A=1, 2, B=2, 4,則( ( =( ) A 1, 4 B 3 C a= b= 等于( ) A B C D 3若 =( 1, 2), =( 4, k), = ,則( ) =( ) A 0 B C 4+2k D 8+k 4要得到函數(shù) y=圖象,只需將 y=2x )的圖象( ) A向左平移 個單位長度 B向右平移 個單位長度 C向左平移 個單位長度 D向右平移 個單位長度 5已知 f( = f( 1)的值是( ) A 1 B 1 C D 0 6已知 , ,則 與 的夾角( ) A 30 B 60 C 120 D 150 7函數(shù) f( x) =| 零點個數(shù)為( ) A 1 個 B 2 個 C 3 個 D 4 個 8函數(shù) y=x+)的部分圖象如圖,則 , 可以取的一組值是( ) A B C D 9(中應(yīng)用舉例)已知偶函數(shù) f( x)滿足: f( x) =f( x+2),且當 x0, 1時, f( x) =圖象與直線 在 y 軸右側(cè)的交點按橫坐標從小到大依次記為 則 等于( ) A 2 B 4 C 8 D 16 10若 ,則 ) A B C D 11已知函數(shù) y=f( x)是( 1, 1)上的偶函數(shù),且在區(qū)間( 1, 0)上是單調(diào)遞增的, A, B, 三個內(nèi)角,則下列不等式中一定成立的是( ) A f( f( B f( f( C f( f( D f( f( 12 若 x 是三角形的最小內(nèi)角,則函數(shù) y=最小值是( ) A + B + C 1 D 二、填空題(每題 5分,共 20分) 13已知 ) = , ) = ,則 14已知向量 =( 1, 2), =( 2, 2)則向量 在向 量 方向上的投影為 15某同學在借助計算器求 “方程 x 的近似解(精確到 ”時,設(shè) f( x) =x 2,算得f( 1) 0, f( 2) 0;在以下過程中,他用 “二分法 ”又取了 4 個 x 的值,計算了其函數(shù)值的正負,并得出判斷:方程的近似解是 x=么他所取的 x 的 4 個值中最后一個值是 16關(guān)于下列命題: 函數(shù) f( x) =|21|最小正周期是 ; 函數(shù) y= x)是偶函數(shù); 函數(shù) y=42x )的一個對稱中心是( , 0); 關(guān)于 x 的方程 a( 0x )有兩相異實根,則實數(shù) a 的取值范圍是( 1, 2) 寫出所有正確的命題的題號: 三、解答題(共六題,共 70分) 17 化簡求值: ( 1)( ) ( 0( ) + ; ( 2) ( 1+ 18已知向量 =( 3, 4), =( 6, 3), =( 5 x, 3) ( 1)若點 A, B, C 三點共線,求 x 的值; ( 2)若 直角三角形,且 B 為直角,求 x 的值 19已知: =( 2 =( 2設(shè)函數(shù) f( x) = ( xR)求: ( 1) f( x)的最小正周期及最值; ( 2) f( x)的對稱軸及單調(diào)遞增區(qū)間 20已知 A、 B、 C 是 內(nèi)角,向量 =( 1, ), =( 且 =1 ( 1)求角 A 的大小; ( 2)若 = 2,求 21已知冪函數(shù) f( x) =( k2+k 1) x( 2 k)( 1+k) 在( 0, +)上單調(diào)遞增 ( 1)求實數(shù) k 的值,并寫出相應(yīng)的函數(shù) f( x)的解析式; ( 2)對于( 1)中的函數(shù) f( x),試判斷是否存在整數(shù) m,使函數(shù) g( x) =1 x) +( 2m 1) x,在區(qū)間 0, 1上的最大值為 5,若存在,求出 m 的值,若不存在,請說明理由 22已知函數(shù) f( x) =9x+1) +kR)是偶函數(shù) ( 1)求 k 的值; ( 2)若方程 f( x) = x+b 有實數(shù)根,求 b 的取值范圍; ( 3)設(shè) h( x) =a3x a),若函數(shù) f( x)與 h( x)的圖象有且只有一個公共點,求實數(shù) 江西省撫州市 2015 2016學年度高一上學期期末數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題(每題 5分,共 60分) 1設(shè) 集合 U=1, 2, 3, 4, A=1, 2, B=2, 4,則( ( =( ) A 1, 4 B 3 C a= b=考點】 交、并、補集的混合運算 【專題】 集合 【分析】 由已知利用補集運算求出 3, 4, 1, 3,然后直接利用并集運算得答案 【解答】 解: U=1, 2, 3, 4, A=1, 2, B=2, 4, 則 3, 4, 1, 3, ( ( =1, 3, 4 故選: D 【點評】 本題考查交、并、補集的 混合運算,是基礎(chǔ)的計算題 2 等于( ) A B C D 【考點】 運用誘導公式化簡求值;根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化及其化簡運算 【專題】 計算題;轉(zhuǎn)化思想;三角函數(shù)的求值 【分析】 由 0,去掉根號,利 用誘導公式即可化簡求值 【解答】 解: = 故選: B 【點評】 本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值,誘導公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題 3若 =( 1, 2), =( 4, k), = ,則( ) =( ) A 0 B C 4+2k D 8+k 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【專題】 整體思想;綜合法;平面向量及應(yīng)用 【分析】 計算結(jié)果表示一個數(shù)字與零向量的乘積,故表示零向量 【解答】 解: = , ( ) = 故選: B 【點評】 本題考查了向量的數(shù)量積和數(shù)乘的意義,屬于基礎(chǔ)題 4要得到函數(shù) y=圖象,只需將 y=2x )的圖象( ) A向左平移 個單位長度 B向右平移 個單位長度 C向左平移 個單位長度 D向右平移 個單位長度 【考點】 函數(shù) y=x+)的圖象變換 【專題】 計算題;轉(zhuǎn)化思想;數(shù)形結(jié)合法;三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 【分析】 由條件利用誘導公式,以及函 數(shù) y=x+)的圖象變換規(guī)律,可得結(jié)論 【解答】 解: y=2x ) =( x ) , 將函數(shù) y=( x ) 的圖象向左平移 個單位,可得函數(shù) y=( x + ) =圖象 故選: A 【點評】 本題主要考查誘導公式的應(yīng)用,函數(shù) y=x+)的圖象變換規(guī)律,統(tǒng)一這兩個三角函數(shù)的名稱,是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題 5已知 f( = f( 1)的值是( ) A 1 B 1 C D 0 【考點】 函數(shù)的值 【專題】 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 由已知得 f( 1) =f( = 1 【解答】 解: f( = f( 1) =f( = 1 故選: B 【點評】 本題考查函數(shù)值的求法,是基礎(chǔ)題,解題時要注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用 6已知 , ,則 與 的夾角( ) A 30 B 60 C 120 D 150 【考點】 數(shù)量積表示兩個向量的夾角 【專題】 常規(guī)題 型 【分析】 利用向量的多項式乘法展開,利用向量模的平方等于向量的平方及向量的數(shù)量積公式,求出向量夾角的余弦,利用向量夾角的范圍,求出向量的夾角 【解答】 解:設(shè)兩個向量的夾角為 9+163+1243 0, =120 故選 C 【點評】 求向量的夾角問題一般應(yīng)該先求出向量的數(shù)量積,再利用向量的數(shù) 量積公式求出向量夾角的余弦,注意夾角的范圍,求出夾角 7函數(shù) f( x) =| 零點個數(shù)為( ) A 1 個 B 2 個 C 3 個 D 4 個 【考點】 函數(shù)零點的判定定理 【專題】 計算題;函數(shù)思想;數(shù)形結(jié)合法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 本題即求函數(shù) y=|圖象和函數(shù) y=圖象的交點個數(shù),數(shù)形結(jié)合可得結(jié)論 【解答】 解:函數(shù) f( x) =| 零點的個數(shù), 即函數(shù) y=圖象和函數(shù) y=圖象的交點個數(shù), 如圖所示: 顯然,函數(shù) y=|圖象和函 數(shù) y=圖象的交點個數(shù)為 4, 故選: D 【點評】 本題主要考查函數(shù)的兩點個數(shù)的判斷方法,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想,屬于中檔題 8函數(shù) y=x+)的部分圖象如圖,則 , 可以取的一組值是( ) A B C D 【考點】 y=x+)中參數(shù)的物理意義;由 y=x+)的部分圖象確定其解析式 【分析】 由圖象可知 T/4=3 1=2,可求出 ,再由最大值求出 【解答】 解: =3 1=2, T=8, , 又由 得 故選 D 【點評】 本題考查函數(shù) y=x+)的部分圖象求解析式,由最值與平衡位置確定周期求 ,由最值點求 的方法 9(中應(yīng)用舉例)已知偶函數(shù) f( x)滿足: f( x) =f( x+2),且當 x0, 1時, f( x) =圖象與直線 在 y 軸右側(cè)的交點按橫坐標從小到大依次記為 則 等于( ) A 2 B 4 C 8 D 16 【考點】 函數(shù)奇偶性的性質(zhì);平面向 量數(shù)量積的運算 【專題】 計算題 【分析】 本題考查的知識是函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用及平面向量的數(shù)量積運算,我們可以由已知中函數(shù)f( x)滿足: f( x) =f( x+2),且當 x0, 1時, f( x) =出其圖象與直線 在 y 軸右側(cè)的交點 的關(guān)系,由于 與 同向,我們求出兩個向量的模代入平面向量數(shù)量積公式,即可求解 【解答】 解:依題意 與 同向, 且 3, 4的橫坐標都相差一個周期, 所以 , , 故選 B 【點評】 如果兩個非量平面向量平行(共線),則它們的方向相同或相反,此時他們的夾角為 0 或 當它們同向時,夾角為 0,此 時向量的數(shù)量積,等于他們模的積;當它們反向時,夾角為 ,此時向量的數(shù)量積,等于他們模的積的相反數(shù)如果兩個向量垂直,則它們的夾角為 ,此時向量的數(shù)量積等于 0 10若 ,則 ) A B C D 【考點】 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用 【分析】 題目的條件和結(jié)論都是三角函數(shù)式,第一感覺是先整理條件,用二倍角公式和兩角差的正弦公式,約分后恰好是要求的結(jié)論 【解答】 解: , , 故選 C 【點評】 本題解法巧妙,能解的原因是要密切注意各公式間的內(nèi)在聯(lián)系,熟練地掌握這些公式的正用、逆用以及某些公式變形后的應(yīng)用 11已知函數(shù) y=f( x)是( 1, 1)上的偶函數(shù),且在區(qū)間( 1, 0)上是單調(diào)遞增的, A, B, 三個內(nèi)角,則下列不等式中一定成立的是( ) A f( f( B f( f( C f( f( D f( f( 【考點】 奇偶性與單調(diào)性的綜合;解三角形 【專題】 計算題;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用;三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 【分析】 由于 f( x)定義在( 1, 1)上的偶函數(shù),且在區(qū)間( 1, 0)上單調(diào)遞增,可得 f( x)在( 0, 1)上是減函數(shù)而銳角三角形中 ,任意一個角的正弦要大于另外角的余弦,由此對題中各個選項依此加以判斷,可得本題的答案 【解答】 解:對于 A,由于不能確定 大小, 故不能確定 f( f( 大小,可得 A 不正確; 對于 B, A, B, C 是銳角三角形 三個內(nèi)角, A+B ,得 A B 注意到不等式的兩邊都是銳角,兩邊取正弦, 得 B),即 f( x)定義在( 1, 1)上的偶函數(shù),且在區(qū)間( 1, 0)上單調(diào)遞增 f( x)在( 0, 1)上是減函數(shù) 由 得 f( f( 故 B 不正確 對于 C, A, B, C 是銳角三角形 三個內(nèi)角, B+C ,得 C B 注意到不等式的兩邊都是銳角,兩邊取余弦, 得 B),即 f( x)在( 0, 1)上是減函數(shù) 由 得 f( f( 得 C 正確; 對于 D,由對 B 的證明可得 f( f( 故 D 不正確 故選: C 【點評】 本題給出抽象函數(shù),求用銳角三角形的內(nèi)角的正、余弦作為自變量時,函數(shù)值的大小關(guān)系著重考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和銳角三角形中三角函數(shù)值的大小比較等知識,屬于中檔題 12若 x 是三角形的最小內(nèi)角,則函數(shù) y=最小值是( ) A + B + C 1 D 【考點】 三角函數(shù)的化簡求值;三角函數(shù)的最值 【專題】 函數(shù)思想;換元法;三角函數(shù)的求值 【分析】 令 t,則 ,則 y 是關(guān)于 t 的 二次函數(shù),根據(jù) x 的范圍得出 t 的范圍,利用二次函數(shù)性質(zhì)推出 y 的最小值 【解答】 解:令 t,則 , y=t = ( t 1) 2+1 x 是三角形的最小內(nèi)角, x( 0, , t=x+ ), t( 1, , 當 t= 時, y 取得最小值 故選: A 【點評】 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換,三角函數(shù)的最值,二次函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題 二、填空題(每題 5分,共 20分) 13已知 ) = , ) = ,則 【考點】 兩角和與差的正切函數(shù) 【專題】 計算題;函數(shù)思想;轉(zhuǎn)化法;三角函數(shù)的求值 【分析】 直接利用兩角和與差的正切函數(shù)求解即可 【解答】 解: ) = , ) = , 則 ) +( ) = = = 故答案為: , 【點評】 本題考查兩角和的正切函數(shù)的應(yīng)用,考查計算能力 14已知向量 =( 1, 2), =( 2, 2)則向量 在向量 方向上的投影為 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【專題】 對應(yīng)思想;綜合法;平面向量及應(yīng)用 【分析】 求出兩向量夾角,代入投影公式即可 【解答】 解: | |=2 , = 2 4= 6 = 向量 在向量 方向上的投影 | | = = = 故答案為: 【點評】 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算,模長計算及投影的含義,屬于基礎(chǔ)題 15某同學在借助計算器求 “方程 x 的近似解(精確到 ”時,設(shè) f( x) =x 2,算得f( 1) 0, f( 2) 0;在以下過程中,他用 “二分法 ”又取了 4 個 x 的值,計算了其函數(shù)值的正負,并得出判斷:方程的近似解是 x=么他所取的 x 的 4 個值中最后一個值是 【考點】 二分法求方程的近似解 【專題】 對應(yīng)思想;定義法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 根據(jù) “二分法 ”的定義,每次把原區(qū)間縮小一 半,且保證方程的近似解不能跑出各個小的區(qū)間即可 【解答】 解:根據(jù) “二分法 ”的定義,最初確定的區(qū)間是( 1, 2),又方程的近似解是 x 故后 4 個區(qū)間分別是( 2),( 2),( ( 故它取的 4 個值分別為 后一個值是 故答案為: 【點評】 本題考查了二分法的定義,以及利用二分法求方程的近似解的問題,是基礎(chǔ)題 16關(guān)于下列命題: 函數(shù) f( x) =|21|最小正周期是 ; 函數(shù) y= x)是偶函數(shù); 函數(shù) y=42x )的一個對稱中心是( , 0); 關(guān)于 x 的方程 a( 0x )有兩相異實根,則實數(shù) a 的取值范圍是( 1, 2) 寫出所有正確的命題的題 號: 【考點】 余弦函數(shù)的圖象 【專題】 轉(zhuǎn)化思想;綜合法;三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 【分析】 由條件利用正弦函數(shù)的、余弦函數(shù)的周期性、奇偶性、圖象的對稱性,以及方程的根的存在性,正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象特征,得出結(jié)論 【解答】 解: 函數(shù) f( x) =|21|=|小正周期是 = ,故排除 ; 函數(shù) y= x) = 2x) =2x ) =奇函數(shù),故排除 ; 令 2x =得 x= + , kZ, 可得函數(shù) y=42x )的一個對稱中心是( , 0),故 正確; 關(guān)于 x 的方程 a( 0x )有兩相異實根, 即 2x+ ) =a 有兩相異實根,即 y=2x+ )的圖象和直線 y=a 有兩個不同的交點 0x , x+ ,故 a 2, 即實數(shù) a 的取值范圍是 , 2),故排除 , 故答案為: 【點評】 本題主要考查正弦函數(shù)的、余弦函數(shù)的周期性、奇偶性、圖象的對稱性,以及方程的根的存在性 ,正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象特征,屬于中檔題 三、解答題(共六題,共 70分) 17化簡求值: ( 1)( ) ( 0( ) + ; ( 2) ( 1+ 【考點】 根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化及其化簡運算;三角函數(shù)的化簡求值 【專題】 計算題;函數(shù)思想;數(shù)學模型法;三角函數(shù)的求值 【分析】 ( 1)化負指數(shù)為正指數(shù),化 0 指數(shù)冪為 1,然后結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)化簡求值; ( 2)化切為弦,通分后,利用兩角和與差的正弦化簡得答案 【解答】 解:( 1)( ) ( 0( ) + = = = ; ( 2) ( 1+ = = = = 【點評】 本題考查根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化及化簡求值,考查了三角函數(shù)的化簡求值,訓練了兩角和與差的正弦,是中檔題 18已知向量 =( 3, 4), =( 6, 3), =( 5 x, 3) ( 1)若點 A, B, C 三點共線,求 x 的值; ( 2)若 直角三角形,且 B 為直角,求 x 的值 【考點】 三點共線 【專題】 函數(shù)思想;數(shù)形結(jié)合法;直線與圓 【分析】 ( 1)由點 A, B, C 三點共線可得 和 共線,解關(guān)于 x 的方程可得; ( 2)由 直角三角形可得 ,即 =0,解關(guān)于 x 的方程可得 【解答】 解:( 1) =( 3, 4), =( 6, 3), =( 5 x, 3), = =( 3, 1), = =( 1 x, 6) 點 A, B, C 三點共線, 和 共線, 36= 1 x,解得 x= 19; ( 2) 直角三角形,且 B 為直角, , =3( 1 x) +6=0, 解得 x=1 【點評】 本題考查向量的平行和垂直關(guān)系,屬基礎(chǔ)題 19已知: =( 2 =( 2設(shè)函數(shù) f( x) = ( xR)求: ( 1) f( x)的最小正周期及最值; ( 2) f( x)的對稱軸及單調(diào)遞增區(qū)間 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算;三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用;正弦函數(shù)的圖象 【專題】 函數(shù)思想;綜合法;三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 【分析】 ( 1)使用向量的數(shù)量積公式得出 f( x)并化簡,利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得出 f( x)的周期和最值; ( 2)令 2x+ = 解出 f( x)的對稱軸,令 2x+ 解出 f( x)的增區(qū)間 【解答】 解:( 1) f( x) =2 = + =22x+ ) f( x)的最小正周期 T= =, f( x)的最大值為 2, f( x)的最小值為 2 ( 2)令 2x+ = 得 x= + , f( x)的對稱軸為 x= + 令 2x+ ,解得 +kx + f( x)的單調(diào)增區(qū)間是 + kZ 【點評】 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換和正弦函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題 20已知 A、 B、 C 是 內(nèi)角,向量 =( 1, ), =( 且 =1 ( 1)求角 A 的大小; ( 2)若 = 2,求 【考點】 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用;平面向量數(shù)量積的運算;三角函數(shù)的化簡求值 【專題】 計算題;轉(zhuǎn)化思想;分析法;三角函數(shù)的求值;平面向量及應(yīng)用 【分析】 ( 1)利用向量共線定理、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出; ( 2)由已知,利用平方差(和)公式化簡,整理可求得 值,再利用三角形的內(nèi)角和定理、誘導公式、兩角和的正切函數(shù)公式化簡所求,由特殊角的三角函數(shù)值即可計算得解 【解答】 (本題滿分為 12 分) 解:( 1)因為 =( 1, ), =( 且 =1, 所以 ,即 , 所以 2A ) =1, A ) = , 因為 A( 0, ), 所以 A ( , ), 所以 A = , 故 A= ( 2) = 2 = 2 , 2, ( A+B) = A+B) = = = 【點評】 本題考查了向量共線定理、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性、三角形的內(nèi)角和定理等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,考查了推理能力和計算能力,屬于中檔題 21已知冪函數(shù) f( x) =( k2+k 1) x( 2 k)( 1+k) 在( 0, +)上單調(diào)遞增 ( 1)求實數(shù) k 的值,并寫出相應(yīng)的函數(shù) f( x)的解析式; ( 2)對于( 1)中的函數(shù) f( x),試判斷是否存在整數(shù) m,使函數(shù) g( x) =1 x) +( 2m 1) x,在區(qū)間 0, 1上的最大值為 5,若存在,求出 m 的值,若不存在,請說明理由 【考點】 函數(shù)的最值及其幾何意義;函數(shù)解析式的求解及常用方法 【專題】 分類討論;分析法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 ( 1)由冪函數(shù)的定義和單調(diào)性,可得( 2 k)( 1+k) 0,又 k2+k 1=1,即可得到 k 的值和 f( x) 的解析式; ( 2)求出 g( x)的解析式,討論 m 的符號,結(jié)合二次函數(shù)的對稱軸和區(qū)間的關(guān)系,運用單調(diào)性,解方程可得 m 的值 【解答】 解:( 1) 冪函數(shù) f( x) =( k2+k 1) x( 2 k)( 1+k) 在( 0, +)上單調(diào)遞增, 可得( 2 k)( 1+k) 0,解得 1 k 2, 又 k2+k 1=1,可得 k= 2 或 1, 即有 k=1,冪函數(shù) f( x) = ( 2)由( 1)可知: g( x) = 2m 1) x+1, 當 m=0 時, g( x) =1 x 在 0, 1遞減, 可得 g( 0)取得最大值,且為 1,不成立; 當 m 0 時, g( x)圖象開口向上,最大值在 g( 0)或 g( 1)處取得, 而 g( 0) =1,則 g( 1) =5,即為 m=5,不成立; 當 m 0,即 m 0, g( x) = m( x ) 2+ 當 0, m 0 時,解得 0 m , 則 g( x)在 0, 1上單調(diào)遞減,因此在 x=0 處取得最大值, 而 g( 0) =15 不符合要 求,應(yīng)舍去; 當 1, m 0 時,解得 m 不存在; 當 0 1, m 0 時,解得 m , 則 g( x)在 x= 處取得最小值,最大值在 x=0 或 1 處取得, 而 g( 0) =1 不符合要求; 由 g( 1) =5,即 m=5,滿足 m 的范圍 綜上可知:滿足條件的 m 存在且 m=5 【點評】 本題考查冪函數(shù)的定
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