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2015年湖南省衡陽(yáng)市衡陽(yáng)縣高一(上)期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題:本大題共 10個(gè)小題,每小題 3分,共 30分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1集合 yz|0 y4的子集個(gè)數(shù)是( ) A 64 B 32 C 16 D 8 2直線 的傾斜角是( ) A 30 B 120 C 135 D 150 3與函數(shù) y= 的定義域相同的函數(shù)是( ) A y= B y=2x 1 C y= D y=x 1) 4下列函數(shù)中,在區(qū)間( 0, +)上 是增函數(shù)的是( ) A y= B y= |x| C y= D y= 2x+5 5直線 x+( a+5) y 6=0 與直線 a 3) x+y+7=0 互相垂直,則 a 等于( ) A B 1 C 1 D 6已知 f( x) =( x+1)( x+a)為偶函數(shù),則 a=( ) A 2 B 1 C 1 D 2 7若 a=( ) 2, b=2 , c=,則 a, b, c 的大小關(guān)系為( ) A a b c B c a b C c b a D a c b 8已知函數(shù) f( x) =x, x , ,則 f( x)的值域是( ) A , 2 B , 2 C 0, 2 D 0, 9三棱錐 P , 底面 ,底面 邊長(zhǎng)為 2 的正三角形,則三棱錐 P體積等于( ) A 3 B C 2 D 4 10如圖,水平放置的三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為 2,且側(cè)棱 底面 視圖是邊長(zhǎng)為 2 的正方形,該三棱柱的左視圖面積為( ) A 4 B C D 二、填空題:本大題共 5小題,每小題 4分, 共 20分,把正確的答案填在橫線上 11已知 a 是函數(shù) f( x) =2 零點(diǎn),則 a 的值為 12過點(diǎn)( 1, 3)且與直線 x+2y 1=0 平行的直線方程是 13已知函數(shù) f( x) = 的值為 14如圖,正方體 ABCD,直線 DA 與 成的角為 15若對(duì)于任意的 x1, 2,不等式 1 恒成立,則實(shí)數(shù) a 的最小值為 三、解答題:本大題共 6小題,滿分 50分,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算 步驟 16已知集合 A=x|4x 8, xR, B=x|6 x 9, xR, C=x|x a, xR ( 1)求 A B; ( 2)( B; ( 3)若 AC=,求 a 的取值范圍 17已知 三個(gè)頂點(diǎn)分別為 A( 2, 3), B( 1, 2), C( 3, 4),求 ( 1) 上的中線 在的直線方程; ( 2) 面積 18已知圓 C:( x 1) 2+ ( 1)求過點(diǎn) P( 3, 3)且與圓 C 相切的直線 l 的方程; ( 2)已知直線 m: x y+1=0 與圓 C 交于 A、 B 兩點(diǎn),求 |19某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是: 4內(nèi)(含 410 元,超過 4不超過 18部分 ,超過 18部分 /計(jì)等待時(shí)間的費(fèi)用 ( 1)如果某人乘車行駛了 10要付多少車費(fèi)? ( 2)試建立車費(fèi) y(元)與行車?yán)锍?x( 函數(shù)關(guān)系式 20如圖,在正方體 E、 F 分別為棱 中點(diǎn) ( 1)求證: 行平面 ( 2)求證:平面 平面 3)求直線 平面 成角的正切值 21已知函數(shù) f( x) = ( 1)證明 f( x)是奇函數(shù); ( 2)判斷 f( x)的單調(diào)性,并用定義證明 ( 3)求 f( x)在 1, 2上的最值 2015年湖南省衡陽(yáng)市衡陽(yáng)縣高一(上)期末數(shù)學(xué)試卷 來(lái) 參考答案與試題解析 一、選擇題:本大題共 10個(gè)小題,每小題 3分,共 30分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1集合 yz|0 y4的子集個(gè)數(shù)是( ) A 64 B 32 C 16 D 8 【考點(diǎn)】 子集與真子集 【專題】 計(jì)算題;集合思想;定義法;集合 【分析】 求出集合,然后求解集合的子集的個(gè)數(shù) 【解答】 解:因?yàn)?yz|0 y4=1, 2, 3, 4, 所以集合的子集的個(gè)數(shù): 24=16 故選: C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查集合的求法,子集的個(gè)數(shù)問題,基本知識(shí)的考查 2直線 的傾斜角是( ) A 30 B 120 C 135 D 150 【考點(diǎn)】 直線的傾斜角 【專題】 計(jì)算題 【分析】 把已知直線的方程變形后,找出直線的斜率,根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系,即直線的斜率等于傾斜角的正切值,得到傾斜角的正切值,由傾斜角的范圍,利用特殊角的三角 函數(shù)值即可求出傾斜角的度數(shù) 【解答】 解:由直線 變形 得: y= x+ , 所以該直線的斜率 k= ,設(shè)直線的傾斜角為 ,即 , ( 0, 180), =15 0 故選 D 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了直線的傾斜角,以及特殊角的三角函數(shù)值熟練掌握直線傾斜角與斜率的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵,同時(shí)注意直線傾斜角的范圍 3與函數(shù) y= 的定義域相同的函數(shù)是( ) A y= B y=2x 1 C y= D y=x 1) 【考點(diǎn)】 判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù) 【專題】 對(duì)應(yīng)思想;定義法;函 數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 求出函數(shù) y= 的定義域,再分別求出選項(xiàng)中的函數(shù)定義域,進(jìn)行判斷即可 【解答】 解:函數(shù) y= 的定義域是( 1, +); 對(duì)于 A,函數(shù) y= 的定義域是 1, +),與已知函數(shù)的定義域不同; 對(duì)于 B,函數(shù) y=2x 1的定義域是( , +),與已知函數(shù)的定義域不同; 對(duì)于 C,函數(shù) y= 的定義域是( , 1) ( 1, +),與已知函數(shù)的定義域不同; 對(duì)于 D,函數(shù) y=x 1)的定義域是( 1, +),與已知函數(shù)的定義域相同 故選: D 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了求基本初等函數(shù)定義域的應(yīng)用問題, 是基礎(chǔ)題目 4下列函數(shù)中,在區(qū)間( 0, +)上是增函數(shù)的是( ) A y= B y= |x| C y= D y= 2x+5 【考點(diǎn)】 函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明 【專題】 函數(shù)思想;綜合法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 根據(jù)反比例函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù),以及一次函數(shù)的單調(diào)性便可找出正確選項(xiàng) 【解答】 解: A. 在( 0, +)上為減函數(shù), 該選項(xiàng)錯(cuò)誤; B x 0 時(shí), 為減函數(shù), 該選項(xiàng)錯(cuò)誤; C y= 在( 0, +)上單調(diào)遞增, 該選項(xiàng)正確; D一次函數(shù) y= 2x+5 在( 0, +)上單 調(diào)遞減, 該選項(xiàng)錯(cuò)誤 故選 C 【點(diǎn)評(píng)】 考查反比例函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),二次函數(shù)及一次函數(shù)在( 0, +)上的單調(diào)性,要熟悉二次函數(shù)圖象 5直線 x+( a+5) y 6=0 與直線 a 3) x+y+7=0 互相垂直,則 a 等于( ) A B 1 C 1 D 【考點(diǎn)】 直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系 【專題】 方程思想;綜合法;直線與圓 【分析】 利用兩條直線相互垂直與斜率的關(guān)系即可得出 【解答】 解: 直線 x+( a+5) y 6=0 和 a 3) x+y+7=0 直線互相垂直, ( a 3) +( a+5) =0,解之得 a= 1, 故選: B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了兩條直線相互垂直與斜率的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題 6已知 f( x) =( x+1)( x+a)為偶函數(shù),則 a=( ) A 2 B 1 C 1 D 2 【考點(diǎn)】 函數(shù)奇偶性的性質(zhì) 【專題】 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù),則根據(jù)偶函數(shù)定義 f( x) =f( x)得到等式解出 a 即可 【解答】 解: 函數(shù)為偶函數(shù)得 f( 1) =f( 1) 得: 2( 1+a) =0 a= 1 故選 B 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查學(xué)生應(yīng)用函數(shù)奇偶性的能力 7若 a=( ) 2, b=2 , c=,則 a, b, c 的大小關(guān)系為( ) A a b c B c a b C c b a D a c b 【考點(diǎn)】 對(duì)數(shù)值大小的比較 【專題】 計(jì)算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解 【解答】 解: a=( ) 2= , b=2 21=2, c= 1=0, a, b, c 的大小關(guān)系為 c a b 故選: C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查對(duì)數(shù)值大小的比較,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用 8已知 函數(shù) f( x) =x, x , ,則 f( x)的值域是( ) A , 2 B , 2 C 0, 2 D 0, 【考點(diǎn)】 對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值 【專題】 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可 【解答】 解:函數(shù) f( x) =x, x , ,是減函數(shù), 所以函數(shù)的最小值為: f( ) = , 函數(shù)的最大值為: f( ) =2 函數(shù)的值域?yàn)椋?, 2 故選: A 【點(diǎn)評(píng)】 本 題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值的求法,考查計(jì)算能力 9三棱錐 P , 底面 ,底面 邊長(zhǎng)為 2 的正三角形,則三棱錐 P體積等于( ) A 3 B C 2 D 4 【考點(diǎn)】 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積 【專題】 計(jì)算題;規(guī)律型;轉(zhuǎn)化思想;空間位置關(guān)系與距離 【分析】 由題意求出底面面積,然后求出三棱錐的體積 【解答】 解:三棱錐 P , 底面 ,底面 邊長(zhǎng)為 2 的正三角形,所以底面面積為: ; 三棱錐的體積為: 3= 故選: B 【點(diǎn)評(píng)】 本題是基礎(chǔ)題,考查三棱錐的體積的計(jì)算,注意三棱錐的特征 是解題的關(guān)鍵 10如圖,水平放置的三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為 2,且側(cè)棱 底面 視圖是邊長(zhǎng)為 2 的正方形,該三棱柱的左視圖面積為( ) A 4 B C D 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 來(lái)源 :Z,xx,【專題】 計(jì)算題 【分析】 由三視圖和題意可知三棱柱是正三棱柱,結(jié)合正視圖,俯視圖,不難得到側(cè)視圖,然后求出面積 【解答】 解:由三視圖和題意可知三棱柱是正三棱柱,底面邊長(zhǎng)為 2,側(cè)棱長(zhǎng) 2, 結(jié)合正視圖,俯視圖,得到側(cè)視圖是矩形,長(zhǎng)為 2,寬為 面積為: 故選 B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查由 三視圖求側(cè)視圖的面積,是基礎(chǔ)題 二、填空題:本大題共 5小題,每小題 4分,共 20分,把正確的答案填在橫線上 11已知 a 是函數(shù) f( x) =2 零點(diǎn),則 a 的值為 4 【考點(diǎn)】 函數(shù)的零點(diǎn) 【專題】 對(duì)應(yīng)思想;定義法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義,得 f( a) =0,從而求出 a 的值 【解答】 解: a 是函數(shù) f( x) =2 零點(diǎn), f( a) =2 , , 解得 a=4 故答案為: 4 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了零點(diǎn)的定義與應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題目 12過點(diǎn)( 1, 3)且與直線 x+2y 1=0 平行的直線方程是 x+2y 7=0 【考點(diǎn)】 直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系 【專題】 計(jì)算題;規(guī)律型;方程思想;直線與圓 【分析】 求出直線的斜率,然后求解直線方程 【解答】 解:與直線 x+2y 1=0 平行的直線的斜率為: , 由點(diǎn)斜式方程可得: y 3= ( x 1),化簡(jiǎn)可得 x+2y 7=0 故答案為: x+2y 7=0 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查直線方程的求法,考查計(jì)算能力 13已知函數(shù) f( x) = 的值為 【考點(diǎn)】 對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 【專題】 計(jì)算題 【分析】 首先求出 f( ) = 2,再求出 f( 2)的值即可 【解答】 解: 0 f( ) = 2 2 0 f( 2) =2 2= 故答案為 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),以及分段函數(shù)求值問題,分段函數(shù)要注意定義域,屬于基礎(chǔ)題 14如圖,正方體 ABCD,直線 DA 與 成的角為 60 【考點(diǎn)】 異面直線及其所成的角 【專題】 計(jì)算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;空間角 【分析】 連結(jié) 由 得 直線 DA 與 成的角,由此能求出直線 DB 所成的角 【解答】 解:連結(jié) 正方體 ABCD中, 直線 DA 與 成的角, C= 60, 直線 DA 與 成的角為 60 故答案為: 60 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查異面直線所成角的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng) 15若對(duì)于任意的 x1, 2,不等式 1 恒成立,則實(shí)數(shù) a 的最小值為 【考點(diǎn)】 函數(shù)恒成立問題 【專題】 計(jì)算題;轉(zhuǎn)化思想;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 若對(duì)于任意的 x1, 2,不等式 1 恒成立,則對(duì)于任意的 x1, 2,不等式 a2x恒成立,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最大值,可得答案 【解答】 解:若對(duì)于任意的 x1, 2,不等式 1 恒成立, 即對(duì)于任意的 x1, 2,不等式 1+axx2 即對(duì)于任意的 x1, 2,不等式 axx2x 1 恒成立, 即對(duì)于任意的 x1, 2,不等式 a2x 恒成立, 由 y=2x, x1, 2為增函數(shù), y= , x1, 2為減函數(shù), 故 y=2x , x1, 2為增函數(shù), 故當(dāng) x=2 時(shí), y 取最大值 , 即 a , 故實(shí)數(shù) a 的最小值為 , 故答案為: 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立問題,將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,是解答的關(guān)鍵 三、解答題:本大題共 6小題,滿分 50分,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟 16已知集合 A=x|4x 8, xR, B=x|6 x 9, xR, C=x|x a, xR ( 1)求 A B; ( 2)( B; ( 3)若 AC=,求 a 的取 值范圍 【考點(diǎn)】 交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算 【專題】 計(jì)算題;集合思想;定義法;集合 【分析】 ( 1)根據(jù) A 與 B,求出兩集合的并集即可; ( 2)由全集 U=R,求出 A 的補(bǔ)集,找出 A 補(bǔ)集與 B 的交集即可; ( 3)由 A 與 C,且 A 與 C 的交集為空集,確定出 a 的范圍即可 【解答】 解:( 1) A=x|4x 8, B=x|6 x 9, A B=x|4x 9; ( 2) A=x|4x 8,全集為 R, x|x 4 或 x8, B=x|6 x 9, 則( B=x|8x 9; ( 3) AC =,且 A=x|4x 8, C=x|x a, a 的取值范圍是 a8 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算,熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵 17已知 三個(gè)頂點(diǎn)分別為 A( 2, 3), B( 1, 2), C( 3, 4),求 ( 1) 上的中線 在的直線方程; ( 2) 面積 【考點(diǎn)】 直線的一般式方程 【專題】 方程思想;綜合法;直線與圓 【分析】 ( 1)求出中點(diǎn) D 的坐標(biāo),用兩點(diǎn)式求出中線 在直線的方程,并化為一般式 ( 2)求出 線段 長(zhǎng)度,求出直 線 方程和點(diǎn) A 到直線 距離,即可求得 面積 【解答】 解:( 1)設(shè) D( x, y),則 x= = 2, y= =1, D( 2, 1),而 A( 2, 3), = , 上的中線 在的直線方程為: y 1= ( x+2),即: x 2y+4=0; ( 2) | =2 ,直線 方程是: 3x+y+5=0, A 到 距離 d= = , S |d= 2 =14 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查用兩點(diǎn)式求直線方程的方法,點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用,求點(diǎn) A 到直線 距離是 解題的 難點(diǎn) 18已知圓 C:( x 1) 2+ ( 1)求過點(diǎn) P( 3, 3)且與圓 C 相切的直線 l 的方程; ( 2)已知直線 m: x y+1=0 與圓 C 交于 A、 B 兩點(diǎn),求 |【考點(diǎn)】 圓的切線方程 【專題】 計(jì)算題;分類討論;綜合法;直線與圓 【分析】 ( 1)設(shè)出切線方程,求出圓的圓心與半徑,利用圓心到直線的距離等于半徑,求出 k,寫出切線方程即可; ( 2)求出圓心到直線的距離,利用勾股定理求弦 |長(zhǎng) 【解答】 解:( 1)設(shè)切線方程為 y 3=k( x 3),即 y 3k+3=0, 圓心( 1, 0)到切線 l 的距離等于半徑 2, =2,解得 k= , 切線方程為 y 3= ( x 3),即 5x 12y+21=0, 當(dāng)過點(diǎn) M 的直線的斜率不存在時(shí),其方程為 x=3,圓心( 1, 0)到此直線的距離等于半徑 2, 故直線 x=3 也適合題意 所以,所求的直線 l 的方程是 5x 12y+21=0 或 x=3 ( 2)圓心到直線的距離 d= = , |2 =2 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查圓的切線方程的求法,注意直線的斜率存在與不存在情況,是本題的關(guān)鍵 19某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是: 4內(nèi)(含 410 元,超過 4不超過 18部分 ,超過 18部分 /計(jì)等待時(shí)間的費(fèi)用 ( 1)如果某人乘車行駛了 10要付多少車費(fèi)? ( 2)試建立車費(fèi) y(元)與行車?yán)锍?x( 函數(shù)關(guān)系式 【考點(diǎn)】 函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用 【專題】 應(yīng)用題;函數(shù)思想;綜合法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 ( 1) x=104x18y=10+x 4); ( 2)利用條件,可得分段函數(shù) 【解答】 解:( 1) x=104x18y=10+x 4) =; ( 2)由題意 0x4, y=10; 4x18, y=10+x 4,即 y= x 18, y=10+4+x 18即 y= 所以車費(fèi)與行車?yán)锍痰暮瘮?shù)關(guān)系式為 y= 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查函數(shù)模型的建立,考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題 20如圖,在正方體 E、 F 分別為棱 中點(diǎn) ( 1)求證: 行平面 ( 2)求證:平面 平面 3)求直線 平面 成角的正切值 【考點(diǎn)】 直線與平面所成的角;平面
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