衡陽(yáng)市衡陽(yáng)縣2015-2016學(xué)年高一上期末數(shù)學(xué)試卷含答案解析

2015年湖南省衡陽(yáng)市衡陽(yáng)縣高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題：本大題共 10個(gè)小題，每小題 3分，共 30分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1集合 yz|0 y4的子集個(gè)數(shù)是（ ） A 64 B 32 C 16 D 8 2直線 的傾斜角是（ ） A 30 B 120 C 135 D 150 3與函數(shù) y= 的定義域相同的函數(shù)是（ ） A y= B y=2x 1 C y= D y=x 1） 4下列函數(shù)中，在區(qū)間（ 0， +）上 是增函數(shù)的是（ ） A y= B y= |x| C y= D y= 2x+5 5直線 x+（ a+5） y 6=0 與直線 a 3） x+y+7=0 互相垂直，則 a 等于（ ） A B 1 C 1 D 6已知 f（ x） =（ x+1）（ x+a）為偶函數(shù)，則 a=（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 7若 a=（ ） 2， b=2 ， c=，則 a， b， c 的大小關(guān)系為（ ） A a b c B c a b C c b a D a c b 8已知函數(shù) f（ x） =x， x ， ，則 f（ x）的值域是（ ） A ， 2 B ， 2 C 0， 2 D 0， 9三棱錐 P ， 底面 ，底面 邊長(zhǎng)為 2 的正三角形，則三棱錐 P體積等于（ ） A 3 B C 2 D 4 10如圖，水平放置的三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為 2，且側(cè)棱 底面 視圖是邊長(zhǎng)為 2 的正方形，該三棱柱的左視圖面積為（ ） A 4 B C D 二、填空題：本大題共 5小題，每小題 4分， 共 20分，把正確的答案填在橫線上 11已知 a 是函數(shù) f（ x） =2 零點(diǎn)，則 a 的值為 12過(guò)點(diǎn)（ 1， 3）且與直線 x+2y 1=0 平行的直線方程是 13已知函數(shù) f（ x） = 的值為 14如圖，正方體 ABCD，直線 DA 與 成的角為 15若對(duì)于任意的 x1， 2，不等式 1 恒成立，則實(shí)數(shù) a 的最小值為 三、解答題：本大題共 6小題，滿分 50分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算 步驟 16已知集合 A=x|4x 8， xR， B=x|6 x 9， xR， C=x|x a， xR （ 1）求 A B； （ 2）（ B； （ 3）若 AC=，求 a 的取值范圍 17已知 三個(gè)頂點(diǎn)分別為 A（ 2， 3）， B（ 1， 2）， C（ 3， 4），求 （ 1） 上的中線 在的直線方程； （ 2） 面積 18已知圓 C：（ x 1） 2+ （ 1）求過(guò)點(diǎn) P（ 3， 3）且與圓 C 相切的直線 l 的方程； （ 2）已知直線 m： x y+1=0 與圓 C 交于 A、 B 兩點(diǎn)，求 |19某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是： 4內(nèi)（含 410 元，超過(guò) 4不超過(guò) 18部分 ，超過(guò) 18部分 /計(jì)等待時(shí)間的費(fèi)用 （ 1）如果某人乘車行駛了 10要付多少車費(fèi)？ （ 2）試建立車費(fèi) y（元）與行車?yán)锍?x（ 函數(shù)關(guān)系式 20如圖，在正方體 E、 F 分別為棱 中點(diǎn) （ 1）求證： 行平面 （ 2）求證：平面 平面 3）求直線 平面 成角的正切值 21已知函數(shù) f（ x） = （ 1）證明 f（ x）是奇函數(shù)； （ 2）判斷 f（ x）的單調(diào)性，并用定義證明 （ 3）求 f（ x）在 1， 2上的最值 2015年湖南省衡陽(yáng)市衡陽(yáng)縣高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷 來(lái) 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 10個(gè)小題，每小題 3分，共 30分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1集合 yz|0 y4的子集個(gè)數(shù)是（ ） A 64 B 32 C 16 D 8 【考點(diǎn)】 子集與真子集 【專題】 計(jì)算題；集合思想；定義法；集合 【分析】 求出集合，然后求解集合的子集的個(gè)數(shù) 【解答】 解：因?yàn)?yz|0 y4=1， 2， 3， 4， 所以集合的子集的個(gè)數(shù)： 24=16 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查集合的求法，子集的個(gè)數(shù)問(wèn)題，基本知識(shí)的考查 2直線 的傾斜角是（ ） A 30 B 120 C 135 D 150 【考點(diǎn)】 直線的傾斜角 【專題】 計(jì)算題 【分析】 把已知直線的方程變形后，找出直線的斜率，根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系，即直線的斜率等于傾斜角的正切值，得到傾斜角的正切值，由傾斜角的范圍，利用特殊角的三角 函數(shù)值即可求出傾斜角的度數(shù) 【解答】 解：由直線 變形 得： y= x+ ， 所以該直線的斜率 k= ，設(shè)直線的傾斜角為 ，即 ， （ 0， 180）， =15 0 故選 D 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了直線的傾斜角，以及特殊角的三角函數(shù)值熟練掌握直線傾斜角與斜率的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)注意直線傾斜角的范圍 3與函數(shù) y= 的定義域相同的函數(shù)是（ ） A y= B y=2x 1 C y= D y=x 1） 【考點(diǎn)】 判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù) 【專題】 對(duì)應(yīng)思想；定義法；函 數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 求出函數(shù) y= 的定義域，再分別求出選項(xiàng)中的函數(shù)定義域，進(jìn)行判斷即可 【解答】 解：函數(shù) y= 的定義域是（ 1， +）； 對(duì)于 A，函數(shù) y= 的定義域是 1， +），與已知函數(shù)的定義域不同； 對(duì)于 B，函數(shù) y=2x 1的定義域是（ ， +），與已知函數(shù)的定義域不同； 對(duì)于 C，函數(shù) y= 的定義域是（ ， 1） （ 1， +），與已知函數(shù)的定義域不同； 對(duì)于 D，函數(shù) y=x 1）的定義域是（ 1， +），與已知函數(shù)的定義域相同 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了求基本初等函數(shù)定義域的應(yīng)用問(wèn)題， 是基礎(chǔ)題目 4下列函數(shù)中，在區(qū)間（ 0， +）上是增函數(shù)的是（ ） A y= B y= |x| C y= D y= 2x+5 【考點(diǎn)】 函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明 【專題】 函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 根據(jù)反比例函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)，以及一次函數(shù)的單調(diào)性便可找出正確選項(xiàng) 【解答】 解： A. 在（ 0， +）上為減函數(shù)， 該選項(xiàng)錯(cuò)誤； B x 0 時(shí)， 為減函數(shù)， 該選項(xiàng)錯(cuò)誤； C y= 在（ 0， +）上單調(diào)遞增， 該選項(xiàng)正確； D一次函數(shù) y= 2x+5 在（ 0， +）上單 調(diào)遞減， 該選項(xiàng)錯(cuò)誤 故選 C 【點(diǎn)評(píng)】 考查反比例函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)及一次函數(shù)在（ 0， +）上的單調(diào)性，要熟悉二次函數(shù)圖象 5直線 x+（ a+5） y 6=0 與直線 a 3） x+y+7=0 互相垂直，則 a 等于（ ） A B 1 C 1 D 【考點(diǎn)】 直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系 【專題】 方程思想；綜合法；直線與圓 【分析】 利用兩條直線相互垂直與斜率的關(guān)系即可得出 【解答】 解： 直線 x+（ a+5） y 6=0 和 a 3） x+y+7=0 直線互相垂直， （ a 3） +（ a+5） =0，解之得 a= 1， 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了兩條直線相互垂直與斜率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題 6已知 f（ x） =（ x+1）（ x+a）為偶函數(shù)，則 a=（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 【考點(diǎn)】 函數(shù)奇偶性的性質(zhì) 【專題】 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則根據(jù)偶函數(shù)定義 f（ x） =f（ x）得到等式解出 a 即可 【解答】 解： 函數(shù)為偶函數(shù)得 f（ 1） =f（ 1） 得： 2（ 1+a） =0 a= 1 故選 B 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查學(xué)生應(yīng)用函數(shù)奇偶性的能力 7若 a=（ ） 2， b=2 ， c=，則 a， b， c 的大小關(guān)系為（ ） A a b c B c a b C c b a D a c b 【考點(diǎn)】 對(duì)數(shù)值大小的比較 【專題】 計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解 【解答】 解： a=（ ） 2= ， b=2 21=2， c= 1=0， a， b， c 的大小關(guān)系為 c a b 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查對(duì)數(shù)值大小的比較，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用 8已知 函數(shù) f（ x） =x， x ， ，則 f（ x）的值域是（ ） A ， 2 B ， 2 C 0， 2 D 0， 【考點(diǎn)】 對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值 【專題】 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可 【解答】 解：函數(shù) f（ x） =x， x ， ，是減函數(shù)， 所以函數(shù)的最小值為： f（ ） = ， 函數(shù)的最大值為： f（ ） =2 函數(shù)的值域?yàn)椋?， 2 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本 題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值的求法，考查計(jì)算能力 9三棱錐 P ， 底面 ，底面 邊長(zhǎng)為 2 的正三角形，則三棱錐 P體積等于（ ） A 3 B C 2 D 4 【考點(diǎn)】 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積 【專題】 計(jì)算題；規(guī)律型；轉(zhuǎn)化思想；空間位置關(guān)系與距離 【分析】 由題意求出底面面積，然后求出三棱錐的體積 【解答】 解：三棱錐 P ， 底面 ，底面 邊長(zhǎng)為 2 的正三角形，所以底面面積為： ； 三棱錐的體積為： 3= 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】 本題是基礎(chǔ)題，考查三棱錐的體積的計(jì)算，注意三棱錐的特征 是解題的關(guān)鍵 10如圖，水平放置的三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為 2，且側(cè)棱 底面 視圖是邊長(zhǎng)為 2 的正方形，該三棱柱的左視圖面積為（ ） A 4 B C D 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 來(lái)源 :Z,xx,【專題】 計(jì)算題 【分析】 由三視圖和題意可知三棱柱是正三棱柱，結(jié)合正視圖，俯視圖，不難得到側(cè)視圖，然后求出面積 【解答】 解：由三視圖和題意可知三棱柱是正三棱柱，底面邊長(zhǎng)為 2，側(cè)棱長(zhǎng) 2， 結(jié)合正視圖，俯視圖，得到側(cè)視圖是矩形，長(zhǎng)為 2，寬為 面積為： 故選 B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查由 三視圖求側(cè)視圖的面積，是基礎(chǔ)題 二、填空題：本大題共 5小題，每小題 4分，共 20分，把正確的答案填在橫線上 11已知 a 是函數(shù) f（ x） =2 零點(diǎn)，則 a 的值為 4 【考點(diǎn)】 函數(shù)的零點(diǎn) 【專題】 對(duì)應(yīng)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，得 f（ a） =0，從而求出 a 的值 【解答】 解： a 是函數(shù) f（ x） =2 零點(diǎn)， f（ a） =2 ， ， 解得 a=4 故答案為： 4 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了零點(diǎn)的定義與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目 12過(guò)點(diǎn)（ 1， 3）且與直線 x+2y 1=0 平行的直線方程是 x+2y 7=0 【考點(diǎn)】 直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系 【專題】 計(jì)算題；規(guī)律型；方程思想；直線與圓 【分析】 求出直線的斜率，然后求解直線方程 【解答】 解：與直線 x+2y 1=0 平行的直線的斜率為： ， 由點(diǎn)斜式方程可得： y 3= （ x 1），化簡(jiǎn)可得 x+2y 7=0 故答案為： x+2y 7=0 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查直線方程的求法，考查計(jì)算能力 13已知函數(shù) f（ x） = 的值為 【考點(diǎn)】 對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 【專題】 計(jì)算題 【分析】 首先求出 f（ ） = 2，再求出 f（ 2）的值即可 【解答】 解： 0 f（ ） = 2 2 0 f（ 2） =2 2= 故答案為 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及分段函數(shù)求值問(wèn)題，分段函數(shù)要注意定義域，屬于基礎(chǔ)題 14如圖，正方體 ABCD，直線 DA 與 成的角為 60 【考點(diǎn)】 異面直線及其所成的角 【專題】 計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間角 【分析】 連結(jié) 由 得 直線 DA 與 成的角，由此能求出直線 DB 所成的角 【解答】 解：連結(jié) 正方體 ABCD中， 直線 DA 與 成的角， C= 60， 直線 DA 與 成的角為 60 故答案為： 60 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查異面直線所成角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng) 15若對(duì)于任意的 x1， 2，不等式 1 恒成立，則實(shí)數(shù) a 的最小值為 【考點(diǎn)】 函數(shù)恒成立問(wèn)題 【專題】 計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 若對(duì)于任意的 x1， 2，不等式 1 恒成立，則對(duì)于任意的 x1， 2，不等式 a2x恒成立，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，可得答案 【解答】 解：若對(duì)于任意的 x1， 2，不等式 1 恒成立， 即對(duì)于任意的 x1， 2，不等式 1+axx2 即對(duì)于任意的 x1， 2，不等式 axx2x 1 恒成立， 即對(duì)于任意的 x1， 2，不等式 a2x 恒成立， 由 y=2x， x1， 2為增函數(shù)， y= ， x1， 2為減函數(shù)， 故 y=2x ， x1， 2為增函數(shù)， 故當(dāng) x=2 時(shí)， y 取最大值 ， 即 a ， 故實(shí)數(shù) a 的最小值為 ， 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立問(wèn)題，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，是解答的關(guān)鍵 三、解答題：本大題共 6小題，滿分 50分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 16已知集合 A=x|4x 8， xR， B=x|6 x 9， xR， C=x|x a， xR （ 1）求 A B； （ 2）（ B； （ 3）若 AC=，求 a 的取 值范圍 【考點(diǎn)】 交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算 【專題】 計(jì)算題；集合思想；定義法；集合 【分析】 （ 1）根據(jù) A 與 B，求出兩集合的并集即可； （ 2）由全集 U=R，求出 A 的補(bǔ)集，找出 A 補(bǔ)集與 B 的交集即可； （ 3）由 A 與 C，且 A 與 C 的交集為空集，確定出 a 的范圍即可 【解答】 解：（ 1） A=x|4x 8， B=x|6 x 9， A B=x|4x 9； （ 2） A=x|4x 8，全集為 R， x|x 4 或 x8， B=x|6 x 9， 則（ B=x|8x 9； （ 3） AC =，且 A=x|4x 8， C=x|x a， a 的取值范圍是 a8 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵 17已知 三個(gè)頂點(diǎn)分別為 A（ 2， 3）， B（ 1， 2）， C（ 3， 4），求 （ 1） 上的中線 在的直線方程； （ 2） 面積 【考點(diǎn)】 直線的一般式方程 【專題】 方程思想；綜合法；直線與圓 【分析】 （ 1）求出中點(diǎn) D 的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)式求出中線 在直線的方程，并化為一般式 （ 2）求出 線段 長(zhǎng)度，求出直 線 方程和點(diǎn) A 到直線 距離，即可求得 面積 【解答】 解：（ 1）設(shè) D（ x， y），則 x= = 2， y= =1， D（ 2， 1），而 A（ 2， 3）， = ， 上的中線 在的直線方程為： y 1= （ x+2），即： x 2y+4=0； （ 2） | =2 ，直線 方程是： 3x+y+5=0， A 到 距離 d= = ， S |d= 2 =14 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查用兩點(diǎn)式求直線方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，求點(diǎn) A 到直線 距離是 解題的 難點(diǎn) 18已知圓 C：（ x 1） 2+ （ 1）求過(guò)點(diǎn) P（ 3， 3）且與圓 C 相切的直線 l 的方程； （ 2）已知直線 m： x y+1=0 與圓 C 交于 A、 B 兩點(diǎn)，求 |【考點(diǎn)】 圓的切線方程 【專題】 計(jì)算題；分類討論；綜合法；直線與圓 【分析】 （ 1）設(shè)出切線方程，求出圓的圓心與半徑，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出 k，寫(xiě)出切線方程即可； （ 2）求出圓心到直線的距離，利用勾股定理求弦 |長(zhǎng) 【解答】 解：（ 1）設(shè)切線方程為 y 3=k（ x 3），即 y 3k+3=0， 圓心（ 1， 0）到切線 l 的距離等于半徑 2， =2，解得 k= ， 切線方程為 y 3= （ x 3），即 5x 12y+21=0， 當(dāng)過(guò)點(diǎn) M 的直線的斜率不存在時(shí)，其方程為 x=3，圓心（ 1， 0）到此直線的距離等于半徑 2， 故直線 x=3 也適合題意 所以，所求的直線 l 的方程是 5x 12y+21=0 或 x=3 （ 2）圓心到直線的距離 d= = ， |2 =2 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查圓的切線方程的求法，注意直線的斜率存在與不存在情況，是本題的關(guān)鍵 19某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是： 4內(nèi)（含 410 元，超過(guò) 4不超過(guò) 18部分 ，超過(guò) 18部分 /計(jì)等待時(shí)間的費(fèi)用 （ 1）如果某人乘車行駛了 10要付多少車費(fèi)？ （ 2）試建立車費(fèi) y（元）與行車?yán)锍?x（ 函數(shù)關(guān)系式 【考點(diǎn)】 函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用 【專題】 應(yīng)用題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 （ 1） x=104x18y=10+x 4）； （ 2）利用條件，可得分段函數(shù) 【解答】 解：（ 1） x=104x18y=10+x 4） =； （ 2）由題意 0x4， y=10； 4x18， y=10+x 4，即 y= x 18， y=10+4+x 18即 y= 所以車費(fèi)與行車?yán)锍痰暮瘮?shù)關(guān)系式為 y= 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查函數(shù)模型的建立，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題 20如圖，在正方體 E、 F 分別為棱 中點(diǎn) （ 1）求證： 行平面 （ 2）求證：平面 平面 3）求直線 平面 成角的正切值 【考點(diǎn)】 直線與平面所成的角；平面