河北省張家口市2016屆高三(上)期末數(shù)學試卷(文)含答案解析

第 1 頁（共 19 頁） 2015年河北省張家口市高三（上）期末數(shù)學試卷（文科） 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，每小題給出四個選項，只有一個選項符合題目要求 . 1已知集合 A=x|x 1， B=0， 1， 2， 4，則（ B=（ ） A 0， 1 B 0 C 2， 4 D 2設 z（ 1+i） =i，則 |z|=（ ） A B C D 2 3若 =4，則 ） A B C D 4雙曲線 =1（ a 0， b 0）的兩條漸近線互相垂直，那么此雙曲線的離心率是（ ） A B C 2 D 3 5若 x（ 0， 1），則下列結論正確的是（ ） A B C D 6下列判斷錯誤的是（ ） A “ “a b”的充分不必要條件 B命題 “xR， 10”的否定是 “， x x 1 0” C若 p， q 均為假命題，則 pq 為假命題 D函數(shù) y=1 是冪函數(shù) 7把函數(shù) 圖象上各點的橫坐標縮短到原來的 倍（縱坐標不變），再將 圖象向右平移 個單位，那么所得圖象的一條對稱軸方程為（ ） A B C D 8已知等比數(shù)列 前 n 項和 a1+， a2+，則 =（ ） A 4n 1B 4n 1 C 2n 1D 2n 1 9執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的 a 等于 341，則判斷框內應填寫（ ） 第 2 頁（共 19 頁） A k 4？ B k 5？ C k 6？ D k 7？ 10從一個正方體中截去部分幾何體，得到的剩余幾何體的三視圖如圖，則此幾何體的體積是（ ） A 64 B C D 11過拋物線 x 的焦點 F 的直線交該拋物線于 A， B 兩點， O 為坐標原點若 |3，則 面積為（ ） A B C D 2 12定義在 R 上的奇函數(shù) f（ x）滿足 f（ 2 x） =f（ x），且在 0， 1）上單調遞減，若方程 f（ x） = 1 在 0， 1）上有實數(shù)根，則方程 f（ x） =1 在區(qū)間 1， 7上所有實根之和是（ ） A 12 B 14 C 6 D 7 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 . 13已知向量 =（ 1， 2）， =（ m， 1）， =（ 3， 2），若（ ） ，則 m 的值是 14設 x， y 滿足的約束條件 ，則 z=x+2y 的最大值為 15設二次函數(shù) f（ x） =4x+c（ xR）的值域為 0， +），則 的最小值 為 16已知四面體 P ， B=4， ， ， 平面 四面體 P 接球的表面積為 三、解答題：本大題共 5 小題，滿分 60 分，解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 17已知等差數(shù)列 足 ， a5+6，數(shù)列 前 n 項和 （ ）求 第 3 頁（共 19 頁） （ ）令 （ nN*），求數(shù)列 前 n 項和 18已知銳角三角形 內角 A、 B、 C 的對邊分別為 a， b， c， a2+ （ 1）求角 C 的值； （ 2）設函數(shù) ，且 f（ x）圖象上相鄰兩最高點間的距離為 ，求 f（ A）的取值范圍 19如圖，四棱錐 P ， 正三角形，四邊形 矩形，且面 面 ， （ ） 若點 E 是 中點，求證： 面 （ ） 若點 F 在線段 ，且 ，求三棱錐 B 體積 20設橢圓的對稱中心為坐標原點，其中一個頂點為 A（ 0， 2），右焦點 F 與點 的距離為 2 （ 1）求橢圓的方程； （ 2）是否存在經過點（ 0， 3）的直線 l，使直線 l 與橢圓相交于不同的兩點 M， N 滿足 ？若存在，求出直線 l 的方程；若不存在，請說明理由 21設函數(shù) f（ x） =（ 1+x） 2 4 （ ）求 f（ x）的單調區(qū)間； （ ）當 0 a 2 時，求函數(shù) g（ x） =f（ x） 1 在區(qū)間 0， 3上的最小值 選做題 選修 4何證明選講 22如圖，已知 O 的直徑， 點 H，與 O 交于點 C、 D，且 0， ， ， O 切于點 F， 于點 G （ ）證明： G； （ ）求 長 第 4 頁（共 19 頁） 選修 4標系與參數(shù)方程 23極坐標系的極點為直角坐標系 原點，極軸為 x 軸的正半軸，兩種坐標系中長度單位相同，已知曲線 C 的極坐標方程為 =2（ 斜率為 的直線 l 交 y 軸于點 E（ 0， 1） （ ）求曲線 C 的直角坐標方程，直線 l 的參數(shù)方程； （ ）直線 l 與曲線 C 交于 A， B 兩點，求 |值 選修 4等式選講 24已知函數(shù) f（ x） =|x+a|+|x 2| （ ）當 a= 3 時，求不等式 f（ x） 3 的解集； （ ）若 f（ x） |x 4|的解集包含 1， 2，求 a 的取值范 圍 第 5 頁（共 19 頁） 2015年河北省張家口市高三（上）期末數(shù)學試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，每小題給出四個選項，只有一個選項符合題目要求 . 1已知集合 A=x|x 1， B=0， 1， 2， 4，則（ B=（ ） A 0， 1 B 0 C 2， 4 D 【考點】 交、并、補集的混合運算 【分析】 由集合 A=x|x 1， B=0， 1， 2， 4，知 x1，由此能求出（ B 【解答】 解： 集合 A=x|x 1， B=0， 1， 2， 4， x1， （ B=0， 1 故選 A 2設 z（ 1+i） =i，則 |z|=（ ） A B C D 2 【考點】 復數(shù)求模 【分析】 把已知等式變形，利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡求得 z，再由復數(shù)模的計算公式得答案 【解答】 解： z（ 1+i） =i， ， 則 |z|= 故選： B 3若 =4，則 ） A B C D 【考點】 二倍角的正弦；同角三角函數(shù)間 的基本關系 【分析】 先利用正弦的二倍角公式變形，然后除以 1，將 1 用同角三角函數(shù)關系代換，利用齊次式的方法化簡，可求出所求 【解答】 解： = = = 第 6 頁（共 19 頁） 故選 D 4雙曲線 =1（ a 0， b 0）的兩條漸近線互相垂直，那么此雙曲線的離心率是（ ） A B C 2 D 3 【考點】 雙曲線的簡單性質 【分析】 求出雙曲線的漸近線方程，由兩直線垂直的條件：斜率之積為 1，可得 a=b，由 a， b， c 的關系和離心率公式計算即可得到所求值 【解答】 解：雙曲線 =1（ a 0， b 0）的兩條漸近線方程為 y= x， 由兩條漸近線互相垂直，可得 = 1， 可得 a=b，即有 c= = a， 可得離心率 e= = 故選： A 5若 x（ 0， 1），則下列結論正確的是（ ） A B C D 【考點】 不等式比較大小 【分析】 根據(jù)指數(shù)函數(shù)冪函數(shù)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質，得到不等式與 0， 1 的關 系，即可比較大小 【解答】 解： x（ 0， 1）， 0， 2x 1， 0 1， 2x 故選： C 6下列判斷錯誤的是（ ） A “ “a b”的充分不必要條件 B命題 “xR， 10”的否定是 “， x x 1 0” C若 p， q 均為假命題，則 pq 為假命題 D函數(shù) y=1 是冪函數(shù) 【考點】 命題的真假判斷與應用 【分析】 A根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行 B根據(jù)含有量詞的命題的否定，進行判斷 C根據(jù)復合命題真假之間的關系進行判斷 D根據(jù)冪函數(shù)的定義進行判斷 第 7 頁（共 19 頁） 【解答】 解： A若 m0，則 a b 成立，若 m=0，則 A 正確， B命題 “xR， 10”的否定是 “， x x 1 0”，故 B 正確， C若 p， q 均為假命題，則 pq 為假命題，故 C 正確， D函數(shù) y=1 不是冪函數(shù)，故 D 錯誤， 故選： D 7把函數(shù) 圖象上各點的橫坐標縮短到原來的 倍（縱坐標不變），再將圖象向右平移 個單位，那么所得圖象的一條對稱軸方程為（ ） A B C D 【考點】 正弦函數(shù)的對稱性 【分析】 先對函數(shù) 進行圖象變換，再根據(jù)正弦函數(shù)對稱軸的求法，即令 x+= 即可得到答案 【解答】 解： 圖象上各點的橫坐標縮短到原來的 倍（縱坐標不變），得到函數(shù) ； 再將圖象向右平移 個單位，得函數(shù) ，根據(jù)對稱軸處一定取得最大值或最小值可知 是其圖象的一條對稱軸方程 故選 A 8已知等比數(shù)列 前 n 項和 a1+， a2+，則 =（ ） A 4n 1B 4n 1 C 2n 1D 2n 1 【考點】 等比數(shù)列的性質；等比數(shù)列的前 n 項和 【分析】 利用等比數(shù)列 前 n 項和 a1+， a2+，求出 q= ，可 得 可得出結論 【解答】 解： 等比數(shù)列 前 n 項和 a1+， a2+， 兩式相除可得公比 q= ， ， 第 8 頁（共 19 頁） = ， =4（ 1 ）， =2n 1， 故選： D 9執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的 a 等于 341，則判斷框內應填寫（ ） A k 4？ B k 5？ C k 6？ D k 7？ 【考點】 程序框圖 【分析】 由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量 a 的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案 【解答】 解 ：當 k=1， a=0 時，應該滿足繼續(xù)循環(huán)的條件，則 a=1， k=2， 當 k=2， a=1 時，應該滿足繼續(xù)循環(huán)的條件，則 a=5， k=3， 當 k=3， a=5 時，應該滿足繼續(xù)循環(huán)的條件，則 a=21， k=4， 當 k=4， a=21 時，應該滿足繼續(xù)循環(huán)的條件，則 a=85， k=5， 當 k=5， a=85 時，應該滿足繼續(xù)循環(huán)的條件，則 a=3411， k=6， 當 k=6， a=341 時，應該不滿足繼續(xù)循環(huán)的條件， 故條件應為： k 6？， 故選： C 10從一個正方體中截去部分幾何體，得到的剩余幾何體的三視圖如圖，則此幾何體的體積是（ ） A 64 B C D 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 幾何體為正方體切去一個小三棱錐得到的，使用作差法求出體積 第 9 頁（共 19 頁） 【解答】 解：由三視圖可知幾何體為正方體切去一個小三棱錐得到的，正方體的邊長為 4，小三棱錐的底面直角邊為 2，高為 2， 所以幾何體的體積 V=43 = 故選 C 11過拋物線 x 的焦點 F 的直線交該拋物線于 A， B 兩點， O 為坐標原點若 |3，則 面積為（ ） A B C D 2 【考點】 直線與圓錐曲 線的關系；拋物線的簡單性質 【分析】 設直線 傾斜角為 ，利用 |3，可得點 A 到準線 l： x= 1的距離為 3，從而 ，進而可求 | |由此可求 面積 【解答】 解：設直線 傾斜角為 （ 0 ）及 |m， |3， 點 A 到準線 l： x= 1 的距離為 3 2+3 m=2+ ） 面積為 S= = 故選 C 12定義在 R 上的奇函數(shù) f（ x）滿足 f（ 2 x） =f（ x），且在 0， 1）上單調遞減，若方程 f（ x） = 1 在 0， 1）上有實數(shù)根，則方程 f（ x） =1 在區(qū)間 1， 7上所有實根之和是（ ） A 12 B 14 C 6 D 7 【考點】 根的存在性及根的個數(shù)判斷；抽象函數(shù)及其應用 【分析】 根據(jù)函數(shù) f（ x）是奇函數(shù)，且滿足 f（ 2 x） =f（ x），推出函數(shù)的周期性，然后判斷方程 f（ x） = 1 在一個周期內實根的個數(shù)并求和，進而求出方程 f（ x） =1 在區(qū)間 1， 7上所有實根之和 【解答】 解：由 f（ 2 x） =f（ x）知函數(shù) f（ x）的圖象關于直線 x=1 對稱， 由 f（ x）是 R 上的奇函數(shù)知 f（ 2 x） = f（ x 2）， f（ x 4） = f（ 4 x） 在 f（ 2 x） =f（ x）中，以 x 2 代 x 得： f（ 2（ x 2） =f（ x 2）即 f（ 4 x） =f（ x 2）， 所以 f（ x） =f（ 2 x） = f（ 4 x） =f（ x 4） 即 f（ x+4） =f（ x）， 所以 f（ x）是以 4 為周期的周期函數(shù) 考慮 f（ x）的一個周期，例如 1， 3， 由 f（ x）在 0， 1）上是減函數(shù)知 f（ x）在（ 1， 2上是增函數(shù)， 第 10 頁（共 19 頁） f（ x）在（ 1， 0上是減函數(shù)， f（ x）在 2， 3）上是增函數(shù) 對于奇函數(shù) f（ x）有 f（ 0） =0， f（ 2） =f（ 2 2） =f（ 0） =0， 故當 x（ 0， 1）時， f（ x） f（ 0） =0，當 x（ 1， 2）時， f（ x） f（ 2）=0， 當 x（ 1， 0）時， f（ x） f（ 0） =0，當 x（ 2， 3）時， f（ x） f（ 2）=0， 方程 f（ x） = 1 在 0， 1）上有實數(shù)根， 則這實數(shù)根是唯一的，因為 f（ x）在（ 0， 1）上是單調函數(shù)， 則由于 f（ 2 x） =f（ x），故方程 f（ x） = 1 在（ 1， 2）上有唯一實數(shù) 在（ 1， 0）和（ 2， 3）上 f（ x） 0， 則方程 f（ x） = 1 在（ 1， 0）和（ 2， 3）上沒有實數(shù)根 從而方程 f（ x） = 1 在一個周期內有且僅有兩個實數(shù)根 當 x 1， 3，方程 f（ x） = 1 的兩實數(shù)根之和為 x+2 x=2， 當 x 1， 7，方程 f（ x） = 1 的所有四個實數(shù)根之和為 x+2 x+4+x+4+2 x=2+8+2=12 故選： A 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 . 13已知向量 =（ 1， 2）， =（ m， 1）， =（ 3， 2），若（ ） ，則 m 的值是 3 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 由條件利用兩個向量垂直的性質，兩個向量的數(shù)量積公式，求得 【解答】 解：若（ ） ，則（ ） =（ 1 m， 3） （ 3， 2） = 3 3m 6=0， 求得 m= 3， 故答案為： 3 14設 x， y 滿足的約束條件 ，則 z=x+2y 的最大值為 7 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 作出不等式對應的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求 z 的最大值 【解答】 解：作出不等式對應的平面區(qū)域， 由 z=x+2y，得 y= ， 平移直線 y= ，由圖象可知當直線 y= 經過點 B 時，直線 y=的截距最大，此時 z 最大 由 ，得 ， 第 11 頁（共 19 頁） 即 B（ 3， 2）， 此時 z 的最大值為 z=1+23=1+6=7， 故答案為： 7 15設二次函數(shù) f（ x） =4x+c（ xR）的值域為 0， +），則 的最小值為 3 【考點】 基本不等式；二次函數(shù)的性質 【分析】 先判斷 a、 c 是正數(shù)，且 ，把所求的式子變形使用基本不等式求最小值 【解答】 解： 二次函數(shù) f（ x） =4x+c（ xR）的值域為 0， +）， a 0， =16 4， ，則 c 0， 2 =2 =3，當且僅當， = 時取到等號， 的最小值為 3 故答案為： 3 16已知四面體 P ， B=4， ， ， 平面 四面體 P 接球的表面積為 36 【考點】 球的體積和表面積 【分析】 由題意算出 合勾股定理的逆定理得 平面 出 得 兩互相垂直因此以 長、寬、高作長方體，該長方體的外接球就是四面體 P 外接球，根據(jù)長方體對角線公式算出外接球的直徑，從而可得所求外接球的表面積 【解答】 解： ， ， ， ， 0=得 平面 面 長、寬、高， 作長方體如圖所示 則該長方體的外接球就是四面體 P 外接球 長方體的對角線長為 =6 第 12 頁（共 19 頁） 長方體外接球的直徑 2R=6，得 R=3 因此，四面體 P 外接球體積為 V=432=36 故答案為： 36 三、解答題：本大題共 5 小題，滿分 60 分，解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 17已知等差數(shù)列 足 ， a5+6，數(shù)列 前 n 項和 （ ）求 （ ）令 （ nN*），求數(shù)列 前 n 項和 【考點】 數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項公式；等差數(shù)列的前 n 項和 【分析】 （ I）設等差數(shù)列 公差為 d，由 ， a5+6，可得 ，解出利用等差數(shù)列的前 n 項和公式即可得出； （ ） = = ，利用 “裂項求和 ”即可得出 【解答】 解：（ I）設等差數(shù)列 公差為 d， ， a5+6， ，解得 ， d=2 +2（ n 1） =2n+1 數(shù)列 前 n 項和 =n （ ） = = ， 數(shù)列 前 n 項和 + + = 18已知銳角三角形 內角 A、 B、 C 的對邊分別為 a， b， c， a2+ （ 1）求角 C 的值； 第 13 頁（共 19 頁） （ 2）設函數(shù) ，且 f（ x）圖象上相鄰兩最高點間的距離為 ，求 f（ A）的取值范圍 【考點】 余弦定理；由 y=x+）的部分圖象確定其解析式 【分析】 （ 1）利用正弦定理與余弦定理可求得 值，即可求得 C 的值； （ 2）化簡函數(shù)，利用周期確定 ，進而可得函數(shù)的解析式，即可求 f（ A）的取值范圍 【解答】 解：（ 1） 由正弦定理有： 由余弦定理有： a2+b2=1+ 又 a2+由 得 1+ ， 又 0 C ， C= ； （ 2） = x ） f（ x）圖象上相鄰兩最高點間的距離為 ， T= =2 f（ x） = 2x ） f（ A） = 2A ） A ， 0 2A 0 2A ） 1 0 f（ A） 19如圖，四棱錐 P ， 正三角形，四邊形 矩形，且面 面 ， （ ） 若點 E 是 中點，求證： 面 （ ） 若點 F 在線段 ，且 ，求 三棱錐 B 體積 【考點】 棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定 第 14 頁（共 19 頁） 【分析】 （ ）證 面 在平面 找到一條直線與 行，則連接 D=O，再連結 得 此結合線面平行的判定得答案； （ ）由 正三角形，可取 ，證得 面 B 于點 N，可得 面 同時求出 后求出三角形 三棱錐 B 體積轉化為 F 體積， 代入棱錐的體積公式得答案 【解答】 （ ）證明：如圖， 連接 D=O， 點 E 是 中點， 又 面 （ ）解： B=，取 中點 M ， 面 面 B， 面 作 點 N， 面 ， 四邊形 矩形， 面 直角三角形， 又 ，可得 = = 20設橢圓的對稱中心為坐標原點，其中一個頂點為 A（ 0， 2），右焦點 F 與點 的距離為 2 （ 1）求橢圓的方程； （ 2）是否存在經過點（ 0， 3）的直線 l，使直線 l 與橢圓相交于不同的兩點 M， N 滿足 ？若存在，求出直線 l 的方程；若不存在，請說明理由 【考點】 圓錐曲線的綜合；橢圓的標準方程 【分析】 （ 1）直接根據(jù)條件得到 以及 b=2；求出 2 即可得到橢圓的方程； （ 2）設直線 l 的方程為 y=3（ k0），由 |點 A 在線段 垂直平分線上；聯(lián)立直線方程和橢圓方程得到 k 的屈指范圍以及點 M， N 的坐標和 k 的關系，結合點 A 在線段 垂直平分線對應的斜率相乘等于 1即可求出結論 第 15 頁（共 19 頁） 【解答】 解：（ 1）依題意，設橢圓方程為 ， 則其右焦點坐標為 ，由 |2， 得 ，即 ，故 又 b=2， 2， 從而可得橢圓方程為 （ 2）由題意可設直線 l 的方程為 y=3（ k0），由 |點 A 在線段 垂直平分線上， 由 消去 y 得 （ 3） 2=12，即可得方程（ 1+385=0（ *） 當方程（ *）的 =（ 18k） 2 4（ 1+315=14460 0 即 時方程（ *）有兩個不相等的實數(shù)根 設 M（ N（ 線段 中點 P（ 則 方程（ *）的兩個不等的實根，故有 從而有 ， 于是，可得線段 中點 P 的坐標為 又由于 k0，因此直線 斜率為 ， 由 ，即 5+6，解得 ， ， 綜上可知存在直線 l： 滿足題意 21設函數(shù) f（ x） =（ 1+x） 2 4 第 16 頁（共 19 頁） （ ）求 f（ x）的單調區(qū)間； （ ）當 0 a 2 時，求函數(shù) g（ x） =f（ x） 1 在區(qū)間 0， 3上的最小值 【考點】 利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性 【分析】 （ ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可； （ ）求出 g（ x）的導數(shù)，得到 g（ x）的單調區(qū)間，通過討論 a 的范圍，確定函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值即可 【解答】 解：（ ）函數(shù)的定義域是（ 0， +）， f（ x） = ， 令 f（ x） 0，解得： x 1，令 f（ x） 0，解得： 0 x 1， f（ x）在（ 0， 1）遞減，在（ 1， +）遞增； （ ） g（ x） =f（ x） 1=（ 2 a） x 4x 0）， g（ x） = ， 0 a 2， 2 a 0， 0， 令 g（ x） 0，解得： x ，令 g（ x） 0，解得： 0 x ， g（ x）在（ 0， ）遞減，在（ ， +）遞增； 當 0 3，即 0 a 時， g（ x）在（ 0， ）遞減，在（ ，3）遞增， g（ x） g（ =4 4 當 3，即 a 2 時， g（ x）在 0， 3遞減， g（ x） g（ 3） =6 3a 4 綜上， 0 a 時， g（ x） 4 a 2 時， g（ x） 3a 4 選做題 選修 4何證明選講 22如圖，已知 O 的直徑， 點 H，與 O 交于點 C、 D，且 0， ， ， O 切于點 F， 于點 G （ ）證明： G； （ ）求 長 第 17 頁（共 19 頁） 【考點】 與圓有關的比例線段 【分析】 （ ）證明：連接 A， F， G， H 四點共圓，證明 可證明 G； （ ）求出 可求 長 【解答】 （ ）證明：連接 A， F， G， H 四 點共圓 由 切線知 點 H， G （ ）解： 8， G=4 ， H 4 選