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河北省唐山市 2016 年高考數(shù)學一模試卷(文科) (解析版) 一、選擇題:本大題共 12 小題,每小題 5 分,共 60 分在每小題給出的四個選項中,有且只有一項符合題目要求 1設 A, B 是全集 I=1, 2, 3, 4的子集, A=l, 2,則滿足 A B 的 B 的個數(shù)是( ) A 5 B 4 C 3 D 2 2復數(shù) 的虛部為( ) A B C D 3在等差數(shù)列 , ,且 a1+5,則公差 d 的值是( ) A 4 B 3 C 1 D 2 4下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間( 0, +)上單調(diào)遞增的是( ) A y= B y= y=e x+ y=|x+1| 5執(zhí)行如圖的程序框圖,輸出 S 的值為( ) A a+ ) +a ) =( ) A B C D 7 A( , 1)為拋物線 p 0)上一點,則 A 到其焦點 F 的距離為( ) A B + C 2 D +1 8在區(qū)間 1, 1上隨機取一個數(shù) x,使 的概率為( ) A B C D 9若 x, y 滿足不等式組 ,則 的最大值是( ) A B 1 C 2 D 3 10某幾何體的三視圖如圖所示則其體積積為( ) A 8 B C 9 D 11 F 為雙曲線 : =1( a 0, b 0)的右焦點,若 上存在一點 P 使得 等邊三角形( O 為坐標原點),則 的離心率 e 為( ) A B C D 2 12已知函數(shù) f( x) =3x2+x 的極大值為 m,極小值為 n,則 m+n=( ) A 0 B 2 C 4 D 2 二、填空題:本大題共 4 小題,每小題 5 分,共 20 分,把答案填寫在題中橫線上 13 等比數(shù)列 前 n 項和,滿足 1,則 公比 q= 14已知向量 , 滿足 ( ) =2,且 | |=1, | |=2,則 與 的夾角等于 15直線 l: 與 x 軸、 y 軸分別相交于點 A、 B, O 為坐標原點,則 內(nèi)切圓的方程為 16一個幾何體由八個面圍成,每個面都是正三角形,有四個頂點在同一平面內(nèi)且為正方形,若該八面體的棱長為 2,所有頂點都在球 O 上,則球 O 的表面積為 三、解答題:本大題共 70 分,其中( 17) -( 21)題為必考題,( 22),( 23),( 24)題為選考題解答應寫出文字說明、證明過程或 演算步驟 17在如圖所示的四邊形 , 0, 50, 0, , 1 ( I)求 ( )求 面積 18為迎接即將舉行的集體跳繩比賽,高一年級對甲、乙兩個代表隊各進行了 6 輪測試, 測試成績(單位:次 /分鐘)如表: 輪次 一 二 三 四 五 六 甲 73 66 82 72 63 76 乙 83 75 62 69 75 68 ( )補全莖葉圖并指出乙隊測試成績的中位數(shù)和眾數(shù); ( )試用統(tǒng)計學中的平均數(shù)、方差知識對甲乙兩個代表隊的測試成績進行分析 19如圖,直四棱柱 棱長均為 2, , M 為 中點, ( )求證: 平面 ( )求 平面 距離 20已知橢圓 C: =1( a b 0)的右焦點為 F( 2, 0),點 P( 2, )在橢圓上 ( )求橢圓 C 的方程; ( )過點 F 的直線,交橢圓 C 于 A、 B 兩點,點 M 在橢圓 C 上,坐標原點 O 恰為 直線 l 的方程 21已知函數(shù) f( x) =a( x+l) ( )若 f( x)在 x=0 處的切線經(jīng)過點( 2, 3),求 a 的值; ( ) x ( 0, )時, f( x) 0,求 a 的取值范圍 四 22)、( 23)、( 24)三題中任選一題作答注意:只能做所選定的題目如果多做,則按所做的第一個題目計分作答時用 2選修 4何證明選講 22如圖, 圓 O 相切于點 B, 圓 O 上兩點,延長 圓 O 于點 E, D 于點 F ( I)證明: ( )若 圓 O 的直徑, ,求 選修 4標 系與參數(shù)方程 23 在直角坐標系 ,以坐標原點為極點, x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系半圓 C(圓心為點 C)的極坐標方程為 =2 ( , ) ( )求半圓 C 的參數(shù)方程; ( )直線 l 與兩坐標軸的交點分別為 A, B,其中 A( 0, 2),點 D 在半圓 C 上,且直線 傾斜角是直線 l 傾斜角的 2 倍,若 面積為 4,求點 D 的直角坐標 選修 4等式選講 24 已知函數(shù) f( x) =|x+1| a|x l| ( )當 a= 2 時,解不等式 f( x) 5; ( )若( x) a|x+3|,求 a 的最小值 2016 年河北省唐山市高考數(shù)學一模試卷(文科) 參考答案與試題解析 一、選擇題:本大題共 12 小題,每小題 5 分,共 60 分在每小題給出的四個選項中,有且只有一項符合題目要求 1設 A, B 是全集 I=1, 2, 3, 4的子集, A=l, 2,則滿足 A B 的 B 的個數(shù)是( ) A 5 B 4 C 3 D 2 【分析】 由題意可知:集合 B 中至少含有元素 1, 2,即可得出 【解答】 解: A, B 是全集 I=1, 2, 3, 4的子集, A=l, 2,則滿足 A B 的 B 為: 1,2, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 1, 2, 3, 4 故選: B 【點評】 本題考查了集合之間的運算性質(zhì)、元素與集合之間的關系,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎題 2復數(shù) 的虛部為( ) A B C D 【分析】 直接由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 化簡復數(shù) ,則答案可求 【解答】 解:由 = , 則復數(shù) 的虛部為: 故選: A 【點評】 本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,是基礎題 3在等差數(shù)列 , ,且 a1+5,則公差 d 的值是( ) A 4 B 3 C 1 D 2 【分析】 由已知利用等差數(shù)列的通項公式和前 n 項和公式列出方程組,由此能求出公差 【解答】 解: 在等差數(shù)列 , ,且 a1+5, ,解得 7, d=3 公差 d 的值是 3 故選: B 【點評】 本題考查等差數(shù)列的公差的求法,是基礎題,解題時要認真審題,注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用 4下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間( 0, +)上單調(diào)遞增的是( ) A y= B y= y=e x+ y=|x+1| 【分析】 根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)進行判斷即可 【解答】 解: y= 是奇函數(shù),不滿足條件 y= 偶函數(shù),在區(qū)間( 0, +)上單調(diào)遞減,不滿足條件 y=e x+偶函數(shù),函數(shù)的導數(shù) y= e x+,當 x 0 時, y= 0,函數(shù)在區(qū)間( 0, +)上單調(diào)遞增,滿足條件 y=|x+1|為非奇非偶函數(shù),不滿足條件 故選: C 【點評】 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷,要求熟練掌握常見函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì) 5執(zhí)行如圖的程序框圖,輸出 S 的值為( ) A 分析】 由題意,模擬程序框圖的運行過程,即可得出該程序輸出的結果 【解答】 解:根據(jù)題意,模擬程序框圖的運行過程,可得 i=1, S=0 滿足條件 i 4, S=i=2 滿足條件 i 4, S=i=3 滿足條件 i 4, S=i=4 不滿足條件 i 4,退出循環(huán),輸出 S 的值為 故選: D 【點評】 本題考查了程序框圖的應用問題,解題時應模擬程序語言的運行過程,從而得出正確的結論,是基礎題 6 a+ ) +a ) =( ) A B C D 【分析】 由條件利用兩角和的正弦公式,計算求得結果 【解答】 解: a+ ) +a ) =a+ ) a )+ =a+ ) a+ ) a+ ) a= , 故選: A 【點評】 本題主要考查兩角和的正弦公式的應用,屬于基礎題 7 A( , 1)為拋物線 p 0)上一點,則 A 到其焦點 F 的距離為( ) A B + C 2 D +1 【分析】 把 A 代入拋物線方程解出 p,得到拋物線的準線方程,則 A 到焦點的距離等于 【解答】 解:把 A( , 1)代入拋物線方程得: 2=2p, p=1 拋物線的焦點為 F( 0, ) 拋物線的準線方程為 y= A 到準線的距離為 1+ = 故選: A 【點評】 本題考查了拋物線的定義,拋物線的性質(zhì),屬于基礎題 8在區(qū)間 1, 1上隨機取一個數(shù) x,使 的概率為( ) A B C D 【分析】 求出不等式的等價條件,利用幾何概型的概率公式進行求解即可 【解答】 解: 1 x 1, x , 由 得, x , 即 x , 則對應的概率 P= = , 故選: A 【點評】 本題主要考查幾何概型的概率公式的應用,根據(jù)不等式的關系求出等價條件是解決本題的關鍵 9若 x, y 滿足不等式組 ,則 的最大值是( ) A B 1 C 2 D 3 【分析】 由題意作平面區(qū)域,而 的幾何意義是陰 影內(nèi)的點( x, y)與原點的連線的斜率,從而求得 【解答】 解:由題意作平面區(qū)域如下, , 的幾何意義是陰影內(nèi)的點( x, y)與原點的連線的斜率, 結合圖象可知, 過點 A( 1, 2)時有最大值, 此時 = =2, 故選: C 【點評】 本題考查了學生的作圖能力及數(shù)形結合的思想方法應用,注意 的幾何意義是陰影內(nèi)的點( x, y)與原點的連線的斜率 10某幾何體的三視圖如圖所示則其體積積為( ) A 8 B C 9 D 【分析】 幾何體為兩個尖頭圓柱的組合體它們可以組合成高為 8 的圓柱 【解答】 解:由三視圖可知幾何體為兩個尖頭圓柱的組合體,它們可以組成高為 8 的圓柱, 圓 柱的底面半徑為 1, 所以幾何體的體積為 12 8=8 故選 A 【點評】 本題考查了空間幾何體的三視圖和體積計算,屬于基礎題 11 F 為雙曲線 : =1( a 0, b 0)的右焦點,若 上存在一點 P 使得 等邊三角形( O 為坐標原點),則 的離心率 e 為( ) A B C D 2 【分析】 先確定等邊三角形的邊長和點 P 橫坐標,求出點 P 到右準線的距離 d,利用雙曲線定義解出離心率 e 【解答】 解:不妨設 F 為右焦點, O 為坐標原點)為等邊三角形, 故點 P 橫坐標為 , 點 P 到右準線的距離 d= = , 長為 c, e= = e 1, e= +1, 故選: C 【點評】 本題主要考查雙曲線的定義、簡單性質(zhì)和標準方程的應用,等邊三角形的性質(zhì),屬于基礎題 12已知函數(shù) f( x) =3x2+x 的極大值為 m,極小值為 n,則 m+n=( ) A 0 B 2 C 4 D 2 【分析】 利用導數(shù)工具去解決該函數(shù)極值的求解問題,關鍵要利用導數(shù)將原 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間找出來,即可確定出在哪個點處取得極值,進而得到答案 【解答】 解:由題意可得: f( x) =36x+1, 令 f( x) =0,即 36x+1=0, 解得: , , f( x)在( , )遞增, 在( , )遞 減,在( , +)遞增, 是極大值點, 是極小值點, m+n=f( +f( = ( 2+ )( 2 ) = 2, 故選: D 【點評】 利用導數(shù)工具求該函數(shù)的極值是解決該題的關鍵,要先確定出導函數(shù)大于 0 時的實數(shù) x 的范圍,再討論出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)極值的判斷方法求出該函數(shù)的極值,體現(xiàn)了導數(shù)的工具作用 二、填空題:本大題共 4 小題,每小題 5 分,共 20 分,把答案填寫在題中橫線上 13 等比數(shù)列 前 n 項和,滿足 1,則 公比 q= 2 【分析】 由 1, 1, a1+1,解得 可得出 【解答】 解:由 1, 1, a1+1,解得 , 等比數(shù)列 公比 q=2 故答案為: 2 【點評】 本題考查了等比數(shù)列的通項公式、遞推關系,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎題 14已知向量 , 滿足 ( ) =2,且 | |=1, | |=2,則 與 的夾角等于 【分析】 求出 ,代入向量夾角公式計算 【解答】 解: ( ) = =2, = 1 = = = 故答案為: 【點評】 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算,屬于基礎題 15直線 l: 與 x 軸、 y 軸分別相交于點 A、 B, O 為坐標原點,則 內(nèi)切圓的方程為 ( x 1) 2+( y 1) 2=1 【分析】 由題意畫出圖形,設 內(nèi)切圓的圓心為 M( m, m),利用圓心到直線 m 值得答案 【解答】 解:由直線方程 與 x 軸、 y 軸分別相交于點 A、 B, 如圖, 設 內(nèi)切圓的圓心為 M( m, m), 化直線方程為 3x+4y 12=0, 由題意可得: ,解得: m=1 內(nèi)切圓的方程為( x 1) 2+( y 1) 2=1 故答案為:( x 1) 2+( y 1) 2=1 【點評】 本題考查圓的標準方程,考查了點到直線距離公式的應用,體現(xiàn)了 數(shù)形結合的解題思想方法,是基礎題 16一個幾何體由八個面圍成,每個面都是正三角形,有四個頂點在同一平面內(nèi)且為正方形,若該八面體的棱長為 2,所有頂點都在球 O 上,則球 O 的表面積為 8 【分析】 根據(jù)該八面體的棱長為 2,所有頂點都在球 O 上,確定球 O 的半徑,即可求出球O 的表面積 【解答】 解:由題意,該八面體的棱長為 2,所有頂點都在球 O 上, 所以球 O 的半徑為 , 所以球 O 的表面積為 =8 故答 案為: 8 【點評】 本題考查球的內(nèi)接幾何體,考查球 O 的表面積,考查學生的計算能力,比較基礎 三、解答題:本大題共 70 分,其中( 17) -( 21)題為必考題,( 22),( 23),( 24)題為選考題解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 17在如圖所示的四邊形 , 0, 50, 0, , 1 ( I)求 ( )求 面積 【分析】 ( I)在 ,使用余弦定理即可解出 ( ,使用正弦定理解出 合角的范圍可求 5, C=2,利用三角形面積公式即可得解 【解答】 解:( )在 ,由余弦定理得 2, 所以 ( 4 分) ( )在 ,由正弦定理得 = ,則 , 又 0 120,所以 5,從而有 5, 由 50,得 5,又 0,所以 等腰三角形, 即 C=2,故 S 2 2 =1 ( 12 分) 【點評】 本題主要考查了正弦 定理,余弦定理,三角形內(nèi)角和定理,三角形面積公式在解三角形中的應用,屬于中檔題 18為迎接即將舉行的集體跳繩比賽,高一年級對甲、乙兩個代表隊各進行了 6 輪測試, 測試成績(單位:次 /分鐘)如表: 輪次 一 二 三 四 五 六 甲 73 66 82 72 63 76 乙 83 75 62 69 75 68 ( )補全莖葉圖并指出乙隊測試成績的中位數(shù)和眾數(shù); ( )試用統(tǒng)計學中的平均數(shù)、方差知識對甲乙兩個代表隊的測試成績進行分析 【分析】 ( )根據(jù)題意補全莖葉圖,求出乙隊測試成績的中位數(shù)與眾數(shù); ( )求出甲、乙二人的平均數(shù)與方差,進行比較即可 【解答】 解:( )畫出莖葉圖如下: ( 4 分) 乙隊測試成績的中位數(shù)為 72,眾數(shù)為 75 ( 6 分) ( ) = =72, =39; = =72, =44, ( 10 分) 因為 = , ,所以甲乙 兩隊水平相當,但甲隊發(fā)揮較穩(wěn)定 ( 12 分) 【點評】 本題考查了莖葉圖的應用問題,也考查了平均數(shù)與方差的應用問題,是基礎題目 19如圖,直四棱柱 棱長均為 2, , M 為 中點, ( )求證: 平面 ( )求 平面 距離 【分析】 ( )證明 據(jù)勾股定理,證明 可證明: 平面 ( )證明 平面 距離等于 平面 距離,即可求 平面 距離 【解答】 ( )證明:連接 在直四棱柱 , 平面 面 四邊形 邊長為 2 的菱形, 又 , 平面 又 面 直四棱柱所有棱長均為 2, , M 為 中點, , , M=1, 11, , 11, 1 又 M=A, 平面 ( 6 分) ( )解: 平面 即 平面 距離等于 平面 距離, 由( )得 平面 , 即點 平面 距離為 ( 12 分) 【點評】 本題考查了線面垂直的判定,點 平面 距離的計算,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題 20已知橢圓 C: =1( a b 0)的右焦點為 F( 2, 0),點 P( 2, )在橢圓上 ( )求橢圓 C 的方程; ( )過點 F 的直線,交橢圓 C 于 A、 B 兩點,點 M 在橢圓 C 上,坐標原點 O 恰為 直線 l 的方程 【分析】 ( )由題意可得 c=2, | ,運用勾股定理可得 |再由橢圓的定義可得 2a,由 a, b, c 的關系可得 b,進而得到橢圓方程; ( )顯然直線 l 與 x 軸不垂直,設 l: y=k( x 2), A( B( 代入橢圓方程,運用韋達定理和三角形的重心坐標公式可得 M 的坐標,代入橢圓方程,解方程即可得到所求直線的方程 【解答】 解:( )由題意可得 c=2,左焦點 2, 0), | , 所以 | = ,即 2a=|2 , 即 , b2=, 故橢圓 C 的方程為 + =1; ( )顯然直線 l 與 x 軸不垂直, 設 l: y=k( x 2), A( B( 將 l 的方程代入 C 得( 1+31226=0, 可得 x1+, 所以 中點 N ( , ), 由坐標原點 O 恰為 重心,可得 M ( , ) 由點 M 在 C 上,可得 151=0, 解得 或 (舍),即 k= 故直線 l 的方程為 y= ( x 2) 【點評】 本題考查橢圓的方程的求法,注意運用橢圓的定義和 a, b, c 的關系及點滿足橢圓方程,同時考查直線和橢圓方程聯(lián)立,運用韋達定理和三角形的重 心坐標公式,考查運算能力,屬于中檔題 21已知函數(shù) f( x) =a( x+l) ( )若 f( x)在 x=0 處的切線經(jīng)過點( 2, 3),求 a 的值; ( ) x ( 0, )時, f( x) 0,求 a 的取值范圍 【分析】 ( )求出函數(shù)的導數(shù),求得切線的斜率,由兩點的斜率公式解方程可得 a; ( )由 x ( 0, )時, f( x) 0,得 a ,令 g( x) = ,求出導數(shù),求得單調(diào)區(qū)間和最大值,即可得到所求范圍 【解答】 解:( ) f( x) =a( l) 導數(shù)為 f( x) = 可得 f( 0) =a 1, 又 f( 0) =a 1, 所以 a 1= ,解得 a=2 ( )由 x ( 0, )時, f( x) 0,得 a , 令 g( x) = , 則 g( x) = = , 當 x ( 0, ), g( x) 0; x ( , ), g( x) 0, 所以 g ( x)的最大值為 g( ) = , 故所求 a 的取值范圍是 a 【點評】 本題考查導數(shù)的運用:求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值,考查不等式恒成立問題的解法,注意運用參數(shù)分離和構造函數(shù)法,轉化為求函數(shù)的最值問題,屬于中檔題 四 22)、( 23)、( 24)三題中任選一題作答注意:只能做所選定的題目如果多做,則按所做的第一個題目計分作答時用 2題號后的方框涂黑 選修 4何證明選講 22如圖, 圓 O 相切于點 B, 圓 O 上兩點,延長 圓 O 于點 E, D 于點 F ( I)證明: ( )若 圓 O 的直徑, ,求 【分析】 ( )根據(jù) 有 根據(jù)同一條弦所對的圓周角相等即可得出 樣即可得出: 似; ( )根據(jù)條件便可得出 由上面即可得出 樣即可得出 等腰直角三角形,從而可求出 ,根據(jù)射影定理即可求出 值 【解答】 解: ( )證明: 又 又 ( )因為 以 由( )得 以 又因為 圓 O 的直徑, 所以 等 腰直角三角形, , 因為 圓 O 相切于 B,所以 【點評】 考查內(nèi)錯角相等,同條弦所對的圓周角相等,以及三角形相似的判定定理,直徑所對的圓周角為直角,以及射影定理 選修 4標系與參數(shù)方程 23 在直角坐標系 ,以坐標原點為極點, x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系半圓 C(圓心為點 C)的極坐標方程為 =2 ( , ) ( ) 求半圓 C 的參數(shù)方程; ( )直線
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