河北省唐山市2016年高考數(shù)學一模試卷（文科）含答案解析

河北省唐山市 2016 年高考數(shù)學一模試卷（文科） （解析版） 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求 1設 A， B 是全集 I=1， 2， 3， 4的子集， A=l， 2，則滿足 A B 的 B 的個數(shù)是（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 2復數(shù) 的虛部為（ ） A B C D 3在等差數(shù)列 ， ，且 a1+5，則公差 d 的值是（ ） A 4 B 3 C 1 D 2 4下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（ 0， +）上單調(diào)遞增的是（ ） A y= B y= y=e x+ y=|x+1| 5執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出 S 的值為（ ） A a+ ） +a ） =（ ） A B C D 7 A（ ， 1）為拋物線 p 0）上一點，則 A 到其焦點 F 的距離為（ ） A B + C 2 D +1 8在區(qū)間 1， 1上隨機取一個數(shù) x，使 的概率為（ ） A B C D 9若 x， y 滿足不等式組 ，則 的最大值是（ ） A B 1 C 2 D 3 10某幾何體的三視圖如圖所示則其體積積為（ ） A 8 B C 9 D 11 F 為雙曲線 ： =1（ a 0， b 0）的右焦點，若 上存在一點 P 使得 等邊三角形（ O 為坐標原點），則 的離心率 e 為（ ） A B C D 2 12已知函數(shù) f（ x） =3x2+x 的極大值為 m，極小值為 n，則 m+n=（ ） A 0 B 2 C 4 D 2 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分，把答案填寫在題中橫線上 13 等比數(shù)列 前 n 項和，滿足 1，則 公比 q= 14已知向量 ， 滿足 （ ） =2，且 | |=1， | |=2，則 與 的夾角等于 15直線 l： 與 x 軸、 y 軸分別相交于點 A、 B， O 為坐標原點，則 內(nèi)切圓的方程為 16一個幾何體由八個面圍成，每個面都是正三角形，有四個頂點在同一平面內(nèi)且為正方形，若該八面體的棱長為 2，所有頂點都在球 O 上，則球 O 的表面積為 三、解答題：本大題共 70 分，其中（ 17） -（ 21）題為必考題，（ 22），（ 23），（ 24）題為選考題解答應寫出文字說明、證明過程或 演算步驟 17在如圖所示的四邊形 ， 0， 50， 0， ， 1 （ I）求 （ ）求 面積 18為迎接即將舉行的集體跳繩比賽，高一年級對甲、乙兩個代表隊各進行了 6 輪測試， 測試成績（單位：次 /分鐘）如表： 輪次 一 二 三 四 五 六 甲 73 66 82 72 63 76 乙 83 75 62 69 75 68 （ ）補全莖葉圖并指出乙隊測試成績的中位數(shù)和眾數(shù)； （ ）試用統(tǒng)計學中的平均數(shù)、方差知識對甲乙兩個代表隊的測試成績進行分析 19如圖，直四棱柱 棱長均為 2， ， M 為 中點， （ ）求證： 平面 （ ）求 平面 距離 20已知橢圓 C： =1（ a b 0）的右焦點為 F（ 2， 0），點 P（ 2， ）在橢圓上 （ ）求橢圓 C 的方程； （ ）過點 F 的直線，交橢圓 C 于 A、 B 兩點，點 M 在橢圓 C 上，坐標原點 O 恰為 直線 l 的方程 21已知函數(shù) f（ x） =a（ x+l） （ ）若 f（ x）在 x=0 處的切線經(jīng)過點（ 2， 3），求 a 的值； （ ） x （ 0， ）時， f（ x） 0，求 a 的取值范圍 四 22）、（ 23）、（ 24）三題中任選一題作答注意：只能做所選定的題目如果多做，則按所做的第一個題目計分作答時用 2選修 4何證明選講 22如圖， 圓 O 相切于點 B， 圓 O 上兩點，延長 圓 O 于點 E， D 于點 F （ I）證明： （ ）若 圓 O 的直徑， ，求 選修 4標 系與參數(shù)方程 23 在直角坐標系 ，以坐標原點為極點， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系半圓 C（圓心為點 C）的極坐標方程為 =2 （ ， ） （ ）求半圓 C 的參數(shù)方程； （ ）直線 l 與兩坐標軸的交點分別為 A， B，其中 A（ 0， 2），點 D 在半圓 C 上，且直線 傾斜角是直線 l 傾斜角的 2 倍，若 面積為 4，求點 D 的直角坐標 選修 4等式選講 24 已知函數(shù) f（ x） =|x+1| a|x l| （ ）當 a= 2 時，解不等式 f（ x） 5； （ ）若（ x） a|x+3|，求 a 的最小值 2016 年河北省唐山市高考數(shù)學一模試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求 1設 A， B 是全集 I=1， 2， 3， 4的子集， A=l， 2，則滿足 A B 的 B 的個數(shù)是（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 【分析】 由題意可知：集合 B 中至少含有元素 1， 2，即可得出 【解答】 解： A， B 是全集 I=1， 2， 3， 4的子集， A=l， 2，則滿足 A B 的 B 為： 1，2， 1， 2， 3， 1， 2， 4， 1， 2， 3， 4 故選： B 【點評】 本題考查了集合之間的運算性質(zhì)、元素與集合之間的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題 2復數(shù) 的虛部為（ ） A B C D 【分析】 直接由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 化簡復數(shù) ，則答案可求 【解答】 解：由 = ， 則復數(shù) 的虛部為： 故選： A 【點評】 本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，是基礎題 3在等差數(shù)列 ， ，且 a1+5，則公差 d 的值是（ ） A 4 B 3 C 1 D 2 【分析】 由已知利用等差數(shù)列的通項公式和前 n 項和公式列出方程組，由此能求出公差 【解答】 解： 在等差數(shù)列 ， ，且 a1+5， ，解得 7， d=3 公差 d 的值是 3 故選： B 【點評】 本題考查等差數(shù)列的公差的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用 4下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（ 0， +）上單調(diào)遞增的是（ ） A y= B y= y=e x+ y=|x+1| 【分析】 根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)進行判斷即可 【解答】 解： y= 是奇函數(shù)，不滿足條件 y= 偶函數(shù)，在區(qū)間（ 0， +）上單調(diào)遞減，不滿足條件 y=e x+偶函數(shù)，函數(shù)的導數(shù) y= e x+，當 x 0 時， y= 0，函數(shù)在區(qū)間（ 0， +）上單調(diào)遞增，滿足條件 y=|x+1|為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件 故選： C 【點評】 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，要求熟練掌握常見函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì) 5執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出 S 的值為（ ） A 分析】 由題意，模擬程序框圖的運行過程，即可得出該程序輸出的結果 【解答】 解：根據(jù)題意，模擬程序框圖的運行過程，可得 i=1， S=0 滿足條件 i 4， S=i=2 滿足條件 i 4， S=i=3 滿足條件 i 4， S=i=4 不滿足條件 i 4，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 故選： D 【點評】 本題考查了程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序語言的運行過程，從而得出正確的結論，是基礎題 6 a+ ） +a ） =（ ） A B C D 【分析】 由條件利用兩角和的正弦公式，計算求得結果 【解答】 解： a+ ） +a ） =a+ ） a ）+ =a+ ） a+ ） a+ ） a= ， 故選： A 【點評】 本題主要考查兩角和的正弦公式的應用，屬于基礎題 7 A（ ， 1）為拋物線 p 0）上一點，則 A 到其焦點 F 的距離為（ ） A B + C 2 D +1 【分析】 把 A 代入拋物線方程解出 p，得到拋物線的準線方程，則 A 到焦點的距離等于 【解答】 解：把 A（ ， 1）代入拋物線方程得： 2=2p， p=1 拋物線的焦點為 F（ 0， ） 拋物線的準線方程為 y= A 到準線的距離為 1+ = 故選： A 【點評】 本題考查了拋物線的定義，拋物線的性質(zhì)，屬于基礎題 8在區(qū)間 1， 1上隨機取一個數(shù) x，使 的概率為（ ） A B C D 【分析】 求出不等式的等價條件，利用幾何概型的概率公式進行求解即可 【解答】 解： 1 x 1， x ， 由 得， x ， 即 x ， 則對應的概率 P= = ， 故選： A 【點評】 本題主要考查幾何概型的概率公式的應用，根據(jù)不等式的關系求出等價條件是解決本題的關鍵 9若 x， y 滿足不等式組 ，則 的最大值是（ ） A B 1 C 2 D 3 【分析】 由題意作平面區(qū)域，而 的幾何意義是陰 影內(nèi)的點（ x， y）與原點的連線的斜率，從而求得 【解答】 解：由題意作平面區(qū)域如下， ， 的幾何意義是陰影內(nèi)的點（ x， y）與原點的連線的斜率， 結合圖象可知， 過點 A（ 1， 2）時有最大值， 此時 = =2， 故選： C 【點評】 本題考查了學生的作圖能力及數(shù)形結合的思想方法應用，注意 的幾何意義是陰影內(nèi)的點（ x， y）與原點的連線的斜率 10某幾何體的三視圖如圖所示則其體積積為（ ） A 8 B C 9 D 【分析】 幾何體為兩個尖頭圓柱的組合體它們可以組合成高為 8 的圓柱 【解答】 解：由三視圖可知幾何體為兩個尖頭圓柱的組合體，它們可以組成高為 8 的圓柱， 圓 柱的底面半徑為 1， 所以幾何體的體積為 12 8=8 故選 A 【點評】 本題考查了空間幾何體的三視圖和體積計算，屬于基礎題 11 F 為雙曲線 ： =1（ a 0， b 0）的右焦點，若 上存在一點 P 使得 等邊三角形（ O 為坐標原點），則 的離心率 e 為（ ） A B C D 2 【分析】 先確定等邊三角形的邊長和點 P 橫坐標，求出點 P 到右準線的距離 d，利用雙曲線定義解出離心率 e 【解答】 解：不妨設 F 為右焦點， O 為坐標原點）為等邊三角形， 故點 P 橫坐標為 ， 點 P 到右準線的距離 d= = ， 長為 c， e= = e 1， e= +1， 故選： C 【點評】 本題主要考查雙曲線的定義、簡單性質(zhì)和標準方程的應用，等邊三角形的性質(zhì)，屬于基礎題 12已知函數(shù) f（ x） =3x2+x 的極大值為 m，極小值為 n，則 m+n=（ ） A 0 B 2 C 4 D 2 【分析】 利用導數(shù)工具去解決該函數(shù)極值的求解問題，關鍵要利用導數(shù)將原 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間找出來，即可確定出在哪個點處取得極值，進而得到答案 【解答】 解：由題意可得： f（ x） =36x+1， 令 f（ x） =0，即 36x+1=0， 解得： ， ， f（ x）在（ ， ）遞增， 在（ ， ）遞 減，在（ ， +）遞增， 是極大值點， 是極小值點， m+n=f（ +f（ = （ 2+ ）（ 2 ） = 2， 故選： D 【點評】 利用導數(shù)工具求該函數(shù)的極值是解決該題的關鍵，要先確定出導函數(shù)大于 0 時的實數(shù) x 的范圍，再討論出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)極值的判斷方法求出該函數(shù)的極值，體現(xiàn)了導數(shù)的工具作用 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分，把答案填寫在題中橫線上 13 等比數(shù)列 前 n 項和，滿足 1，則 公比 q= 2 【分析】 由 1， 1， a1+1，解得 可得出 【解答】 解：由 1， 1， a1+1，解得 ， 等比數(shù)列 公比 q=2 故答案為： 2 【點評】 本題考查了等比數(shù)列的通項公式、遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題 14已知向量 ， 滿足 （ ） =2，且 | |=1， | |=2，則 與 的夾角等于 【分析】 求出 ，代入向量夾角公式計算 【解答】 解： （ ） = =2， = 1 = = = 故答案為： 【點評】 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，屬于基礎題 15直線 l： 與 x 軸、 y 軸分別相交于點 A、 B， O 為坐標原點，則 內(nèi)切圓的方程為 （ x 1） 2+（ y 1） 2=1 【分析】 由題意畫出圖形，設 內(nèi)切圓的圓心為 M（ m， m），利用圓心到直線 m 值得答案 【解答】 解：由直線方程 與 x 軸、 y 軸分別相交于點 A、 B， 如圖， 設 內(nèi)切圓的圓心為 M（ m， m）， 化直線方程為 3x+4y 12=0， 由題意可得： ，解得： m=1 內(nèi)切圓的方程為（ x 1） 2+（ y 1） 2=1 故答案為：（ x 1） 2+（ y 1） 2=1 【點評】 本題考查圓的標準方程，考查了點到直線距離公式的應用，體現(xiàn)了 數(shù)形結合的解題思想方法，是基礎題 16一個幾何體由八個面圍成，每個面都是正三角形，有四個頂點在同一平面內(nèi)且為正方形，若該八面體的棱長為 2，所有頂點都在球 O 上，則球 O 的表面積為 8 【分析】 根據(jù)該八面體的棱長為 2，所有頂點都在球 O 上，確定球 O 的半徑，即可求出球O 的表面積 【解答】 解：由題意，該八面體的棱長為 2，所有頂點都在球 O 上， 所以球 O 的半徑為 ， 所以球 O 的表面積為 =8 故答 案為： 8 【點評】 本題考查球的內(nèi)接幾何體，考查球 O 的表面積，考查學生的計算能力，比較基礎 三、解答題：本大題共 70 分，其中（ 17） -（ 21）題為必考題，（ 22），（ 23），（ 24）題為選考題解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 17在如圖所示的四邊形 ， 0， 50， 0， ， 1 （ I）求 （ ）求 面積 【分析】 （ I）在 ，使用余弦定理即可解出 （ ，使用正弦定理解出 合角的范圍可求 5， C=2，利用三角形面積公式即可得解 【解答】 解：（ ）在 ，由余弦定理得 2， 所以 （ 4 分） （ ）在 ，由正弦定理得 = ，則 ， 又 0 120，所以 5，從而有 5， 由 50，得 5，又 0，所以 等腰三角形， 即 C=2，故 S 2 2 =1 （ 12 分） 【點評】 本題主要考查了正弦 定理，余弦定理，三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式在解三角形中的應用，屬于中檔題 18為迎接即將舉行的集體跳繩比賽，高一年級對甲、乙兩個代表隊各進行了 6 輪測試， 測試成績（單位：次 /分鐘）如表： 輪次 一 二 三 四 五 六 甲 73 66 82 72 63 76 乙 83 75 62 69 75 68 （ ）補全莖葉圖并指出乙隊測試成績的中位數(shù)和眾數(shù)； （ ）試用統(tǒng)計學中的平均數(shù)、方差知識對甲乙兩個代表隊的測試成績進行分析 【分析】 （ ）根據(jù)題意補全莖葉圖，求出乙隊測試成績的中位數(shù)與眾數(shù)； （ ）求出甲、乙二人的平均數(shù)與方差，進行比較即可 【解答】 解：（ ）畫出莖葉圖如下： （ 4 分） 乙隊測試成績的中位數(shù)為 72，眾數(shù)為 75 （ 6 分） （ ） = =72， =39； = =72， =44， （ 10 分） 因為 = ， ，所以甲乙 兩隊水平相當，但甲隊發(fā)揮較穩(wěn)定 （ 12 分） 【點評】 本題考查了莖葉圖的應用問題，也考查了平均數(shù)與方差的應用問題，是基礎題目 19如圖，直四棱柱 棱長均為 2， ， M 為 中點， （ ）求證： 平面 （ ）求 平面 距離 【分析】 （ ）證明 據(jù)勾股定理，證明 可證明： 平面 （ ）證明 平面 距離等于 平面 距離，即可求 平面 距離 【解答】 （ ）證明：連接 在直四棱柱 ， 平面 面 四邊形 邊長為 2 的菱形， 又 ， 平面 又 面 直四棱柱所有棱長均為 2， ， M 為 中點， ， ， M=1， 11， ， 11， 1 又 M=A， 平面 （ 6 分） （ ）解： 平面 即 平面 距離等于 平面 距離， 由（ ）得 平面 ， 即點 平面 距離為 （ 12 分） 【點評】 本題考查了線面垂直的判定，點 平面 距離的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題 20已知橢圓 C： =1（ a b 0）的右焦點為 F（ 2， 0），點 P（ 2， ）在橢圓上 （ ）求橢圓 C 的方程； （ ）過點 F 的直線，交橢圓 C 于 A、 B 兩點，點 M 在橢圓 C 上，坐標原點 O 恰為 直線 l 的方程 【分析】 （ ）由題意可得 c=2， | ，運用勾股定理可得 |再由橢圓的定義可得 2a，由 a， b， c 的關系可得 b，進而得到橢圓方程； （ ）顯然直線 l 與 x 軸不垂直，設 l： y=k（ x 2）， A（ B（ 代入橢圓方程，運用韋達定理和三角形的重心坐標公式可得 M 的坐標，代入橢圓方程，解方程即可得到所求直線的方程 【解答】 解：（ ）由題意可得 c=2，左焦點 2， 0）， | ， 所以 | = ，即 2a=|2 ， 即 ， b2=， 故橢圓 C 的方程為 + =1； （ ）顯然直線 l 與 x 軸不垂直， 設 l： y=k（ x 2）， A（ B（ 將 l 的方程代入 C 得（ 1+31226=0， 可得 x1+， 所以 中點 N （ ， ）， 由坐標原點 O 恰為 重心，可得 M （ ， ） 由點 M 在 C 上，可得 151=0， 解得 或 （舍），即 k= 故直線 l 的方程為 y= （ x 2） 【點評】 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的定義和 a， b， c 的關系及點滿足橢圓方程，同時考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和三角形的重 心坐標公式，考查運算能力，屬于中檔題 21已知函數(shù) f（ x） =a（ x+l） （ ）若 f（ x）在 x=0 處的切線經(jīng)過點（ 2， 3），求 a 的值； （ ） x （ 0， ）時， f（ x） 0，求 a 的取值范圍 【分析】 （ ）求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率，由兩點的斜率公式解方程可得 a； （ ）由 x （ 0， ）時， f（ x） 0，得 a ，令 g（ x） = ，求出導數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和最大值，即可得到所求范圍 【解答】 解：（ ） f（ x） =a（ l） 導數(shù)為 f（ x） = 可得 f（ 0） =a 1， 又 f（ 0） =a 1， 所以 a 1= ，解得 a=2 （ ）由 x （ 0， ）時， f（ x） 0，得 a ， 令 g（ x） = ， 則 g（ x） = = ， 當 x （ 0， ）， g（ x） 0； x （ ， ）， g（ x） 0， 所以 g （ x）的最大值為 g（ ） = ， 故所求 a 的取值范圍是 a 【點評】 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和構造函數(shù)法，轉化為求函數(shù)的最值問題，屬于中檔題 四 22）、（ 23）、（ 24）三題中任選一題作答注意：只能做所選定的題目如果多做，則按所做的第一個題目計分作答時用 2題號后的方框涂黑 選修 4何證明選講 22如圖， 圓 O 相切于點 B， 圓 O 上兩點，延長 圓 O 于點 E， D 于點 F （ I）證明： （ ）若 圓 O 的直徑， ，求 【分析】 （ ）根據(jù) 有 根據(jù)同一條弦所對的圓周角相等即可得出 樣即可得出： 似； （ ）根據(jù)條件便可得出 由上面即可得出 樣即可得出 等腰直角三角形，從而可求出 ，根據(jù)射影定理即可求出 值 【解答】 解： （ ）證明： 又 又 （ ）因為 以 由（ ）得 以 又因為 圓 O 的直徑， 所以 等 腰直角三角形， ， 因為 圓 O 相切于 B，所以 【點評】 考查內(nèi)錯角相等，同條弦所對的圓周角相等，以及三角形相似的判定定理，直徑所對的圓周角為直角，以及射影定理 選修 4標系與參數(shù)方程 23 在直角坐標系 ，以坐標原點為極點， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系半圓 C（圓心為點 C）的極坐標方程為 =2 （ ， ） （ ） 求半圓 C 的參數(shù)方程； （ ）直線