材料力學(xué)公式大全機械

1、材料力學(xué)常用公式1.外力偶確矩計算公式 （P功率，n轉(zhuǎn)速）滬迅（r）2.彎矩、剪力和荷載集度之間的關(guān)系式djc3.軸向拉壓桿橫截面上正應(yīng)力的計算公式（桿件橫截面精選軸力FN,橫截面面積A,拉應(yīng)力為正） 4.軸向拉壓桿斜截面上的正應(yīng)力與切應(yīng)力計算公式（夾角 a從x軸正方向逆時針轉(zhuǎn)至外法線的方位角為正）7 CT(j. = p. cDscr= crcDs c:= 一(1 -hcasScij2疋工=叭 sin a = trcna a sin or = sin 2cr5.縱向變形和橫向變形（拉伸前試樣標距I ,拉伸后試樣標距11 ；拉伸前試樣直徑d,拉伸后試樣直徑d1）6.縱向線應(yīng)變和橫向線應(yīng)變=7.泊

2、松比8. 胡克定律EA cr= Ee=Z9. 受多個力作用的桿件縱向變形計算公式? 宀兒10. 承受軸向分布力或變截面的桿件，縱向變形計算公式11. 軸向拉壓桿的強度計算公式 孔=占丄-012.許用應(yīng)力 5 =分，脆性材料圧，塑性材料二巧13.延伸率15 =色二 X100%14.截面收縮率15.剪切胡克定律（切變模量G切應(yīng)變g） “切16.拉壓彈性模量E泊松比儀和切變模量G之間關(guān)系式GL2(1 + V17.圓截面對圓心的極慣性矩（a）實心圓代（b）空心圓18.圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上任一點切應(yīng)力計算公式（扭矩 T,所求點TJ = P到圓心距離r ）人 19.圓截面周邊各點處最大切應(yīng)力計算公式20.扭

3、轉(zhuǎn)截面系數(shù)陷=務(wù)，（a）實心圓 吩魯（b）空心圓殲二歆21.薄壁圓管（壁厚S=5；厶5或 5幾t等直圓軸強度條件陷階梯軸）時25.26.塑性材料書1 =- ）1切；脆性材料 E =佩$ - WI6 扭轉(zhuǎn)圓軸的剛度條件? a関27.受內(nèi)壓圓筒形薄壁容器橫截面和縱截面上的應(yīng)力計算公式28.平面應(yīng)力狀態(tài)下斜截面應(yīng)力的一般公式cr =空旦十迅二巴邊-9蜀訕2氐12羨CT, -crT =sin2if+icna2cir2工29.平面應(yīng)力狀態(tài)的三個主應(yīng)力30.31.32.33.34.35.tui2 年主平面方位的計算公式cr- = O2耳礙一巧面內(nèi)最大切應(yīng)力心牛心尸受扭圓軸表面某點的三個主應(yīng)力 阿二r,6=

4、0三向應(yīng)力狀態(tài)最大與最小正應(yīng)力仏二巧,% - 5三向應(yīng)力狀態(tài)最大切應(yīng)力爼廣義胡克定律耳叼=甘巧+還）13 =卡【巧叭巧+込） 36.四種強度理論的相當應(yīng)力還=O16 =還一就島+6）弔二% 円1N22% = J-何一阿）+何一如+何一阿）37. 一種常見的應(yīng)力狀態(tài)的強度條件込鼻二如+4* Vb込百=Jc/ +3F ctE馮九iS時g比= 匕匚=38.組合圖形的形心坐標計算公式另兒，遲兒 39.任意截面圖形對一點的極慣性矩與以該點為原點的任意兩正交坐標軸的慣性矩之和的關(guān)系式 八廣打，侄i =血40.截面圖形對軸Z和軸y的慣性半徑？ vA ,斗且 41.平行移軸公式（形心軸ZC與平行軸z1的距離為

5、a,圖形面積為A） f廠f 4眉cr =42.純彎曲梁的正應(yīng)力計算公式兀43. 橫力彎曲最大正應(yīng)力計算公式44. 矩形、圓形、空心圓形的彎曲截面系數(shù)? I譽學(xué)45. 幾種常見截面的最大彎曲切應(yīng)力計算公式（為中性軸一側(cè)的橫截面對中性軸Z的靜矩，b為橫截面在中性軸處的寬度）46. 矩形截面梁最大彎曲切應(yīng)力發(fā)生在中性軸處47. 工字形截面梁腹板上的彎曲切應(yīng)力近似公式48. 軋制工字鋼梁最大彎曲切應(yīng)力計算公式b厲用囂）49.圓形截面梁最大彎曲切應(yīng)力發(fā)生在中性軸處,_4 冬 N50.圓環(huán)形薄壁截面梁最大彎曲切應(yīng)力發(fā)生在中性軸處51.彎曲正應(yīng)力強度條件3関JUU52.幾種常見截面梁的彎曲切應(yīng)力強度條件53

6、.彎曲梁危險點上既有正應(yīng)力（7又有切應(yīng)力T作用時的強度條件為=心*卅帥或耳嚴仃+3F ME =還丿叫54.梁的撓曲線近似微分方程血: 前55.梁的轉(zhuǎn)角方程日d”咚2吐yKT1w = -ir drdx +C.JC + Z)j56.梁的撓曲線方程？Ef土觸1C57. 軸向荷載與橫向均布荷載聯(lián)合作用時桿件截面底部邊緣和頂部邊緣處的正應(yīng)力計算公式 a=心土巴58. 偏心拉伸（壓縮）q*訂且吧59. 彎扭組合變形時圓截面桿按第三和第四強度理論建立的強度4 =丄醛空+r上 ! or. = M+a.75r a 條件表達式日護,60. 圓截面桿橫截面上有兩個彎矩叫和Me同時作用時，合成彎矩61. 圓截面桿橫截

7、面上有兩個彎矩叫和Me同時作用時強度計算公式討齊戸嗚叔;+嗽如 62.討蕨茁期如63. 彎拉扭或彎壓扭組合作用時強度計算公式% = J血+4*4 B廠左+W =十玩ME64. 剪切實用計算的強度條件e今蘭閏氏=$%65. 擠壓實用計算的強度條件人66.等截面細長壓桿在四種桿端約束情況下的臨界力計算公式67.壓桿的約束條件:(a)兩端鉸支(b) 端固定、一端自由a =2(C) 一端固定、一端鉸支a =0.7(d)兩端固定a =0.568.壓桿的長細比或柔度計算公式69.細長壓桿臨界應(yīng)力的歐拉公式70.歐拉公式的適用范圍鼻-耳一彳。f71.壓桿穩(wěn)定性計算的安全系數(shù)法72.壓桿穩(wěn)定性計算的折減系數(shù)法

8、73.只-卩關(guān)系需查表求得1、材料力學(xué)的任務(wù)：強度、剛度和穩(wěn)定性;應(yīng)力 單位面積上的內(nèi)力。平均應(yīng)力 Pm(1.1)FA, F dFlim A 0 A dA正應(yīng)力垂直于截面的應(yīng)力分量，用符號 切應(yīng)力相切于截面的應(yīng)力分量，用符號 應(yīng)力的量綱：全應(yīng)力P lAm0Pm表示。表示。(1.2) 町圖1.2國際單位制：Pa(N/m2)、MPa、GPa2 2工程單位制：kgf / m、kgf / cm線應(yīng)變 單位長度上的變形量，無量綱，其物理意義是構(gòu)件上一點沿某一方向變 形量的大小。外力偶矩傳動軸所受的外力偶矩通常不是直接給出，而是根據(jù)軸的轉(zhuǎn)速n與傳遞的功率P來計算。當功率P單位為千瓦(kW)，轉(zhuǎn)速為n (r

9、/min)時，外力偶矩為PMe 9549 (N.m)n當功率P單位為馬力(PS),轉(zhuǎn)速為n (r/min)時，外力偶矩為PMe 7024(N.m)n拉(壓)桿橫截面上的正應(yīng)力拉壓桿件橫截面上只有正應(yīng)力，且為平均分布，其計算公式為Fn(3-1)式中Fn為該橫截面的軸力， A為橫截面面積。正負號規(guī)定 拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負 。公式（3-1）的適用條件：桿端外力的合力作用線與桿軸線重合，即只適于軸向拉（壓）桿件； 適用于離桿件受力區(qū)域稍遠處的橫截面；（1）（2）（3） 均勻；（4）截面連續(xù)變化的直桿，桿件兩側(cè)棱邊的夾角20時拉壓桿件任意斜截面（a圖）上的應(yīng)力為平均分布，其計算公式為桿件上有孔洞或凹槽

10、時，該處將產(chǎn)生局部應(yīng)力集中現(xiàn)象，橫截面上應(yīng)力分布很不全應(yīng)力Pcos(3-2)正應(yīng)力2 cos(3-3)切應(yīng)力1 sin22(3-4)1為橫截面上的應(yīng)力。對脫離體內(nèi)一點產(chǎn)生順時針力矩的為正，反之為負。式中正負號規(guī)定：由橫截面外法線轉(zhuǎn)至斜截面的外法線，逆時針轉(zhuǎn)向為正，反之為負。拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負。兩點結(jié)論:0時，即橫截面上,達到最大值，即max。當 =900時，即縱截面上,= 90 =0。(2 )當拉（壓）桿的應(yīng)變和胡克定律 變形及應(yīng)變450時，即與桿軸成450的斜截面上，達到最大值，即（）max1. 2（1）桿件受到軸向拉力時，軸向伸長，橫向縮短；受到軸向壓力時，軸向縮短，橫向伸長。如圖3-

11、2。圖3-2軸向變形l l1 l軸向線應(yīng)變_1l橫向變形bb, b橫向線應(yīng)變b 正負號規(guī)定伸長為正，縮短為負。(2)胡克定律當應(yīng)力不超過材料的比例極限時,或用軸力及桿件的變形量表示為應(yīng)力與應(yīng)變成正比。即FnI(3-5)式中EA稱為桿件的抗拉(壓)剛度, 公式(3-6)的適用條件：IEA是表征桿件抵抗拉壓彈性變形能力的量。(3-6)(a)材料在線彈性范圍內(nèi)工作，即(b)在計算I時，I長度內(nèi)其N、E、A均應(yīng)為常量。如桿件上各段不同，則應(yīng)分段計算, 求其代數(shù)和得總變形。即| n Mi 1 EA(3-7)泊松比 當應(yīng)力不超過材料的比例極限時，橫向應(yīng)變與軸向應(yīng)變之比的絕對值。即(3-8)表1-1低碳鋼拉

12、伸過程的四個階段階段圖1-5中線段特征點說明彈性階段oab比例極限 PP為應(yīng)力與應(yīng)變成正比的最高應(yīng)力彈性極限ee為不產(chǎn)生殘余變形的最咼應(yīng)力屈服階段be屈服極限ss為應(yīng)力變化不大而變形顯著增加時的最低 應(yīng)力強化階段ce抗拉強度 bb為材料在斷裂前所能承受的最大名義應(yīng)力局部形變階段ef產(chǎn)生頸縮現(xiàn)象到試件斷裂表1-2 主要性能指標性能性能指標說明彈性性能彈性模量E當P時，E 一強度性能屈服極限 s材料出現(xiàn)顯著的塑性變形抗拉強度 b材料的最大承載能力塑性性能延伸率1100%l材料拉斷時的塑性變形程度截面收縮率材料的塑性變形程度強度計算許用應(yīng)力塑性材料= ns脆性材料 =9nb材料正常工作容許采用的最高

13、應(yīng)力，由極限應(yīng)力除以安全系數(shù)求得。其中ns,nb稱為安全系數(shù)，且大于強度條件：構(gòu)件工作時的最大工作應(yīng)力不得超過材料的許用應(yīng)力。 對軸向拉伸（壓縮）桿件(3-9)NA按式（1-4）可進行強度校核、截面設(shè)計、確定許克載荷等三類強度計算。2.1 切應(yīng)力互等定理受力構(gòu)件內(nèi)任意一點兩個相互垂直面上，切應(yīng)力總是成對產(chǎn)生，它們的大小相等，方向同時垂直指向或者背離兩截面交線，且與截面上存在正應(yīng)力與否無關(guān)。2.2純剪切單元體各側(cè)面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力的受力狀態(tài)，稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。2.3切應(yīng)變表示。切應(yīng)力作用下，單元體兩相互垂直邊的直角改變量稱為切應(yīng)變或切應(yīng)變，用2.4剪切胡克定律在材料的比例極限范圍內(nèi)，切應(yīng)

14、力與切應(yīng)變成正比，即(3-10)E及泊松式中G為材料的切變模量，為材料的又一彈性常數(shù)（另兩個彈性常數(shù)為彈性模量 比），其數(shù)值由實驗決定。對各向同性材料,E、G有下列關(guān)系G2(1 )(3-11)2.5.2切應(yīng)力計算公式橫截面上某一點切應(yīng)力大小為(3-12)式中Ip為該截面對圓心的極慣性矩,為欲求的點至圓心的距離。圓截面周邊上的切應(yīng)力為maxTWt(3-13)式中Wtb稱為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù),RR為圓截面半徑。2.5.3(1)切應(yīng)力公式討論切應(yīng)力公式（3-12）和式（3-13）適用于材料在線彈性范圍內(nèi)、小變形時的等圓截面直桿；對小錐度圓截面直桿以及階梯形圓軸亦可近似應(yīng)用, 許范圍內(nèi)。其誤差在工程允(2)

15、 極慣性矩Ip和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù) Wt是截面幾何特征量，計算公式見表3-3。在面積不變情況下，材料離散程度高，其值愈大；反映出軸抵抗扭轉(zhuǎn)破壞和變形的能力 愈強。因此，設(shè)計空心軸比實心軸更為合理。表3-3實心圓(外徑為d)d4Ip 32Wtd316空心圓 (外徑為D， 內(nèi)徑為d)D44IP 32 (1 a)d a DD44Wt(1 a )162.5.4強度條件圓軸扭轉(zhuǎn)時，全軸中最大切應(yīng)力不得超過材料允許極限值，否則將發(fā)生破壞。因此，強度條件為max(3-14) 對等圓截面直桿 maxmax ，-，Wt(3-15)式中為材料的許用切應(yīng)力。3.1.1中性層的曲率與彎矩的關(guān)系(3-16)式中，是變形后梁軸

16、線的曲率半徑;是材料的彈性模量；I E是橫截面對中性軸 Z軸的慣性矩。3.1.2橫截面上各點彎曲正應(yīng)力計算公式(3-17)式中，M是橫截面上的彎矩；IZ的意義同上;y是欲求正應(yīng)力的點到中性軸的距離正應(yīng)力出現(xiàn)在距中性軸最遠點處M maxmax.- y maxI zM maxWz(3-18)式中，WzI12 稱為抗彎截面系數(shù)。對于h b的矩形截面， Wz -bh2 ；對于直徑為 Dy max63d的圓形截面， W. D ；對于內(nèi)外徑之比為 a 一的環(huán)形截面,32D若中性軸是橫截面的對稱軸，則最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力數(shù)值相等，拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力數(shù)值不相等。3.2梁的正應(yīng)力強度條件Wz 32d3（1 a

17、4）。若不是對稱軸，則最大梁的最大工作應(yīng)力不得超過材料的容許應(yīng)力，其表達式為maxM maxWz（3-19）對于由拉、壓強度不等的材料制成的上下不對稱截面梁（如 的工字形截面等），其強度條件應(yīng)表達為字形截面、上下不等邊M max 一l max y1I z(3-20a)M maxymax y2I z(3-20b)式中， t , c分別是材料的容許拉應(yīng)力和容許壓應(yīng)力;yi, y分別是最大拉應(yīng)力點和最大壓應(yīng)力點距中性軸的距離。3.3梁的切應(yīng)力QSzTZb(3-21)式中，Q是橫截面上的剪力； Sz是距中性軸為y的橫線與外邊界所圍面積對中性軸的靜矩;I z是整個橫截面對中性軸的慣性矩；b是距中性軸為y

18、處的橫截面寬度。3.3.1矩形截面梁切應(yīng)力方向與剪力平行，大小沿截面寬度不變，沿高度呈拋物線分布。切應(yīng)力計算公式6Qbh3y2(3-22)最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸各點處,3.3.2工字形截面梁切應(yīng)力主要發(fā)生在腹板部分, 板部分來承擔(dān)。切應(yīng)力沿腹QBH2I zb8h2max3Q2 A其合力占總剪力的度的分布亦為9597%，因此截面上的剪力主要由腹二次曲線。計算公式為b hl2 4(3-23)近似計算腹板上的最大切應(yīng)力:max匸d為腹板寬度 h1為上下兩翼緣內(nèi)側(cè)距dh3.3.3圓形截面梁橫截面上同一高度各點的切應(yīng)力匯交于一點，其豎直分量沿截面寬度相等，沿高度呈 拋物線變化。Q d2 2d最大切應(yīng)力發(fā)

19、生在中性軸上，其大小為maxQSz Q T 丁 4Q TZb d3 Ad 64（3-25）圓環(huán)形截面上的切應(yīng)力分布與圓截面類似。3.4切應(yīng)力強度條件梁的最大工作切應(yīng)力不得超過材料的許用切應(yīng)力，即QmaxSzmaxmax1 1I zb對于寬度變化的截面,max不一定發(fā)生在中性軸上。(3-26)式中，Qmax是梁上的最大切應(yīng)力值；Szmax是中性軸一側(cè)面積對中性軸的靜矩；I z是橫max發(fā)生在中性軸上,截面對中性軸的慣性矩；b是max處截面的寬度。對于等寬度截面,4.2剪切的實用計算名義切應(yīng)力：假設(shè)切應(yīng)力沿剪切面是均勻分布的，則名義切應(yīng)力為(3-27)剪切強度條件：剪切面上的工作切應(yīng)力不得超過材料

20、的許用切應(yīng)力(3-28)QA5.2擠壓的實用計算名義擠壓應(yīng)力假設(shè)擠壓應(yīng)力在名義擠壓面上是均勻分布的，則PbsbSAbsbs（3-29）式中，Abs表示有效擠壓面積，即擠壓面面積在垂直于擠壓力作用線平面上的投影。當 擠壓面為平面時為接觸面面積，當擠壓面為曲面時為設(shè)計承壓接觸面面積在擠壓力垂直面上的投影面積。擠壓強度條件擠壓面上的工作擠壓應(yīng)力不得超過材料的許用擠壓應(yīng)力(3-30)PbsbsAbs1，變形計算相距為I的兩個橫截圓軸扭轉(zhuǎn)時，任意兩個橫截面繞軸線相對轉(zhuǎn)動而產(chǎn)生相對扭轉(zhuǎn)角。 面的相對扭轉(zhuǎn)角為工 dx(rad)0Glp(4.4)若等截面圓軸兩截面之間的扭矩為常數(shù)，則上式化為TIGTP(rad

21、)(4.5)圖4.2式中GI P稱為圓軸的抗扭剛度。顯然,的正負號與扭矩正負號相同。公式(4.4)的適用條件:(1)材料在線彈性范圍內(nèi)的等截面圓軸，即(2) 在長度I內(nèi)，T、G、Ip均為常量。當以上參數(shù)沿軸線分段變化時，則應(yīng)分段計算扭轉(zhuǎn)角，然后求代數(shù)和得總扭轉(zhuǎn)角。即nTilii 1 Gi I Pi(rad)(4.6)當T、Ip沿軸線連續(xù)變化時 用式(4.4)計算。2，剛度條件扭轉(zhuǎn)的剛度條件圓軸最大的單位長度扭轉(zhuǎn)角max不得超過許可的單位長度扭轉(zhuǎn)角,即maxTmaxGI p(rad/m)(4.7)/m)(4.8)Tmax180max 麗2,撓曲線的近似微分方程及其積分在分析純彎曲梁的正應(yīng)力時，得

22、到彎矩與曲率的關(guān)系MEI對于跨度遠大于截面高度的梁，略去剪力對彎曲變形的影響，由上式可得1 M xx EI利用平面曲線的曲率公式，并忽略高階微量，得撓曲線的近似微分方程，即(4.9)MzEI將上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程為Jx CEI(4.10)再積分得撓曲線方程dx dx Cx D EI(4.11)式中，C,D為積分常數(shù)，它們可由梁的邊界條件確定。當梁分為若干段積分時， 積分常數(shù)的確定除需利用邊界條件外，還需要利用連續(xù)條件。3,梁的剛度條件限制梁的最大撓度與最大轉(zhuǎn)角不超過規(guī)定的許可數(shù)值，就得到梁的剛度條件，即maxmax(4.3,軸向拉伸或壓縮桿件的應(yīng)變能在線彈性范圍內(nèi)，由功能原理得1V W -F

23、2當桿件的橫截面面積A、軸力Fn為常量時，由胡克定律FnI1首，可得V叢2EA(4.14)桿單位體積內(nèi)的應(yīng)變能稱為 應(yīng)變能密度，用V表示。線彈性范圍內(nèi)，得V -24，圓截面直桿扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能 在線彈性范圍內(nèi)，由功能原 Vr(4.15)2m將Me T與士代入上式得VrT2I2GlpMe圖4.5(4.根據(jù)微體內(nèi)的應(yīng)變能在數(shù)值上等于微體上的內(nèi)力功，得應(yīng)變能的密度Vr :Vr1-r25，梁的彎曲應(yīng)變能在線彈性范圍內(nèi)，純彎曲時,1V W -M2(4.17)由功能原理得將Me M與罟代入上式得m2iV 2EI(4.18)A圖4.6橫力彎曲時，梁橫截面上的彎矩沿軸線變化，此時，對于微段梁應(yīng)用式(4.18),積分

24、得全梁的彎曲應(yīng)變能V，即VM 2 x dxi 2EI(4.19)2.截面幾何性質(zhì)的定義式列表于下:靜矩慣性矩慣性半徑慣性積極慣性矩SyzdAyAl yz2dAyAiiy Y云l yz A yzdAIp AP2dASzAydA|zAdAi匸 iz *A3.慣性矩的平行移軸公式ly lyca2AIz IZ Zcb2A靜矩：平面圖形面積對某坐標軸的一次矩,如圖I-1所示。定義式：SyzdA， SzydAAA量綱為長度的三次方。由于均質(zhì)薄板的重心與平面圖形的形心有相同的坐標(I -1)Zc和yc。則由此可得薄板重心的坐標同理有yc一Sy所以形心坐標ZC ，A 或 SyA Zc，SzAA ZcZc為AZ

25、ZcdA SyAZdA SA ASzyc Syc(I -2)由式(I -2)得知，若某坐標軸通過形心軸， 則圖形對該軸的靜矩等于零,yc0，Sz0 ; Zc 0，則 Sy 0 ;反之，若圖形對某一軸的靜矩等于零，則該軸必然通過圖形的形心。靜矩與所選坐標軸有關(guān)，其值可能為正，負或零。如一個平面圖形是由幾個簡單平面圖形組成，稱為組合平面圖形。設(shè)第 面積為 Ai ，形心坐標為nSyA ZCii 1yci, zci ，則其靜矩和形心坐標分別為(I -3)I塊分圖形的nSzA yCi ，i 1ycnSAiVCiSzi 1AnAAii 1，ZcSAnAi zcii 1nAii 1(I -4) I-2慣性矩和慣性半徑慣性矩：平面圖形對某坐標軸的二次矩,