自動控制原理(第2版)(余成波)_第5章習題解答-要點

1、第5章頻率特性法教材習題同步解析1115.1 一放大器的傳遞函數(shù)為:KG(s)= TTH測得其頻率響應(yīng)，當.=1rad/s時，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入信號的幅值比為12.2，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入信號的相位差為-n /4求放大系數(shù) K及時間常數(shù)T。解：系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出與輸入信號的幅值比為KJ T2 212二2，即kJ72=1 T2 穩(wěn)態(tài)輸出與輸入信號的相位差=-arctanT= -45，即 T =1當 =1rad/s時，聯(lián)立以上方程得T=1, K=12放大器的傳遞函數(shù)為：12G(s)= n5.2已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為Gk (s)二根據(jù)頻率特性的物理意義，求閉環(huán)輸入信號分別為以下信號時閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。

2、(1) r (t) =sin (t+30;(2) r (t) =2cos (2t-45 ;(3) r (t) = sin (t+15 2cos (2t 45 ;解：該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為不5：(s)二s+ 6閉環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性為閉環(huán)系統(tǒng)的相頻特性為(1)輸入信號的頻率為-=1 ,因此有系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出7 ) - - arcta n 6AC)Gs(t)n(t 20.54 )37(2)輸入信號的頻率為=2，因此有A()二-10 ,( ) 一 18.434系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出css(t) r-cosgt -63.43 )2(3)由題(1)和題(2)有對于輸入分量1 : sin( t+15,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出如下

3、c1ss(t5_37 s巾(t5.54 )對于輸入分量2: 2cos (2t 45 ,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為c2ss(t)二cos(2t - 63.43 )2根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加定理，系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)輸出為5妬、10sin(t 5.537 ) cos(2t - 63.4363 )25.3繪出下列各傳遞函數(shù)對應(yīng)的幅相頻率特性與對數(shù)頻率特性。10(1) G(s)(2)G(s)=10(0.1s-1)0.1s1(3) G(s)4s(s 2)4(4)G(s)=(s 1)(s 2)(5)G(s)s 0.2s(s 0.02)(6)G(s)二10(s 1)(s2s 1)(7)G(s) 口_0.2解:(1)G(s)=100

4、.1s _1113(b)對數(shù)頻率特性L Im1010Re爐0/ /丿b 0J _(鬧)G2(jC0)幅相頻率特性10開環(huán)系統(tǒng)G1(s)一 是一個不穩(wěn)定的慣性環(huán)節(jié)，頻率特性為0.1s110-1j0.1，(a)幅相頻率特性圖5.1題5.3( 1)系統(tǒng)頻率特性相頻特性為) - -(180 - arctan0.1 ) = arctan0.1 -180相頻特性從180連續(xù)變化至90?？梢耘袛嚅_環(huán)奈氏曲線起點為(一10, j0)點，隨的增加，A1(.)逐漸減小至0，而訟.)逐漸增加至一90 繪制出系統(tǒng)開環(huán)頻率特性G1(j)的軌跡，如圖5.1(a)虛線所示，是一個直徑為10的半圓。10而開環(huán)系統(tǒng)G2(s)則

5、是一個典型的慣性環(huán)節(jié)，其幅相頻率特性G2(j)如圖5.1(a)實線所示。0.1s +1對數(shù)頻率特性)(b)對數(shù)頻率特性J1 G(j 血1!11爐0 :Im01.G2( jo)10010Re圖 5.2 題 5.3 ( 2)系統(tǒng)頻率特性10 10開環(huán)系統(tǒng)G,(s)與G2(s)的對數(shù)幅頻特性完全相同，僅對數(shù)相頻特性不同，如圖0.1s10.1s+15.1(b)所示。(2)G(s)=10(0.1s 1)幅相頻率特性開環(huán)系統(tǒng)G1(s)=10(0.1s 1)的頻率特性為G j J =10(j0.-1)，其相頻特性為1( J =180 -arctan0.1相頻特性從180連續(xù)變化至90。其開環(huán)頻率特性 Gj.

6、)的軌跡，如圖5.2(a)虛線所示。(a)幅相頻率特性117而開環(huán)系統(tǒng) G2(s)=10(0.1s+1)則是一個典型的一階微分環(huán)節(jié)，其幅相頻率特性G2jJ如圖5.2(a)實線所示。對數(shù)頻率特性同題(1),二者的對數(shù)幅頻特性完全相同，僅對數(shù)相頻特性不同，如圖5.2(b)所示。(3)G(s)二4s(s 2)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的時間常數(shù)表達式為G(s) =2s(0.5s 1)幅相頻率特性1)系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，A(O)=s, (0)= 90o,低頻特性始于平行于負虛軸的無窮遠處。低頻漸近線如下確定:將頻率特性表達式分母有理化為-j2(1 - j05)G(j )2jco(j0.5 國+1) 叭1+j0.54

7、(1j0.5)o(U0.22)1 22 一 j21 0.25(1 0.25 )則低頻漸近線為-1烈+ReG (冋=烈 +R)=烈1同時可知，頻率特性實部與虛部均0,故曲線只在第三象限。2)n m=2，則(：)=180，幅相特性沿負實軸進入坐標原點。3)此系統(tǒng)無開環(huán)零點，因此在由0增大到：:過程中，特性的相位單調(diào)連續(xù)減小，從一90o連續(xù)變化到180。奈氏曲線是平滑的曲線，從低頻段開始幅值逐漸減小，沿順時針方向連續(xù)變化最后終于原點。系統(tǒng)的幅相頻率特性G(j )見圖5.3(a)。(b)對數(shù)頻率特性)(a)幅相頻率特性圖5.3題5.3 ( 3)系統(tǒng)頻率特性對數(shù)頻率特性1)可知系統(tǒng)包含有放大、積分、一階

8、慣性環(huán)節(jié), 低頻段斜率為20dB/dec,低頻段表達式為轉(zhuǎn)折頻率為1 t =2 rad s 。L(3)=20lg2 20lg co,并通過點 L(2)= 0dB。經(jīng)過轉(zhuǎn)折頻率-后斜率為40dB/dec。2) 系統(tǒng)的相頻特性為積分環(huán)節(jié)(90o)與慣性環(huán)節(jié)(0o90o)相頻特性的疊加，為(，)-90 -arctan 0.5，轉(zhuǎn)折頻率處相位為 駁2)= - 135對數(shù)相頻特性曲線對應(yīng)于該點斜對稱。繪制開環(huán)伯德圖L()、.)，如圖5.3 (b)所示。(4)G(s)=4(s 1)(s 2)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的時間常數(shù)表達式為G( s)=2(s 1)(0.5s 1)2(1- j )(1一 j0.5 )(a)

9、幅相頻率特性113(b)對數(shù)頻率特性幅相頻率特性1) 系統(tǒng)為0型系統(tǒng)，A(0)=2, (0)= 0o,開環(huán)奈氏曲線起點為(2, j0)點；n m=2，則(：)= 180。隨的增加，A(逐漸單調(diào)連續(xù)減小至 0,而致灼)滯后逐漸增加至180，幅相特性沿負實軸進入坐標原點。2)將頻率特性表達式分母有理化為G(j )22(1)(1 j0.5 )(1)(1 0.25 )2_2(10.5.3_ (1，2)(1 0.25 2) _ j (12)(1 0.25 2)頻率特性虛部均0，故曲線在第三、第四象限。3) 相位有 )= 90，因此與虛軸的交點為22(1 0.5 們2)ReG(j )220(1+時 2)(

10、1 +0.25叮2)-. 2rad /s, lm G( j J , 2 二 0.94此系統(tǒng)無開環(huán)零點，因此在由0增大到二過程中，奈氏曲線是平滑的曲線，Gj.)見圖5.4(a)。圖5.4題5.3 (4)系統(tǒng)頻率特性對數(shù)頻率特性-1 -11) 可知系統(tǒng)包含有放大、兩個一階慣性環(huán)節(jié)，轉(zhuǎn)折頻率分別為-i =1 rad s 2 =2 rad s 。系統(tǒng)為0型，低頻段斜率為OdB/dec,低頻段表達式為 L( )=20lg2=6dB。經(jīng)過轉(zhuǎn)折頻率、2后斜率分別為20、一 40dB/dec。2) 系統(tǒng)的相頻特性是兩個慣性環(huán)節(jié)相頻特性的疊加，為;：C ) - - arctan，- arctan0.5，兩個轉(zhuǎn)折

11、頻率處相位分別為叭1)= 72, P(2)= 109繪制開環(huán)伯德圖L(.)、.),如圖5.4 (b)所示。(5)G(s)=s 0.2s(s 0.02)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的時間常數(shù)表達式為G(s)二0.2(5s 1)0.02s(50s 1)10(5s 1)s(50s 1)幅相頻率特性1)系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，A(0)=m, (0)= 90o,低頻特性始于平行于負虛軸的無窮遠處。低頻漸近線如下確定:G(j)10(j5 1)-j10(j5 1)(1-j50 )(j ) 一(j50 1) 一 (V j50 )(V j50 )450: j10(250 2 1)_ j21 2500 (1 2500 )(a)幅相頻

12、率特性)(b)對數(shù)頻率特性圖5.5題用3 (5)系統(tǒng)頻率特性低頻漸近線為450同時可知，頻率特性實部、虛部均 0，具有相位超前作用，故名超前校正裝置;（）有超前最大值：m。(b)電網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為R2G(s)sC1R1 R2 sCI：；. R 民=R2R2Cs +1(R R2)Cs 11,T = R2C頻率特性為G(j )jco(R +R2)C +1幅頻特性A(楚旦J(Ptgo)2 +1相頻特性()=arcta n T - arcta n “ T，呈現(xiàn)以下特點:伯德圖見圖5.9（a），此電網(wǎng)絡(luò)是系統(tǒng)校正中常用的滯后校正裝置（見第六章）1）轉(zhuǎn)折頻率與1之間漸近線斜率為20dB/dec，起積分作用

13、; T 衍2）C ）在整個頻率范圍內(nèi)都0,具有相位滯后作用，故名滯后校正裝置;5.5由實驗測得某最小相位系統(tǒng)幅頻特性如下，試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)表5.1最小相位系統(tǒng)的實驗數(shù)據(jù)1(X/(rad s )0.30.51.2522.556.251012.5202550100A9.9789.799.6498.786.35.33.242.30.90.60.10.01解：20lgA，見表 5.2。1）根據(jù)表5.1，求出與每個頻率對應(yīng)的穩(wěn)態(tài)輸出與輸入幅值比的分貝值表5.2最小相位系統(tǒng)的實驗數(shù)據(jù)一 1oi(rad s )0.30.51.2522.556.251012.5202550100A9.9789.799.6

14、498.786.35.33.242.30.90.60.10.0120lgA19.9819.8219.6819.0818.8715.9914.4910.217.23-0.924.4320402）已知該系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，可直接由幅頻特性曲線求出傳遞函數(shù)，根據(jù)表5.12繪出系統(tǒng)的對數(shù)幅頻性曲線LCJ,如圖5.10虛線所示。3） 根據(jù)求得的LC ），由0、20、40、）dB/dec斜率的線段近似，求出其漸近線，如圖5.10實線所示。4） 由低頻段確定系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)v與開環(huán)傳遞系數(shù)K低頻漸近線的表達式為LC ）=20lgK=20dB，系統(tǒng)為0型，K=10。5）由漸近線的每個轉(zhuǎn)折點確定各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)

15、折頻率；并由漸近線在轉(zhuǎn)折點斜率的變化量確定串聯(lián)的 各典型環(huán)節(jié)。1在轉(zhuǎn)折頻率-3處，斜率減小20dB/dec，則必有慣性環(huán)節(jié) G（s）二3s +1在轉(zhuǎn)折頻率2 =30處，斜率減去40dB/dec,則有振蕩環(huán)節(jié) G（s）T2s22 Ts 1，阻尼比Z可由諧振峰值的大小查表求取。由圖5.10,二-30處LC ）的誤差約為6dB，查教材表5.7 （振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性最大誤差修正表）可得，1Z-1。因此，G2(s)=()1嚴需1900156）綜上，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)二10(3s 1)(丄 s2 丄 s 1)900155.6各系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判斷下列反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性151(1)

16、 Gk(S)=500(2)Gk(s)100(0.01s 1)s(s-1)解:(1)Gk(s)5002s(s s 100)令s=j .，得開環(huán)系統(tǒng)頻率特性Gk(P)5002j (j-10 )1）系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，A（0）=g, （0）= 90o,低頻特性始于平行于負虛軸的無窮遠處。低頻漸近線如下確定:將頻率特性表達式分母有理化為5002-100-/)-j500(100-宀 鬧)2 2(100八s(s s 100). j .)(100_.2_ j)-500 j500(100- 2) _-500_ .500(100- 2)(100 - 2)22(100 - 2)2 2 j (100 - 2)22則低頻

17、漸近線為-500ReG(j 爪叫.U叫(100 一2)2.,2 廠 0.05同時可知，頻率特性實部 0故曲線只在第二與第三象限。2） n m=3U（：）= 270，幅相特性沿正虛軸進入坐標原點。3） 此系統(tǒng)無開環(huán)零點，因此在由0增大到：:過程中，特性的相位單調(diào)連續(xù)減小，從一90o連續(xù)變化到270。奈氏曲線是平滑的曲線，從低頻段開始幅值逐漸減小，沿順時針方向連續(xù)變化最后終于原點。4）：（）有一180相位角，故曲線與負實軸有交點，交點坐標可以由下式確定500(100- 2)(100 - 2)22解之得交點處頻率 =10，代入實部1(.)，即可得曲線與負實軸交點的坐標為-500_ 5(100耳2)2

18、 忑2 護二 _該系統(tǒng)開環(huán)奈氏曲線見圖5.11(1)。5) 曲線始于虛軸的無窮遠處，與負實軸的交點為(一 5, j0)。故當國由0變到+閃 時，開環(huán)頻率特性曲線順時針包圍(一1, j0)點的次數(shù)為1/2 , N-=1/2。由于開環(huán)右極點數(shù)為P=0，故Z = 2N + P=2閉環(huán)系統(tǒng)有兩個右極點，閉環(huán)不穩(wěn)定。題5.6系統(tǒng)幅相頻率特性解：(2) GK(s)二100(0.01s 1)s(s -1)令s=j ,得系統(tǒng)開環(huán)頻率特性Gk(J )100(j0.011)j (j- -1)該系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)，P=1，開環(huán)系統(tǒng)的相頻特性為()二 arctan0.01-90 -(180 -arctan )=-2

19、70arctan0.01 arctan 1)系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，確定：A(0)-a,(0)- 2700,低頻特性始于平行于正虛軸的無窮遠處。低頻漸近線如下將頻率特性表達式分母有理化為1OO(jO.O1 1)j100(1 jO.01 J(1 j )GK ( J )二j (j- -1).(1一 j .)(1 j .)j1OO(1 O.O1 /j1.O1 )2則低頻漸近線為1O1(V 2)1OO(1-O.O1 2)2 (1亠八)(1亠心)=lim ReG( j ) = lim R( ) = lim1O1；.jo “；：1O 丁 (1 亠心)同時可知，頻率特性實部 m,高頻漸近線斜率為20 (n m) d

20、B/dec的斜線，-=90 (n m) 因此，本開環(huán)系統(tǒng)相頻特性有，做0)=0 護()= 270最小相位系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性和對數(shù)幅頻特性的變化趨勢相同，即若L(J的斜率減小(或增大)，則(.)的相位也相應(yīng)地減小(或增大)；如果在某一頻率范圍內(nèi)，對數(shù)幅頻特性LC )的斜率保持不變，則在這些范圍內(nèi)，相位也幾乎保持不變。因此，系統(tǒng)的相頻特性在每個慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率處有相應(yīng)的變化，并可直接 求取幾個典型頻率處(如轉(zhuǎn)折頻率)的相位，以提高曲線的準確性。如果系統(tǒng)有開環(huán)零點，則在相關(guān)轉(zhuǎn)折頻 率處特性曲線出現(xiàn)凹凸。圖5.14題5.8系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)相頻特性轉(zhuǎn)折頻率處相位為：的)=51.7 (10)= 131 (3

21、00)= 223本系統(tǒng)近似的對數(shù)相頻特性見圖5.14(a)。解：(b)1) 由低頻段確定系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)v與開環(huán)傳遞系數(shù) K低頻段的斜率為20dB/dec，該系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，v=1。將低頻漸近線延長線上的點L(100)=0,代入低頻漸近線的表達式 LC )=20lg K 20lg ,可以求出 K=100。2) 確定串聯(lián)的各典型環(huán)節(jié)第一個轉(zhuǎn)折頻率1=1rad s二且斜率減小20dB/dec，有一個慣性環(huán)節(jié)第二個轉(zhuǎn)折頻率2=100rad s S且斜率減小20dB/dec,有一個慣性環(huán)節(jié)1003) 綜上所述，該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為Gk(s)1001s(s 1)( s 1)1004) 繪出近似的對數(shù)

22、相頻特性與題(a)的分析相同，本開環(huán)系統(tǒng)相頻特性滿足，半(0)= 90 8)= 270轉(zhuǎn)折頻率處相位為：半(1)=135 ,卑10)= 180, (100)= 225。系統(tǒng)的相頻特性在每個慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率處有相應(yīng)的變化。本系統(tǒng)近似的對數(shù)相頻特性見圖5.14(b)。解：(c)1)由低頻段確定系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)v與開環(huán)傳遞系數(shù) K低頻段的斜率為OdB/dec，該系統(tǒng)為0型系統(tǒng)。由20lg K =20，求出K=10。其時間常數(shù)為2)確定串聯(lián)的各典型環(huán)節(jié)第一個轉(zhuǎn)折頻率 i=5rad s,且斜率減小40dB/dec,有一個二階振蕩環(huán)節(jié),1 1由i =0.2，此振蕩環(huán)節(jié)為廠5s 2s “1252540d

23、B/dec，所以有一個二階微分環(huán)節(jié)，其時間常數(shù)為2s s亠 T。6400400第二個轉(zhuǎn)折頻率1=80rad1，且斜率增加1 11T2，由2 =0.1，此二階微分為2 80103) 綜上所述，該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為10(Gk(s)二1252 14) 繪出近似的對數(shù)相頻特性同上，本開環(huán)系統(tǒng)相頻特性滿足，熨0)=0 m)= 0 轉(zhuǎn)折頻率處相位為 申(5)=申(80)= 91系統(tǒng)的相頻特性在每個二階振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率處有相應(yīng)的變化。本系統(tǒng)近似的對數(shù)相頻特性見圖5.15(c)。(c)(d)圖5.15題5.8系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)相頻特性解：(d)1)由低頻段確定系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)v與開環(huán)傳遞系數(shù)K由于低頻段的斜率

24、為+20dB/dec，該系統(tǒng)有一個純微分環(huán)節(jié)。低頻漸近線表達式為L()=20lg K+20lg -,將點L(10)=0代入，可求出 K=0.1。2)確定串聯(lián)的各典型環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率 =100rad s_1，且斜率減小 20dB/dec,有一個慣性環(huán)節(jié)1 。11003) 綜上所述，該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為Gk(s)0.1s1 s 11004) 繪出近似的對數(shù)相頻特性同上，本開環(huán)系統(tǒng)相頻特性滿足,(0)= 90申(a )=0 系統(tǒng)的相頻特性在慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率處為5.15(d)。：(100)=45 o本系統(tǒng)近似的對數(shù)相頻特性見圖105.9系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，求系統(tǒng)的相角裕量，并判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。 Gk(

25、s)_s(s2s 1)(0.25s2 0.4s 1)100 Gk- s(s 1)(10s 1)解：(1)可知系統(tǒng)包含有放大、積分、兩個二階振蕩環(huán)節(jié)，二階振蕩環(huán)節(jié)的參數(shù)為1 .2: T = 1,；：. n = T = 1,0.5s2 s 11 .2:T =0.5,冷二 r =2,=0.40.25s20.4s 1因此，轉(zhuǎn)折頻率分別為 co1=1rad 2=2 rad s 1 繪制開環(huán)伯德圖如圖 5.16所示。低頻段斜率為20dB/dec，并通過點L(1)=20dB。經(jīng)過轉(zhuǎn)折頻率 “后斜 率為60dB/dec，經(jīng)過轉(zhuǎn)折頻率-，2后最終斜率為100dB/dec。并有開環(huán)傳遞函數(shù)中兩個振蕩環(huán)節(jié)的阻尼比分

26、別為L(2)= L(1) 60lg2=2dBZ=0.5, Z=0.4。由教材表5.7可知，對數(shù)幅頻特性的修正值分別為0dB和2dB，誤差很小，可不必修正，對分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與相對穩(wěn)定性幾乎沒有影響。系統(tǒng)的幅值穿越頻率可以直接從半對數(shù)坐標系上讀取，也可根據(jù)漸近線求取，方法如下:L( c)-L(2)100, L( 4 0 ig k -lg 2求得系統(tǒng)的幅值穿越頻率c=2.2 rad s代入系統(tǒng)的相頻特性有Gk ( j )=10j (1 - / j J(1 -0.25 2j0.4 )(J-90 一 arctan21-o-arcta n0.4 21-0.25 “=180 (c)=168 ：0直接求

27、解三角函數(shù)：()=-180，可以求出系統(tǒng)的相角穿越頻率-.g，但計算十分復(fù)雜。實際上-g也可_ 1以從半對數(shù)坐標系上讀取，有g(shù)=0.8 rad s 。將，9代入低頻漸近線表達式，可求得L( g)=20 20lg g =21.9dB ,系統(tǒng)的幅值裕量為Lh= L( g)= 21.9dB0因此，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。解：(2)可知系統(tǒng)包含有放大、積分、兩個慣性環(huán)節(jié)，轉(zhuǎn)折頻率分別為=0.1 rad s 1 2=1 rad s。繪制開環(huán)伯德圖如圖 5.17所示。低頻段斜率為 20dB/dec，并通過點L(0.1)=20lg K 20lg0.1=60dB。經(jīng)過轉(zhuǎn)折頻率后斜率為40dB/dec，經(jīng)過轉(zhuǎn)折頻率2后

28、最終斜率為60dB/dec?？梢郧蟮?L(1)= L(0.1) - 40lg1/0.1= 20dB，并有L(7 -L(1) lg c Ig1-60,L c) = 0系統(tǒng)的幅值穿越頻率c=2.1 rad s，代入系統(tǒng)的相頻特性有:() - -90 - arctan，_ arctan10，=180 ( c) - -61.8 ：0相角穿越頻率(og=0.32 ( rad/s)。將cog代入中頻漸近線表達式，可求得L(；.-,g)= L(0.1) 40lg ；.-.g /0.仁 40dB系統(tǒng)的幅值裕量為Lh= L( g)= 40dB0因此，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，并具有較好的穩(wěn)定裕量。（2）當K=10時，求系統(tǒng)

29、的相位裕量；繪制開環(huán)伯德圖如圖 5.18對數(shù)頻率特性（b）所示。相對于對數(shù)頻率特性（a），開環(huán)傳遞系數(shù)增加10倍，L（J曲線上升20dB，相頻特性保持不變。系統(tǒng)的幅值穿越頻率 c=3.16 rad，也是系統(tǒng)的相角穿越頻率，代入系統(tǒng)的相頻特性有180 （二）=0系統(tǒng)的幅值裕量為Lh= L （:.-：g）= L （:.-：c）=0dB因此，穩(wěn)定裕量為零，閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。（3）分析開環(huán)傳遞系數(shù)的大小對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。LC ）曲線上升,由以上分析可見，對一結(jié)構(gòu)、參數(shù)給定的最小相位系統(tǒng)，當開環(huán)傳遞系數(shù)增加時，由于導(dǎo)致幅值穿越頻率,右移，從而使得相位裕量與幅值裕量都下降，甚至使系統(tǒng)不穩(wěn)定。)5

30、.11某延遲系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為Gk(S)二e孑s(s 1)試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時所允許的最大延遲時間解：max0繪制最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性，如圖s(s 1)5.19所示，系統(tǒng)的幅值穿越頻率皎刊rads。延遲環(huán)節(jié)es不影響系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性，但使相頻特性隨 3增加而滯后無限增加，延遲環(huán)節(jié)導(dǎo)致的相位滯后對閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利?？紤]到延遲環(huán)節(jié)es的滯后作用，系統(tǒng)在c=1 rad s: 1處的相位裕量為180 = 1800 c) =180 -90 - arctan45 - 5733.14當系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時，有丄45 -57.3宀0因此，系統(tǒng)穩(wěn)定時所允許的最大延遲時間max為 max 二 0.79S注：在

31、MATLAB中，可建立滯后系統(tǒng)的數(shù)學模型sys,并直接利用 bode(sys)和nyquist(sys)繪制滯后系統(tǒng)的伯德圖和奈氏圖。指令如下：sys=tf( nu m,de n,i nputdelay,a)其中，num定義為系統(tǒng)連續(xù)部分的分子多項式，den為系統(tǒng)連續(xù)部分的分母多項式，a定義為延遲環(huán)節(jié)eas 的滯后時間。也可建立系統(tǒng)的零極點模型：sys=zpk(z,p,k, n putdelay ,a)z、p、k分別為系統(tǒng)的開環(huán)零點、開環(huán)極點與開環(huán)傳遞系數(shù)。5.12某系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖5.20所示，試按照開環(huán)頻域指標丫和c之值估算閉環(huán)系統(tǒng)的時域指標和ts。S.s+I圖5.20題5.12圖系統(tǒng)開環(huán)傳遞

32、函數(shù)為s(0.05s 1)(8s 1)繪制開環(huán)伯德圖如圖 5.21所示。低頻段斜率為20dB/dec,并通過點L(0.1)=52dB。經(jīng)過轉(zhuǎn)折頻率.1=0.125 rad s1后斜率為40dB/dec，經(jīng)過轉(zhuǎn)折頻率2=1rad s1后斜率為20dB/dec，經(jīng)過轉(zhuǎn)折頻率 3=20rad s 1后 斜率為40dB/dec。八 L/ (dB)605240201220400.01圖5.21 題5.12控制系統(tǒng)的開環(huán)伯德圖L(1)= L(0.1) 40lg1/0.1=12dB并有ig c -Ig1可求得系統(tǒng)的幅值穿越頻率-c=4 rad s S代入系統(tǒng)的相頻特性有() =arctan 圮-90 -ar

33、ctan8 圮-arctan0.05 = 180( c) =66.40高階系統(tǒng)的開環(huán)頻域指標(YQ與時域指標(d%, ts)之間的對應(yīng)關(guān)系比較復(fù)雜，通常采用經(jīng)驗公式 來近似。1) 高階系統(tǒng)的超調(diào)量與相位裕量的關(guān)系通常用下述近似公式估算：-(1%= |0.16 十 0.4 1丨卜100%=19.8%-isin f丿2) 高階系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間與相位裕量的關(guān)系通常用下述近似公式估算- (1、 (12+1.51伙1+2.5-1 1L(sin Y丿(sin y丿JI ts 二一-cMATLAB仿真可得，此系統(tǒng)準以上估算公式是在比較嚴格的情況下推導(dǎo)的，實際值往往更理想。通過確的動態(tài)性能指標為：c % =12

34、% , ts = 1.53s厶=5%?？梢?，利用開環(huán)頻域指標丫和估算閉環(huán)高階 系統(tǒng)的時域指標 6%和ts,是完全滿足工程實際的。5.13已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試繪制系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性，計算系統(tǒng)的諧振頻率及諧振峰值，并估算閉環(huán)系統(tǒng)的時域指標6%和tso(1) G(s)16s(s 2)(2) G(s)60(0.5s 1)s(5s 1)解：（1）G（s）=16s(s 2)方法一：可以先畫出開環(huán)對數(shù)頻率特性LC ）及C ），再利用尼柯爾斯圖線繪制系統(tǒng)閉環(huán)對數(shù)頻率特性。方法二：由于是二階系統(tǒng)，可以根據(jù)閉環(huán)傳遞函數(shù)直接求取系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性。1）系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為16s(s 2)16：.：(

35、s)二 s(s 2) (,16 s2 2s 16s2 1|1s 1s(s 2)168T =0.25, n = t = 4,=0.25根據(jù)伯德圖的繪制規(guī)律，求出系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性，見圖5.22（1）。對于振蕩環(huán)節(jié)，以漸近線代替實際對數(shù)幅頻特性時，要特別注意誤差修正。如果在0.470.7范圍內(nèi)，誤差不大；而當彳艮小時，要有一個尖峰糾正。對于z=0.25,查教材表5.6修正表，可得轉(zhuǎn)折頻率T=4rad 1處最大誤差為6dB。在轉(zhuǎn)折頻率附近的修正曲線見圖5.37虛線，可以明顯地看出振蕩環(huán)節(jié)出現(xiàn)了諧振。而且Z越小，諧振峰值 Mr越大，諧振角頻率cor越接近于轉(zhuǎn)折頻率T （無阻尼自然振蕩頻率-，n）o已知

36、二階系統(tǒng)諧振頻率丫和諧振峰值Mr（）與系統(tǒng)特征量之間的關(guān)系為r = n . 1 - 2 23.74 rad / s1Mr一2 - =2.0720lg M r =6dB2）閉環(huán)系統(tǒng)的時域指標和ts計算如下二階系統(tǒng)的時域指標與頻域指標之間有對應(yīng)的關(guān)系，根據(jù)-% =e a 100%或由教材圖5.70二階系統(tǒng)b%、Mr、丫與Z的關(guān)系曲線，可直接查得； = 44%圖5.22 題5.11控制系統(tǒng)的開環(huán)伯德圖解：（2）G（s）=60（03s（5s+1）同理，由于是二階系統(tǒng)，可以根據(jù)閉環(huán)傳遞函數(shù)直接求取系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為60(0.5s 1)G(s)二s(5s 1).60(0.5s 1)s

37、(5s 1)60(0.5s 1) _0.5s 15s2 31s 600.083s20.517s 1一階微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率1=2rad 1處，漸近線斜率在此增加20dB/dec。二階振蕩環(huán)節(jié)的參數(shù)為T =“0.083 =0.29s1 1 n = t3.45rad s0.5170.892 T根據(jù)伯德圖的繪制規(guī)律，求出系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性，如圖5.22(2)所示。對于振蕩環(huán)節(jié)，由于=0.89 0.707,系統(tǒng)不產(chǎn)生諧振，并在轉(zhuǎn)折頻率；.-：2=3.45rad s 處有約-5dB的修正量。由教材圖3.24,當=0.89時，系統(tǒng)過渡時間約為ts ：4T = 1.16s=5%=0.89 0.707，系統(tǒng)無振蕩。但系統(tǒng)有閉環(huán)零點z= 2,而閉環(huán)零點的作用將使系統(tǒng)響應(yīng)加快，并有超調(diào)，且閉環(huán)零點離閉環(huán)極點越近，影響就越大。本系統(tǒng)的閉環(huán)極點為&,2=-3.111.53，因此閉環(huán)零點對系統(tǒng)響應(yīng)的影響較大。通過MATLAB仿真，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的動態(tài)性能指標為：c%=14% , ts=1.16s。5.14某單位負反饋的二階I型系統(tǒng)，其最大超調(diào)量為16.3%，峰值時間為114.6ms。試求其開環(huán)傳遞函 數(shù)，并求出閉環(huán)諧振峰值 Mr和諧振頻率-.r。二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為nGK(sss 2 157對于二階系統(tǒng)，開環(huán)頻域指標與時域指標之