機械能守恒定律應用

1、 一、機械能守恒定律的守恒條件一、機械能守恒定律的守恒條件 問題問題 1 1、對機械能守恒條件的理解、對機械能守恒條件的理解 只受重力或系統(tǒng)內(nèi)彈力。（如忽略空只受重力或系統(tǒng)內(nèi)彈力。（如忽略空 氣阻力的拋體運動）氣阻力的拋體運動） 還受其他力，但其他力不做功。（如還受其他力，但其他力不做功。（如 物體沿光滑的曲面下滑，盡管受到支持力，物體沿光滑的曲面下滑，盡管受到支持力， 但支持力不做功）但支持力不做功） 有其他力做功，但做功的代數(shù)和為零。有其他力做功，但做功的代數(shù)和為零。 2 2、判斷機械能是否守恒的常用方法、判斷機械能是否守恒的常用方法 用做功來判斷用做功來判斷 用能量角用能量角 度來判斷度

2、來判斷 對一些繩子突然繃緊，物體間非彈性碰對一些繩子突然繃緊，物體間非彈性碰 撞，除題目特殊說明，機械能必定不守恒撞，除題目特殊說明，機械能必定不守恒 （子彈打擊問題）（子彈打擊問題） 例例1 1、木塊、木塊A A和和B B用一只輕彈簧連接起來，放用一只輕彈簧連接起來，放 在光滑水平面上，在光滑水平面上，A A緊靠墻壁，彈簧質(zhì)量不緊靠墻壁，彈簧質(zhì)量不 計。在計。在B B上施加向左的水平力使彈簧壓縮，上施加向左的水平力使彈簧壓縮， 如圖所示，當撤去外力后，下列說法中正如圖所示，當撤去外力后，下列說法中正 確的是（確的是（ ） A.AA.A離開墻壁前，離開墻壁前，A A的機械能守恒的機械能守恒 B

3、.AB.A離開墻壁前，離開墻壁前，A A、B B及彈簧這一系統(tǒng)的機及彈簧這一系統(tǒng)的機 械能守恒械能守恒 C.AC.A離開墻后，離開墻后，A A的機械能守恒的機械能守恒 D.AD.A離開墻后，離開墻后，A A、B B及彈簧這一系統(tǒng)的機械及彈簧這一系統(tǒng)的機械 能守恒能守恒 AB F 二、應用機械能守恒定律解題的方法和步二、應用機械能守恒定律解題的方法和步 驟驟 明確研究對象明確研究對象( (物體或者系統(tǒng)物體或者系統(tǒng)) ) 明確研究對象的運動過程明確研究對象的運動過程, ,分析研究對象分析研究對象 的受力情況以及各力做功的情況的受力情況以及各力做功的情況, ,判斷機判斷機 械能是否守恒械能是否守恒

4、恰當?shù)剡x取參考平面恰當?shù)剡x取參考平面( (零勢能面零勢能面),),并確定并確定 研究對象在過程中的始末機械能研究對象在過程中的始末機械能 根據(jù)機械能守恒定律列出方程進行求解，根據(jù)機械能守恒定律列出方程進行求解， 有時不夠時再輔之以其它方程有時不夠時再輔之以其它方程 5m s 三、機械能守恒定律的綜合應用問題三、機械能守恒定律的綜合應用問題 （一）一個物體的運動問題（一）一個物體的運動問題 2 nmax v FTmgm r 所以所以 max () 3/ Fmg r vm s m 2 1 2 mghmv 所以所以 2 0.45 2 mv hm mg Svt 2 1 2 Hgt 所以所以 2 3 H

5、 Svm g 例例3、在高為、在高為hm為為0.5kg的小球被一細繩拴的小球被一細繩拴 在墻上，球與墻之間有一被壓縮的輕彈簧，在墻上，球與墻之間有一被壓縮的輕彈簧， 彈簧的彈性勢能彈簧的彈性勢能Ep1=2J，當細線被燒斷后，當細線被燒斷后， 小球被彈出，求：小球被彈出，求： (1)小球被彈出后的速度小球被彈出后的速度v1多大？多大？ (2)小球的落地速度小球的落地速度v2多大？（多大？（g=10m/s2） h 解：小球被彈出的過解：小球被彈出的過 程機械能守恒程機械能守恒 2 11 1 2 p Emv 小球被彈出后的速度為：小球被彈出后的速度為： 1 2 2/2.828/vm sm s 之后，

6、小球做平拋運動，機械能守恒之后，小球做平拋運動，機械能守恒 22 12 11 22 mvmghmv 2 4 2/5.656/vm sm s A B 300 例例4、如圖所示、如圖所示,用長為用長為L的細繩懸掛一質(zhì)量的細繩懸掛一質(zhì)量 為為m的小球的小球,再把小球拉到再把小球拉到A點點,使懸線與水使懸線與水 平方向成平方向成30夾角夾角,然后松手。問然后松手。問:小球運小球運 動到懸點正下方動到懸點正下方B點時懸線對球的拉力多點時懸線對球的拉力多 大大? 解解:小球釋放后小球釋放后,首先在重力作首先在重力作 用下自由下落至用下自由下落至C點細繩再次點細繩再次 伸直伸直,由幾何關(guān)系可知由幾何關(guān)系可知

7、,此時細此時細 繩與水平方向夾角為繩與水平方向夾角為30,小小 球下落高度球下落高度h=L。 A B C 300 Vc Vc1 Vc2 F0 mg F gLVc2 0 1 30cos cc VV 220 2 1 2 1 )30cos1 ( CB mVmVmgL L V mmgF B 2 根據(jù)機械能守恒定律得根據(jù)機械能守恒定律得: 2 1 2 c mgLmv 在在C點細繩突然張緊對小球施點細繩突然張緊對小球施 以沿細繩的沖量以沿細繩的沖量,使小球沿細繩使小球沿細繩 方向的分運動立即消失方向的分運動立即消失,其速度其速度 由由Vc變?yōu)樽優(yōu)閂c1 之后之后,小球沿圓弧運動至小球沿圓弧運動至B點點,在

8、此過程中在此過程中,只只 有重力做功有重力做功,機械能守恒機械能守恒 小球運動至小球運動至B點時點時,細繩的拉力與重力提供向細繩的拉力與重力提供向 心力心力 所以所以Fmg R= =的光滑的光滑1/4圓弧軌道固定水平面上圓弧軌道固定水平面上, ,質(zhì)量質(zhì)量m =1=1kg的小的小 物塊從軌道上方的物塊從軌道上方的A點靜止下落并打在圓弧軌道上的點靜止下落并打在圓弧軌道上的B點但未反點但未反 彈彈, , 碰撞瞬間碰撞瞬間, ,小物塊沿半徑方向的分速度即刻減為零小物塊沿半徑方向的分速度即刻減為零, ,而沿切而沿切 線方向的分速度不變線方向的分速度不變, , 已知已知AO=R, ,且且AO連線與水平方向

9、的夾角連線與水平方向的夾角 為為30, ,C點為圓弧軌道的末端。求點為圓弧軌道的末端。求: :小物塊到達小物塊到達C點時對軌道的點時對軌道的 壓力大小壓力大小. . A R O R C 30 30 B vB v1 v2 小物塊從小物塊從A到到B做自由落體運動做自由落體運動 vB2=2gR 從從B到到C, ,只有重力做功只有重力做功, ,由機械能守恒守律由機械能守恒守律 mgR(1-cos60)=mvC2/2-mv12/2 v1=vBsin60 因因OB連線與豎直方向的夾角為連線與豎直方向的夾角為60故故 物體運動到物體運動到C點時點時, ,由牛頓第二定律有由牛頓第二定律有: : FC- -mg

10、 =mvC2/R 代入數(shù)據(jù)解得代入數(shù)據(jù)解得FC=35N 根據(jù)牛頓第三定律物塊到達根據(jù)牛頓第三定律物塊到達C點對軌道的壓力點對軌道的壓力N=35N 60 A B EF D 例例5、 碰撞時的能量損失碰撞時的能量損失. 分析分析:首先需注意到題目中有兩個約束條件首先需注意到題目中有兩個約束條件, 一個是細線承受的拉力最大不能超過一個是細線承受的拉力最大不能超過9mg, 再就是必須通過最高點做豎直面上的完整再就是必須通過最高點做豎直面上的完整 的圓周運動的圓周運動.這樣鐵釘在水平線上的取值范這樣鐵釘在水平線上的取值范 圍就由相應的兩個臨界狀態(tài)決定圍就由相應的兩個臨界狀態(tài)決定. 解解:設(shè)鐵釘在位置設(shè)鐵

11、釘在位置D時時,球至最低點細線所球至最低點細線所 承受的拉力剛好為承受的拉力剛好為9mg,并設(shè)并設(shè)DE=X1,由幾由幾 何關(guān)系可求得碰釘子后球圓周運動的半徑何關(guān)系可求得碰釘子后球圓周運動的半徑 22 1 ) 2 ( L xLADLr 2 1 2 1 ) 2 (mVr L mg r V mmgmgmg 2 1 89 解以上各式得解以上各式得: Lx 3 2 1 球由球由C點至點至D點正下方的過程中點正下方的過程中,遵守機械遵守機械 能守恒定律能守恒定律,有有 球至球至D點正下方時點正下方時,由細線拉力和球的重力由細線拉力和球的重力 的合力提供向心力的合力提供向心力.根據(jù)向心力公式得根據(jù)向心力公式

12、得: 再設(shè)鐵釘在再設(shè)鐵釘在D點時點時,小球剛好能夠繞鐵釘通小球剛好能夠繞鐵釘通 過最高點做完整的圓周運動過最高點做完整的圓周運動,并設(shè)并設(shè)DE=X2, 由幾何關(guān)系可求得球的運動半徑為由幾何關(guān)系可求得球的運動半徑為 22 2 ) 2 ( L xLr 2 2 2 1 ) 2 (mVr L mg 2 2 r V mmg 解以上各式得解以上各式得: Lx 6 7 2 鐵釘在水平線鐵釘在水平線EF上的位置范圍是上的位置范圍是: LxL 3 2 6 7 球由球由C至圓周最高點過程中至圓周最高點過程中,遵守機械能守恒遵守機械能守恒 定律定律,有有: 球至圓周最高時球至圓周最高時,其向心力由球的重力提供其向心

13、力由球的重力提供, 根據(jù)向心力公式得根據(jù)向心力公式得: （二）（二）“落鏈落鏈”問題問題 例例6、長為、長為L質(zhì)量分布均勻的繩子質(zhì)量分布均勻的繩子,對稱地懸對稱地懸 掛在輕小的定滑輪上掛在輕小的定滑輪上,如圖所示如圖所示.輕輕地推動輕輕地推動 一下一下,讓繩子滑下讓繩子滑下,那么當繩子離開滑輪的瞬那么當繩子離開滑輪的瞬 間間,繩子的速度為繩子的速度為 . 解：由機械能守恒定律，取解：由機械能守恒定律，取 小滑輪處為零勢能面小滑輪處為零勢能面. 2 2 1 242 1 2mv L mg L mg gLv 2 1 （三）（三） “流體流體”問題問題 例例7、 . A h 解解:應用應用“割補割補”

14、法：法： 液面相齊時等效于把右側(cè)中液面相齊時等效于把右側(cè)中h/2 的液柱移到左側(cè)管中的液柱移到左側(cè)管中,其減少的其減少的 重力勢能轉(zhuǎn)變?yōu)檎麄€液柱的動能重力勢能轉(zhuǎn)變?yōu)檎麄€液柱的動能. 根據(jù)機械能守恒定律得根據(jù)機械能守恒定律得: 2 2 1 2 MV h mg 設(shè)液體密度為設(shè)液體密度為有有: 2 h mS 4MhS 8 gh V 所以所以: （四）系統(tǒng)機械能守恒的問題（四）系統(tǒng)機械能守恒的問題 處理這類問題時處理這類問題時, ,一是要注意應用系統(tǒng)機械一是要注意應用系統(tǒng)機械 能是否守恒的判斷方法能是否守恒的判斷方法; ;再是要靈活選取機再是要靈活選取機 械能守恒的表達式械能守恒的表達式. .常用的是

15、常用的是: : KPBA EEEE或 例例8、如圖所示、如圖所示,兩小球兩小球mA、 mB通過繩繞過固定的半徑通過繩繞過固定的半徑 為為R的光滑圓柱的光滑圓柱,現(xiàn)將現(xiàn)將A球由球由 靜止釋放靜止釋放,若若A球能到達圓柱球能到達圓柱 體的最高點體的最高點,求此時的速度求此時的速度 大小大小(mB=2mA). 解解:B球下落得高度為球下落得高度為 2 4 R R A球上升得高度為球上升得高度為2R 由由AB根據(jù)能量轉(zhuǎn)化守恒定律根據(jù)能量轉(zhuǎn)化守恒定律 EK = -EP 得得 2 21 ()2() 42 BAAB R m g Rm gRmmv 2 3 gR V 所以所以 例例9、如圖光滑圓柱被固定在水平平

16、臺上，、如圖光滑圓柱被固定在水平平臺上， 質(zhì)量為質(zhì)量為m1的小球甲用輕繩跨過圓柱與質(zhì)量的小球甲用輕繩跨過圓柱與質(zhì)量 為為m2的小球乙相連，開始時讓小球甲放在的小球乙相連，開始時讓小球甲放在 平臺上，兩邊繩豎直，兩球均從靜止開始平臺上，兩邊繩豎直，兩球均從靜止開始 運動，當甲上升到圓柱最高點時繩子突然運動，當甲上升到圓柱最高點時繩子突然 斷了，發(fā)現(xiàn)甲球恰能做平拋運動，求甲、斷了，發(fā)現(xiàn)甲球恰能做平拋運動，求甲、 乙兩球的質(zhì)量關(guān)系。乙兩球的質(zhì)量關(guān)系。 m1 m2 分析：與上題相似，只是甲乙分析：與上題相似，只是甲乙 的末速度為的末速度為 ，所以，所以vgR 2 2121 21 ()2() 42 R

17、m g Rm gRmm v 12 :(1):5mm KP EE 20 1 (4)4sin30 2 mm vmg smgs 2 02()vg h HSh1.2Hs 解：取解：取A、B及地球為系統(tǒng)：及地球為系統(tǒng)： 對對B B：且且所以所以 例例11、如圖所示，長為、如圖所示，長為2L的輕桿的輕桿OB，O端端 裝有轉(zhuǎn)軸，裝有轉(zhuǎn)軸，B端固定一個質(zhì)量為端固定一個質(zhì)量為m的小球的小球B， OB中點中點A固定一個質(zhì)量為固定一個質(zhì)量為m的小球的小球A，若，若 OB桿從水平位置靜止開始釋放轉(zhuǎn)到豎直位桿從水平位置靜止開始釋放轉(zhuǎn)到豎直位 置的過程中，求置的過程中，求A、B球擺到最低點的速度球擺到最低點的速度 大小各

18、是多少。大小各是多少。 解：選解：選A A、B B及地球為一系統(tǒng)，及地球為一系統(tǒng)， 此系統(tǒng)中只有動能和重力勢能此系統(tǒng)中只有動能和重力勢能 發(fā)生轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)機械能守恒，發(fā)生轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)機械能守恒， 有：有： 22 11 2 22 AB mvmvmglmg l AB vv2又又所以所以 1.2,4.8 AB vgl vgl 例例12、如圖所示、如圖所示,半徑為半徑為r,質(zhì)量不計的圓盤質(zhì)量不計的圓盤 與地面垂直與地面垂直,圓心處有一個垂直盤面的光滑圓心處有一個垂直盤面的光滑 水平固定軸水平固定軸O,在盤的最右邊緣固定一個質(zhì)在盤的最右邊緣固定一個質(zhì) 量為量為m的小球的小球A,在在O點的正下方離點的正下方離

19、O點點r/2處處 固定一個質(zhì)量也為固定一個質(zhì)量也為m的小球的小球B.放開盤讓其放開盤讓其 自由轉(zhuǎn)動自由轉(zhuǎn)動,求：求： （1）A球轉(zhuǎn)到最低點時的線速度是多少？球轉(zhuǎn)到最低點時的線速度是多少？ （2）在轉(zhuǎn)動過程中半徑）在轉(zhuǎn)動過程中半徑OA 向左偏離豎直方向的最大角向左偏離豎直方向的最大角 度是多少？度是多少？ A B 解：解：(1)A,B球的速度為球的速度為VB,則據(jù)則據(jù) 機械能守恒定律可得機械能守恒定律可得: A B 22 11 222 AB mgr mgrmvmv 據(jù)圓周運動的知識可知據(jù)圓周運動的知識可知:VA=2VB 2 5 A gr v 所以所以 A B (1 sin ) cos0 2 r

20、mgrmg 3 arcsin 5 所以所以 (2)設(shè)在轉(zhuǎn)動過程中半徑設(shè)在轉(zhuǎn)動過程中半徑OA向左向左 偏離豎直方向的最大角度是偏離豎直方向的最大角度是 (如所示如所示),則據(jù)機械能守恒定律則據(jù)機械能守恒定律 可得可得: 例例13、如圖所示、如圖所示,將楔木塊放在光滑水平面將楔木塊放在光滑水平面 上靠墻邊處并用手固定上靠墻邊處并用手固定,然后在木塊和墻面然后在木塊和墻面 之間放入一個小球之間放入一個小球,球的下緣離地面高度為球的下緣離地面高度為 H,木塊的傾角為木塊的傾角為,球和木塊質(zhì)量相等球和木塊質(zhì)量相等,一切一切 接觸面均光滑接觸面均光滑,放手讓小球和木塊同時由靜放手讓小球和木塊同時由靜 止開

21、始運動止開始運動,求球著地時球和木塊的速度求球著地時球和木塊的速度. V1 V2 解：因為球下落的垂直于斜面解：因為球下落的垂直于斜面 的分速度與斜面該方向的分速的分速度與斜面該方向的分速 度相等，即度相等，即 1 cosvv 2 sinvv 1 2 tan v v 由機械能守恒定律可得由機械能守恒定律可得 22 12 11 22 mgHmvmv 聯(lián)立方程可得聯(lián)立方程可得 1 2sinvgH 2 2cosvgH 例例14、如圖所示、如圖所示,光滑的半圓曲面光滑的半圓曲面AB,其半其半 徑為徑為R,在在B端有一光滑小滑輪端有一光滑小滑輪,通過滑輪用通過滑輪用 細繩連著兩個物體細繩連著兩個物體P、Q,其質(zhì)量分別為其質(zhì)量分別為