奧數(shù)第四講定義新運算

1、奧數(shù)第四講 定義新運算定義新運算通常是用特殊的符號表示特定的運算意義。 它的符號不同于課本 上明確定義或已經(jīng)約定的符號，例如 “+ -、x、卞、>、V”等。表示運算意義的 表達(dá)式，通常是使用四則運算符號，例如 b=3a-3b,新運算使用的符號是 , 而等號右邊表示新運算意義的則是四則運算符號。正確解答定義新運算這類問題的關(guān)鍵是要確切理解新運算的意義， 嚴(yán)格按照 規(guī)定的法則進行運算。如果沒有給出用字母表示的規(guī)則，則應(yīng)通過給出的具體的 數(shù)字表達(dá)式，先求出表示定義規(guī)則的一般表達(dá)式，方可進行運算。值得注意的是：定義新運算一般是不滿足四則運算中的運算律和運算性質(zhì)， 所以，不能盲目地運用定律和運算性

2、質(zhì)解題。、例題與方法指導(dǎo)例1、設(shè)ab都表示數(shù)，規(guī)定a b表示a的4倍減去b的3倍，即aA b=4Xa-3 >b, 試計算5A6，6A5。解 5A6=5X4-6 X=20-18=26A 5=6X4-5 X=24-15=9說明 例1定義的沒有交換律，計算中不得將 前后的數(shù)交換。例2、對于兩個數(shù)a、b,規(guī)定ab表示3Xa+2Xb,試計算(56)7,5( 67)。 思路導(dǎo)航：先做括號內(nèi)的運算。解：(56) 7= (5X3+6X2) 7=27 7=27X3+7X2=955 (67) =5 (6X3+7X2) =532=5X3+32X2=79說明 本題定義的運算不滿足結(jié)合律。這是與常規(guī)的運算有區(qū)別的

3、。例3、已知2A3=2X3X4，4A2=4X5, 一般地，對自然數(shù) a、b，aAb表示aX (a+1) X (a+b-1).計算(6A3) - (5A2)。思路導(dǎo)航:原式=6X7-5 6=336-30規(guī)定：aA =a+(a+1)+(a+2)+ + (a+b-1),其中 a,b表示自然數(shù)。例 4、已知3=1+2+3=6，求100 的值。已知 x 10=75，求 x.思路導(dǎo)航：(1) 原式=1+2+3+100= (1+100) 600吃=5050(2) 原式即 x+(x+1)+(x+2)+ +(X+9) =75,所以：10X+(1+2+3+9)=7510x+45=7510x=30x=3例 5、定義

4、運算：a© b=3a+5ab+kb,其中a, b為任意兩個數(shù)，k為常數(shù)。比如：2© 7=3X2+5X2X7+7k0(1) 已知5©2=73。問：8©5與5©8的值相等嗎？(2) 當(dāng)k取什么值時，對于任何不同的數(shù)a, b,都有a©b=b©a,即新運算 © 符合交換律？分析與解：(1) 首先應(yīng)當(dāng)確定新運算中的常數(shù) k。因為5©2=3X5+5X5X2+kX2=65+2k,所以由已知5©2=73，得65+2k=73，求得k= (73-65)吃=4。定義的新運算是： a© b=3a+5ab+4b

5、。8 © 5=3 68+5 >8 >5+4 65=244, 5© 8=3 >5+5 65 68+4 ><8=247。因為244工247所以8©5工© &(2) 要使a© b=b© a,由新運算的定義，有3a+5ab+kb=3b+5ab+ka 3a+kb-3b-ka=0,3X(a-b)-k(a-b)=0,(3-k)(a-b)=0。對于兩個任意數(shù)a, b,要使上式成立，必有3-k=0,即k=3當(dāng)新運算是a© b=3a+5ab+3b時，具有交換律，即a© b=bO a。例6、對任意的

6、數(shù) a, b,定義：f (a) =2a+1, g (b) =bxb(1)求 f (5)-g( 3)的值；(2 求f (g(2) +g(f(2)的值；(3) 已知f (x+1) =21，求x的值。解：(1) f (5) -g (3) = (2X5+1) - (3X3) =2;( 2) f( g( 2) +g( f( 2)=f( 2X2)+g( 2X2+1 )=f( 4)+g( 5)=( 2X4+1 )+( 5X5)=34；( 3)f( x+1 )=2X( x+1 )+1=2x+3,由 f (x+1) =21，知 2x+3=21，解得 x=9。二、 鞏固訓(xùn)練1、若對所有b,a b =a X x,x

7、是一個與b無關(guān)的常數(shù)；a b=(a+b)寧2,且(3) 3=1( 3 3)。求(4) 2 的值。2、如果規(guī)定：=2X3X4 ,=3X4X5,=4X5X6 ,=8X9X10 ,求 +-+-+-的值。3、對于任意的兩個數(shù)a和b,規(guī)定a*b=3冶-b &求8*9的值。4、 對于任意的兩個數(shù)P, Q,規(guī)定PQ= (PXQ)詔。例如：28= (2X3)詔 已知x (85) =10,求x的值。5、定義：a b=ab-3b, a©b=4a-b/a。計算：(4A3) (2©4)。6 已知：2©3=2X3>4, 4©5=4>5>6>7X8,

8、求(4© 4) -(3© 3)的值。7、定義兩種運算 ”和”如下：b表示a，b兩數(shù)中較小的數(shù)的3倍，aAb表示a，b兩數(shù)中較大的數(shù)的2.5倍。比如：4探5=4X3=12, 4A5=5X2.5=12.5。計算：(0.6探0.5)+(0.3A0.8)出0.7)-(0.64A0.2)。8、設(shè)m, n是任意的自然數(shù)，A是常數(shù)，定義運算m。n= (AXm-n)詔, 并且203=0.75。試確定常數(shù)A，并計算：(50 7) X (20 2) - (302)。9、對任意兩個不同的自然數(shù)a和b,較大的數(shù)除以較小的數(shù)，余數(shù)記為 a b。比 如73=1， 529=4， 420=0。(1) 計算： 19982000，(519)19