考點42 曲線與方程-備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學（理）考點一遍過

1、考點42 曲線與方程了解方程的曲線與曲線的方程的對應關系.一、曲線與方程的概念一般地，在直角坐標系中，如果某曲線c（看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡）上的點與一個二元方程的實數(shù)解建立了如下的關系：（1）曲線上點的坐標都是這個方程的解； （2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線二、坐標法（直接法）求曲線方程的步驟求曲線的方程，一般有下面幾個步驟：（1）建立適當?shù)淖鴺讼?，用有序?qū)崝?shù)對(x，y)表示曲線上任意一點m的坐標； （2）寫出適合條件p的點m的集合；（3）用坐標表示條件p(m)，列出方程；（4）化方程為最簡形式；（5）說明以化簡后的

2、方程的解為坐標的點都在曲線上 一般地，化簡前后方程的解集是相同的，步驟（5）可以省略不寫若遇到某些點雖適合方程，但不在曲線上時，可通過限制方程中x，y的取值范圍予以剔除另外，也可以根據(jù)情況省略步驟（2），直接列出曲線方程三、兩曲線的交點（1）由曲線方程的定義可知，兩條曲線交點的坐標應該是兩個曲線方程的公共解，即兩個曲線方程組成的方程組的實數(shù)解；反過來，方程組有幾組解，兩條曲線就有幾個交點；方程組無解，兩條曲線就沒有交點（2）兩條曲線有交點的充要條件是它們的方程所組成的方程組有實數(shù)解可見，求曲線的交點問題，就是求由它們的方程所組成的方程組的實數(shù)解問題.考向一 考查曲線與方程的概念判斷曲線與方程的

3、關系時，把握兩個對應關系：（1）曲線上的每個點都符合某種條件；（2）每個符合條件的點都在這條曲線上.若要判斷點是否在方程表示的曲線上，只需檢驗點的坐標是否滿足方程.典例1 方程(xy2)x2+y2-90表示的曲線是a一個圓和一條直線b半個圓和一條直線c一個圓和兩條射線d一個圓和一條線段【答案】c【解析】(xy2)x2+y2-90可變形為x2+y2-90或x+y-2=0x2+y2-90，故表示以原點為圓心，3為半徑的圓和直線xy20在圓x2y290外面的兩條射線.典例2 方程y=-4-x2對應的曲線是【答案】a【解析】將y=-4-x2平方得x2+y2=4(y0)，它表示的曲線是圓心在原點，半徑為

4、2的圓的下半部分，故選a.1設，且是和的等比中項，則動點的軌跡為除去軸上點的a一條直線 b一個圓c雙曲線的一支 d一個橢圓2方程表示的曲線不可能是a橢圓b拋物線c雙曲線d直線考向二 直接法求軌跡方程直接法求曲線方程時最關鍵的就是把幾何條件或等量關系翻譯為代數(shù)方程，要注意翻譯的等價性通常將步驟簡記為建系設點、列式、代換、化簡、證明這五個步驟，但最后的證明可以省略，如果給出了直角坐標系則可省去建系這一步，求出曲線的方程后還需注意檢驗方程的純粹性和完備性典例3 已知兩點m(2，0)，n(2，0)，點p為坐標平面內(nèi)的動點，滿足，則動點p(x，y)的軌跡方程為abcd【答案】a【解析】設p（x，y），m

5、（2，0），n（2，0），則，由，得，化簡整理得故選a典例4 已知坐標平面上一點與兩個定點，且（1）求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形；（2）記（1）中軌跡為，過點的直線被所截得的線段長度為，求直線的方程【解析】（1）由，得，化簡得，所以點的軌跡方程是，該軌跡是以為圓心，以為半徑的圓（2）當直線的斜率不存在時，此時所截得的線段的長為，所以符合題意當直線的斜率存在時，設的方程為，即，圓心到的距離，由題意，得，解得所以直線的方程為，即綜上，直線的方程為或3若動點到點的距離是到點d(2,0)的距離的2倍，則動點的軌跡方程為abcd4已知o0,0和k0,2是平面直角坐標系中的兩個定點，過動點mx,y

6、的直線mo和mk的斜率分別為k1，k2，且.（1）求動點的軌跡的方程；（2）過點作相互垂直的兩條直線與軌跡交于，兩點，求證：直線過定點.考向三 定義法求軌跡方程求軌跡方程時，若動點與定點、定直線間的等量關系滿足圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，則可直接根據(jù)定義先確定軌跡類型，再寫出其方程理解解析幾何中有關曲線的定義是解題的關鍵利用定義法求軌跡方程時，還要看所求軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，如果不是完整的曲線，則應對其中的變量x或y進行限制典例5 已知圓a：(x+2)2+y2=254，圓b：，動圓p與圓a、圓b均外切.（1）求動圓p的圓心的軌跡c的方程；（2）過圓心b的直線與曲線c交于

7、m、n兩點，求mn的最小值.【解析】（1）設動圓p的半徑為r，則pa，pb=，papb=2.故點p的軌跡是以a、b為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支，其方程為.（2）設mn的方程為x=my+2，代入雙曲線方程，得(3m2-1)y2+12my+9=0.由，解得 -33<m<33.設m(x1,y1),n(x2,y2),則，當m2=0時, |mn|min=6.故mn的最小值為6.5設圓(x1)2y225的圓心為c，a(1，0)是圓內(nèi)一定點，q為圓周上任一點，線段aq的垂直平分線與cq的連線交于點m，則m的軌跡方程為a b c d 6已知曲線上的點到點的距離比它到直線的距離小2.（1）求曲線

8、的方程.（2）是否存在過的直線，使得與曲線相交于，兩點，點關于軸的對稱點為，且的面積等于4？若存在，求出此時直線的方程；若不存在，請說明理由.考向四 相關點法求軌跡方程動點所滿足的條件不易得出或轉(zhuǎn)化為等式，但形成軌跡的動點卻隨另一動點的運動而有規(guī)律地運動，而且動點q的軌跡方程為給定的或容易求得的，則可先將，表示成關于x，y的式子，再代入q的軌跡方程整理化簡即得動點p的軌跡方程典例6 已知圓c的方程為x2y24，過圓c上的一動點m作平行于x軸的直線m，設m與y軸的交點為n，若向量oq=om+on，求動點q的軌跡方程.【解析】設點q的坐標為(x，y)，點m的坐標為(x0，y0)(y00)，則點n的

9、坐標為(0，y0).因為oqomon，即(x，y)(x0，y0)(0，y0)(x0，2y0)，則x0x，y0.又點m在圓c上，所以x02y024，即x2y24=4(y0)，所以動點q的軌跡方程為.典例7 在直角坐標系中，不在軸上的動點滿足于點為的中點.（1）求點的軌跡的方程；（2）設曲線與軸正半軸的交點為，斜率為的直線交于兩點，記直線的斜率分別為，試問是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【解析】（1）解法一：設點，因為軸，為的中點，所以，因為，所以，即，化簡得，所以，點的軌跡的方程為.解法二：依題意可知點的軌跡方程為，設點，因為軸，為的中點，所以，所以，即，所以，點的軌跡的方程為

10、.（2）依題意可知，設直線的方程為，、，由，得，所以，所以，所以，為定值0.7在平面直角坐標系中，已知點，點是圓上的動點，則線段的中點的軌跡方程是abcd8如圖所示，已知p(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點，a，b是圓上兩動點，且滿足apb=90°，求矩形apbq的頂點q的軌跡方程.考向五 參數(shù)法求軌跡方程若動點坐標之間的關系不易直接找到，且無法判斷動點的軌跡，也沒有明顯的相關動點可用，但較易發(fā)現(xiàn)（或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn)）這個動點的運動受到另一個變量的制約，即動點中的x，y分別隨另一變量的變化而變化，我們可稱這個變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程，這種求軌跡方程的方法叫做參數(shù)法.參數(shù)法求軌跡

11、方程的步驟：（1）選取參數(shù)k，用k表示動點m的坐標（2）得出動點m的參數(shù)方程.（3）消去參數(shù)k，得m的軌跡方程（4）由k的范圍確定x，y的范圍典例8 如圖，在正方形oabc中，o為坐標原點，點a的坐標為(10,0)，點c的坐標為(0,10).分別將線段oa和ab十等分，分點分別記為a1,a2,a9和b1,b2,b9.連接obi，過ai作x軸的垂線與obi交于點pi(in*,1i9).（1）求證:點pi(in*,1i9)都在同一條拋物線上,并求該拋物線e的方程;（2）過點c作直線l與拋物線e交于不同的兩點m,n,若與的面積比為41,求直線l的方程.【解析】解法一：（1）依題意,過ai(in*,1

12、i9)且與x軸垂直的直線的方程為x=i,bi的坐標為(10,i),所以直線obi的方程為y=i10x.設pi的坐標為(x,y),由得y=110x2,即x2=10y.所以點pi(in*,1i9)都在同一條拋物線上,且拋物線e的方程為x2=10y.（2）依題意,直線l的斜率存在,設直線l的方程為y=kx+10.由得,此時=100k2+400>0,直線l與拋物線e恒有兩個不同的交點m,n.設,則，因為socm=4socn,所以|x1|=4|x2|.又x1·x2<0,所以x1=-4x2,分別代入和,得，解得k=±32.所以直線l的方程為y=±32x+10,即3

13、x-2y+20=0或3x+2y-20=0.解法二：（1）點pi(in*,1i9)都在拋物線e：x2=10y上.證明如下：過ai(in*,1i9)且與x軸垂直的直線的方程為x=i,bi的坐標為(10,i),所以直線obi的方程為y=i10x.由解得pi的坐標為(i,i210).因為點pi的坐標都滿足方程x2=10y，所以點pi(in*,1i9)都在同一條拋物線上，且拋物線e的方程為x2=10y.（2）同解法一.9過點p1(1,5)作一條直線交x軸于點a,過點p2(2,7)作直線p1a的垂線,交y軸于點b,點m在線段ab上,且|bm|ma|=12,則動點m的軌跡方程為. 考向六 圓錐曲線

14、中的對稱問題圓錐曲線上兩點關于直線對稱的問題是高考命題的一個熱點問題，該問題集垂直、中點弦、直線與圓錐曲線的位置關系、點與圓錐曲線的位置關系、方程、函數(shù)、不等式、點差法等重要數(shù)學知識和思想方法于一體，符合在知識網(wǎng)絡交匯處、思想方法的交織線上和能力層次的交叉區(qū)內(nèi)設置問題的命題特點，此類試題綜合性強，但難度適中,對數(shù)學知識和能力的考查具有一定的深度,具有很好的選拔功能.圓錐曲線上兩點關于直線對稱的問題主要有聯(lián)立方程和點差法兩種解法.典例9 若在拋物線y2=2x上存在相異的兩點關于直線l:y=m(x-2)對稱,求m的取值范圍.【解析】解法一：如圖,當m=0時,直線l:y=0恰好是拋物線的對稱軸,滿足

15、題設條件.當m0時,設p(x1,y1),q(x2,y2)是拋物線上關于直線l對稱的兩點,則pq的中點是m(,).設直線pq的方程是y=x+b.由消去x,得y2+2my-2mb=0(*).方程(*)有兩個不相等的實數(shù)根,=4m2+8mb>0,即m2+2mb>0.又y1+y2=-2m,x1+x2=2mb-m(y1+y2)=2mb+2m2,m(mb+m2,-m).由點m在直線l上,得-m=m(mb+m2-2),即b=.把代入,得m2<2,即-2<m<2,且m0.綜上可知,所求m的取值范圍為(-2,2).解法二(點差法)：當m=0時,同解法一.當m0時,設p(x1,y1)

16、,q(x2,y2)是拋物線y2=2x上關于直線l對稱的兩點,線段pq的中點m的坐標為(x0,y0).點p,q在拋物線上,y12=2x1,y22=2x2,兩式相減,得(y1+y2)(y1-y2)=2(x1-x2),即2y0(y1-y2)=2(x1-x2),(x1x2).直線pql,kpq·kl=-1,·m=-1,即m+y0=0.又點m在直線l上,y0=m(x0-2).由,得點m的坐標為(1,-m).p,q為拋物線上的兩點,點m在拋物線的內(nèi)部,m2<2,解得-2<m<2,且m0.綜上可知,所求m的取值范圍是(-2,2).10設橢圓的左頂點為，右頂點為已知橢圓的

17、離心率為，且以線段為直徑的圓被直線所截得的弦長為（1）求橢圓的標準方程；（2）設過點的直線與橢圓交于點，且點在第一象限，點關于軸的對稱點為點，直線與直線交于點，若直線的斜率大于，求直線的斜率的取值范圍1命題“曲線c上的點的坐標都是方程f(x，y)0的解”是正確的，下面命題中正確的是a方程f(x，y)0的曲線是cb方程f(x，y)0的曲線不一定是ccf(x，y)0是曲線的方程d以方程f(x，y)0的解為坐標的點都在曲線上2下列四組方程表示同一條曲線的是ay2=x與y=xby=lg x2與y=2lg xc=1與lg(y+1)=lg(x-2)dx2+y2=1與|y|=1-x23方程表示的曲線是a半個

18、圓 b雙曲線的一支c一個圓 d雙曲線4到兩定點的距離之差的絕對值等于6的點的軌跡為a橢圓b兩條射線c雙曲線d線段5與圓外切，且與y軸相切的動圓圓心p的軌跡方程為abcd6設定點，動圓過點且與直線相切，則動圓圓心的軌跡方程為abcd7mx2+ny2=1表示的曲線一定不是a拋物線 b雙曲線c橢圓 d直線8已知動圓經(jīng)過點，且截y軸所得的弦長為4，則圓心的軌跡是a圓b橢圓c雙曲線d拋物線9設d為橢圓x2+y25=1上任意一點，a(0，-2)，b(0，2)，延長ad至點p，使得pd=bd，則點p的軌跡方程為ax2+(y-2)2=20 bx2+(y+2)2=20cx2+(y-2)2=5 dx2+(y+2)

19、2=510在平面直角坐標系中，已知兩點，點滿足，其中，且則點的軌跡方程為abcd11已知點在橢圓上，點滿足（其中為坐標原點，為橢圓的左焦點），則點的軌跡為a圓b拋物線c雙曲線d橢圓12以為圓心的兩圓均過，與軸正半軸分別交于，且滿足，則點的軌跡是a直線b圓c橢圓d雙曲線13已知雙曲線的兩個焦點分別為，離心率等于，設雙曲線的兩條漸近線分別為直線；若點分別在上，且滿足，則線段的中點的軌跡的方程為abcd14已知兩點m(2，0)，n(2，0)，點p滿足pmpn12，則點p的軌跡方程為_.15點p4,-2與圓x2+y2=4上任一點連結的線段的中點的軌跡方程為_.16由動點向圓引兩條切線、，切點分別為、，

20、若，則動點的軌跡方程為_17在平面直角坐標系中，方程x+y2+x-y2=1所代表的曲線形狀是_.18如圖，在中，已知a(-2,0)，b(2,0)，cdab于d，的垂心為h，且cd=2ch，則點h的軌跡方程為_19已知雙曲線的一支c:y=x2-2x+2和直線l:y=kx,若l與c有兩個不同的交點a,b,則線段ab的中點的軌跡方程為_. 20已知點，直線，動點到點的距離等于它到直線的距離（1）試判斷點的軌跡的形狀，并寫出其方程；（2）若曲線與直線相交于兩點，求的面積.21已知點p(2,2)，圓c：x2y28y0，過點p的動直線l與圓c交于a，b兩點，線段ab的中點為m，o為坐標原點.（1

21、）求m的軌跡方程；（2）當|op|om|時，求l的方程.22如圖所示，已知，兩點分別在軸和軸上運動，點為延長線上一點，并且滿足，試求動點的軌跡方程23已知圓，直線，.（1）求證：對于，直線與圓總有兩個不同的交點；（2）求弦的中點的軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線.24設為坐標原點，動圓過定點，且被軸截得的弦長是8.（1）求圓心的軌跡的方程；（2）設是軌跡上的動點，直線的傾斜角之和為，求證：直線過定點.25已知定點及直線，動點到直線的距離為，若.（1）求動點的軌跡c的方程；（2）設是上位于軸上方的兩點，點的坐標為，且，的延長線與軸交于點，求直線的方程.26已知橢圓的長軸長與短軸長之和為6，橢圓上

22、任一點到兩焦點，的距離之和為4.（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線：與橢圓交于，兩點，在橢圓上，且，兩點關于直線對稱，問：是否存在實數(shù)，使，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.27已知動圓恒過且與直線相切，動圓圓心的軌跡記為；直線與軸的交點為，過點且斜率為的直線與軌跡有兩個不同的公共點，為坐標原點（1）求動圓圓心的軌跡的方程，并求直線的斜率的取值范圍；（2）點是軌跡上異于，的任意一點，直線，分別與過且垂直于軸的直線交于，證明：為定值，并求出該定值28已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為，短軸長為2，o為坐標原點，定點a(2,0)，點p在已知橢圓上，動點q滿足oq=oa-op.（1）求動點q的

23、軌跡方程；（2）過橢圓右焦點f的直線與橢圓交于點m,n，求的面積的最大值1（2019年高考北京卷理數(shù)）數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線c：就是其中之一（如圖）給出下列三個結論：曲線c恰好經(jīng)過6個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）；曲線c上任意一點到原點的距離都不超過；曲線c所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3其中，所有正確結論的序號是abcd2（2019年高考全國卷理數(shù)）已知點a(2，0)，b(2，0)，動點m(x，y)滿足直線am與bm的斜率之積為.記m的軌跡為曲線c.（1）求c的方程，并說明c是什么曲線；（2）過坐標原點的直線交c于p，q兩點，點p在第一象限，pex軸，垂足為e，連結q

24、e并延長交c于點g.（i）證明：是直角三角形；（ii）求面積的最大值.3（2017新課標全國ii理科）設o為坐標原點，動點m在橢圓c：上，過m作x軸的垂線，垂足為n，點p滿足（1）求點p的軌跡方程；（2）設點q在直線上，且證明：過點p且垂直于oq的直線l過c的左焦點f 變式拓展1【答案】d【解析】因為是和的等比中項，所以.整理得，即為除去軸上點的一個橢圓.故選d2【答案】b【解析】當，即或時，方程可化為或，故方程表示直線；當，即或時，方程可化為，當時，方程表示橢圓，當時，方程無解，不能表示任何曲線；當，即時，方程可化為，表示雙曲線.綜上，可知方程不能表示拋物線.故選b.3【答案】b【解析】設，

25、則由題意可得，化簡整理得.故選b4【解析】（1）由題意，知，得，整理得，故的方程為.（也可以寫作）.（2）顯然兩條過點的直線斜率都存在，設過點的直線方程為，聯(lián)立，解得，設直線的方程為：，將，代入得，整理得：，由于兩直線垂直，斜率乘積為，則根據(jù)根與系數(shù)的關系可得，即，故直線過定點.5【答案】b【解析】本題主要考查軌跡方程的求解.結合線段的中垂線的性質(zhì)可知，|ma|=|mq|,且|mc|+|mq|=5，故有|ma|+|mc|=5，則可知動點到兩個定點的距離和為定值5>|ac|=2，則可知點m的軌跡就是橢圓，且2a=5，2c=2，結合橢圓的性質(zhì)可知b=,故其方程為.6【解析】（1）設為曲線上任

26、意一點，已知曲線上的點到點的距離比它到直線的距離小2，所以點到的距離與它到直線的距離相等，根據(jù)拋物線的定義得曲線是以為焦點，直線為準線的拋物線，所以曲線的方程為.（2）設直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，得，消去，得.設，恒成立，則，.則，解得，則直線的方程為.7【答案】a【解析】設，則根據(jù)中點坐標公式得，由點在圓上，將代入圓的方程，得，即.故選a8【解析】設ab的中點為r,坐標為(x,y),則在中,ar=pr,又因為r是弦ab的中點,依垂徑定理，在中,|ar|2=|ao|2-|or|2=36-(x2+y2),又|ar|=|pr|=(x-4)2+y2,所以有(x-4)2+y2=36-(x2+y

27、2),即x2+y2-4x-10=0,因此點r在一個圓上,而當r在此圓上運動時,q點即在所求的軌跡上運動.設q(x,y),r(x1,y1),因為r是pq的中點,所以,代入方程x2+y2-4x-10=0,得,整理得x2+y2=56,這就是所求的點q的軌跡方程.9【答案】12x+15y-74=0【解析】設過點p2的直線方程為y-7=k(x-2)(k0),則過點p1的直線方程為y-5=-1k(x-1),所以a(5k+1,0)，b(0,-2k+7).設m(x,y),則由|bm|ma|=12,得,消去k,整理得12x+15y-74=0.當k=0時,易得a(1,0),b(0,7),則m(13,143),也滿

28、足上述方程.故點m的軌跡方程為12x+15y-74=0.10【解析】（1）設以線段為直徑的圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，圓被直線截得的弦長為，解得：，又橢圓的離心率，則，橢圓的標準方程為.（2）設，其中，則，則直線的方程為：，直線的方程為：，由得，令，則，即直線的斜率的取值范圍是.考點沖關1【答案】b【解析】由題意，曲線c上的點的坐標都是方程f(x，y)0的解只滿足點在曲線上，不能說明曲線上的點都是方程的解，即方程f(x，y)0的曲線不一定是c，所以答案b正確.2【答案】d【解析】根據(jù)每一組曲線方程中x和y的取值范圍,不難發(fā)現(xiàn)a,b,c中各組曲線對應的x或y的取值范圍不一致;而d中兩曲線

29、的x與y的取值范圍都是-1,1,且化簡后的解析式相同,所以d正確.故選d.3【答案】a【解析】由題意，方程化簡為且，所以方程表示的曲線為半個圓，故選a4【答案】b【解析】到兩定點f1（3，0）、f2（3，0）的距離之差的絕對值等于6，而|f1f2|6，滿足條件的點的軌跡為兩條射線故選b5【答案】a【解析】設，因為動圓p與圓外切，且與y軸相切，所以，移項平方得.故選a.6【答案】c【解析】動圓過點且與直線相切，根據(jù)圓的定義可得到圓心到直線的距離等于圓心到點f的距離，根據(jù)拋物線的定義可得到圓心的軌跡是焦點為的拋物線，即故選c7【答案】a【解析】當m,n一正一負時，表示雙曲線；當m,n不相等時，表示

30、橢圓；當m,n有一個為0時，表示直線；當m,n相等為正時，表示圓；當m,n都小于等于0時，圖形不存在.故無法表示拋物線，故選a.8【答案】d【解析】設圓心c（x，y），弦為bd，過點c作cey 軸，垂足為e，則|be|2，|ca|2|cb|2|ce|2+|be|2，（x2）2+y222+x2，化為y24x，則圓心的軌跡是拋物線故選d9【答案】b【解析】d為橢圓x2+y25=1上任意一點,且a,b為焦點，|da|+|db|=2a=25 ，又|pd|=|bd|，|pa|=|pd|+|da|=25，故點p的軌跡方程為x2+(y+2)2=20.10【答案】a【解析】由，且，得，即，則c、a、b三點共線

31、設c（x，y），則c在ab所在的直線上，a（2，1）、b（4，5），ab所在直線方程為 ，整理得故點的軌跡方程為故選a11【答案】d【解析】由題意，點p滿足，根據(jù)向量的運算，可得是線段的中點，設，由于為橢圓的左焦點，則，由中點坐標公式，可得，又點在橢圓上，則點p的軌跡方程為，所以點p的軌跡為橢圓，故選d12【答案】a【解析】因為，同理：，又因為，所以，則，即，設，則，為直線，故選a.13【答案】a【解析】由已知，求得，則雙曲線方程為，從而其漸近線方程為設，線段的中點，由已知不妨設，從而，由得，所以，即，則m的軌跡c的方程為14【答案】x2y216【解析】設p(x，y)，則pm(2x，y)，pn

32、(2x，-y).于是pmpn(2x)(2x)y212，化簡得x2y216，此即為所求點p的軌跡方程.15【答案】x-22+y+12=1【解析】設圓上任意一點為（x1，y1），中點為（x，y），則x=x1+42y=y1-22，即x1=2x-4y1=2y+2，代入x2+y2=4，得（2x4）2+（2y+2）2=4，化簡得x-22+y+12=1故答案為x-22+y+12=116【答案】【解析】，是等邊三角形，為定值，點p的軌跡方程為17【答案】正方形【解析】利用絕對值的幾何意義，分類討論方程可得，x+y0,x-y0時，x=1-1y1；x+y0,x-y0時，x=-1-1y1；x+y0,x-y0時，y=

33、1-1x1；x+y0,x-y0時，y=-1-1x1，方程x+y2+x-y2=1所代表的曲線形狀是正方形，故答案為正方形.18【答案】x22+y2=1(y0)【解析】設點h的坐標為(x,y)，點c的坐標為(x,m)，則d(x,0)，則cd=(0,-m)，ch=(0,y-m)，又cd=2ch，m=2y，故c(x,2y)acbh=0，(x+2,2y)(x-2,y)=0，化簡得x2+2y2=2，故點h的軌跡方程為x22+y2=1(y0)19【答案】(x-12)2-y2=14(x>2)【解析】設ab的中點為m(x0,y0),聯(lián)立,得(k2-1)y2+2ky-2k2=0,則y0=k1-k2,x0=1

34、1-k2,消去k得x02-y02=x0,因為,所以22<k<1,得x0>2,所以ab的中點的軌跡方程是(x-12)2-y2=14(x>2).20【解析】（1）因為點到點的距離等于它到直線的距離，所以點的軌跡是以為焦點、直線為準線的拋物線，其方程為.（2）設, 聯(lián)立，得，直線經(jīng)過拋物線的焦點，又點到直線的距離，21【解析】（1）圓c的方程可化為x2(y4)216，所以圓心為c(0,4)，半徑為4.設m(x，y)，則cm(x，y4)，mp(2x,2y).由題設知cm·mp0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于點p在圓c的內(nèi)部，所以m的軌

35、跡方程是(x1)2(y3)22.（2）由（1）可知m的軌跡是以點n(1,3)為圓心，2為半徑的圓.由于|op|om|，故o在線段pm的垂直平分線上，又p在圓n上，從而onpm.因為on的斜率為3，所以l的斜率為13，故l的方程為x3y80.22【解析】設，則，由，得，即，又，由，得，得，故動點的軌跡方程為23【解析】（1）圓的圓心為，半徑為，所以圓心到直線的距離為.所以直線與圓相交，即直線與圓總有兩個不同的交點.（2）設中點為，直線恒過定點，當直線的斜率存在時，又，化簡得；當直線的斜率不存在時，此時中點為，也滿足上述方程.所以的軌跡方程是，它是一個以為圓心，為半徑的圓.24【解析】（1）設，動

36、圓半徑為由動圓被軸截得的弦長是8，得消去得故圓心的軌跡的方程為.（2）設直線的方程為，聯(lián)立方程得，消去得，則， 設直線的傾斜角分別是，同理， 則直線的方程為：，故直線過定點25【解析】（1）設，則由，知，又，由題意知：，點的軌跡方程為.（2）設，為的中點，又，又，直線的方程為.26【解析】（1）由題意，得，.橢圓的標準方程為.（2），關于直線對稱，可設直線的方程為，聯(lián)立，消去，得，由，解得， 設，兩點的坐標分別為，則，設的中點為，又點也在直線上，則，.則.同理.，存在實數(shù)，使，此時的值為.27【解析】（1）因為動圓恒過且與直線相切，所以點到與到直線的距離相等，所以圓心的軌跡的方程為，聯(lián)立，可得，當時，一次方程只有一個根，不符合題意，所以且，解得（2）設，直線：，即，其與的交點，同理與的交點，所以，由（1）可知，則，代入上式得，所以，為定值，該定值為28【解析】（1）設橢圓的標準方程為，由題意可知，即，解得a=2b=1c=1，故橢圓的標準方程為x22+y2=1.設q(x,y),p(x1,y1)，因為a(2,0)，所以op=oa-oq=(2-x,-y)=(x1,y1)，所以x1