2020年高考全國III卷理科數(shù)學(xué)試題(含解析)

1、一、選擇題1.已知集合*( , ) | ,ax yx ynyx ，(, )|8bx yxy，則ab中元素的個(gè)數(shù)為（）a.2b. 3c.4d. 6【答案】 c 【解析】(4,4),(3,5),(2,6)(1,7)ab，有4個(gè)元素，故選c. 2.復(fù)數(shù)113i的虛部是（）a.310b.110c.110d.310【答案】 d 【解析】1131313(13 )(13 )10iiiii，故選 d. 3.在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2， 3，4出現(xiàn)的頻率分別為1p，2p，3p，4p，且411iip，則下面四種情形中，對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是（）a.140.1pp，230.4ppb.140.4pp，230.1p

2、pc.140.2pp，230.3ppd.140.3pp，230.2pp【答案】 b 【解析】根據(jù)每個(gè)選項(xiàng)中都有14pp，23pp，且411iip，各選項(xiàng)中樣本平均值相等，都為 2.5 ，數(shù)值離其平均值之間的差異越大，標(biāo)準(zhǔn)差越大.顯然， b 選項(xiàng)中，大部分?jǐn)?shù)值與平均值之間的差異較大，選b. 4.logistic 模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域.有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)( )i t （ t 的單位：天）的logistic 模型：0.23(53)( )1tki te，其中k為最大確診病例數(shù).當(dāng)*()0.95i tk 時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則*t約為（）（

3、 ln193）a. 60b. 63c. 66d. 69【答案】 c 【解析】令*0.23(53)0.951tkke，*0.23(53)119te，*10.23(53)ln319t，*66t. 5.設(shè) o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線2x與拋物線 c ：22(0)ypx p交于d，e兩點(diǎn)，若odoe ，則 c 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）a.1(,0)4b.1(,0)2c.(1,0)d.(2,0)【答案】 b 【解析】不妨設(shè)(2,4 )dp ，(2,4)ep， odoe ，440od oep，解得1p，故拋物線 c 的方程為22yx ，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為1(,0)2. 6.已知向量 a ， b 滿足 | 5a， |6b，6a

4、 b，則 cos,a ab（）a.3135b.1935c.1735d.1935【答案】 d 【解析】由2()|25619aabaa b，又22|27abaa bb，所以()1919cos,5735| |aaba abaab，故選 d. 7.在abc 中，2cos,4,33cacbc，則 cosb（）a.19b.13c.12d.23【答案】 a 【解析】由余弦定理可知：2222222|34|cos32 | |234bcacababcbcac，可得 | 3 ab，又由余弦定理可知222222|3341cos2| |2339abbcacbabbc. 故選 a. 8.如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體

5、的表面積是（）a. 642b. 44 2c.623d. 42 3【答案】 c 【解析】由題可知該幾何體是如圖所示三棱錐pabc ，底面 abc 為等腰直角三角形，側(cè)棱 pc底面 abc ，其表面積為：113222 22 2sin6062 322s，故選c. 9.已知2tantan()74，則 tan（）a.2b.1c.1d.2【答案】 d 【解析】由題可知1tan2tan71tan，化解得：22tan2tan1tan77tan，解得 tan2 .故選 d. 10.若直線l與曲線 yx 和圓2215xy都相切，則l的方程為（）a.21yxb.122yxc.112yxd.1122yx【答案】d 【

6、解析】由yx 得12yx，假設(shè)直線 l 與曲線 yx 相切于點(diǎn)00(,)xx，則直線 l 的方程為0001()2yxxxx，即0020 xx yx. 由直線 l 與圓2215xy相切知，001145xx，解得01x，故直線 l 的方程為210 xy，即1122yx. 11.設(shè)雙曲線2222:1(0,0)xycabab的左、右焦點(diǎn)分別為12,f f，離心率為5.p是 c 上一點(diǎn)，且12f pf p.若12pf f的面積為4，則a（）a.1b.2c.4d. 8【答案】a 【解析】法一：設(shè)1pfm，2pfn，則12142pf fsmn，2mna，2224mnc ，可得224ca，又5cea，求得1a

7、. 法二：由題意知雙曲線的焦點(diǎn)三角形面積為122tan2pf fbs. 所以24tan45b，解得2b，又因?yàn)?215cbeaa，所以1a. 12.已知5458，45138.設(shè)5log 3a，8log 5b，13log8c，則（）a. abcb. bacc.bcad. cab【答案】 a 【解析】易知, ,(0,1)a b c，由2225555558log 3(log 3log 8)(log 24)2log 3 log 8log 54144ab知 ab ，因?yàn)?log 5b，13log8c，所以 85,138bc，即554485 ,138bc，又因?yàn)?44558 ,138 ，所以4455413

8、85813cbb，即 bc，綜上所述：abc.故選： a. 二、填空題13.若x，y滿足約束條件0201xyxyx，則32zxy的最大值為 _. 【答案】 7【解析】作出可行域如圖所示，由32zxy 知3122yxz ，由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)(1,2)a時(shí)，取得最大值，即max7z. 14.262()xx的展開式中常數(shù)項(xiàng)是_（用數(shù)字作答）. 【答案】 240【解析】因?yàn)?(6)12 316622rrrrrrrrtc xxc x，由1230r得4r，所以常數(shù)項(xiàng)為240 . 15.已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_. 【答案】23【解析】分析知圓錐內(nèi)半徑最大的球

9、的應(yīng)為該圓錐的內(nèi)切球，如下圖，由題可知該圓錐的母線長(zhǎng)為3bs，底面半徑為1bc，高為2222scbsbc，不妨設(shè)該內(nèi)切圓與母線bs 切于d點(diǎn)，令 odocr ，則由sodsbc，可得odbcosbs，即132 2rr得22r，此時(shí)34233vr. 16.關(guān)于函數(shù)1( )sinsinf xxx. ( )f x 的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；( )f x 的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；( )f x 的圖像關(guān)于直線2x對(duì)稱；( )f x 的最小值為2. 其中所有真命題的序號(hào)是_. 【答案】【解析】對(duì)于，由sin0 x可得函數(shù)的定義域?yàn)閨,x xkkz ，故定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由11()sin()sin( )sin()s

10、infxxxf xxx，所以該函數(shù)為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，錯(cuò)對(duì)；對(duì)于，11()sin()sin( )sin()sinfxxxf xxx，所以( )f x 關(guān)于2x對(duì)稱，對(duì)；對(duì)于，令sintx，則 1,0)(0,1t，由雙勾函數(shù)1( )f ttt的性質(zhì)，可知( )(, 22,)f t，所以( )f x 無最小值，錯(cuò). 三、解答題17.設(shè)數(shù)列na滿足13a，134nnaan. （1）計(jì)算23,aa .猜想的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列 2nna的前n項(xiàng)和ns. 【解析】（ 1）由13a，134nnaan，21345aa323427aa，猜想 na的通項(xiàng)公式為21nan. 利用數(shù)學(xué)歸納法證明：（

11、i）當(dāng)1,2,3n時(shí)，顯然成立；（ii ）假設(shè)()nk kn時(shí)猜想成立，即21kak，則1nk時(shí)，1343(21)42(1)1kkaakkkk，所以1nk時(shí)猜想也成立，綜上（ i）（ ii ），所以21nan. （2）令2(21)2nnnnban，則12123252(21)2nnnsbbbn ，23123252(21)2(21)2nnnsnn ，由得，312112 (1 2)322222(21) 26(21) 212nnnnnsnn，化簡(jiǎn)得1(21)22nnsn. 18.某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：（1）分別估計(jì)

12、該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1,2,3,4的概率；（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的值計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2，則稱這天 “ 空氣質(zhì)量好 ” ；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4，則稱這天 “ 空氣質(zhì)量不好 ” ，根據(jù)所給數(shù)據(jù).完成下面的22列聯(lián)表 .并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95% 的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？附：22()()()()()n adbckab cdac bd，. 【解析】（ 1）根據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可得：該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1的概率為2162543100100該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為2的概率為

13、5101227100100，該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3的概率為67821100100，該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為4的概率為7209100100. （2）由題意，計(jì)算得1000.203000.355000.45350 x，即一天中到該公園鍛煉的平均人次的值計(jì)值為350. （3）22列聯(lián)表如下：由表中數(shù)據(jù)可得：22100(33 83722)5.8203.84170 305545k，所以有 95% 的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān). 19.如圖，在長(zhǎng)方體1111abcdab c d中，點(diǎn)e，f分別在棱1dd，1bb上且112,2deedbffb . （1）證明：點(diǎn)1c在平面a

14、ef內(nèi)：（2）若12,1,3abadaa，求二面角1aefa的正弦值 . 【解析】（ 1）在1aa上取一點(diǎn)m，使得12amam，分別連接em，1b m，1ec，1fc.在長(zhǎng)方體1111abcda bc d中，有111/ / /ddaabb，且111ddaabb，又12deed，12amam，12bffb，所以1deamfb，所以四邊形1b fam和四邊形edam都是平行四邊形. 所以1/ /afmb且1afmb，/ /adme 且adme，又在長(zhǎng)方體1111abcdabc d中，有11/ /adb c，且11adb c，所以11/ /b cme且11bcme，則四邊形11b c em為平行四邊

15、形，所以11/ /ecmb，所以1/ /afec，所以點(diǎn)1c，在平面aef內(nèi) . （2）在長(zhǎng)方形1111abcda bc d中，以1c為原點(diǎn)，11c d所在直線為x軸，11c b的直線為y軸，1c c所在直線為z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系1cxyz，因?yàn)?ab，1ad，13aa，12deed，12bffb，所以(2,1,3)a，(2,0,2)e，(0,1,1)f，1(2,1,0)a，則( 2,1, 1)ef，(0, 1, 1)ae，1(0, 1,2)ae，設(shè)平面aef的一個(gè)法向量為1111(,)nxy z，則111111102000nefxyzyznae，取法向量1(1,1, 1)n，

16、設(shè)平面1aef的一個(gè)法向量為2222(,)nxyz，則22222221020200nefxyzyzna e，取法向量2(1,4,2)n，所以1212121427cos,7| |321nnn nnn，設(shè)二面角1aefa為，則142sin177，即二面角1aefa的正弦值為427. 20.已知橢圓222:1(05)25xycmm的離心率為154，a，b分別為 c 的左、右頂點(diǎn). （1）求 c 的方程；（2）若點(diǎn)p在 c 上，點(diǎn) q 在直線6x上，且 | |bpbq ， bpbq ，求apq 的面積 . 【解析】（1）2251554cmea，22516m， c 的方程：221612525xy. （2

17、）設(shè)直線bp：(5)yk x，與橢圓 c 聯(lián)立可得：2222(116)160400250kxk xk. 設(shè)00(,)p xy，則2024002551 16kxk，202805116kxk，220210|1|5|1116pbkxkk. bpbq ，直線 bq ：1(5)yxk. 令6x，1yk，1(6,)qk，22211|(65)()1bqkk. | |bpbq ，214k或2164k. 根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，只需討論12k和18k的情況，當(dāng)12k時(shí)，03x，01y，(3, 1)p，(6,2)q. |10pq，直線316321xypq.即：30 xy. 點(diǎn)a到直線 pq 的距離122|5|10213

18、d，111105102222apqspqd. 當(dāng)18k時(shí)，03x，01y，( 3, 1)p，(6,8)q，|130pq，直線31:6381xypq，即 79300 xy，點(diǎn)a到直線 pq的距離222|5730 |513079d，21155|130222130apqspqd. 綜上52apqs. 21.設(shè)函數(shù)3( )f xxbxc ，曲線( )yf x 在點(diǎn)11(,()22f處的切線與y軸垂直 . （1）求 b ；（2）若( )f x 有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：( )f x 所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1. 【解析】（ 1）2( )3fxxb ，又曲線( )yf x 在點(diǎn)11(,()22f處的切線與y軸垂直，13()024fb，解得34b. （2）設(shè)0 x為( )f x 的一個(gè)零點(diǎn)，且011x，由題意可知30034cxx ，令33( )( 11)4xxxx，則11( )3()()22xxx，此時(shí)1( 1,)2x，( )0 x，( )x 單調(diào)遞減；1 1(,)2 2x，( )0 x，( )x 單調(diào)遞增；1(,1)2x，( )0 x，( )x 單調(diào)遞減，則1( 1)4f，11()24f，11( )24f，1(1)4f，此時(shí)1144c，再設(shè)1x為( )f x 的零點(diǎn)，則31113()04f xxxc，311131444xx，整理得211