初中中數學競賽輔導資料

1、初中數學競賽輔導資料(49)對稱式甲內容提要1 .定義1 .在含有多個變量的代數式f (x,y,z)中，如果變量x, y, z任意交換兩個后，代數式的值不變，則稱這個代數式為絕對稱式，簡稱對稱式例如： 代數式 x+y , xy,x3+y 3+z3 3xyz,x5+y5+xy,x y y zxyz xyzz x 一. 者B是對稱式.xyz其中x+y和xy叫做含兩個變量的基本對稱式.2 .在含有多個變量的代數式f (x,y,z)中，如果變量x, y, z循環(huán)變換后代數式的值不變,則稱這個代數式為輪換對稱式，簡稱輪換式.1111例如：代數式 a2(bc)+b2(c a)+c2(ab),2x2y+2y

2、2z+2z2x,a b c abc(xy+yz+zx ) (1 x1122, 2 .cab2-227222abc b c a都是輪換式.顯然，對稱式一定是輪換式，而輪換式不一定是對稱式.2 .性質1 .含兩個變量x和y的對稱式，一定可用相同變量的基本對稱式來表示.這將在下一講介紹2 .對稱式中，如果含有某種形式的一式，則必含有，該式由兩個變量交換后的一切同型式， 且系數相等.例如：在含x, y, z的齊二次對稱多項式中，如果含有x2項，則必同時有 y2, z2兩項；如含有 xy項，則必同時有 yz, zx兩項,且它們的系數，都分別相等.故可以表示為：m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx

3、) 其中 m, n 是常數.3 .輪換式中，如果含有某種形式的一式，則一定含有，該式由變量字母循環(huán)變換后所得的 一切同型式，且系數相等.例如：輪換式 a3(b c)+b3(c a)+c3(ab)中，有因式ab一項，必有同型式bc和 c a兩項.4 .兩個對稱式(輪換式)的和，差，積，商(除式不為零)，仍然是對稱式(輪換式).例如： x+y, xy都是對稱式，x+y + xy,(x+y) xy ,y等也都是對稱式 .xy-111 1-' xy+yz+zx和一一一都是輪換式,xyz111一 F xy+yz+z ,xyz乙例題111)(xy+yz+z ).也都是輪換式xyz，一、1例 1.計

4、算：(xy+yz+zx )(x11、1) 一 xyz( -2y z x).111、 .一分析：( xy+yz+zx)()是關于x,y,z的輪換式，由性質 2,在乘法展開時，只xyz要用xy分別乘以1, 1, 1連同它的同型式一齊寫下.x y z解：原式=(工x型)+ (z+x + y) +(y+z+x) - (-yz -zx+ y )zx y z=2x+2y+2z.例 2. 已知：a+b+c=0,1求代數式a2 b2abcw 0.b2分析：這是含a, b, c同型式.的輪換式,(1989年泉州市初二數學雙基賽題)化簡第一個分式后，其余的兩個分式，可直接寫出它的解:1222a b ( a b)1

5、2ab111111.=2. 22. 22222. 2a b c b c a cab 2ab 2bc 2cac a b 八=0.2abc例 3. 計算：(a+b+c) 3分析：展開式是含字母a, b, c的三次齊次的對稱式，其同型式的系數相等，可用待定系數法例4. 解：設(a+b+c) 3= m(a3+b3+c3)+n(a2b+a2c+b2c+b2a+c2a+c2b)+pabc.(m, n, p是待定系數)令 a=1,b=0,c=0 .令 a=1,b=1,c=0令 a=1,b=1,c=1比較左右兩邊系數得比較左右兩邊系數得比較左右兩邊系數得m=1 ;2m+2n=8;3m+6n+p=27.m 1m

6、 1解方程組 2m 2n 8得n 33m 6n p 27 p 6(a+b+c) 3= a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2c+3b2a+3c2a+3c2b+6abc.例 5. 因式分解： a 利用對稱式性質做乘法，直接寫出結果：(x2y+y2z+z2x) (xy2+yz2+zx2) =(x+y+z ) ( x2+y 2+z2 xy yz zx) = 計算： ( x+y) 5.(b c)+b3(c a)+c3(a b)； ( x+y+z) 求( x+y) (y+z)(z+x)+xyz 除以 x+y+z 所得的商. 因式分解：ab(a b)+bc(b c)+ca(c a)；(x+y+z)

7、3 (x3+y 3+z3)；( ab+bc+ca) (a+b+c) abc；a(b c)3+b(c a)3+c(a b)3.(y+zx)5(z+xy)5(x+yz)5.解：.當 a=b 時，a3(b c)+b3(ca)+c3(ab)=0.，有因式a b及其同型式bc, c a. 原式是四次齊次輪換式，除以三次齊次輪換式( a-b) (b-c)(c-a),可得一次齊次的輪換式a+b+c.用待定系數法：得 a3(b c)+b3(c a)+c3(a b) = m(a+b+c) (a b) (b c)(ca)比較左右兩邊a3b 的系數，得m= 1.a3(b c)+b3(c a)+c3(a b) = (

8、a+b+c) (ab) (bc)(ca). x=0 時，(x+y+z) 5(y+zx) 5( z+x_y)5_(x+y_z) 5= 0有因式x,以及它的同型式 y和z.原式是五次齊次輪換式，除以三次輪換式xyz,其商是二次齊次輪換式.用待定系數法：可設( x+y+z ) 5( y+z x) 5(z+x y) 5(x+y z) 5=xyz m(x+y+z)+n(xy+yz+zx).令 x=1,y=1,z=1 . 比較左右兩邊系數，得 80=m+n；令 x=1,y=1,z=2. 比較左右兩邊系數，得 480=6m+n.解方程組m n 806m n 480180 / 4800x+y z) 5= 80xyz(x+y+z).x+y+z ) 5(y+z x) 5(z+x y) 5(丙練習 491 .已知含字母x,y,z的輪換式的三項x3+x2y2xy2,試接著寫完全代數式2 .已知有含字母a,b,c,d的八項輪換式的前二項是a3b(ab),試接著寫完全代數式7.1已知：一 a求證：a,111.b c abc8.計算:b2ab acbcb2bc baca2cca cb abb, c三者中，至少有兩個是互為相反數-1 ，、9 .已知：S= - (a+b+c)2求證:2 22224ab (a b c )