角平分線定理的逆定理

1、角的平分線的性質(zhì)定理的逆定理教學(xué)設(shè)計(jì)（一）內(nèi)容角的平分線的性質(zhì)定理的逆定理.（二）內(nèi)容解析本節(jié)課是學(xué)生在學(xué)習(xí)了角平分線的性質(zhì)的基礎(chǔ)上， 進(jìn)一步研究角平分線性質(zhì) 定理的逆命題是否正確.教科書首先提出了一個(gè)具有實(shí)際背景的問題，在公路和鐵路的交叉區(qū)域內(nèi)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，學(xué)習(xí)了角平分線的性質(zhì)，學(xué)生可能猜想到集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在公路和 鐵路夾角的平分線上.教科書沒有直接給出答案，而是從另一個(gè)角度引導(dǎo)，將角 的平分線的性質(zhì)的題設(shè)和結(jié)論交換位置，所得到的結(jié)論是否仍然成立？這就引出 了 “角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”.接著讓學(xué)生利用三角形全等證明這個(gè)結(jié)論.本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容是全等三角形知識(shí)的運(yùn)用和延續(xù)

2、，是今后學(xué)習(xí)圓的內(nèi)心的基礎(chǔ).基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：角的平分線的性質(zhì)定理的逆定理.二、目標(biāo)和目標(biāo)解析（一）目標(biāo)1. 探索并證明角平分線性質(zhì)定理的逆定理.2. 會(huì)用角平分線性質(zhì)定理的逆定理解決問題.（二）目標(biāo)解析達(dá)成目標(biāo)1的標(biāo)志是：學(xué)生能準(zhǔn)確表述角平分線性質(zhì)定理的逆定理的內(nèi)容. 能 正確地寫出已知、求證，能運(yùn)用三角形全等的“ HL”判定方法和三角形的性質(zhì)證 明角平分線的性質(zhì)的逆定理.達(dá)成目標(biāo)2的標(biāo)志是：學(xué)生能利用角的平分線的性質(zhì)的逆定理證明與角相等 的有關(guān)簡(jiǎn)單問題.三、教學(xué)問題診斷分析本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生在分清角的平分線的判定的條件和結(jié)論，并進(jìn)行嚴(yán)格 的邏輯證明過程中常常感到困難.例如

3、，在用符號(hào)語言表述判定條件和結(jié)論時(shí)， 不知“距離”應(yīng)為“條件”還是“結(jié)論”.其主要原因是角的平分線的判定是以 文字命題的形式給出的，其條件和結(jié)論具有一定的隱蔽性. 教學(xué)時(shí)，教師要引導(dǎo) 學(xué)生分析性質(zhì)中的條件和結(jié)論，正確寫出已知和求證.基于以上分析，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：證明角平分線的判定定理.四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）引言上節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了角的平分線的性質(zhì)，如果把它的題設(shè)和結(jié)論調(diào)換位置，得到的命題還是真命題嗎？【設(shè)計(jì)意圖】通過實(shí)際問題，復(fù)習(xí)角平分線的性質(zhì)定理.（二）探索角平分線的判定定理問題1寫出角的平分線的性質(zhì)的逆命題.師生活動(dòng)：教師提出問題，學(xué)生獨(dú)立思考.追問1： 上述逆命題成立嗎？你能證明這個(gè)

4、結(jié)論的正確性嗎？已知：如圖，QDLOA Q巳OB點(diǎn)D E為垂足，Q QE求證：點(diǎn)Q在/ AOB勺平分線上.證明： QDL OA QE! OB / QD仔口/ QEOS是直角.在 Rt QDO Rt QEC中,公共邊）Q4QE （已知） Rt QDQ Rt QEO（ HL）. / QOZ QOE點(diǎn)Q在Z AOB勺平分線上.師生活動(dòng)：教師首先引導(dǎo)學(xué)生寫出逆命題，分析命題的條件和結(jié)論，如果學(xué) 生感到困難，可以讓學(xué)生將命題寫成“如果那么”的形式，最后讓學(xué)生 畫出圖形，用符號(hào)語言寫出已知和求證，并獨(dú)立完成證明過程.角的平分線的判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線 上.用幾何語言表示為：

5、QDLOA QEL OB Q亠 QE點(diǎn)Q在Z AOB勺平分線上.師生活動(dòng)：讓學(xué)生分別用文字語言和符號(hào)語言概括角平分線的判定定理. 讓學(xué)生理解角平分線是到角的兩邊距離都相等的點(diǎn)的集合.（1）角平分線上任意一點(diǎn)（運(yùn)動(dòng)顯示）到角的兩邊的距離都相等（滲透集 合的純粹性）.（2）在角的內(nèi)部，至蛹的兩邊距離相等的點(diǎn)（運(yùn)動(dòng)顯示）都在這個(gè)角的平 分線上（而不在其他位置，滲透集合的完備性）.由此得出結(jié)論：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合.問題2比較分析角平分線的性質(zhì)和判定，填寫下表：角平分線的性質(zhì)角平分線的判定圖形已知結(jié)論師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成表格，教師點(diǎn)評(píng)補(bǔ)充.【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生通過觀察、猜想、推

6、理證明角平分線的判定定理，體會(huì) 研究幾何問題的基本思路.通過表格將角平分線的性質(zhì)和判定進(jìn)行比較，讓學(xué)生 體會(huì)類比的思想.反思判定，可以讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)證明兩個(gè)角相等可以利用角 平分線的判定，比證兩個(gè)三角形全等更簡(jiǎn)捷.（三）鞏固應(yīng)用1. 如圖，要在S區(qū)建一個(gè)廣告牌P,使它到兩條高速公路的距離相等，離 兩條公路交叉處5oo m請(qǐng)你幫忙設(shè)計(jì)一下，這個(gè)廣告牌 p應(yīng)建于何處？（在圖 上標(biāo)出它的位置，比例尺為1： 20 000）分析：根據(jù)角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，可知點(diǎn)P在兩條公路形成的夾角的平分線上，設(shè)公路的交點(diǎn)為點(diǎn)0,計(jì)算可知OF=2.5cm.2如圖， ABC的角平分線BM CN

7、相交于點(diǎn)P. 求證：點(diǎn)P到三邊AB BC CA的距離相等.分析：由題中條件可知，本題可以采用角的平分線的性質(zhì)及判定來解答，因 此要作出點(diǎn)P到三邊的垂線段.證明：過點(diǎn)P作PDL AB于 D, PE丄BC于 E，PF丄AC于F, BM是/ABC的角平分線且點(diǎn) P在BM上， PD- PE （角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）同理PF- PE. PD=PE=PF.即點(diǎn)P到三邊AB BC CA的距離相等.追問：點(diǎn)P在/A的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關(guān) 系？/ PD=PF, PD丄 AB, PF丄 AC,點(diǎn)P在/A的平分線上（角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平 分線上）結(jié)論：三角

8、形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三邊的距離相等.3如圖，已知 ABC的外角/ CBD和/BCE的平分線相交于點(diǎn)F,求證：點(diǎn)F 在/ DAE勺平分線上.E4B D分析：由題中條件可知，本題可以采用角的平分線的性質(zhì)及判定來解答，因 此要作出點(diǎn)F到三邊的垂線段.證明：過點(diǎn)F作FGL AE于G, FH丄AD于 H, FML BC于M,點(diǎn)F在/ BCE的平分線上，F(xiàn)G丄AE FML BC, FG= FM又點(diǎn)F在/CBD的平分線上，F(xiàn)H丄AD, FML BC FM= FH FG= FH點(diǎn)F在/ DAE的平分線上.師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，然后小組交流，派代表回答，教師適時(shí)點(diǎn)拔，并 板演證明過程.此時(shí)教師主要關(guān)注學(xué)生是否能夠想到如何構(gòu)造輔助線，并準(zhǔn)確地描述輔助線的作法.【設(shè)計(jì)意圖】通過訓(xùn)練，提高學(xué)生運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)和判定解決問題的 能力，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力.（四）小結(jié)與反思1角平分線的性質(zhì)定理和判定定理有什么區(qū)別和聯(lián)系？2. 應(yīng)用角平分線的性質(zhì)定理和判定定理時(shí)，怎樣做輔助線？【設(shè)計(jì)意圖】通過小結(jié)，梳理本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，建立知識(shí)之間的聯(lián)系.（五）課后作業(yè)教科書第50頁(yè)練習(xí)第1、2題.五、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1.如圖，在 ABC中，/ A=90°，Z C=50°,